CHUYÊN ĐỀ 16: CÁC BÀI TOÁN VỀ PARABOL
2
Câu 1. a) Cho ( P) : y x , goïi ( ) là đường thẳng đi qua A(1;2) và có hệ số góc k . Xác
định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và ( ) nhỏ nhất.
x2 y 2
1
2
4
b) Tìm tiếp tuyến chung của (P): y 6 x và Elip 8
2
Câu 2. M là một điểm thuộc parabol ( P ) : y 64 x , N là một điểm thuộc đường thẳng
() : 4 x 3 y 46 0
a) Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất.
b) Với kết quả tìm được ở câu a) chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vuông góc với
tiếp tuyến tại M của parabol.
2
Câu 3. Cho ( P ) : y x và hai điểm A, B di động trên (P).
a) Cho A( 1;1); B (2;4) . Xác định vị trí điểm M trên cung AB của ( P) sao cho MAB có
diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
b) Cho AB 2 , xác định ví trí của A, B sao cho diện tích hình phẳng tạo bởi (P) và
đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
2
Câu 4. Cho ( P ) : y 2 px . Qua điểm M tùy ý trên đường chuẩn của (P) kẻ hai tiếp tuyến
MA và MB với (P), trong đó A, B là các tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng MA MB .
b) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua tiêu điểm của (P).
x2 y 2
(E) :
1
25 9
Câu 5. Cho
a) Lập phương trình của parabol (P) có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm trùng
với tiêu điểm bên trái của elíp đã cho.
b) Viết phương trình đường thẳng chắn trên parabol tìm được một dây cung nhận điểm
A( 4;1) làm trung điểm.
15 27
x2
A ;
( P ); y
2 và 8 8
Câu 6. Cho
1
M1 1;
2 và vuông góc với tiếp tuyến của ( P )
a) Viết phương trình đường thẳng qua
tại M 1 .
b) Tìm tất các các điểm M ( P ) sao cho AM vuông góc vơi tiếp tuyến tại M của (P).
2
2
2
Câu 7. Cho ( P); y 4 x và hai đường thẳng (1 ) : m x my 1 0; ( 2 ) : x my m 0
a) Chứng minh rằng (1 ) ( 2 ) và giao điểm I của (1 ),( 2 ) di động trên 1 đường
thẳng cố định khi m thay đổi.
b) Chứng minh rằng (1 ) và ( 2 ) luôn tiếp xúc với (P). Gọi A, B là các tiếp điểm.
Chứng minh AB đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Câu 8. Cho A(0; 2) và B(m; 2) . Viết phương trình đường trung trực (d) của AB. Chứng minh
rằng (d) luôn tiếp xúc với một đường cong (C) khi m thay đổi.
2
Câu 9. Cho ( P) : y 4 x
a) Chứng minh rằng từ N tùy ý thuộc đường chuẩn của (P) có thể kẻ được hai tiếp tuyến
đến (P) mà 2 đường thẳng này vuông góc với nhau.
T ,T
b) Gọi 1 2 là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến trên. Chứng minh rằng T1T2 luôn đi qua một
điểm cố định khi N chạy trên đường chuẩn.
/ 0 , tiếp tuyến tại M của (P) cắt Ox , Oy tại A, B. Tìm quỹ tích
c) Cho M ( P ) với M
trung điểm U của AB khi M chạy trên (P).
2
Câu 10. a) Cho ( P ) : y 8 x vaø I (2; 4) , xét góc vuông quay quanh I và hai cạnh góc vuông
cắt (P) tại M, N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
2
b) Cho ( P ) : y x và đường thẳng (d ) : y mx 1 . Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
2
Câu 11. Cho A(3;0) và ( P ) : y x
a) Cho M ( P ) coù xM a , tính AM và tìm a để AM ngắn nhất.
b) Chứng minh nếu AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P).
2
Câu 12. Cho parabol ( P ) : y 2 px 0( p 0)
p
A , m
a) Chứng minh rằng với mỗi m R , qua 2 ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (P)
và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm và chứng minh đường thẳng này
đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
2
Câu 13. Cho parabol ( P ); y 2 px .Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
của (P) vuông góc với nhau.
2
Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong parabol ( P ) : y x . Goïi a,
b, c là hoành độ các đỉnh của A, B, C.
a) Viết phương trình đường thẳng BC và phương trình tiếp tuyến tại A của (P).
b) Giả sử A cố định, B và C thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A:
i) Chứng minh cạnh BC luôn qua điểm cố định D.
ii) Viết phương trình đường tròn đường kính AD. Chứng minh đường tròn này tiếp xúc
với (P). Xác định các tiếp điểm.
c) Một góc vuông đỉnh O cắt parabol tại A1 và A2 . Hình chiếu của
A1 và A2 lên Ox là B1 và B2
i) Chứng minh OB1.OB2 const
ii) Chứng minh rằng A1 A2 luôn đi qua một điểm cố định.
