ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2009
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
y=x 3 − 3 x2 +2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
x 2 −2 x − 2=
m
theo tham số m.
|x − 1|
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải phương trình
3 4 sin 2 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x
log x x 2 14 log16 x x 3 40 log 4 x x 0.
2
Câu III ( 2 điểm)
3
a) Tính tích phân
b) Cho hàm số
x sin x
I 2 dx.
cos x
3
f ( x)=e x − sin x +
2
x
− 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
f (x)
và chứng
minh rằng f (x)=0 có đúng hai nghiệm.
Câu IV (2 điểm) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng d:
x −1 y z +2
= =
2
1 −3
và mặt
phẳng (P):2 x+ y+ z −1=0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) . Viết phương
trình của đường thẳng Δ đi qua điểm A vng góc với d và nằm trong ( P) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
2
tới (Q) bằng
.
√3
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
I ( 1,0,0)
Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng
Oxy
cho
Δ ABC
A 0; 5 .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d1 : x y 1 0 ,d 2 : x 2 y 0. Viết
phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
có
233
60
.
Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
1 x+1
x 1
x+2
x
a) Giải phương trình 3 . 4 + . 9 =6 . 4 − . 9
3
4
b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác
đều. Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi
mặt phẳng ( P) và hình chóp.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2009
Câu I
a)
2 điểm
3
2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 x 2.
Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.
x 0
y' 0
2
x 2
Sự biến thiên: y' 3 x 6 x. Ta có
y y 0 2; yCT y 2 2.
CD
Bảng biến thiên:
x
y'
y
0,25
0,25
0
0
2
2
0
Biện luận số nghiệm của phương trình
x2 2 x 2
Ta có
2
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
b)
0,25
0,25
2
x −2 x − 2=
m
theo tham số m.
|x − 1|
m
x 2 2 x 2 x 1 m,x 1.
x 1
của phương trình bằng số giao điểm của
đường thẳng y m,x 1.
0,25
Do đó số nghiệm
y x 2 2 x 2 x 1 , C'
f x khi x 1
y x 2 2 x 2 x 1
f x khi x 1 nên C' bao gồm:
Vì
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox.
Học sinh tự vẽ hình
Dựa vào đồ thị ta có:
+ m 2 : Phương trình vơ nghiệm;
+ m 2 : Phương trình có 2 nghiệm kép;
+ 2 m 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
và
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II
a)
2 điểm
Giải phương trình
3 4 sin 2 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x
2 sin 3 x 2 sin x 1 2 sin x 1 0
Biến đổi phương trình về dạng
Do đó nghiệm của phương trình là
7
k 2
5 k 2
x k 2 ; x k 2 ; x
;x
6
6
18
3
18
3
b)
Giải phương trình
0,75
0,25
log x x 2 14 log16 x x 3 40 log 4 x x 0.
2
1
1
x 0; x 2; x ; x .
4
16
Điều kiện:
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
Với x 1 . Đặt t log x 2 và biến đổi phương trình về dạng
2
42
20
0
1 t 4t 1 2t 1
0,25
0,5
1
1
t ;t 2 x 4; x
.
2
2
Giải ra ta được
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
x 4; x
.
2
0,25
Câu III
3
x sin x
I 2 dx.
cos x
a)
3
Tính tích phân
Sử dụng cơng thức tích phân từng phần ta có
3
0,25
3
x 3
dx
4
1
I xd
J,
3
cosx cosx cosx
3
3
3
Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó
3
dx
J
cosx
I
Vậy
dt
1 t
2
3
2
với
dx
J
cosx
3
0,5
1 t1
ln
2 t 1
3
2
3
2
ln
2 3
.
2 3
0,25
4
2 3
ln
.
3
2 3
2
x
− 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
chứng minh rằng f (x)=0 có đúng hai nghiệm.
Cho hàm số
b)
3
3
2
3
f ( x)=e x − sin x +
f (x)
và
x
f ' x 0 e x x cos x.
f
(
x
)
e
x
cos
x.
Ta có
Do đó
x
Hàm số y e là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến
vì y' 1 sin x 0,x . Mặt khác x=0 là nghiệm của phương trình
e x x cos x nên nó là nghiệm duy nhất.
y f x
Lập bảng biến thiên của hàm số
(học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình f ( x)=0 có đúng hai nghiệm.
min f x 2 x 0.
Từ bảng biến thiên ta có
0,25
0,25
0,5
Câu IV
a)
b)
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) . Viết
phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm A vng góc với d và nằm
trong (P) .
1 7
A 2; ;
Tìm giao điểm của d và (P) ta được 2 2
uu
r
uu
r
uu
r
uu
r uu
r
ud 2;1; 3 ,nP 2;1;1 u ud ;n p 1; 2; 0
Ta có
1
7
: x 2 t; y 2t; z .
Δ
2
2
Vậy phương trình đường thẳng
là
Viết (Q) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I ( 1,0,0) tới (Q) bằng
2
.
√3
0,25
0,5
0,25
0,25
x 2 y 1 0
d :
3 y z 2 0
Chuyển d về dạng tổng qt
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
m x 2 y 1 n 3 y z 2 0 ,m 2 n 2 0
0,25
mx 2m 3n y nz m 2n 0
d I ; Q
2
Q1 : x y z 1 0, Q2 : 7 x y 5 z 3 0.
3
0,5
Câu VIa
a)
A 0; 5 .
Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có
Các đường phân giác và
B
trung tuyến xuất phát từ đỉnh
có phương trình lần lượt là
d1 : x y 1 0,d 2 : x 2 y 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
B d1 d 2 B 2; 1 AB : 3 x y 5 0.
Ta có
d H 2; 3 , A' 4;1 .
Gọi A' đối xứng với A qua 1
Ta có A' BC BC : x 3 y 1 0.
Tìm được
b)
Ta có
233
60
60
C60k 2
60 k
2
233
0,25
0,25
0,25
C 28; 9 AC : x 7 y 35 0.
Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
0,25
60
.
0,5
k
33 .
k 0
60 k 2 k 2
k 6.
k
3
Để là số hữu tỷ thì
Mặt khác 0 k 60 nên có 11
số như vậy.
0,5
Câu Vb
a)
1 x+1
x 1
x+2
x
Giải phương trình 3 . 4 + . 9 =6 . 4 − . 9
3
4
3.22 x 27.32 x 6.22 x
Biến đổi phương trình đã cho về dạng
x
2
2
3
x log 3
39
39
2
Từ đó ta thu được 2
b)
9 2x
.3
4
Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là
tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng ( P) vng góc với SC .Tính
diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( P) và hình chóp.
Học sinh tự vẽ hình
Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO.
1
1 2
a 3 a2 3
S AD' C' B' B' D' .AC' . BD.
.
2
2 3
2
6
Kẻ B' D' // BD. Ta có
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
