SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG

-----    -----





SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI
TOÁN TỈ LỆ THỨC CHO HỌC SINH LỚP 7 THCS

Người thực hiện:
Chức vụ:
Tổ chuyên môn:

.........., ngày ....tháng ....năm

0


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay vấn đề "Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo" là một chủ đề
thuộc một lĩnh vực nghiên cứu có tính lâu dài và mang tính thực tiễn cao. Nó
nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích thích khả năng sáng tạo
và để bồi dưỡng, tăng cường khả năng tư duy của cá nhân hay tập thể về một
vấn đề hoặc lĩnh vực nào đó. Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng khẳng
định: "Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng đào
tạo. Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy học và học theo hướng

hiện đại. Nâng cao giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, đạo
đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách
nhiệm xã hội". Để tạo ra những con người lao động mới có năng lực tư duy sáng
tạo cần có một phương pháp dạy học mới nhằm khơi nguồn sự sáng tạo và phát
triển tư duy của người học. Chính vì vậy, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong
hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó
đổi mới phương pháp dạy học Tốn là một trong những vấn đề đang được quan
tâm nhiều nhất. Bởi lý do rất đơn giản Tốn học là mơn học của sự đam mê,
sáng tạo, sự tư duy lôgic và ln đi khám phá những điều mới lạ. Nó giúp cho
người học rèn luyện được phương pháp tư duy, suy luận, phương pháp giải
quyết vấn đề, rèn luyện trí thơng minh sáng tạo xứng danh là "Nữ hồng của các
môn học tự nhiên". Điều quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học Toán
là người giáo viên phải nhận thức rõ được nhiệm vụ của mình chính là mở rộng
trí tuệ, hình thành năng lực, kĩ năng tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời dạy
cho các em biết tự suy nghĩ, phát triển được hết năng lực của bản thân mình để
giải quyết những vấn đề khó khăn gặp phải trong q trình học tập, chứ khơng
phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ những tri thức sẵn có. "Rèn
luyện năng lực tư duy sáng tạo" là một mục tiêu mà các nhà giáo dục đang quan
tâm và hướng tới.
Thực tiễn cho thấy trong q trình Tốn học, rất nhiều học sinh cịn bộc lộ
những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo. Nhìn các đối tượng Tốn
1


học một cách rời rạc, chưa thấy được bản chất và mối quan hệ giữa các yếu tố
Toán học. Đặc biệt là không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp
trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm cũ vào những hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những
yếu tố thay đổi, nên học sinh chưa có tính độc đáo khi đi tìm lời giải trong các
bài tốn. Do đó "Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo" là chính một u cầu cấp

bách trong Tốn học.
Trong các nội dung ở chương trình Tốn lớp 7 THCS thì "Tỉ lệ thức" là
một phần rất quan trọng. Đặc thù của toán tỉ lệ thức là khá đa dạng và phong
phú, ẩn bên trong nó là sự khó khăn và thách thức rất lớn khi học sinh đối diện
và tìm ra cách giải nó vì khơng có một phương pháp hay một quy tắc giải nào cụ
thể. Đặc biệt như là chứng minh tỉ lệ thức khó và phức tạp ở trong các đề thi học
sinh giỏi, thi lớp chọn. Chính vì thế, tuy "Tỉ lệ thức" là một phần nhỏ trong hệ
thống kiến thức Toán THCS nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu tố để tạo
nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho các bạn học
sinh.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên tôi chọn: “Rèn luyện
năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7 THCS”
làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực tư duy sáng tạo và biểu
hiện tư duy sáng tạo của học sinh lớp 7 THCS để từ đó đề xuất những phương
pháp cần thiết nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh THCS qua dạy học giải tốn tỉ lệ thức; góp phần nâng cao chất lượng đào
tạo của nhà trường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số biện pháp cơ bản giúp rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh lớp 7 THCS qua dạy học giải tỉ lệ thức trong quá trình giải toán.

2


4. Phạm vi nghiên cứu
Phương pháp và biện pháp dạy học thông qua các thao tác và một số
thành tố đặc trưng tư duy sáng tạo trong nghiên cứu nội dung giải tốn tỉ lệ thức
trong chương trình trung học cơ sở.

5. Giả thuyết khoa học
Chất lượng học tập và khả năng giải toán tỉ lệ thức của học sinh THCS
còn rất hạn chế. Nếu giúp học sinh rèn luyện tốt năng lực tư duy sáng tạo trong
giải toán tỉ lệ thức thì sẽ nâng cao chất lượng học tập nói riêng và chất lượng
giáo dục nói chung.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận phương pháp dạy học và một số kiến thức
làm cơ sở cho việc giải toán tỉ lệ thức.
- Nêu ra một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức, giúp học sinh bồi
dưỡng và nâng cao chất lượng trong dạy học giải tốn tỉ lệ thức.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, phân tích
tiên nghiệm.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát - Điều tra khảo sát,
thực nghiệm giáo dục.
8. Đóng góp mới của đề tài
- Về mặt khoa học: Đề tài đã đưa ra quan điểm của một số tác giả về tư
duy, tư duy sáng tạo có tính khoa học cao và làm rõ cơ sở lý luận về tư duy, tư
duy sáng tạo và các kỹ năng phát triển tư duy sáng tạo.
- Về mặt thực tiễn: Đối với vấn đề thực tiễn của khóa luận đã tổng kết một
số thực trạng về dạy và học tỉ lệ thức, vấn đề thực tiễn làm điểm xuất phát cũng
như là đích đến của đề tài. Đặc biệt đề tài đã đề xuất các biện pháp cụ thể và
mang tính mới lạ để rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đây
chính là điểm mới và quan trọng của đề tài. Trong mỗi biện pháp đều được phân
ra thành các loại bài tập theo các dạng toán khác nhau, các bài tập minh họa đều

3


có lời giải rõ ràng và dễ hiểu. Đồng thời đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để xác

định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
9. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp chủ yếu rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo trong
dạy học giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7 THCS.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


B. NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Tư duy
1.1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy
1.1.1.1. Khái niệm tư duy
Theo từ điển tiếng Việt “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức
đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình
thức như biểu tượng, khái niệm, phán đốn và suy lý” [13, tr.1437].
Theo các tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn Vang
“Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối
liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện
thực khách quan mà bước đó ta chưa biết” [5, tr.79 ].Trong cuốn: “Rèn luyện tư
duy trong dạy học toán” PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa: "Tư duy là một
q trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có
tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết" [9].
Theo một nghiên cứu về tư duy của X.L Rubinstein thì “Tư duy đó là sự
khơi phục trong ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, tồn
diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” (dẫn
theo Đavưđov) [12, tr.25].

Qua phân tích một số quan điểm về tư duy ta có thể hiểu sâu thêm về khái
niệm tư duy: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một
cách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất
tìm ra những mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà ta
chưa từng biết”.
Trong học tập bộ mơn tốn có các loại hình tư duy như: Tư duy logic, tư duy
sáng tạo, tư duy phê phán, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duy hàm…
1.1.2. Các giai đoạn của quá trình tư duy
Các giai đoạn của một quá trình tư duy bao gồm :
1. Xác định vấn đề và biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác
là tìm câu hỏi cần giải đáp.
5


2. Huy động các tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng hình thành giả
thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
3. Xác minh giả thuyết trong thực tiễn nếu đúng thì tiếp bước sau, nếu sai
thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới.
4. Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
1.1.3. Đặc điểm của tư duy
Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:
1. Tính có vấn đề của tư duy
2. Tính gián tiếp của tư duy
3. Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
4. Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ.
5. Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.
Như vậy để cơng tác giảng dạy được hiệu quả:
- Phải coi trọng phát triển tư duy cho học sinh. Nếu khơng có khả năng tư
duy học sinh không học tập và rèn luyện được.
- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải tạo cho các em các “tình

huống có vấn đề” và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra.
- Phát triển tư duy cho học sinh phải được tiến hành song song và thông
qua truyền thụ tri thức. Đồng thời phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ.
- Phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác,
năng lực quan sát và trí nhớ cho học sinh. Vì thiếu những tài liệu cảm tính thì tư
duy khơng thể diễn ra được.
1.1.4. Các thao tác của tư duy
Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí
tuệ để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Các thao tác tư duy là:
+ Phân tích - tổng hợp
+So sánh.
+ Trừu tượng hóa và khái quát hóa.

6


1.2. Tư duy sáng tạo
1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển: “ Sáng tạo là tìm ra cái mới cách giải
quyết vấn đề mới không bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có” [13, tr.1130 ].
Theo Bách Khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ
sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã
hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người, sáng tạo là hoạt động có
tính đặc trưng khơng lặp lại, tính độc đáo và duy nhất” .
Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng “Sáng tạo là sự vận động của tư duy
từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” cũng theo tác giả thì “Người có
óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết vấn đề” [3, tr.17].
Như vậy một cách ngắn gọn, sáng tạo có thể được coi là quá trình tiến tới
cái mới, là năng lực tạo ra cái mới có giá trị.

Đối với Tốn học, tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với
người học toán “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với
họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới
mà họ chưa từng biết” [9]. Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang
yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi
phối (từng phần hay toàn phần), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật tốn
để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước.
1.2.2. Tư duy sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng
tạo. Theo tâm lý học : “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới
hạn của hiện thực, của vốn kinh nghiệm và tri thức đã có, giúp q trình giải
quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt hiệu quả”. Theo Tôn Thân: “Tư duy
sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả
giải quyết vấn đề cao”. Cũng theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và
nó khơng bị gị bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa
trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy
sáng tạo đều mang rất đậm các dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”. (Tơn
7


Thân, xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của
tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam). Trong
bộ mơn tốn theo G.Polya “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn
đến lời giải một bài tốn cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo
ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán khác. Các bài toán vận dụng
những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng mn màu, mn
vẻ thì mức đó sáng tạo của tư duy càng cao” [1].
Đối với học sinh có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá,
tự tìm cách giải quyết một bài tốn mà học sinh đó chưa biết đến hoặc đã biết
nhưng làm theo phương thức khác. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề tư duy sáng

tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao thể hiện
tính mới lạ độc đáo, khả thi.
1.2.3. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của tư
duy sáng tạo đã đưa ra năm thành tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn,
tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hồn thiện.
a. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực dễ dàng làm thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, có
khả năng bao quát sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạch khác nhau, có thể định
nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật
mới trong các mối quan hệ mới.
b. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự kết hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hồn cảnh đưa ra giả thuyết
mới và ý tưởng mới.
c. Tính độc đáo:
Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới.
d. Tính hồn thiện
Tính hồn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
8


e. Tính nhạy cảm vấn đề
Là năng lực phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic... Từ
đó đưa ra hướng giải quyết, tạo ra cái mới.
Để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ mơn tốn
cần chú ý:
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo theo các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo
đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề và

tính hồn thiện.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ như :
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái qt hóa, đặc biệt hóa...
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần được tiến hành thường xuyên và lâu dài.
1.3. Tỉ lệ thức trong chương trình tốn THCS
Trong chương trình tốn THCS tỉ lệ thức là một mảng kiến thức quan
trọng. Đây là một mảng kiến thức phong phú và khó, địi hỏi người học phải có
tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhuần nhuyễn nhiều mảng kiến thức khác nhau, có
sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Khi học sinh giải tốn tỉ lệ thức đòi hỏi các em thường xuyên sử dụng
nhiều kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Đồng thời cần
có kỹ năng trong việc sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải, đặc biệt là
năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải. Mỗi bài tốn tỉ lệ
thức có thể có nhiều con đường tìm ra lời giải trong đó có cả cách ngắn gọn hợp
lý, đơi khi có cả phương án sáng tạo, độc đáo. Đó là cơ hội để học sinh so sánh,
lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trong trường hợp có thể, giúp học
sinh rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp và khả năng
khái qt hóa, đặc biệt hóa bài tốn...
Nội dung các vấn đề về tỉ lệ thức rất phong phú. Tuy nhiên trong khuôn
khổ chương trình sách giáo khoa 7 nội dung về tỉ lệ thức được đưa vào chương I
gồm hai bài (§) dự kiến thực hiện trong 4 tiết và 6 tiết tự chọn dạy buổi chiều.
9


1.4. Thực trạng dạy và học giải toán tỉ lệ thức ở trường THCS đối với
yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo của học sinh
Qua thời gian dạy thử nghiệm ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao
đổi với các giáo viên dạy Toán và các em học sinh chúng tôi nhận thấy :

Do thời gian tiết học trên lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt
nhiều đồng thời phải đúng lịch theo phân phối chương trình nên việc mở rộng,
khai thác ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc.
Trong chương trình sách giáo khoa, số lượng các dạng tốn về tỉ lệ thức khơng
mẫu mực cịn hạn chế. Hệ thống bài tập về tỉ lệ thức trong sách tham khảo đa
dạng và phong phú nhưng còn rời rạc và thiếu sự liên kết. Đây là một nội dung
khó địi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức muốn học tốt thì học sinh phải bỏ nhiều
thời gian và cơng sức. Khi làm bài tập nhiều học sinh thường bị động, áp dụng
phương pháp giải một cách máy móc nên khi gặp các dạng tốn khơng phải
dạng bài tập đã gặp thì học sinh khơng giải quyết được.
Từ những kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học
sinh cho thấy:
Dạy học sinh giải tỉ lệ thức khơng chỉ đơn thuần giúp học sinh có được lời
giải bài tốn đó, mà cần giúp học sinh cách tìm ra lời giải bài tốn thơng qua
dạy tri thức, truyền thụ tri thức. Với cách làm như vậy dần dần học sinh tự đúc
kết được phương pháp giải toán tiến tới có được phương pháp học tập bộ mơn.
Giáo viên không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến phân
phối thời gian hợp lý, dạy có trọng tâm chú ý các bài tập trọng tâm (bài tập có
điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng...) lựa chọn thêm cho học sinh bài
tập có cách giải tương tự để học sinh tự luyện tập. Làm bài tập là cách củng cố,
khắc sâu hệ thống kiến thức.
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải bài tốn giáo viên phải đóng vai trị
người học, tự tìm ra chương trình giải các dạng tốn. Trên cơ sở đó giáo viên
phân bậc hoạt động phù hợp với từng đối tượng học sinh, dự kiến các câu hỏi
dẫn dắt, gợi mở sao cho thông qua hoạt động học sinh khơng những tìm được
lời giải bài tốn mà cịn nắm được tri thức về phương pháp giải toán.
10


Các bài tập phần này khá đa dạng phong phú nên giáo viên phải kỳ công

chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Đồng thời giáo viên yêu cầu và hướng dẫn học sinh tự học, tự
tìm hiểu thêm ở nhà.
Bên cạnh đó giáo viên cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó
khăn học sinh gặp phải khi giải toán tỉ lệ thức để chỉnh sửa và giúp đỡ kịp thời.
Ngồi ra khi dạy giải tốn tỉ lệ thức giáo viên nên liên hệ với các nội dung kiến
thức khác.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, đề tài đã trình bày một số vấn đề về lý luận và thực tiễn
làm cơ sở cho đề tài. Đối với vấn đề về lý luận, tác giả đã đưa ra quan điểm của
một số tác giả về tư duy, tư duy sáng tạo. Đồng thời cũng đưa ra định hướng rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ mơn tốn. Đối với vấn
đề thực tiễn đề tài tổng kết một số thực trạng về dạy và học tỉ lệ thức, vấn đề
thực tiễn làm điểm xuất phát cũng như là đích đến của đề tài.

11


Chương 2. BIỆN PHÁP CHỦ YẾU RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI TOÁN TỈ LỆ THỨC CHO HỌC
SINH THCS
2.1. Hệ thống các kiến thức lý thuyết:
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số
Ta còn viết:

a c
 .
b d

a : b = c : d.


Trong đó: a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài)
b và c là các trung tỉ (số hạng trong).
b. Tính chất của tỉ lệ thức:
Tính chất 1: Nếu

a c

b d

a c
 thì a.d = b.c
b d

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
 ;  ;  ;  .
b d c d b a c a
Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức

a c
 suy ra các tỉ lệ thức:
b d

a b d c d b
 ,  ,  .
c d b a c a
c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức


a c
a c ac ac
 suy ra
 

, (b ≠ ± d)
b d
b d bd bd

Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau

a c i
 
ta suy ra:
b d j

a c i ac i
a c i
  

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d j bd  j bd  j
Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n �2):
a1 a2 a3
a
   ...  n thì:
b1 b2 b3
bn
12



a1 a2 a3
a a  a2  a3  ...  an a1  a2  a3  ...  an
   ...  n  1

b1 b2 b3
bn b1  b2  b3  ...  bn
b1  b2  b3  ...  bn
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ”
trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một
khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ
số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó
có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài tốn.
Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:

x y z
  .
a b c

Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c.
2.2. Các biện pháp và dạng toán tương ứng:
Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong
q trình giải tốn . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải, sự
nhầm lẫn giữa dấu "  " với dấu " � " .
Ví dụ:

x y
x
y

 (�)

thì các em lại dùng dấu "  " là sai.
9 5 d 9.3 5.3

Hãy tìm x, y, z biết
Giải:

x y z
  và x +y + z = 12
5 3 4

x y z
x  y  z 12
x
  (�)
  1 vậy  1 � x  5.1  5
5 3 4 S 5  3  4 12
5

Ở trên các em dùng dấu " � " là sai.
Vì vậy tơi đưa ra 4 biện pháp chính tương ứng với từng dạng tốn giúp các em
khơng cịn sai sót trong lời giải của mình.
2.2.1. Biện pháp 1: Bồi dưỡng và phát triển theo các thành phần cơ bản
của tư duy sáng tạo
Cấu tạo: Bài tập có những yếu tố, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều
khía cạnh khác nhau.
Tác dụng: Bồi dưỡng và phát triển khả năng nhìn nhận một đối tượng tốn học
dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Kích thích trí tị mị, đặt học sinh trước một
tình huống có vấn đề với những cái chưa biết, những cái cần khám phá, làm cho

13


học sinh thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, năng
lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm tịi, phát hiện kết quả cịn tiềm ẩn trong
bài tốn, đồng thời cịn góp phần rèn luyện khả năng nhìn nhận ra vấn đề trong
điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen
biết, tác động rõ rệt đến tính mềm dẻo của tư duy.Từ đó xây dựng được nhiều
cách giải trong một bài tốn, góp phần làm đa dạng và phong phú cho Toán học.
Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp giải: Tìm cách biến đổi để trở về đẳng thức cần chứng minh hoặc
có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.
Bài 1.1: Cho

a c
a
c
 . Chứng minh rằng

.
b d
a b cd

GV: Đối với bài tốn này ta có thể đặt

a c
  k hoặc biến đổi tỉ lệ thức cho
b d

trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.

Giải:
* C¸ch 1: §Ĩ chøng minh
vµ c. a  b  .
Ta cã: a. c  d   ac  ad
c. a  b   ac  bc
Ta l¹i cã:

a
c

ta xÐt trêng tÝch a. c  d 
ab cd

(1)
(2)

a c
 � ad  bc (3)
b d

Tõ (1), (2), (3) � a. c  d  = c. a  b  .
Do đó:

a
c

(iu phi chng minh).
ab cd

* Cách 2: Dùng phơng pháp đặt:

Ta tính giá trị của các tỷ số:

a c
= k th× a = bk ; c = dk
b d

a
c

theo k ta cã:
ab cd
14


Tõ (1) vµ (2) �

a
bk
bk
k



a  b bk  b b(k  1) k  1

(1)

c
dk
dk

k



c  d dk  d d (k  1) k  1

(2)

a
c

.
ab cd

* C¸ch 3: Hoán vị các trung t của t lệ thức:

a c
a b
ta đợc
b d
c d

p dụng tính chất của dÃy t số bằng nhau ta đợc:
Hoán vị các trung tỉ cña

a b a b
 
c d cd

a ab

a
c


ta đợc
.
c cd
ab cd

* Cách 4: T:
a c
b d
b
d
ab cd
a
c

1 1





.
b d
a c
a
c
a

c
a b c d
Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh t lệ thức
a c
thờng ta dùng 2 phơng pháp chính :
b d
Phơng pháp 1: Chứng tỏ rằng ad bc .
Phơng pháp 2: Chứng tỏ 2 t số

a
c
và
có cùng một giá trị.
b
d

Nếu trong đề tài đà cho trớc một t lệ thức khác thì ta
đặt các giá trị của một t sè ë tỉ lƯ thøc ®· cho b»ng k, råi
tÝnh giá trị của mỗi t số ở t lệ thức phải chứng minh theo k
(cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của t lệ thức nhng
hoán vị các số hạng tính chất dÃy t số bằng nhau. Tính chất
của đẳng thức để biến đổi t lệ thức đà cho đến t lệ thức
phải chứng minh (cách 3 vµ 4).
Bài 1.2: Cho tỉ lƯ thøc sau

a c

b d

15



HÃy chứng minh rằng t lệ thức sau đây: (giả thiÕt tỉ lÖ thøc cã
nghÜa)
2a  3b 2c  3d

2a 3b 2c 3d
Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đà ra, Học sinh có thể giải
theo một cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hng
dẫn học sinh cùng thực hiện.
Giải:
Đặt

a c
= k thì a bk và c dk . Ta có:
b d
2a  3b 2bk  3b b(2k  3) 2k  3



(1).
2a  3b 2bk  3b b(2k  3) 2k  3
2c  3d 2dk  3d d (2k  3) 2k  3



2c  3d 2dk  3d d (2k  3) 2k  3

(2).


2a  3b 2c  3d

(điều phải chứng minh).
2a  3b 2c  3d
ab cd
a c

Bài 1.3. Chứng minh rằng : Nếu  �1 thì
với a, b, c, d ≠ 0.
b d
ab cd
Tõ (1) vµ (2) �

Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo 2 bài tập trên.
Giải:
Cách 1 : Với a, b, c, d ≠ 0 ta có:
�

a c
a
c
ab cd
 � 1 1�

b d
b
d
b
d


ab b

cd d

(1)

a c
a b c d
a b b
 �

�

(2)
b d
b
d
cd d
Từ (1) và (2) =>
Cách 2: Đặt

ab ab
ab cd

�

(điều phải chứng minh).
cd cd
a b c d


a c
  k suy ra a  bk ; c  dk
b d

16


Ta có

a  b bk  b b.(k  1) k  1



(1)
a  b bk  b b.(k  1) k  1

Và

c  d dk  d d .(k  1) k  1



(2)
c  d dk  d d .(k  1) k  1

Từ (1) và (2) suy ra
Bài 1.4: Nếu
a,

ab cd


.
ab cd

a c
 thì:
b d

5a  3b 5c  3d

5a  3b 5c  3d

a 2  b 2 ab
b, 2

c  d 2 cd
GV: - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Cách 2 của bài 1.1 gợi ý gì cho giải bài 1.4? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm
được khơng? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà
giải theo cách 3.
Giải:
a. Từ

a c
a b
5a 3b
5a 5c
5a  3b 5c  3d
 �  �


�

�

b d
c d
5c 3d
3b 3d
5a  3b 5c  3d

b. Từ

a c
a b
a 2 b2 a 2  b2
 �  � 2  2 2
(1)
b d
c d
c
d
c  d2

Từ

a c
a b
a a b a
a 2 ab
 �  � .  . � 2 

(2)
b d
c d
c c d c
c
cd
a 2  b 2 ab
Từ (1) và (2) suy ra 2

(đpcm).
c  d 2 cd

Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu a 2  bc thì
hay khơng?
Giải:

17

ab ca

điều đảo lại có đúng
ab ca


2
+) Ta có: a  bc �

a b
a b a b a b
a b ca

 �  

�

c a
c a ca ca
a b ca

+) Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
ab ca

ab ca
�  a  b  c  a   a  b  c  a
hay ac  a 2  bc  ab  ac  a 2  bc  ab
� 2bc  2a 2
� a 2  bc .
Bài 1.6: Chứng minh rằng: Nếu a  c  2b (1) và 2bd  c(b  d ) (2)
thì

a c
 (đk: b, d �0 ).
b d
Giải:

Ta có: a  c  2b �  a  c  d  2bd  3
Từ (3) và (2)
� c b  d    a  c d
� cb  cd  ad  cd
� cb  ad
�


a c
 (điều phải chứng minh).
b d

2.2.2. Biện pháp 2: Bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo kết hợp các
hoạt động trí tuệ khác thơng qua khả năng phân tích bài tốn
Tác dụng: Phân tích bài tốn là một cơng việc khơng thể thiếu khi đi tìm
lời giải cho một bài tốn. Đó là việc xem xét bài tốn đã cho, xem bài tốn đó
thuộc dạng gì, cần huy động những kiến thức nào, sử dụng phương pháp nào.
Phải phân tích cái đã cho cái phải tìm, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố
của bài toán để đưa ra lời giải. Bồi dưỡng và phát triển khả năng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. Phải biết cách nhìn trực tiếp vào
đặc điểm chủ yếu của bài toán giúp ta phát hiện đặc điểm cơ bản của bài toán.
Tuy vậy lại phải biết nhìn bài tốn dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Phải biết nhìn bài
tốn trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài tốn trong từng hoàn
18


cảnh cụ thể. Bên cạnh đó cũng phải biết nhìn bài toán trong mối tương quan với
các loại bài toán khỏc.
Dạng 2: Cho tập hợp các phần tử, hÃy liệt kê tất cả các tỷ
lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử đà cho
Phng phỏp gii: Sư dơng tÝnh chÊt tû lƯ thøc: NÕu
ad  bc .

a c

thì
b d


Bi 2.1: Cho tập hợp số A= 4,8,16,32,64 . HÃy liệt kê tất cả các tỷ
lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A.
Giải:
a c
có các số hạng khác nhau nếu:
b d
a �b, a �d , d �b, d �c, b c, ad bc

Một tỷ lệ thức

Xét các nhóm 4 phần tư cđa A, xÕp theo thø tù:
Hướng dÉn häc sinh xÐt tÝch 2 sè nµy b»ng tÝch 2 sè kia ta cã:
+) Víi nhãm:  4,8,16,32 th× 4.32  8.16 vµ ta cã 4 tØ lƯ thøc nh
sau:
4 16
8 32
4
8



;
;
;
8 32
4 16
16 32

16 32


.
4
8

+) Víi nhãm:  4,8,32,64 th× ta cã: 4.64  8.32 , ta cã 4 tØ lÖ thøc
sau:
4 32
8 64
4 16



;
;
;
8 64
4 32
32 64

32 64

.
4
8

+) Víi nhãm:  8,16,32,64 th× ta cã: 8.64  16.32 , ta cã 4 tØ lÖ thøc
sau:
8 32
16 64

8 16
32 64




;
;
;
.
16 64
8 32
32 64
8 16

19


Nh vËy ta cã 12 tØ lƯ thøc cã c¸c số hạng khác nhau thuộc tập
hợp A.
Giáo viên có thể hớng dẫn thêm: Nếu trong bài toán này ta
không đòi hỏi các số hạng khác nhau thì ngoài 12 tỉ lệ thức
trên ta còn có các tỉ lệ thức khác n÷a:
VÝ dơ:
4 8
8 16
4 16
16 64
8 16
16 32

16 32






; 
;
;
;
;
;
;
8 16
4 8
16 64
4 16
16 32
8 16
32 64
32 64

.
16 32
Bài 2.2: Cho tập hợp A= 2,8,32,128,512 . HÃy liệt kê mọi tỉ lệ thức
có các số hạng là các phần tử của tập hợp A.
Với bài tập này số lợng học sinh hiểu và nắm bắt đợc cách giải
từ việc vận dụng ví dụ mà giáo viên đà ra có tăng từ 10 em
15 em trong thời gian 15 phút đà làm xong và có kết quả (có

sự giúp đỡ của máy tính bỏ túi). Số học sinh còn lại cũng lập đợc một số tỷ lệ thức.
Giải:
Từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức:
+) 2.3 8.8 từ hệ thức này có các tû lƯ thøc :
2 8
8 8

vµ  .
8 32
2 32

+) 8.128  32.32 ta có c¸c tØ lƯ thøc sau:
8
32
32 128


vµ
.
32 128
8
32
+) 32.152  128.128 ta cã hƯ thøc sau:
32 128
128 512


và
.
128 512

32 128
+) 2.512 32.32 ta có các tØ lƯ thøc sau:
2
32
32 512


vµ
.
32 512
2
32
+) 2. 128  8. 32 ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:
8 128 2 32 32 128
2
8

; 
;


vµ
.
2 32 8 128 2
8
32 128
+) 8. 512  32. 128 ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:
32
8
8 128 512 32 8

32

;
 ,


vµ
.
32 512 32
8 128 512
512 128
+) 2. 212  8. 128 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau:

20


2 128 8 512 2
8
128 512

; 
;


vµ
.
8 512 2 128 128 512
2
8
Nh vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập đợc 20 tỷ lệ thức

khác nhau.
2.3.3. Bin pháp 3: Bồi dưỡng và phát triển khả năng lựa chọn
phương pháp và cơng cụ giải tốn tỉ lệ thức nhanh chóng và hiệu quả
Tác dụng: Xét một cách cụ thể là do bài tốn có những đặc điểm đặc biệt
nào mà từ đó dẫn người giải tới việc chọn lựa phương pháp và công cụ tương
ứng với đặc điểm đó. Hiển nhiên là chọn được tối ưu các phương pháp, các cơng
cụ và các phép biến đổi thì lời giải bài toán sẽ tốt nhất.Theo nội dung của
phương pháp tìm lời giải, việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết và
chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại bài toán. Muốn làm tốt điều này cần
nghiên cứu kỹ bài toán.
Các đường lối giải của phần lớn các loại bài toán đã được xác định trong
nội dung tri thức về loại tốn đó mà người giải tốn cần phải biết. Tuy nhiên
mỗi bài tốn có vẻ riêng biệt của nó.Vì thế ngồi việc nắm vững đường lối
chung, người giải lại phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài tốn để chọn một
đường lối thích hợp nhất.
Trong việc xác định đường lối giải, người giải tốn cịn phải rèn luyện:
- Chuyển đường lối chung để giải một bài tốn nào đó dưới dạng tổng
qt vào các bài toán cụ thể.
- Xác định những bài toán cùng loại, khái qt hóa thành bài tốn tổng
qt và xây dựng đường lối giải của bài tốn đó.
Dạng 3: Tìm các số cha biết khi biết các tỷ lệ thøc
a) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp giải: Áp dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau:
a c ac ac
 

 .........
b d bd bd
* Vận dụng tính chất cơ bản của phân số:
21



a c am ck a : n
 


b d bm dk b : n
* Đặt t lệ thức đà cho b»ng k. t×m mèi quan hƯ cđa Èn sè qua
k.
- Giả sử phải chia số k thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta làm như
sau:

x y z x yz
k
  

a b c a bc a bc

Do đó x 

k
k
k
.a ; y 
.b ; z 
.c .
abc
abc
abc


Bài 3.1: T×m 2 sè x, y biÕt:

x y
 vµ x + y = 21
5 2

BiÕt: 7x = 3y và x y = 16
Giải:
x y
, ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tỉ sè b»ng nhau ta cã:
5 2
x y x  y 21
 
  3.
5 2 52 7

Tõ

Do ®ã: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.
Tõ 7x = 3y �
� x=

7 3 3  7 4 1
 


y x x  y 16 4

3.4
7.4

 12 ; y =
 28 .
1
1

Bài 3.2: Tìm các số x, y, z biết rằng

x y y z
 ;  vµ 2x + 3y – z =
3 4 5 7

186
Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy
các phân số
( hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu số là 20.

22

y
y
và
phải đa về
5
4


Vậy:

x
y

x
y


hay
3.5 4.5
15 20

Tơng tự:

y z
y
z


5 7
20 28

(1)
(2)
Giải:

Từ (1) v (2) của gi¶ thiÕt ta có:

y
z
x
y



;
15 20 20 28

Theo tÝnh chÊt b»ng nhau cđa tØ lƯ thøc:
x
y
z 2 x 3 y 2 x  3 y  z 186






 3 � x  45; y  60; z  84.
15 20 28 30 60 30  60  28 62
Bài 3.3: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x z  2 y  z 1 x  y  3
1



.
y
x
z
x yz
Gi¶i:
Áp dơng tÝnh chÊt cđa d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
x  z  2 y  z 1 x  y  3
1

( x  z  2)  ( y  z  1)  ( x  y  3)




y
x
z
x yz
x yz
=
=

2( x  y  z )
 2 v× ( x + y + y ≠ 0 ).
x yz

Do ®ã: x + y + z = 0,5 � x + y = 0,5 z. Tơng tự tìm x + z
và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta đợc:
0,5  x  1 0,5  y  2 0,5  z  3


 2.
x
y
z
Tøc lµ:

1,5 0,5  y 2,5  z



2
x
y
z

1
5
5
VËy: x  ; y  ; z 
.
2
6
6
23


Bài 3.4: Tìm ba số x, y, z, biết rằng:

x y y z
 ;  và x + y – z = 10.
2 3 4 5

Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất
hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số

y
y
và có hai số
3

4

hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới( ta
tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy
đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12 từ đó
mẫu chung của 3 và 4 là 12.
Giải:
BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:
x y
x y
1
�  � 
( nhân cả hai vế với
4
2 3
8 12

) (1)

y z
y
z
1
�  � 
( nhân cả hai vế với ) (2)
3
4 5 12 15
Từ (1) và (2)

x y

z
  . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
8 12 15
x y
z
x  y  x 10
  
 2
8 12 15 8  12  15 5

Vậy: x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ;
Bài 3.5. Tìm x, y, z biết:

z = 15.2 = 30.

x
y
z

 và 2 x  3 y  z  186
15 20 28

GV : Bài cho 2 x  3 y  z  186
Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức
2 x  3 y  z  186 ?
Giải:
Từ

x
y

z
2x 3y z



 .
hay
15 20 28
30 60 28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3 y z
2 x  3 y  z 186




 3.
30 60 28 30  60  28 62
24