ngµy 21 th¸ng 3 n¨m 2005 l¬ng b¸ týnh – gv trêng thpt nguyôn méng tu©n ngµy 13 th¸ng 3 n¨m 2007 bµi so¹n m«n gi¶i tých líp 12 tiõt thø 85 106 22tiõt bµi tëp «n cuèi n¨m i môc ®ých yªu cçu cñng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (180.65 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ngày 13 Tháng 3 Năm 2007

Bài soạn môn: giải tích - líp 12

TiÕt thø : 85 , .... , 106 (22tiÕt) . bài tập ôn cuối năm

I.mc ớch yờu cu :

Củng cố hệ thống hoá các kiến thức theo từng chủ đề để HS khắc sâu đợc các
kiến thức cơ bản , các dạng bài tập thờng gặp trong từng chủ đề , rèn kĩ năng
vận dụng linh hoạt lí thuyết vào thực hành , kĩ năng tính tốn , lập luận lơ gíc
cho học sinh.

II. néi dung,tiÕn hµnh

Chủ đề i : đạo hàm và khảo sát hàm số

( Dù kiÕn 12 tiÕt : 85 , 86 , ..., 96 )
 Các kiến thức cơ bản cần nhớ :

1- Tập xác định , tập giá trị của hàm số . Dấu nhị thức bậc nhất , dấu tam
thức bậc hai . Hàm số chẵn , hàm số lẻ , hàm số tuần hồn . Các qui tắc tính
đạo hàm . Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản , đạo hàm các phía , đạo
hàm trên khoảng , trên đoạn . Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm
số . ý nghĩa của đạo hàm cấp 1 (cơ học , vật lí , hình học) , Phơng trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số .

2 - Điểm tới hạn . Điều kiện để hàm số ↑ , ↓ ; chiều biến thiên , các
định lí : Lagrăng , Fécma ... . Qui tắc tìm cực đại và cực tiểu giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số trong 1 khoảng , trên 1 đoạn .Tính lồi lõm và điểm
uốn của đồ thị , cách tìm các loại tiệm cận . Tính đối xứng của đồ thị (tâm

đối xứng và trục đối xứng).

3 - Qui tắc tính đạo hàm , bảng đạo hàm , đạo hàm bậc cao và vi phân ,
tính gần đúng nhờ vi phân .

4 - Các dạng giới hạn cơ bản : Lim

x 0
sinx

x ; Limx →0
ex - 1

x ;
Lim

x →0

ln(1 + x)

x ;

1 +1
x¿

x

Lim

x →∞
¿

5 -Qui tắc 4 bớc tìm cực trị của hàm số

6 - Qui tắc tìm max , min của hàm số trên đoạn [a ; b] .

7 - Các công thức xác định các hệ số a , b của tiệm cận xiên y = ax + b
của đồ thị y = f(x) .

8 - Sơ đồ khảo sát hàm số ?

Các dạng toán cần luyÖn tËp

1 - Các ứng dụng của đạo hàm : xét chiều biến thiên , tìm cực trị , tìm max
, min . Xét nghiệm của pt , bpt . Lập pt tt tại điểm , qua điểm , tt biết hệ số
góc , điều kiện tiếp xúc của 2 đờng cong - Khơng xét loại tt // 0y .Các bài
tốn về tiếp xúc và cắt nhau của 2 đồ thị .

2 - Khảo sát 4 loại hàm số cơ bản - không suy biến .

3 - Các ứng dụng củađồ thị hàm số , miền mặt phẳng để giải bài toán biện
luận nghiệm của pt , bpt , tìm giá trị max , min của hàm số hoặc biểu thức 2
ẩn . Xét tính ↑ , ↓ tìm cực trị của hàm số thờng gặp cho ở dạng tham số
4 - Tìm giao điểm của 2 đờng .

Bµi tËp vËn dơng

Bµi 1/ Cho hµm sè y = x3 + 3x2 + mx + 1 . (C
m)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = - 3 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3) Tìm tất cả các giá trị m để (Cm) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ nhỏ hơn 1 .

H ớng dẫn và đáp số : 
 1) CĐ , CT : M1,2(−1 ±√2 ; 6 ∓4 √2)
 2)... ; - 5 - 4√2 < m < 0 
 3) - 5 < m <-15

Ba× 2 / Cho hµm sè y = x
2

- x - 1
x + 1

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2) Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của pt :
x2 - x - 1 = m.x + 1 .

3) viết pt tt với đồ thị hàm số biết tt đi qua điểm A ( 1/2 ; - 1)
 ớng dẫn và đáp số : H

1) y = x - 2 + 1

x + 1 ; C§ (-2;- 5) , CT (0 ;- 1) .
 2) * m < 0 → v« nghiƯm 
 * m = 0 ; 1 < m < 1 → 2 nghiÖm 
 * m = 1 ; m = 5 → 3 nghiÖm 
 * 0 < m < 1 ; m > 5 → 4 nghiÖm 
 3) (d) : y = - 1 ; (d') : 8x - 9y -13 = 0 .
Bµi 3 / Cho hµm sè : y = - x3/3 + (a-1)x2 + (a+3)x - 4

a) Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0 .

b) Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số ↑ trong ( 0;1) .
 ớng dẫn và đáp sốH :

a(1; -7

3) ; C§(3; - 1)¿b¿→ a≥
x2+2x

2x+1 ∀x ∈(0;1) §S : a ≥1 .¿

Bµi 4 / Cho hµm sè y = x4 - 6mx2 + m2 .

a) Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .

b) Tuỳ theo m tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên [ - 2 ; 1 ] .
 ớng dẫn và đáp sốH :

a¿ C§ ( 0 ; 1) ; CT (±√3 ; -8 ).

b → max t¹i 1 trong 2 mót ¿Max f(x)

[-2 ; 1]

=Max g (t)

[ 0 ; 4]

= Max {m2 ; 16 - 24m + m2} kết quả
Bài 5 / Cho hµm sè y = x

2
x - 1

a) Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị hàm số .

b) Viết pt Parabol đi qua 2 điểm c/trị của hs và t/xúc với đ/t y = - 4 .
c) Tìm 2 điểm 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách
giữa chúng là số nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu ?

ớng dẫn và đáp sốH :

a) C§ ( 0 ; 0) ; CT ( 2 ; 4) .
 b) PT (P) : y = - x2 + 3x .

c) 2 ®iĨm cần tìm

M1,2( 1 41

2 ; 2 
1
4

2
4

2) . dmin= 8 √2 - 8 .

Bµi 6 / Cho hµm sè : y = x
2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số . Chứng minh rằng tích các
khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị tới 2 tiệm cậ là 1 số không đổi
không phụ thuộc vào điểm M .

b) Tìm trên đồ thị tất cả các điểm có toạ đô nguyên .
 ớng dẫn và đáp sốH :

a=x
4+

16 ; x =
3

4 . TÝch k/c =
43

16√17 ¿b¿ 16y = 4x + 15 +
17

4x - 3 → §iĨm nguyên duy nhất A(1 ; 2)

Bài 7 / Cho hµm sè :

y =

√1 - 2x - 1

x nÕu 0 < x ≤
1
2
ax + b nÕu x ≤ 0 .

¿{
Tìm a , b để hàm số có đạo hàm trên ( - ∞ ; 1

2 ] . Tìm đạo hàm đó .
 ớng dẫn và đáp sốH :

* ĐK cần : hs liªn tơc → b = - 1 .

* ĐK đủ : lấy đạo hàm 2 phía → a = - 1
2 .

Đạo hàm :

y' =

√1 - 2x+ x - 1
x2

√1−2x nÕu 0 < x ≤
1
2
- 1

2 nÕu x ≤ 0 .

¿{

Bài 8 / Tìm đạo hàm cấp n của hàm số : y = x - 5

x2 - x - 2 + 2 sinx . cos2x .
 ớng dẫn và đáp sốH :

* y = 2

x + 1 -
1

x - 2 + sin3x - sinx
x + 1¿n + 1

x - 2¿n + 1

¿
¿

-1¿n. n! .¿

* y(n)=¿

Bµi 9 / Cho hµm sè y = 2sinx + cosx - 3

sinx + cosx - 2 . Tìm tập giá trị của hàm số
a) Trên miền xác định

b) Trªn miỊn x [/3 ;  ] .

ớng dẫn và đáp sốH :

a) Đa về điều kiện có nghiƯm cđa pt b1 víi sin vµ cos → 1 y 2 .
 b) * XÐt x =  → y = 4/3

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

f(t)= 4t
2

- 4t + 2

3t2 - 2t + 1 víi t ∈¿
3t2 - 2t + 1

¿2
¿
¿
¿

f ' (t)= 4t( t - 1)¿

C¶ 2 trờng hợp miền giá trị 1 ≤ y ≤4

Bài 10 / Không dùng bảng số và máy tính hãy tính gần đúng sin310 với 4 chữ

số đúng sau dấu phẩy .

H ớng dẫn và đáp số :

sin310= sin
(π

6+
π

180) ≈ sin
π
6+( cos

π
6).

π
180 =

1
2+

√3
2 .

π
180
do 3,141 . 1,732

360 = 0,0151 .. .<

√3
2 .

π
180 <

3,142 . 1,733

360 = 0,0151 .. .
nên có kết quả : sin310≈ 0,5151

Bµi 11 / Cho hµm sè y = x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m2 - 3m)x + 2m3 - 3m2 + 1 .

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị . Viết phơng trình
đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó .

H ớng dẫn và đáp số :

* y' ph¶i cã  > 0 ⇔ m2 - m - 1 < 0 kết quả

* ĐT qua 2 điểm cực trị : (d) y = ( 2m2 + 2m - 2)x + 1 - m .
Bµi 12 / Cho hµm sè y = 2x

2 - (m + 2)x + m+ 4m +2

x - 2

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị . Viết phơng trình
đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó .

H ớng dẫn và đáp số :

* y = 2x - m + m

2+ 3m + 2

x - 1 ; y' Ph¶i cã  > 0 ⇔ 2 < m <

-1 .

* ĐT qua 2 điểm cực trị : (d) y = 4x - m - 2 . ./.

Bài 13 / Cho đờng cong (

c

) có phơng trình : y = 2x
2

- 3x + 4
x - 2

a) Cmr (

c

) có tâm đối xứng .

b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng với nhau qua điểm A( 3 ; 5) .
c) Viết phong trình các đờng cong (

c

1) ; (

c

2) ; (

c

3) lần lợt đối xứng với
(

c

) * qua A( 3 ; 5 )

* qua đờng thẳng y = 2
* qua đờng thẳng x = 1

H ớng dẫn và đáp số :

a ) Tâm đối xứng I( 2 ; 5)

b) 2 ®iĨm M( 5 ; 13 ) ; N ( 1 ; - 3 ) .
 c) (

c

1) : y = 2x

2 - 11x + 18 
x - 4

(

c

2) : y = 2x

- 7x + 4
2 - x

(

c

3) : y = - 2x

- 5x + 6

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 14 / Tìm các tiệm cận của đờng cong :
y = x

+ x - 1 + x

√

x2 - 2x - 8

x - 1

H ớng dẫn và đáp số :

* Khi x → + ∞ có tiệm cận xiên ; y = 2x + 2 
 * Khi x → - ∞ có tiệm cận ngang y = 2 
 * Khơng có tiệm cận đứng .

Bµi 15 / Chøng minh r»ng ∀ a , b , c , d ph¬ng trình sau luôn có nghiệm :
a.cosx + b.cos2x + c.cos3x + d.cos4x + sinx = 0

H ớng dẫn và đáp số :

Cách 1 : Dùng định lý Rol :

f(x)= a . sinx + b

2 sin2x +
c

3 sin3x +
d

4 sin4x - cosx .

cã f(0) = f(2) = -1 → kÕt qu¶ .
 C¸ch 2 : Dùng tính chất hàm số liên tục :

Đặt f(x) = a.cosx + b.cos2x + c.cos3x + d.cos4x + sinx

cã f(0) + f(/2) + f() + f(3/2) + 2.f(/4) + 2. f(5/4) = 0 →

∃ 2 sè tr¸i dÊu → pt cã nghiƯm

Bµi 16 / Chøng minh r»ng nÕu a , b , c , d là các số phân biệt tuỳ ý thì phơng
trình sau luôn có 3 nghiệm phân biÖt :

1
x - a +

1
x - b +

1
x - c +

x - d = 0 .
 H ớng dẫn và đáp số :

Gi¶ sư a

F(a) = F(b) = F(c) = F(d) = 0 .LaGơRăng pt F '(x) = 0 có nghiệm .

Bài 17 / Tìm giá trị Max , min của các hàm số sau trên miỊn t¬ng øng
a) y = x.ex - 1 trªn [ - 2 ; 2 ]

b) y = sin4x - cos4x + sinx.cosx trªn [/4 ; /3]

c) y = x3 + x2 - 2x + x - 1 trªn miỊn [- 1 ; 3 ]

d) y = ❑

√ 1 + sinx +√ 1 + cosx trªn R
e) y = 1 + 2sinx + 1 + 2cosx trªn R

H ớng dẫn và đáp số :

a) y ' = ( x + 1).ex - 1 → tËp ®iĨm tíi h¹n

→ max = 2

e ; min = -
1
e2

b) Cách 1: Đặt tgx = t y = f(t) = 1 + t - 2

t2
+ 1

f '(t) =

t2+ 1¿2
¿

- t
2

+ 4t + 1

> 0 ∀ t [ 1 ; √3 ]

→ min = f(1) = 1

2 ; max = f( √3 )

2 +√3
4

C¸ch 2 : → d¹ng y = √5

2 .sin(2x -  )

→ y ' = ... > 0 → kÕt qu¶ . 
 c) min = - 1 ; max = 32 .

d) y2 = f(t) = ... =2 + t +

2. t + 1 fá gttđ

→ min = f(- 1) =1 ; max = f ( √2. ) = 4 + 2 √2. 
 chú ý :có thể dùng bunhiacốp xki và cô si để → kết quả 
 e) y2 = f(t) = 6 + 4t + 2.2t2 + 2t - 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TËp ®iĨm tíi h¹n { ± √2 ; 0 ; - 1 ±√3
2 } .

* ymin = √3−1 đạt đợc ⇔ t = - 1 −√3

2 ⇔ x = ?

* ymax = 2( √2 + 1) đạt đợc ⇔ t = √2 ⇔ x = ? 
Bài 18 / Tìm m để bpt sau thoả mãn ∀ x [-2 ; 3] .

x3 + 2x + x2 - m 3

H ớng dẫn và đáp số :

HD : bpt ⇔ x2 - m 3 - x3 - 2x

* Nếu VP < 0 thì (1) đúng

→ chỉ cần xét trên miền có VP 0

* ®a vỊ d¹ng

m ≤ f(x) ∀x ∈ D

m ≥ g(x) ∀ x ∈ D '

¿
¿
¿
¿

* §S : m 19 ; m - 11 .

Bài 19 / Tìm các điểm uốn của đờng cong sau và chứng minh các điểm uốn
đó thẳng hàng :

y = x
2

- 5 x +6
x2 -4x + 5

H ớng dẫn và đáp số :

* y ' = 
 *y " =

* 3 Điểm uốn là A( 3 ; 0) ; B(- √3 ; 3 +√3

4 ) ; C( √3 ;

3 −√3
4 )

* XÐt 2 vÐc t¬ ⃗ab ; ⃗ac → cïng ph¬ng 3 điểm thẳng hàng .

Bài 20 / T×m max , min cđa biĨu thøc S = x2 + y2 biÕt chóng tho¶ m·n hÖ

3x - 2y + 6 ≤ 0
x - 2y + 6 ≥ 0 
x + 2y + 2 ≥ 0

¿{ {

H ớng dẫn và đáp số :

Hd : XÐt miỊn ph¼ng → miỊn trong cđa tam gi¸c ABC 
 víi A( - 4 ; 1) ; B( 0 ; 3) ; C( - 2 ; 0)

→ min = OH ( Đờng cao của OBC hạ tõ O) = 6 .√13

max = OA = √17

Bài 21 / Cho các số x , y , z , t thay đổi nhng luôn thoả mãn thoả mãn :
x2 + y2 4 và ( z - 3)2 + ( t + 4)2 1 .

T×m max , min cđa biĨu thøc S = (x - z)2 + ( y - t)2 .

H ớng dẫn và đáp số :

HD : khoảng cách giữa 2 hình tròn 
 hình tròn tâm O(0;0) b¸n kÝnh R1 = 2

và hình tròn tâm I ( 3 ; - 4) b¸n kÝnh R2 = 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

→ Max = 5 - ( 2 + 1) = 2 ; min = 5 + ( 2 + 1) = 8 .

Bài 22 / Trong các nghiệm (x ; y) tho¶ m·n bpt : log x2
+ y2
.

( x + y) ≥ 1
T×m nghiƯm cã

a) Giá trị y lớn nhất

b) Biểu thức S = x + 2y lín nhÊt .

H ớng dẫn và đáp số :

HD : Dïng miỊn trªn mf

a) ⇔ Điểm có tung độ " cao nhất " ⇔ M( 1

2 ;
1+√2

2 )

b) ⇔ đờng thẳng (d) : x + 2y - S = 0 tiếp xúc với đờng tròn 
 → Smax = 3 +√10

2 đạt đợc ⇔ N(

5 +√10
2 ;
5 + 2√10

2 )

Bài 23 / Tìm m để hàm số sau ↑ trên (1 ; + ∞ ) :
y = x

- 2mx + m + 2

x - m

H ớng dẫn và đáp số :

HD :

x - m ¿2

¿
¿

y ' = x
2

- 2mx + 2m2 - m - 2

và xác định ∀ x > 1 
 → x = m (1 ; + ∞ ) và

ttb2 ë tö sè cã ' 0 hoặc có 2 nghiệm thoả mÃn x1 < x2

1

→ kÕt qu¶ m (- ∞ ; 1] [ 3 −√17

4 ; 1 ) .

Bài 24 / Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số sau cắt trục hồnh tại 4 điểm
phân biệt có hồmh độ lập thành cấp số cộng

y = x4 - 2( m + 1)x2 + 2m + 1 .

H ớng dẫn và đáp số :

HD : Pt trung gian ph¶i cã 2 nghiệm dơng thoả mÃn t1 = 9t2

→ đk cần là có 1 nghiệm t2 = m+1

thay vµo pt → 9m2 - 32m - 16 = 0 → m = 4 ; m = −4

9 .

Thử lại → cả 2 trờng hợp đều thoả mãn
 → ĐS : m = 4 ; m = −4

Bµi 25 / Tìm điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số
y = √3 sinx + cosx + 2x + 3

H ớng dẫn và đáp số :

ĐS : ( dấu hiệu 2) họ cực đại ( π

2 + 2k  ;

3 + 2√3

2 +

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hä cùc tiÓu ( 7π

6 + 2k  ;

3 − 2√3

2 +

(12k +7)π
6 )

Bài 26 / Tìm các giới h¹n sau :
a) Lim

x→6

√ x - 2 - 2

x - 6 b) x Lim→ 0
3

√ x + 1 - 1

√ x + 4 - 2
c) Lim

x → ±∞(

√

2+ 3x + 1 - x )

d) Limx → 0

xcosx + x
2sinx .cos2 x

2
e) Lim

x → 0
x2

sin3x - sinx f) Limx → ∞

(

x
x + 1

)

x

g) Lim

x → 0 ( 1 + sinx )
1

x

h) Lim
x → 0

(xsin1
x )
 H ớng dẫn và đáp số :

a) 1/4 b) 4/3

c) khi x → - ∞ gh = + ∞ ; khi x → + ∞ gh = 3/2 
 d) 1 e) 0 f) 1/e

g) e h) 0 .

Bài 27 / Xét tính liên tục và khả vi của hàm số sau

x . cos1

x nÕu x ≠ 0
0 nÕu x = 0

¿ f(x)={
¿

H ớng dẫn và đáp số :

HD : Dïng b®t - x x. cos1

x x gíi h¹n kĐp

- → liªn tơc trªn R .

- Khả vi trên R* vì luôn có f '(x) = ... .
 - T¹i x = 0 cã Lim

Δx→0
Δy

Δx =. . . =ΔxLim→0 (cos
1

Δx) kh«ng tån

tại ( vì ? ) không khả vi .

Bài 28 / Cho hµm sè :

¿
√ 1 - x - 1

x nÕu x < 0
ax + b nÕu x ≥ 0

¿ f(x)={

a) Tìm a , b để hàm số liên tục tại x = 0 .
b) Tìm a , b để hàm số có đạo hàm tại x = 0 .

H ớng dẫn và đáp số :

§S : a ) b = -1/2 ; a tuú ý 
 b) a = b = - 1/2

Bài 29 / Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x - ln( 1 + x)
 H ớng dẫn và đáp số :

§S : f '(x) = x

1 +|x| ∀ x R

Bµi 30 / CMR ∀ x ( 0 ;

4 ) thì ta luôn có :

cosx

sin2x.

(cosx - sinx) > 8

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

HD : Đặt tgx = t cm f(t) = 8t3 - 7t2 + 1 > 0 ∀ t ( 0 ; 1) .

Dùng đạo hàm → f(t) có min = f(7/12) > 0 → đfcm

Bài 31 / CM các bất đẳng thức sau :
a) x - 1

x lnx x - 1 víi mäi x > 0
b) NÕu cã 0 <   π

2 vµ n lµ số nguyên dơng bất
kì thì ta luôn có : sinnα - sinnβ ≥sinn + 1α - sinn + 1β

H ớng dẫn và đáp số :

HD :a) Dùng đạo hàm

b) XÐt hµm sè f(t) = 2tn - tn + 1 trong ( 0 ; 1] .

dùng đạo hàm → f(t) ↑ có sin  sin  → kết quả .

Bµi 32 / Cho hµm sè y = x
2

+ 3x + 1

x2 - x + 1 (1)

a) Lập bảng biến thiên của hàm số (1) , từ đó biện luận theo m số giao
điểm của đồ thị hàm số (1) và đờng thẳng (d) có pt : y = m .

b) Gọi A và B là 2 giao điểm của 2 đồ thị nói trên và M là trung điểm
của AB . Tìm quĩ tích của M khi m thay đổi .

H ớng dẫn và đáp số :

a) Khi x → ± ∞ th× y → 1 ; C§( 1 ;5 ) ; CT( -1 ; 
-1/3 )

* m (- ∞ ; - 1/3) {1} ( 5 ; + ∞ ) → v« nghiƯm
 * m = - 1/3 ; 1 ; 5 → nghiÖm duy nhÊt .

* m ( - 1/3 ; 5 )\{1} → 2 nghiƯm ph©n biƯt .

b) Toạ độ giao điểm

x = m + 3
m - 1

y = m

¿{

( - 1/3 < m < 5 vµ m ≠ 1 ) → y =x + 3
x - 1

Víi ®iỊu kiƯn - 1/3 < y < 5 ; y 1 ( hc chuyển đk cho x là x> 2) .

Bi 33 / Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x +4

x và M là các điểm trên mặt
phẳng toạ độ sao cho từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến này
vng góc với nhau .Chứng minh rằng M thay đổi trên 1 đờng tròn .

H ớng dẫn và đáp số :

Gi¶ sư M(a ; b) → c¸c tt qua M cã pt d¹ng y = k(x- a) + b (d)

§T (d) tx víi (C) → hƯ sau tho¶ m·n :

x +4

x= k(x - a)+ b (1)
1 - 4

x2= k (2)

¿{

thế (2) vào (1) và đặt 2/x = t → pt at2 - 4t + b - a = 0 (*)

V× cã 2 tt qua M có 2 giá trị k1 ; k2 tõ hÖ sao cho tÝch = - 1

→ pt (*) ph¶i cã 2 nghiƯm tho¶ m·n (1 - t12).(1 - t22) = - 1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

→ M đừơng tròn tâm O(0 ; 0) bán kính R = 4

chủ đề ii : nguyên hàm - tích phân và ứng dụng

( Dù kiÕn 6 tiÕt : 96 , 97 , 98 , 99 , 100 , 101 )

A . C¸c kiến thức cơ bản cần nhớ :

1. Định nghĩa , tính chất và bảng các nguyên hàm

2 . Định nghĩa tích phân và công thức Niu Tơn - Laibơnít .
3 . C¸c tÝnh ch¸t cđa tÝch ph©n

4 . Hai phơng pháp cơ bản tính tích phân : Đổi biến số và từng phần .
5 . DiÖn tích S của hình thang . Thể tích các vật thể tròn xoay .

B . Các dạng toán cần luyÖn tËp :

1 . Tìm nguyên hàm nói chung và tìm nguyên hàm thỏa mÃn điều kiện
cho trớc .

2 . Tính tích phân . Các ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình
phẳng (giới hạn bởi các đồ thị đã học) ; Tính thể tích vật thể trịn xoay theo
cơng thức cơ bản .

C . Mét sè bµi tËp vËn dụng
1/ Tìm các nguyên hàm sau :

a /

∫

e3x.x2dx (§S = e3x(x
2
3 -

2x
9 +

2
9)+ C )
b/

∫

x3ln4x . dx (§S = x4(ln4x

4 -
1

16 ) + C )
c/

∫

exsin2x .dx (§S = ex

(2sin2x - cos2x)/5 + C )
Tỉng qu¸t

∫

eaxsinbx . dx (§S = e

a2+ b2(b. sinbx - a .cosbx) + C )

∫

eaxcosbx. dx (§S = eax

a2+ b2(a. sinbx + b . cosbx) + C )

d¿

∫

(x

- x)dx

x6

+4x4+4x2+ 1

Cách 1 : chia cả tử số và mẫu số cho x2 và đặt x + 1/x = t →

I =

∫

t(t2+1) =

∫

(

t -
t

t2+1)dt → kÕt qu¶ - Phải chú ý khi x = 0 .

Cách 2 : §Ỉt x2 = t → I = 1

∫

(

2
t+1 -

2t+3

t2+ 3t + 1

)

.dt
= ln(x2 + 1) - ln(x4 + 3x2 + 1) + C

1- x¿2
¿

. ln 1+x
1− x dx

c¿

∫

HD : Đặt t =1+x

1-x thì ta cã

I =

∫

lnt dt =1+x
1-x ln

1+x
1-x -

1+x
1-x +C

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

x2+ 1 3

a

0
1

HD : Đặt x = tg t → kÕt qu¶ : 3 π +8
32

b/

∫

π

2sinx + 3cosx
2cosx + 3sinx dx
HD : I =

∫

π

(

139 +
7
13.

3cosx - 2 sinx

2cosx + 3sinx

)

dx = ln

2+26❑

c /

∫

0
1

√

3 - 2x -x2 dx HD : Đặt x = 2 sint - 1 → §S : I = 2π

3
 d/

∫

π

2
sin2x

1 + sin4x dx

HD : Đặt sin2x = t = tg2u §S : /4 .

∫

π

|cosx|.√sinx dx HD : Tách cận + đặt sinx = t → ĐS : 4/3 .
3) Dạng BT cho (p) : y = ax2 + bx + c và 2 điểm M, N (p) sao cho

MN= m (const) . Xác định vị trí M, N sao cho diện tích chắn giữa MN và
(p) đạt max .

- Giải với bài tËp cơ thĨ

y=x2 - 2x + 3 ; MN=2 ⇒ M( 0, 2) , N( 2, 2) - Khi đó MN // 0x .

4) Chøng minh b®t sau :

∫

√3

e- x. sinx
x2+ 1 dx<

π
12e
HD : trên txđ thì 0 < sinx 1 ; 0 < e-x 1/e

→

∫

√3

e- x. sinx

x2+ 1 dx ≤

∫

√3

e(x2+ 1) dx =

π

12e → đpcm .

5) a/ Tìm S hình phẳng giới hạn bëi x
2
a2+

y2

b2= 1 . ( §S : ab )
b/ V vËt thÓ giíi h¹n bëi x

2
a2+

y2
b2+

z2

c2= 1 . ( §S :
4

3 abc )
6) Cho (p) : y=

x

2 vµ (d) : y = -2

x

- 3

a/ Chứng minh rằng (d) không cắt (p) và tìm trên (p) điểm M sao cho
khoảng cách từ M tới (d) là số bé nhất .

b/ Gọi A ; B là 2 điểm thay đổi trên (p) sao cho AB // .
Tính S S

ΔMAB

( S diƯn tÝch giíi h¹n bëi P vµ (d) )

HD : a/ Tiếp tuyến tại M phải // (d) → M(-1 ; 1 ) - có thể tìm min trực tiếp
theo tọa độ M (m ; -2m - 3)

b/ gi¶ sử pt đt AB là y = -2x + m

→ tọa độ A ; B thỏa mãn pt x2 + 2x - m = 0

TÝnh trùc tiÕp → S = (xB - xA )(2m + 2) ; S = (xB - xA )(m +1) /3 
 ĐS : 4/3 .

7) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x2

=

2ay ; y=8a3

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

HD : S =

∫

-2a
2a

(

3a x23+ 4a2 -

x2

2a

)

dx §S : 2a2(  - 2/3)

8) Cho y= sinx ; y=0 ; x= 0 ; x= π

2 . TÝnh thÓ tÝch khèi tx do (H) quay
xq trôc 0x ;  ; 0y . là đt có pt : y = -1 .

§S :

sin2x dx =

¿ π

2
4
Vox =π

∫

π

VΔ=π

4(3π+8 )-
π2

Voy= Vtrô- π

∫

0
1

x2dy ( Đặt y= sint)

=π
3
4 - π

∫

0

π

t2 dsint
=π

3
4 -

(

π3

4 - 2π

)

= 2π

Chủ đề iii : Giải tích và tổ hợp

(Dù kiÕn : 5 tiÕt - 102 , 103 , 104 , 105 ,106 )
A . Các kiến thức cơ bản cần nhớ :

Qui tắc cộng , qui tắc nhân , các khái niệm và công thức tính hoán vị , chỉnh

hợp , tổ hợp .

B . Các dạng toán cần luyện tập :

1- Các bài toán giải phơng trình , bất phơng trình có ẩn số cần tìm liên
quan các công thức tính số các hoán vị , số các chỉnh hợp chập k cđa n phÇn
tư .

2- Các bài tốn liên quan tới cơng thức khai triển nhị thức Newton :
chứng minh đẳng thức , tính hệ số của một lũa thừa trong một khai triển .
C . Bi tp luyn k nng

1) Giải các pt sau :

a/ C1x + C2x + C3x = 7x/2 (§S : )

b/ 11 C3x = 24 C2x +1 (§S : )

c/ Cx x ++ 8 3 = 5 A3x + 6 (§S : )

d/ Ax - 2 2 + Cxx - 2 = 111 (§S : )

2) Cho X = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } ; từ X có thể lập đợc bao nhiêu số khác nhau mà
mỗi số gồm 7 chữ số X trong đó số 2 xuất hiện 4 lần , mỗi số khác xuất
hiện đúng 1 lần .

HD : Đặt thứ tự các số 0 ; 1 ; 3 vµ 4 sè 2 vµo 7 vÞ trÝ →

cã

6.6 .5. 1 = 180 cách → có 180 số thỏa mãn đề bài
3) Khi khai triển biểu thức f(x)=

(

√x - 31

√x

)

tìm hệ số của số hạng chứa
x với số mị lµ : 0 ; 5 ; cao nhÊt .

HD : Khai triÓn

-1¿20-k.x

5k-20
6
C20k ¿

f(x)=

∑

k=0
20

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Sè h¹ng chøa x0 , x5 , xvíi sè mị cao nhÊt t¬ng øng víi k = 4 ,

10 , 16 có hệ số tơng ứng là C20
4 ,

C20
10 ,

C20
16

4) Khi khai triÓn Newton( 3x+ 2y)100 tìm số hạng có hệ số lớn nhất

§S : C100
60

360240x60y40

5) Chøng minh r»ng C50.C74+ C51.C37+.. . + C54.C70= C124

HD : XÐt hƯ sè cđa x4 khi khai triĨn ë 2 vÕ (1+x)12 =(1+x)5(1+x)7

6) Chøng minh r»ng :

1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 +... + 97.98.99.100 = 97.98.99.100.101 / 5
HD : k.(k+1)(k+2)(k+3) = 4! . Ck+4 3 và dùng công thức phát triển tổ
hợp

7) Chng minh cỏc ng thc sau
a/ Cn

+ C1n+ Cn2+. .. .. . .+ Cnn = 2n

b/ Cn

+ 2Cn

2
+ 3Cn

+.. . .. ..+ nCn
n

= n2n-1

c/ Cn2+ 2C3n+ 3Cn4+. . .. .. .+(n- 1)Cnn =(n - 2)2n-1+ 1

HD : t¸ch VTc/ = VTb/ - VTa/ +1

(¿n+1)

2n + 1
-1¿/¿

(¿n+1) =¿

d/ Cn

0
+ Cn

/2 + Cn

/3 +. . .. .. .+ Cn
n

/¿

8) Trong 1 líp häc sinh có 20 nam và 20 nữ . Có bao nhiêu cách chia lớp
thành 4 tổ mỗi tổ gồm 5 nam và 5 nữ

HD : - Để lập các tổ 1,2,3,4 theo thứ tự đó lần lợt có : C205 .C205 , C155 .C155 ,

C10
5

.C10
5 ,

C5
5

.C5
5 .

Do không kể đến thứ tự các tổ → có tích / 4! = (20!)2/ [4!.(5!)4]

9) Từ 6 chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể tạo đợc bao nhiêu số khác nhau
a/ gồm 6 chữ số khác nhau trong đó số 1 và số 2 phải đứng cạnh nhau
b/ chia hết cho 5 gồm 4 chữ số khác nhau

c/ gồm 4 chữ số khác nhau và chữ số hàng chục là lớn nhất

HD : a/ coi 2 số 1, 2 là 1 phần tử x → cần xếp 5 phần tử 0 , x , 3 , 4 , 5
theo thứ tự - số 0 khơng đứng đầu → có 4.4! cách , mỗi vị trí của x có 2
cách xếp các số 1 , 2 → có tất cả 4 . 4! .2 = 192 số thỏa mãn a/

b/ tËn cïng lµ 5 → cã 48 sè , tËn cïng lµ 0 cã 60 sè → §S : 108
sè

c/ 2 trêng hỵp :

- có số 0 : chọn 4 số - có 10 cách ; vị trí hàng chục - 1 cách ; hàng
nghìn - 2 cách ; hàng trăm - 2 cách ; hàng đơn vị - 1 cách

→ cã 40 sè

- kh«ng cã sè 0 : chän 4 sè - 5 cách ; số hàng chục - 1 cách ; 3 vị trí
còn lại có 3! = 6 cách có 30 sè .

§S : 70 sè .

10) Tõ c¸c sè 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ta có lập đ ợc bao nhiêu số gồm 4
chữ số khác nhau . Tính tổng của tất cả các số này .

HD : - có 6.7.8.9 sè

</div>

ngµy 21 th¸ng 3 n¨m 2005 l­¬ng b¸ týnh – gv tr­êng thpt nguyôn méng tu©n ngµy 13 th¸ng 3 n¨m 2007 bµi so¹n m«n gi¶i tých líp 12 tiõt thø 85 106 22tiõt bµi tëp «n cuèi n¨m i môc ®ých yªu cçu cñng

<i><b> Bµi tËp vËn dơng</b></i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i><sub>c</sub></i>

<i><sub>c</sub></i>

<i><sub>c</sub></i>

√

√

(

)

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

∫

∫

∫

∫

(

)

∫

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

(

)

<sub>∫</sub>

√

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

∫

x

x

<sub> = </sub>

∫

(

)

∫

<sub>∫</sub>

∫

(

)

(

)

∑

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

ngµy 21 th¸ng 3 n¨m 2005 l¬ng b¸ týnh – gv trêng thpt nguyôn méng tu©n ngµy 13 th¸ng 3 n¨m 2007 bµi so¹n m«n gi¶i tých líp 12 tiõt thø 85 106 22tiõt bµi tëp «n cuèi n¨m i môc ®ých yªu cçu cñng