A- đặt vấn đề
I. Lời mở đầu:

Phơng trình là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học ở trờng THCS . Đây là một nội dung kiến thức mang tính chất tổng hợp các kiến
thức cơ bản trong chơng trình số học và đại số. Thông qua việc nắm bắt các kiến
thức về phơng trình, học sinh đợc củng cố, mở rộng, đào sâu một số kiến thức về
tập hợp và lô gíc toán học. Đợc phát triển về t duy, đợc rèn luyện tính linh hoạt
và khả năng sáng tạo trong quá trình học tập. Đồng thời học sinh đợc rèn luyện
tính quy cũ, tính kế hoạch, tính kỷ luật, đợc giáo dục tính cẩn thận, tính chính
xác. Đó là những phẩm chất không thể thiếu đợc của con ngời lao động mà học
sinh có thể có đợc khi học về phơng trình.
Trong các loại phơng trình ở cấp THCS thì phơng trình bậc hai một ẩn
giữ một vai trò lớn. Các kiến thức về phơng trình bËc hai mét Èn mang tÝnh hƯ
thèng, bao qu¸t c¸c khái niệm, các phép toán về các tập hợp số, về các biểu thức
đại số . Các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn mở rộng, khắcsâu, hoàn
thiện các dạng toán đà học ở chơng trình số học và đại số . Đồng thời phơng
trình bậc hai một ẩn là đơn vị kiến thức sau cùng và hầu nh kết thúc chơng trình
đại số cấp THCS . Vì vậy thông qua việc nắm bắt các kiến thức về phơng trình
bậc hai một ẩn có thể đánh giá đợc khả năng và trình độ học bộ môn số học và
đại số của học sinh . Chính vì thế mà phơng trình bậc hai một ẩn luôn đợc dùng
để kiểm tra đánh giá chất lợng học sinh cấp THCS thông qua các kỳ thi học sinh
giỏi, và thi tuyển vào PTTH .
Các kiến thức trong phơng trình bậc hai một ẩn không nhiều ngoài
công thức nghiệm và định lý Vi-ét nhng các dạng bài tập thì lại rất phong phú và
đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt các dạng bài tập, biết cách giải từng
dạng bài tập cụ thể. Song thực tế ở trờng THCS Định Long những năm trớc đây,
các em học sinh lớp 9 rất lúng túng khi làm các dạng bài tập về phơng trình bậc
hai một ẩn. Hầu hết các em cha phân biệt đợc các dạng bài tập và cha tìm đợc
cách giải cho từng dạng mà chỉ mới đơn thuần làm dạng toán giải phơng trình
bằng cách áp dụng công thức nghiệm. Thậm chí các em còn rất máy móc khi sử
dụng công thức nghiệm đối với những phơng trình chỉ cần áp dụng hệ quả của

định lý Vi-ét hoặc cả với những phơng trình bậc hai khuyết... Chính vì thế kết
quả học tập của các em về bộ môn toán không cao dẫn tới chất lợng thi học sinh
giỏi, tỉ lƯ tèt nghiƯp THCS, tû lƯ thi vµo PTTH cđa nhà trờng còn thấp.
Trớc tình hình trên, bản thân tôi luôn suy nghĩ và trăn trở về chất lợng
giảng dạy và học tập trong nhà trờng nhất là chất lợng häc sinh giái, tû lƯ häc
sinh tèt nghiƯp THCS vµ tû lƯ häc sinh vµo PTTH cđa nhµ trêng. ChÝnh vì thế
trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đà giành thời gian tìm hiểu và nghiên
cứu vấn đề Hớng dẫn học sinh lớp 9 giải các dạng toán cơ bản về phơng
trình bậc hai một ẩn một phần nào đó góp phần nâng cao chất lợng häc tËp
cđa häc sinh líp 9 nãi riªng, cđa häc sinh trong toàn trờng nói chung đặc biệt là
chất lợng häc sinh giái vµ tû lƯ häc sinh thi vµo PTTH của nhà trờng trong
những năm tới.

II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu :

1. Thực trạng:
Trong những năm công tác tại trờng THCS Định Long đặc biệt là
những năm dạy lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh rất lúng túng khi giải các
dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn. Các em hầu nh cha biết phân loại các
dạng toán cũng nh cha biết cách giải của từng dạng toán. Hầu hết các em mới
chỉ đơn thuần giải đợc dạng toán giải phơng trình bằng cách ¸p dơng c«ng thøc
nghiƯm. NhiỊu em rÊt m¸y mãc khi sử dụng công thức nghiệm, có những phơng
trình không cần sử dụng công thức nghiệm nhng các em vẫn áp dụng công thức
nghiệm. Đa số các em cha giải đợc các dạng toán yêu cầu phải sử dụng và khai
thác định lý Vi- ét. Đặc biệt các em cha biết dùng các dạng toán đà học vào giải
các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn. Do đó kết quả làm bài kiểm tra và


bài thi của các em cha cao đặc biệt là kết quả các kỳ thi học sinh giỏi, thi tốt
nghiệp THCS, thi tuyển vào PTTH.

Nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là do các em cha nắm vững công
thức nghiệm và cha biết vận dụng công thức nghiệm một cách hợp lý. Cha biết
sử dụng và cha biết cách khai thác định lý Vi- ét. Các em không nhớ các kiến
thức và các dạng toán đà học do đó không biết vận dụng các dạng toán đó vào
giải các dạng toán ở phơng trình bậc hai một ẩn.
2. Kết quả của thực trạng :
Tổng
Giỏi
số
bài SL
%
50

giỏi.

2

4%

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%


SL

%

SL

%

SL

%

6

12%

17

34%

14

28%

11

22%

Kết quả này cho thấy chất lợng học sinh cha cao nhất là tỷ lệ học sinh, kh¸



B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện :
- Tìm ra, phân loại một số dạng toán cơ bản về phơng trình bậc hai một
ẩn phù hợp với yêu cầu của chơng trình và với năng lực, trình độ của học sinh
lớp 9.
- Xác định đợc các kiến thức có liên quan, cần phải sử dụng khi giải
từng dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn.
- Tìm đợc phơng pháp tốt nhất để giải mỗi dạng cụ thể.
- Thông qua quá trình công tác và giảng dạy để nghiên cứu.
- Thông qua quá trình ôn tập cho học sinh lớp 9 nhất là qua việc ôn thi
học sinh giỏi và ôn thi vào PTTH.
- Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo.
- Thông qua học hỏi đồng nghiệp.
- Bằng cách khảo sát chất lợng học sinh và nắm bắt, xử lý thông tin

II. Các biện pháp tổ chức thực hiện :
Trớc tình hình trên, qua nghiên cứu bản thân tôi đà hớng dẫn học sinh
tạm phân loại các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn một cách cơ bản phù
hợp với yêu cầu và trình độ của học sinh lớp 9 theo các dạng nh sau :
1. Dạng1: Giải phơng trình :
Đây là dạng toán đơn giản của phơng trình bËc hai mét Èn. Nhng nÕu
chóng ta chđ quan trong giảng dạy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm nh : sử dụng
công thức nghiệm máy móc hoặc cha biết sử dụng công thức nghiệm nào cho
phù hợp. Do đó cần hớng dẫn học sinh phân biệt hai trờng hợp sau :
* Trờng hợp thứ nhất :
Đối với phơng trình bậc hai khuyết thì không cần dùng công thức
nghiệm mà nên biến đổi đa phơng trình về các dạng ®· gỈp :
- NÕu khut hƯ sè c ta biÕn đổi phơng trình về dạng phơng trình

tích đà học ở líp 8 .
- NÕu khut hƯ sè b ta ®a phơng trình về dạng phơng trình chứa
căn bậc hai đà học đầu chơng trình lớp 9. Trong trờng hợp này nên lu ý học sinh
nếu hệ số a và hệ số b cùng dấu thì phơng trình đà cho vô nghiệm ( lúc đó biểu
thức dới dấu căn sẽ mang giá trị âm ), không cần giải nữa mà có thể kết luận
luôn về nghiệm của phơng trình.
Ví dụ : Giải các phơng trình :
a) x2 + 5x = 0
; b) 2 x2 - 8 = 0
; c) 5 x2 +7 = 0
Ta nhận thấy phơng trình a) khuyết c nên ta đa về dạng phơng trình tích, phơng trình b) khuyết b nên ta biến đổi đa về dạng trình chứa căn bậc hai và giải
nh sau:
a) x( x + 5 ) = 0
b) 2x2 = 8
x = 0 hc x + 5 = 0
x2 = 4
x1 = 0 hc x2 = -5
x1 = - 2 ; x2 = 2
Đối với phơng trình c) do hệ số a và b cùng dấu nên phơng trình vô nghiệm .
* Trờng hợp phơng trình bậc hai đủ :
Phơng trình có dạng : a x2 + bx + c = 0 ph¶i dïng c«ng thøc nghiƯm
( bao gåm c«ng thøc nghiƯm tỉng quát và công thức nghiệm thu gọn ) và định lý
Vi- ét để giải. Cần hớng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau
- Trớc hết xét các hệ số a, b, c trong phơng trình, nếu có dạng
a + b + c = 0 hoặc a- b+c = 0 thì áp dụng hệ quả của định lý Vi- ét, không nên
dùng công thức nghiệm nào cả.
- Nếu các hệ số a, b, c không có dạng trên thì chú ý đến hệ số b:
+ Nếu hệ số b chẵn thì áp dụng công thức nghiệm thu gọn .
+ Nếu hệ số b lẻ thì áp dụng công thức nghiệm tổng quát.
Ví dụ : Giải các phơng trình sau :

a) 3 x2 + 8x + 5 = 0 ;
b) 2x - 7x + 5 = 0 ;


c) x2 + 4x - 12 = 0 ;
d) x2- 3x - 5 = 0
*Phơng trình a): Vì a - b + c = 3 - 8 + 5 = 0 nên áp dụng hệ quả của định
lý Vi-ét ta cã : x1 = -1 ; x2 = − 5 .
3
*Phơng trình b): Vì a + b + c = 2 + ( -7 ) + 5 = 0 nªn áp dụng hệ quả của
định lý Vi-ét ta có : x1 = 1 ; x2 = 5
2
*Phơng trình c) : Vì hệ số b chẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn
và giải nh sau :
= 22 - 1. (-12) = 4 + 12 = 16
Δ ’ > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
x1 = -2 + √ 16 = -2 + 4 = 2
x2 = -2 - √ 16 = -2 - 4 = - 6
*Phơng trình d) : Vì hệ số b lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát và
giải nh sau :
= (-3)2 - 4.1.(-5) = 9 + 20 = 29
> 0 nên phơng trình có 2 nghiƯm ph©n biƯt :
x1 = 3+ √ 29 ;
x2 = 3 29
2

2

Đối với phơng trình bậc hai đủ th× lu ý häc sinh : NÕu hƯ sè a và hệ số c trái
dấu thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại : Đối với dạng toán giải phơng trình giáo viên cần lu ý học sinh
phải xem xét đề bài để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp không máy móc dùng
công thức nhiệm.
2. Dạng 2: Giải và biện luận phơng trình :
Dạng toán này bao gồm : Tìm giá trị của tham số để :
- Phơng trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm
- Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu, cùng dơng, cùng âm.
- Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Cách giải của từng dạng cụ thể nh sau :
a)
Dạng tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm kép, có
2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm thì áp dụng công thức nghiệm :
Phơng trình : ax2 + bx + c = 0, cã Δ = b2 - 4ac
+ NÕu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép : x1= x2 =- b
a
+ Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
x1 = b+ √ Δ
;
x2 = − b − √ Δ
+ NÕu

Δ

2a

2a

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
Ví dụ 1 : Cho phơng tr×nh : 3x2 + 7x + m = 0. T×m giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm.
Giải : Ta có:

= 72 - 4.3.m = 49 - 12m.
49

- Phơng trình cã nghiÖm kÐp ⇔ 49 - 12m = 0 ⇔ m = 12
49

- Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 49 - 12m > 0 ⇔ m < 12
49

- Phơng trình vô nghiệm 49 - 12m < 0 ⇔ m > 12
Chó ý :
* Trêng hỵp hƯ sè b chẵn ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn và
giải tơng tự nh ví dụ 1.
Ví dụ 2 : Cho phơng trình : x2 + 2.(m+2)x + m2 = 0. Tìm giá trị của m
để phơng trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm.
Giải : Ta cã:
Δ ’ = (m+2)2 - 1. m2 = m2 + 4m + 4 - m2 = 4m + 4


- Phơng trình có nghiệm kép 4m + 4 = 0 m = -1
- Phơng trình có 2 nghiƯm ph©n biƯt ⇔ 4m + 4 > 0 ⇔ m > -1
- Phơng trình vô nghiệm 4m + 4 < 0 ⇔ m < -1
* Trêng hỵp biĨu thøc cđa Δ ( hc Δ ’) cã chøa l thừa bậc hai
thì phải lập bảng xét dấu để biện luận phơng trình.
Ví dụ 3 : Cho phơng trình x2 + (m + 1)x + 3 = 0. Tìm giá trị của m
để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Giải :
Ta có : = (m + 1)2 - 4.1.3 = m2 + 2m + 1 - 12 = m2 + 2m - 11 (1)
Δ ’m= 12 -1.(-11) = 1 + 11 = 12
Δ ’m> 0 nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

m1 = - 1+ √ 12 ;
m2 = - 1- √ 12
Ta cã b¶ng xÐt dÊu :
M
Δ

-1- √ 12
+

-1+ √ 12

0

-

0

+

Dựa vào bảng xét dấu ta có :
- Phơng trình ®· cho cã nghiÖm kÐp ⇔ m = - 1+ 12 hoặc m = - 1- 12
- Phơng trình có hai nghiệm phân biệt m > -1+ 12 hoặc m < - 1- 12
- Phơng trình vô nghiệm -1- 12 * Nh vậy muốn biện luận phơng trình bậc hai ta phải dùng công thức
nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn. Đồng thời dùng công thức
nghiệm ta còn có thể giải đợc dạng toán Chứng minh phơng trình vô
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép.
Ví dụ :
a, Chứng minh phơng trình 2x2- 3x - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
b, Chứng minh phơng trình x2 + 5x + 12 = 0 v« nghiƯm.

c, Chøng minh phơng trình 2x2 - 4x + 2 = 0 cã nghiƯm kÐp.
Gi¶i :
a,
Δ = (-3)2 - 4.2.(-5) = 9 + 40 = 49 > 0 nên phơng trình có hai
nghiƯm ph©n biƯt.
b,
Δ = 52 - 4.1.12 = 25 - 48 = - 23 < 0 nên phơng trình vô nghiÖm.
c,
Δ ’ = (-2)2 - 2.2 = 4 - 4 = 0 nên phơng trình có nghịêm kép.
b)
Dạng toán tìm giá trị của tham số để phơng trình có hai nghiệm
cùng dấu, khác dấu, hai nghiệm cùng dơng, hai nghiệm cùng cùng âm :
Theo định lý Vi-et : Nếu phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã Δ > 0 thì phơng
trình có hai nghiệm x1, x2 thoà m·n :
+ Tỉng hai nghiƯm : S = x1 + x2 = − b
a

c
a

+ TÝch hai nghiÖm : P = x1. x2 =
Từ đó ta suy ra :
- Phơng trình cã hai nghiÖm cïng dÊu khi : Δ > 0 và P > 0
- Phơng trình có hai nghiệm khác dÊu khi : Δ > 0 vµ P < 0
- Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi : > 0, P > 0 và S > 0
- Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi : > 0 , P > 0 vµ S < 0
( NÕu hệ số b chẵn thì xét thay cho )
Ví dụ : Cho phơng trình : x2 + 2( m+1)x + 2m - 5 = 0. Tìm giá trị của m để
phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dơng, cùng âm.
Giải :

Ta cã: Δ = (m+1)2 - 1.(2m-5) = m2 + 2m + 1 - 2m + 5 = m2 + 6 > 0 với
m.
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Vi- ét :
S = 2(m+1); P = 2m-5.
- Phơng trình có hai nghiệm cïng dÊu khi : 2m - 5 > 0 ⇒ m > 2,5.
- Phơng trình có hai nghiệm khác dấu khi : 2m - 5 < 0 ⇒ m < 2,5.
- Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi : m > 2,5 vµ 2(m+1) > 0
⇒ m > 2,5 và m >-1 m > 2,5.
- Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi : m > 2,5 và 2(m+1) < 0
⇒ m >2 vµ m < -1 ⇒ không có giá trị nào của m để phơng trình có hai
nghiệm cùng âm
* Bằng cách tơng tự ta còn có thể làm đợc dạng toán : Chứng minh phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm khác dấu, hai nghiệm cùng dơng, hai nghiệm cùng âm với mọi giá trị của tham số.
Ví dụ :
Cho phơng trình ẩn x : 2x2 - 2mx - m2 - 1 = 0.Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của
m.
Giải : Ta cã :

{2 x 12= m−3
m+1

Δ ’ = (- m)2 - 2.( - m2 -1 ) = m2 + 2m2 + 2

= 3m2 + 2 > 0 víi ∀ m.
Hơn nữa : P = < 0 với m . Do đó phơng trình có hai nghiệm phân
biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m.
3. Dạng3:
Dạng toán tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của

phơng trình thoà mÃn điều kiện nào đó :
Để làm toán dạng này cần áp dụng định lý Vi- et, các hằng đẳng
thức đáng nhớ và các phép biến đổi đại số.
Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 - 2x + m - 1 = 0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn : x12 + x22 = 5.
Giải : Để phơng trình có hai nghiệm th× :
0
Δ ’ = 1 - 1. ( m - 1 ) = 2 m
2
m
Theo định lý Vi-et : x1 + x2 = 2; x1. x2 = m - 1
Mặt khác : ( x1 + x2 )2 = ( x12 + x22 ) + 2x1x2
Do ®ã : 22 = 5 + 2.( m - 1 ) ⇒ m = 1
2

Vì m = 1 < 2 nên với m = 1 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm tho¶
2
2
m·n :
x12 + x22 = 5
VÝ dơ 2 : Cho phơng trình ẩn x : ( m + 1 ) x2 - 2.(m - 1 ) x + m - 3 = 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia.
Giải : Ta cã Δ ’ = 5 > 0 víi ∀ m -1 nên phơng trình đà cho luôn
có hai nghiệm phân biệt với m
-1.
Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi : m−3 > 0 vµ m -1
m+1
⇒ m > 3 hoặc m < -1
Do nghiệm này gấp đôi nghiệm kia nên theo định lý Vi- et ta có :

2x12 = m−3 vµ 3x1 = 2( m−1)
m+1

⇔

m+1

m2 - 2m - 35 = 0 (1)
Giải phơng trình (1) ta có : m1 = 14, m2 = 8


V× m1 = 7 > 3, m2 = - 5 <- 1 nên phơng trình đà cho có hai nghiệm cùng dấu và
nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m = 7 hc m = - 5
VÝ dơ 3 : Cho phơng trình : ( m - 1 ) x2 - 2mx + m + 1 = 0
x1
x2

Tìm m để :

+

x2
x1

+ 5 =0
2

(1)

Gi¶i : Tõ (1) ta cã : 2( x12 + x22 ) = - 5 x1x2

-8Mµ : x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
Nªn : 2 [ ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] = - 5x1x2
2( x1 + x2 )2 = - x1x2
⇔
-82m
2(
)2 = - m+1
⇔
m−1
m−1
8m2( m - 1 ) = - ( m2 - 1 )
⇔
8m3 - 8m2 = - m2 + 1
⇔
8m3 - 7m2 - 1 = 0
⇔
( m - 1 ) ( 8m2 + m + 1 ) = 0

Vì : Phơng trình : m - 1 = 0 có một nghiệm là x = 1
Phơng trình : 8m2 + m + 1 = 0 vô nghiệm
Nên m = 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 4 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm nghiệm của phơng trình :
mx2 - 2( m + 3 )x + m + 2 = 0
Tìm m để : F =

1
x1

+

1
x2

có giá trị nguyên

Giải : Theo định lý Vi-et ta có : x1 + x2 = m+3 ; x1x2 = m+2
x +x
Do ®ã : F =
+
= 1 2
x1 x2
1
1
có giá trị nguyên khi
m+2
m+2
m + 2 lµ íc cđa 1
⇒ m + 2 = 1;
1
x1

1
x2

=

m+3
m

.

m
m
=
m+2

m

m+3
m+2

=1+

có giá trị nguyên

m+2=-1
m = -1

m=-3
Vậy F có giá trị nguyên khi m = - 1 hoặc m = - 3
* Nh vậy đối với dạng toán Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm
của phơng trình thoả mÃn điều kiện nào đó chúng ta phải sử dụng định lý
Vi-et, các hằng đẳng thức đáng nhớ và phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt
4. Dạng4:
Dạng toán tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà
không phụ thuộc vào tham số
Dạng toán này chúng ta thờng gặp, cách giải không phức tạp nhng nó là
dạng toán tổng hợp nhiều kiến thức cơ bản trong chơng trình đại số lớp 9. Để
giải dạng toán này ta làm theo các bớc sau :
1. Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

2. áp dụng định lý Vi-et lập hệ phơng trình ( tổng và tích hai nghiệm ) có hai
ẩn là x1 và x2
3. áp dụng cách giải hệ phơng trình biến đổi để khử tham số
Ví dụ : Cho phơng trình ẩn x :
x2 - 2.( m + 1 )x + 2m + 10 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Giải : Ta có = m2 - 9.


Do đó phơng ttrình có hai nghiệm phân biệt khi m < - 3, m > 3.
Theo hÖ thøc Vi-et : x1 x2 = 2m + 10
x1 + x2 = 2( m + 1 ) = 2m + 2
x1x2 - ( x1 + x2 ) = 8

Đây là biểu thức cần lập.
5. Dạng 5: Dạng toán tìm giá trị của tham số để biểu thức chứa x 1,
x2 có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của
biểu thức chứậ x1, x2
Dạng toán này cũng là dạng toán học sinh đà đợc làm quen từ lớp 7, chỉ
khác là các em phải biết áp dụng định lý Vi-et để lập ra biểu thức chứa x 1, x2. Vì
vậy để giải dạng toán này , trớc hết phải tính tổng và tích các nghiệm dựa vào
định lý Vi-et sau đó mới tìm điều kiện của tham số để biểu thức vừa lập đợc có
giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức
đó theo yêu cầu của bài toán.
Ví dụ : Cho phơng trình bậc hai Èn x : x2 - 2( m - 1 )x + n + 1 = 0
Khi m - n = 4, hÃy tìm giá trị nhỏ nhất của p = x12 + x22
Gi¶i : Tõ m - n = 4 ta suy ra ; n = m - 4 .
Theo định lý Vi-et : x1 + x2 = 2 ( m - 1 ) ; x1x2 = n + 1
Do ®ã : P = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
= [ 2( m - 1 ) ]2 - 2( n + 1 )

= [ 4( m2 - 2m + 1 ) ] - 2 ( m - 3 )
= 4m2 - 8m + 2 - 2m + 6
= 4m2 - 10m + 8
= ( 2m - 2,5 )2 + 1,75
1,75
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,75 khi m = 1,25
6. Dạng 6: Dạng toán áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình
bậc hai để giải toán về tìm max min, toán nghiệm nguyên.
a). áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để giải toán
về tìm max min.
Các bài toán về cực trị đại số là một phần không thể thiếu trong các kỳ
thi HSG, thi tuyển sinh vào THPT hay tuyển sinh vào trờng chuyên lớp chọn. Có
thể nói đây là dạng toán yêu cầu học sinh ph¶i cã sù t duy tèt, biÕt vËn dơng các
kiến thức tổng hợp của số học và đại số. Các bài toán cực trị có nhiều cách giải
khác nhau, và một trong các cách giải đó là sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai.
Phơng pháp này còn gọi là phơng pháp miền giá trị của hàm số.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lín nhÊt cđa:
2
A = x 2− x+ 1

x + x +1

Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây
có nghiệm:
2
a = x 2− x+ 1

x + x +1

(1)

Do x2 + x + 1 ≠ 0 nªn (1) <=> ax2 +ax + a = x2 - x + 1
<=> (a-1)x2 +(a+1) x + (a-1) =0
Trờng hợp 1: Nếu a=1 thì (2) có nghiệm x=0
0
Trờng hợp 2: Nếu a 1 thi để (2) cã nghiÖm <=>
(a-1)2 – 4(a-1) ≥ 0
<=> (a+1 +2a -2)( a+1 -2a +2) ≥ 0

tøc lµ:


<=> (3a -1)(a-3) ≤ 0
<=> 1/3 ≤ a ≤ 3 (a 1)
Với a=1/3 hoặc a= 3 thì nghiệm của (2) là
x=

( a+1)
2(a 1)

=

a+1
2(1 a)

Với a = 1/3 thì x = 1, víi a = 3 th× x = -1.
Gép cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:
Min A = 1/3 khi x = 1
Max A = 3 khi x = -1.
b.

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm
nghiệm nguyên.
Với bài toán nghiệm nguyên cũng có rất nhiều cách giải khác nhau và
một trong những cách giải đó là sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình
bậc hai. Với cách giải này ta sẻ làm nh sau:
Biến đổi phơng trình đà cho về dạng phơng trình bậc hai một ẩn, khi

đó để phơng trình có nghiệm là
0 và để phơng trình có nghiệm
nguyên thì
là số chính phơng.
Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x + y + xy = x2 + y2
(1)
Giải:
Biến đổi (1) về phơng trình bậc hai víi Èn x:
x2 – (y + 1)x + (y2 - y) = 0
(2)

Điều kiện cần để (2) có nghiệm là
0
2 – 4(y2 - y)
=
(y
+
1)
Δ
= -3y2 + 6y + 1
Δ
Suy ra

Δ
≥0
<=> -3y2 + 6y + 1 ≥ 0
<=> 3(y - 1)2 ≤ 4
Do ®ã (y - 1)2 ≤ 1. Suy ra:
y-1

-1

0

1

y

0

1

2

Víi y = 0 thay vào (2) đợc x2 x = 0. Ta cã x1 = 0, x2 = 1.
Víi y = 1 thay vào (2) đợc x2 2x = 0. Ta cã x3 = 0, x4 = 2.
Víi y = 2 thay vào (2) đợc x2 3x + 2 = 0. Ta cã x5 = 1, x6 = 2.
Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng phơng trình (1).
Đáp số: (0;0) , (1;0) , (0;1) , (2;1) , (1;2) , (2;2).


c. Kế luận:
1. Kết quả nghiên cứu:

Sau một thời gian vận dụng những biện pháp trên vào quá trình giảng
dạy, đặc biệt là hớng dẫn học sinh làm các dạng toán về phơng trình bậc hai một
ẩn cá nhân tôi nhận thấy học sinh nắm vững và giải thành thạo các dạng toán về
phơng trình bậc hai một ẩn, các em biết cách phân loại thành các dọng bài tập cụ
thể từ đó áp dụng cách giải hợp lý cho tùng dạng bài tập. Do đó đà cải thiện đợc
kết quả học tập của các em một cách rõ nét.
Cụ thể kết quả thu đợc nh sau:
Tổng
Giỏi
số
HS SL
%
50

4

8%

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

10

20%

22

44%

10

20%

4

8%

2.Kiến nghị đề xt:
Thùc tÕ cho thÊy khi ¸p dơng c¸c biƯn ph¸p trên vào dảng dạy thì kết

quả học tập cảu các em đợc nâng lên song những biện pháp này cũng không thể
tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tôi mong nhận đợc sự trao đổi , góp ý của
bạn bè và đồng nghiệp để tôi có đợc những biện pháp hay trong việc hớng dẫn
học sinh học tập tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Định Long, ngày 10 tháng 3 năm 2009
Ngời thực hiện

Nguyễn Văn Bình