CHUYÊN ĐỀ 15: CÁC BÀI TOÁN VỀ HYPEBOL
Câu 1. Lập phương trình chính tắc của hypebol với tổng hai bán trục a  b 7 , hai tiệm cận
3
y  x
4
xiên
a) Tính độ dài bán trục. Vẽ (H).
b) Lập phương trình các tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với
(d ) : 5 x  4 y  10 0
x2 y 2
(H ) : 
1
16 4
Caâu 2. Cho
a) Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (H) qua A(2;1)
b) Gọi M 1 là tiếp điểm của (H) và (d). Chứng minh rằng (d) là phân giác của góc
MF
F
1 1 2
(H ) :

x2 y 2

1
a2 b2

Câu 3. Cho
a) Tính độ dài phần tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn.
b) Tính khoảng cách từ các tiêu điểm của (H) đến các đường tiệm cận.
c) Chứng minh chân đường vuông góc hạ từ 1 tiêu điểm đến các đường tiệm cận thì nằm
trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.

d) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên (H) đến hai tiệm cận là
hằng số.
x2 y 2
(H ) : 
1
4
9
Câu 4. Cho
và đường thẳng () : kx(k 0) , gọi ( ') là đường thẳng qua O
và vuông góc với ( ) .
a) Tìm k để ( ) và ( ') đều cắt (H).
b) Tính theo k diện tích của hình thoi có bốn đỉnh là 4 giao điểm của ();(  ') với (H).
c) Tìm k để diện tích hình thoi nhỏ nhất.
2
2
Câu 5. a) Cho ( H ) : 2 x  y  4 0 , chứng minh rằng từ A( 1;1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến
đến (H) vuông góc với nhau. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng nối hai tiếp điểm.
b) Tìm những điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến của (H) vuông góc với nhau.
x2
y2
(Cm ) : 2
 2
1
m

2
m

25
Câu 6. Cho họ đường cong

, m là tham số , m 0, m 5

a) Tùy theo m , hãy xác định khi nào thì (Cm ) là elip, khi nào nà hypebol.
b) Giả sử A là 1 điểm tùy ý trên đường thẳng x 1 và A  Ox . Chứng minh với mỗi
điểm A luôn có hai đường cong của họ (Cm ) đi qua A. Hỏi trong số đó có bao nhieâu
Elip, bao nhieâu hypebol.


Câu 7. Viết phương trình chính tắc của (H) tiếp xúc với hai đường thẳng (1 ) : 5 x  6 y  8 0
( 2 ) : 5 x  8 y  6 0 . Chứng minh rằng từ A(1; 2) luôn vẽ được hai tiếp tuyến đến (H) và
vuông góc với nhau.
x2 y 2
(H ) : 
1
16 9
Câu 8. Cho
a) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ mỗi điểm đó ta vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (H) vuông góc với nhau.
b) Lấy M bất kỳ thuộc (H); (1 );( 2 ) là hai đường thẳng qua M và song song với 2 tiệm
cận của (H). Tính diện tích của hình giới hạn bởi (1 ),( 2 ) và 2 đường tiệm cận của
(H).
2
2
Câu 9. Cho E ) : 4 x  16 y 64
a) M là điểm bất kỳ trên (E). Chứng tỏ tỷ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm bên phải
8
x
F2 và đến đường thẳng
3 có giá trị không đổi.
2

2
b) Cho đường tròn (C ) : x  y  4 3x  4 0 . Xét đường tròn (C’) di động nhưng luôn
tiếp xúc ngoài với (C) và đi qua F2 . Chứng tỏ tâm N của (C’) nằm trên một hypebol

cố định. Viết phương trình hypebol đó.
2
2
Câu 10. Cho hypebol (H): 8 x  y  8 0 và đường thẳng (D): 2 x  y  m 0
a) Chứng mnh (D) luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau ( xM  xN )
x  xF2
b) Gọi F1; F2 là hai tiêu điểm của (H) F1
. Định m sao cho F2 N 2 F1M
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A( 2;0); B(2;0) và đường thẳng
(  ) : 2 x  3 0 .
a) Tìm tập hợp những điểm P sao cho 3PB 2 PK với K là hình chiếu vuông góc của P
trên  .
b) Một đường tròn (C) di động qua A, B. NN’ là 1 đường kính của (C) cùng phương với
Ox. Tìm tập hợp các điểm N và N’.
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho các đường thẳng AM và BM có tích các hệ số góc
bằng 4.
Câu 12. Cho hai điểm F1 ( 2 5;1) và F2 (2 5;1)
a) Viết phương trình hypebol (H) có tâm sai e  5 và nhận F1 , F2 là hai tiêu điểm.
b) Tìm trên (H) bốn điểm sao cho chúng là các đỉnh của hình bình hành có một cạnh đi
qua gốc tọa độ O và có 1 đường trung bình nằm trên đường thẳng d : y 4 x  1

Câu 13. Khoảng cách từ một điểm A đến một đường cong là giá trị nhỏ nhất của đoạn AM
với M là điểm thuộc đường cong đó.
1
y
x

a) Tính khoảng cách từ A( a; a ) đến đường hypebol


b) Xác định tâm và bán kính các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng y  x  1 và với
1
y
x
các hai nhánh của hypebol

Câu 14. Cho hypebol (H) và elíp (E) có cùng tiêu điểm và cùng đi qua M. Chứng minh hai
tiếp tuyến của (H) và (E) tại M vuông góc với nhau.