Bo on tap TN 2009 tich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.97 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM

Bảng các nguyên hàm :

Nguyên hàm của các hs thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp( dưới đây u = u(x) )
 dx = x + C

 x dx = 1
1





x

+ C (  -1 ).



dxx = ln|x| + C ( x  0 )

 ex dx = ex + C

 ax dx = a

ax

ln + C ( 0 < a  1 )

 cosxdx = sinx + C
 sinxdx = -cosx + C
 x

dx

cos = tgx + C

 x
dx

sin = -cotgx + C

 du = u + C
 u du = 1





u

+ C (  -1 ).



duu = ln|u| + C ( u = u(x)  0 )
 eu du = eu + C

 au du = a

au

ln + C ( 0 < a  1 )

 cosudu = sinu + C
 sinudu = -cosu + C
 u

dx

cos = tgu + C

 u
dx

sin = -cotgu + C

BT: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau đây :

a) f(x) = x3 x4 x b) f(x) = sin2x + cos4x c) f(x) = 2
)
2

( 2


x

d) f(x) = 3

1
)
5
)(
1
(

x
x

x  

e) f(x) = 2
5
5




x

x
x

f) f(x) = sin2 xcos2 x

TÍCH PHÂN





b

a

b
a

x
F
dx
x

f( ) ( )

= F(b) - F(a)
BT: Tính các tích phân:

a) I=



√2

(x3+2x+1)dx b) I=

1+x¿n

a1¿2Cn1+22C2n+32Cn3+. ..+n2Cnn=(n2+n)2n −2¿Hướng dẫn: Lấy f''(1)+f'''(1) với f(x)=(¿b)Cn0+1

2Cn

1
+1

3Cn

+.. .+ 1
n+1Cn

n

n+1−1
n+1 ¿

c) I=



1
2

x −1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d)I=



0
1

x2dx

x+1 e)I=

2
2

0
1
2

x

dx

x



 

 



 



f) I =

0
1

x dx



g) I =



0
2

|x2− x|dx h) I =



0
2

|x2+2x −3|dx=4 i) I=








2 4x 3dx

x

4
2
1

3 2

I x x dx







 

k) I=

4
2

6 9

x  x  dx



l) I =



π

tan xdx

m) I=



p

cot gx dx=1

2ln 2 n) I =



π

sin 2x. cos xdx o)
2

cos2 .cos3

J x xdx







p) I =



π

sin2xdx q)I=



p

tg2xdx=1− p

4 r) I =



2
4

x(x −1)

s)I=



0
1

x2−5x

+6dx=ln

3 t) I=

1
2
0

4 11 9

5 6 2

x

dx

x x





 



u)I=



0
1

1−2x

x2−5x+6dx=ln

243

256 v) I=

6
2
0

cos 10

ln
sin 5sin 6 9

xdx

x x





 



x) I =



0
1

√x+1+√x

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1/. Phương pháp đổi biến số :

a/. Dạng đặt x theo t: Đặt x = (t)  dx = ’(t)dt
 Đổi cận 

















t
t
b
x

a
x

Vậy:




b

a

f
dx
x
f





)
(

[(t)].'(t)dt
 BT: Dùng pp đổi biến đặt x theo t tính các tích phân:
a)

1 .

I 



 x dx

b)I=



0
2

√

4− x2dx=p

c) I= 

2
4 x dx

(ĐS: 2 3
3 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

d)I=



0
2

x2

√

4− x2dx e)I=



0
1

√

4− x2=
p

6 f) I=



0
1
2

√

1− x2

3
2

0 9

dx
I

x






h) I=



0
3

x2+3

b/. Dạng đặt t theo x : Nếu f(x)dx = g[(x)].’(x)dx thì :
Đặt t = (x)  dt = ’(x)dx
 Đổi cận 













)
(

b
t

a
t
b
x

a
x




Vậy:





b

a

b

a

dt
t
g
dx
x
f

)
(

)
(
)

(



BT: Dùng pp đổi biến đặt t theo x tính các tích phân:
a) I =



0
2√2

x

√

x2+1 dx b) I=



0
1

x

√

1− x2dx

c)I=



0
2

x

√

4− x2dx=8

d)I=



0
2

x2

√

x3+1. dx

e) I=



x3

√

1− x2dx (ĐS: 152

) f) I=

0
3
1

x x dx







g) I=





31 xdx

x

(ĐS:28
9

) h)I=



1
x

√1+x dx i)I=

√xe

√xdx=¿



1
4

j)I=



e

√2+lnxdx

2x k)I=



p

4
etgx

cos2x dx=e −1 l) I=



−1
2

xdx

x2
+2

m) I=




0

1
2 3

dx
e

x x

(ĐS: 3( 1))
1


e

n) I=





5
)
1
2

( x dx

(ĐS: 3
182

) o) I=

1− x¿20dx

x¿



0
1

p) I=

0 1

xdx

x 



q) I=





0 cos2 . 1


tgx
x

dx

(ĐS:2( 21))

r) I=



π

sin2xcos3xdx

s) I=



0
3
sin


xdx

(ĐS: 3
2

) t) I=



4
4
sin


 x

dx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2/. Phương pháp tích phân từng phần :

 Đặt 















)
(

...

)
(

...
...

...

ham
nguyen

lay
v

ham
dao

lay
dx

du
dv

u

 Cơng thức tích phân từng phần :

. .

b b

b
a

a a

u dv u v  vdu



 Chú ý : Thứ tự ưu tiên
 1) u = lnx

2) u = P(x) ( đa thức )

BT: Dùng phương pháp tích phân từng phần tính:

a) I=





sin
)
1

(


xdx
x

(ĐS:2) b)I=



p

(2x+1)cosxdx =- 4

c) I=



2 dx

xe x

(ĐS: 4 )
1
2


e

d)I=

x2.e− xdx=¿2−5
e



0
1

¿ e) I=

2
2
0

.cos .

x x dx





f) I=





2sinxdx

x

(ĐS:2 - 4)

g)I=



p

x2cosxdx=p

4 −2 h)

2
0

( ).sin

I x x xdx









( I 2 4

 

   )

i) I=



0
2
cos


x
xdx

(ĐS: 2ln2)
1
4 



j)I=



π

xcos2xdx

k)I=



e

4x. lnxdx

l) I=





e

xdx
x

2)ln
1

(

(ĐS: 9 )

2
8 e3



m) I=



e

xdx
x

1
2
ln

(ĐS: 4 )
1
2


e

n)I=

ep+1
exsinxdx

2(¿)



p

o) I=



0
cos


xdx
ex

(ĐS: 2 )
1
2


e

p) I=



2 cos2


xdx
e x

(ĐS: 4( 1))
1



 e

q) I=



2
2 sin


xdx
e x

(ĐS:8(3 1))
1





e

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1/. Tính diện tích hình phẳng :

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

S =



b

a

dx
x
f( )|
|

 Diện tích hpgh bởi các đường y= f(x), y = g(x), x = a, x = b là: 
S=

| ( ) ( ) |

b

a

f x  g x dx



 Diện tích hpgh bởi các đường x= g(y), x = h(y), y = a, y = b là: 
S=

| ( ) ( ) |

b

a

g y  h y dy



BT: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2 – 2x + 3 và y = 5 – x

b) y= x33x vaøy=2

c) y = x2 – 2x + 3 ; y = 5 – x Kq: 9

d) y2-2y+x = 0 vaø x+y = 0.

e) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x Kq: 4
2/. Thể tích của vật thể trịn xoay :

 Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, Ox quay xung 
quanh trục Ox thì thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra được tính theo cơng

thức V = 



b

a

dx
y2

 Nếu hình phẳng được giới hạn bởi các đường x =g(y), y = a, y = b và x = 0 quay
xung quanh trục Oy thì thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra được tính theo
cơng thức V = 



b

a

dy
x2

BT: Tính thể tích vật thể trịn xoay được tao nên do ta quay quanh trục Ox một 
hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a) y = cosx , y = 0, x = 0, x = /2
b) y = x2 , y = 3x

c) y = x(4 – x), y = 0
d) y = 4

x2 và y = 8
1

e) y = sinx , y = cosx, x = /4 , x = /2
f) y = x3 – 3x2 , y = 0

BT: Tính thể tích vật thể tròn xoay được tao nên do ta quay quanh trục Oy một 
hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a) y = x2 , x = y2

b) y = x2 , y = 1 , y = 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

d) y = x, y = 2 – x, y = 0

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1) Tính các tích phân sau :



π

cos3x.dx



e

√1+lnx

x dx



π

tg4xdx



0
1

x

√

x2+1 dx



0
1

x2
+x+1

f)
1

1

x
x

e dx

e







π

sinx √3cosxdx



e

ln4x

x dx



0
1

xe2xdx

2
0

(x 1) cosxdx






e

xdx
x

1
3ln

(ĐS: 16 )

1
3 4


e





0
3

cos
1

sin
4


dx
x
xdx

(ĐS:2)





3 1 xdx

n) (ĐS:3/4)



0
2
3

cos
sin


dx
x
x

(ĐS:1/2)





3
2 1)

(x
xdx

(ĐS:16
3

)



cos
.
sin


xdx
x

x

(ĐS: 8



)
r)





e

dx

x

)

ln

1 (

(ĐS:2e – 5)



e

xlnxdx



0
ln 2

xexdx



0
2π

x2cos xdx



e
e

lnx

x2 dx



e

ln3xdx

x)
1

3 2
0

x

x e dx



(x 1)sin 2xdx







2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2–2x+ 2; y = x2+ 4x+ 5 và y = 1 (ĐS:21/4)

b) y = 4
2

x

và y = 4
8
2


x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

e) (C): y= x −x+11 , tiệm cận ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.

Kq: 2ln2
f) y x 2 2x ; y x24x

g) yx22x vaø y3x

h) y2 2y x 0 vaø x y 0

i) y2 x 5 0 vaø x y  3 0

j) yx2 4x3 vaø y x 3

2
4

x

y 

vaø

4 2

x

y

l) y2 ;x y 3 x x; 0

m) Tính SD ? , biết D giới hạn bởi đồ thị: y x 2 2x, x1,x2 và trục Ox.

n) Tính SD ?, biết



, 0, 1, 2



x

D y xe y  x x

o) Tính SD ? với





2 4 , 1, 3

D y x  x x x

p) Tính SD ?, với

, 0, , 0
3

Dy tgx x  x y 

 

q) Tính SD ?, 2

, 0, 1, 2

x

D y y x x

x

 

     

 

r) Tính SD?,

ln
1, , 0,

x

D x x e y y

x

 

     

 

s) Tính SD ?

3 1

, 0, 1, 0
1

x x

D y x x y

x

   

     



 

t) Tính SD?,

2 3

sin cos , 0, 0,
2

Dy x x y x x

</div>

Bo on tap TN 2009 tich phan



















<sub></sub>



<sub></sub>









<sub></sub>



<sub></sub>

















<sub></sub>



√

<sub></sub>

√



√



√











√



<sub>√</sub>



√



√



√









<sub></sub>







































<sub></sub>







