bai tap vecto tong hop du dang

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.07 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

25 - 10 - 09

Vấn đề 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

1. Cho tam giác ABC. M, N, E lần lượt là điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là

4 3; 2;

3 

. I
là trung điểm cảu AN. Chứng minh M, E, I thẳng hàng.

2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số

1

3 

, E là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số 2.
Chứng minh ba điểm M, N, E thẳng hàng.

3. Cho tam giác ABC. Chứng minh I, J, A thẳng hàng nếu biết I, J là các điểm xác định bởi
3IB  2 IC 0 à v JA  3JB  2JC0

4. Cho tam giác ABC. Biết I, J là các điểm xác định bởi IC IB IA  0 à v JA JB  3JC0

       

a. Chứng minh I, G, B thẳng hàng với G là trọng tâm tam giác ABC.

b. Chứng minh IJ


cùng phương với.

5. Cho tam giác ABC trọng tâm G, M là điểm tùy ý. Gọi

A B C

; ;

1 1lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm I, 
J, K của các cạnh BC, CA, AB.

a. Chứng minh

AA BB CC

;

1đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường.
b. Chứng minh M, G, O thẳng hàng.

6. Cho tam giác ABC, D và E thỏa DA2DB3DC0 à 2v EB3EC0

      

a. Chứng minh A, D, E thẳng hàng.
b. Dựng điểm D thỏa các điều kiện trên?

7. Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC, E là điểm trên đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE:AC=2:3.
Chứng minh D, E, I thẳng hàng.

8. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho





a

2a

BM

, CN

, AP x 0 x a

3 



.
a. Tính

AM



theo

AB, AC

 

.
b. Chứng minh rằng

1 3x

PN

AC

AB

3 a



















.
c. Tính x theo a để cho AM vng góc với PN.
Vấn đề 2: Chứng minh hai điểm trùng nhau:

1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tam giác ANE
và tam giác CMF có cùng trọng tâm.

2. Cho tam giác ABC, hai điểm D, E thỏa mãn hệ thức

1 .

;....

.

;...

0;

1 DB k DC

EB

EC k

k







.
a. Biểu diễn các vecto

AD AE DE

,

  

theo các vecto

AB AC BC

,

  

.
b. Chứng minh tam giác ABC và tam giác DEF cùng trọng tâm.
c. Gọi I và F là hai điểm thỏa mãn hệ thức

IC k IA



. ;....

FA k FA



.



. Chứng minh AD BI CF  0
   

   
   
   
   
   
   

   
   
   
   
   
   
   

Vấn đề 3: Chứng minh biểu thức vecto khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M:

1. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto u3MA 5MB 2MC

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2. Cho tứ giác ABCD.

A B C D

; ; ;

1 1 1 là các điểm di động và k là một số thay đổi sao cho:

1 ; 1 ( 1) ; 1 ( 1) ; 1 ( 4) ;

AA k AB BB  k BC CC  k CD DD  k DA

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

       
       
       
       

chứng minh vecto uA C1 1B D1 1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
không đổi.

3. Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto v3MA 7MB2MC2MD

    

khơng phụ thuộc
vào vị trí điểm M.

4. Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý.

a. Chứng minh rằng vector v MA 2MB 3MC  

   

không phụ thuộc vào vị trí của M.
b. Hãy dựng điểm I sao cho CI v

 

c. Đường thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh rằng NA 2NB 0 

  

vaø CI 3CN  .
d. Gọi D và E là hai điểm sao cho BD DE EC 

  

. Hãy dựng

p AB AC DA EA







.
Vấn đề 4: Xác định vị trí điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước:

1. Cho hình bình hành ABDC. Hãy xác định vị trí điểm M sao cho MA MB  3MC 4MD0.
2. Cho lục giác ABCDEF. Hãy xác định vị trí điểm M sao cho

).. 0

)..3 3 3 0

)..3 2

a MA MB MC MD ME MF
b MA MB MC MD ME MF
c MD ME MF

     
     
 
      
      
      
      
      

      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
  

3. Cho tam giác ABC.

a. Dựng các điểm E, F, G thỏa mãn hệ thức

BE



3 AB BF

;..



3 AC BG BE BF

;..







b. Chứng minh điểm G nằm trên đường thẳng BC.

Vấn đề 5: Chứng minh đường thẳng thay đổi luôn đi qua điểm cố định.

1. Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: MN 3MA3MB 4MC

   

.
a. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

b. Gọi P là điểm thỏa MP BN    2MB chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.

2. Cho tam giác đều ABC. M là một điểm thay đổi thuộc miền trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vng
góc của M trên BC, CA, AB. Gọi I là trọng tâm tam giác A’B’C’. Chứng minh đường thẳng MI luôn đi qua một điểm
cố định.

3. Cho tam giác ABC. Và hai điểm M, N thỏa MN 4MA MB  3MC

   

a. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi.

b. Gọi E là điểm thỏa ME  2BN chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định.

4. Cho tam giác ABC trọng tâm G và hai điểm I, J thoả mãn : IA2 IB, 3 JA              2JC O= . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.
Vấn đề 6: Tìm tập hợp điểm:

1. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa

k MA



2 MB



(2



k MC

)



3 MD



0 

với k là một số thực tùy ý.
2. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

a. MA2MB MB2MC
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   
   
   
   

b. MA MB  2MC 2MA MB 3MC
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

c. MA3MB 2MC 2MA MB MC 
     
     
     
     
     
     
     
     

     
     
     
     
     
     
d.
2
2 3

MA MB MC  MA MB MC

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

3 2 3

MA MB MC  MA MB MC
     

     
     
     
     
     
     
     
     
     

     
     
     
     

4. Cho tứ giác ABCD. Hai điểm M, N thay đổi trên các cạnh AB, CD sao cho AM:AB=CN:CD. Tìm tập hợp trung điểm I
của MN.

5. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M thỏa
a. MA2MB3MC0

   

b. MA MB  3MC0

   

6. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. tìm trên d điểm M sao cho MA MB 3MC
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  

nhỏ nhất.
Vấn đề 7: Chứng minh hai vecto cùng phương và các tính chất hình học:

3. Cho tam giác ABC, I và J lần lượt là hai điểm thỏa điều kiện:

IA



2 IB



0;..

JA



5 JB



3 JC



0 

. Chứng minh BCIJ
là hình bình hành.

4. Tam giác ABC vng tại A. AH là đường cao. Chứng minh rằng:





2 2 2

2 2 2 2

)..

c

)..

c AC b AB

a BH

AC AB

b AH

b

c

b

c













 



5. Tam giác ABC có

AB AC vu



ơng góc voi

AB CA





. Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A.

6. Hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau và trượt trên các cạnh Ox, Oy của góc xOy, A thuộc đoạn OB, C thuộc đoạn OD; I,
J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng IJ luôn song song với phân giác của góc xOy và độ dài IJ
khơng đổi.

7. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, BCD. Chứng minh EF song song với AC.
8. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức



BC

+

MA

=

O ;



AB

−



NA

−

3



AC

=

O

.

Chứng minh MN // AC.

9. Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB. CMR:EA EB EC ED DA BC       .
Vấn đề 8: Vecto trên hệ trục toạ độ:

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm

















2 2

A 2,k ; B k, 4 , C 2k,4k ; D k ; 1



.

a)

Định k để có

AB CD

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

.

b)

Gọi

I a,b





là trung điểm của AB. Tìm hệ thức giữa a và b độc lập đối với k.

2. Tìm trên trục hồnh điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm

A 1,2 ; B 3,4









là nhỏ nhất.

3. Cho biết ba trung điểm của ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là

A 2,1 ; B 5,3 , C 3, 4















, hãy lập

phương trình ba cạnh của tam giác.

4.

Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)



– 2

BD



+ 3CD = 0



– 2

AB



= 2

BD



+ BC
c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

5.

Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)



– 2

BD



+ 3CD = 0



– 2

AB



= 2

BD



+ BC
c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

6.

Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), trong đó O là tâm lục giác đều , i cùng 
hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

điểm BC,



i

cùng hướng với



OC

,



j

cùng hướng



OA

.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

</div>

bai tap vecto tong hop du dang

4

3; 2;

3







1

3



<i>A B C</i>

; ;

<i>AA BB CC</i>

;

;





a

2a

BM

, CN

, AP x 0 x a

3

3











AM



AB, AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3x

PN

AC

AB

3

a







<sub></sub>



<sub></sub>









































