CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ. TẬP HP

Dạng 1.Xây dựng MĐ
Dạng 2.Rèn kỹ năng sử dụng kí hiệu ,  .
Dạng 3. Bài toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Phương pháp: Muốn chứng minh A  B ta chứng minh B  A

Dạng 4.Các phép toán tập hợp trên các tập con thường dùng
Dạng 5. Chứng minh A ⊂ B ; A=B

CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI

Dạng 1.Tìm TXĐ của hàm số. Kí hiệu :D

Ta kí hiệu P(x),Q(x),… là các đa thức
1) Nếu hàm số có dạng y = P(x) thì D =R
P( x)
2) Nếu hàm số có dạng y= Q ( x ) thì D= R\S trong đó: S là tập nghiệm của PT Q(x) = 0

 x  R \ P( x) 0
thì D=
f  x   f2  x 
f  x . f2  x 
4) Nếu y = 1
hay y = 1
thì D = D1  D2 với D1 , D2 ;lần lượt là TXĐ
f  x  , f2  x 
của 1
3) Nếu y =

P ( x)

BÀI TẬP

Bài 1. Tìm TXĐ của hàm số
a/ y =
d/ y =

−2
x −x−6

4 x−3
x +1

x +1
x −2 x+5

b/ y =

√6 − 2 x

e/ y =

x −2

c/ y =

2

1
x −1


+

√ x −2

3
√ x +2

f/ y =

2

Baøi 2. Tìm TXĐ của hàm số
a) y  2 x  3  5  2 x
2  3x
y
2  3x  6
c)
e/ y =

√ x+3 +

b)
d)

1
√4 − x

y   3x  5 
y


4x  7
2x  9

x2  6x  9
x 3

f) y =

x +1
(x − 3)√ 2 x −1

Dạng 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Bước1: Tìm tập xác định D, nếu:

 Nếu x  D,  x  D :
 Neáu x  D,  x  D
Bước2.

hàm số không chẵn, không lẻ.

thì sang B2.
-Tính f(-x), kết luận theo các TH sau

.


 . nếu: f(-x) = f(x),xD :
hàm số chẵn.
 . nếu:f(-x) = -f(x),xD :

hàm số lẻ.
 . nếu:f(-x)   f(x) (tìm một x0D sao cho: f(-x0)   f(x0))
lẻ
Bài tập.
Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

a/ y = 4x3 + 3x

b/ y = 

e) y = x4  3x2  1
1|

1
x +3

c/ y =

2

Baøi 2. Cho hàm số y =

d/ j) y = | 1 – x | - | 1 + x |

√ 1+ 3 x 2

e) y = | x | + 2x2 + 2 g/ y = x3 - 3x +

hàm số không chẵn, không


√3 x

h) y = | 2x – 1 | + | 2x +

√ 5+ x+ √ 5 − x

a/ Tìm tập xác định của hàm số.
b/ Khảo sát tính chẵn lẻ.

Dạng 3. Xác định tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

1. Xác định tính biến thiên: Căn cứ vào dấu của hệ số a
2. Vẽ đường thẳng: -Xác định toạ độ hai điểm thuộc đồ thị hàm số ( ta nên lấy giao điểm
của đường thẳng với hai trục toạ độ)
Biểu diễn lên hệ trục toạ độ Oxy
Kẻ đường thăng đi qua hai điểm đó.

Dạng 4. Xác định tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai

1. Xác định tính biến thiên: p dụng định lý
2.Vẽ parabol:
- Xác định đỉnh của parabol
- Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
- Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục
tọa độ và các điểm đối xứng vơi chúng qua trục đối xứng) - Lập bảng giá trị
- Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại.
Bài tập:
/Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a/ y =


1 2
x
2

e/ y = x(1  x)
i/ y = (x + 1)(3  x)

b/ y = 

2 2
x
3

f/ y = x2 + 2x
j/ y = 

c/ y = x2 + 1
g/ y = x2  4x + 1

d/ y = 2x2 + 3
h/ y = x2 + 2x  3

1 2
x + 4x  1
2

Dạng 5. Viết phương trình của đường thẳng, parabol

1) PT đường thẳng
PT đường thẳng có dạng : y =ax+b

 Phương pháp: Dùng ĐK cho trước để xác định a,b
Cụ thể: +) Nếu đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng y = a 1x + b1 thì ta có a =a1
+) Nếu đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng y = a1x + b1 thì ta có a =-1/a1
+) Nếu đường thẳng đi qua điểm M(xo; yo) thì ta có : yo =axo +b


 Một số dạng bài toán khác
a) PT Đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B (xB;yB) là:
x  xA
y  yA

x B  x A y B  y A  x A  xB ; y A  y B 
b) PTĐường thẳng đi qua M(xo; yo) và có hệ số góc k là: y –yo =k(x -xo)
c) Nếu đường thẳng cắt OX, Oy lần lượt tại hai điểm A(a;0) và B ( 0;b) ( với a, b khác 0) thì
x y
+ =1
PT đường thẳng có dạng:
a b
2) PT parabol
PT parabol có dạng: y = ax2 +bx +c (1)
Phương pháp: - Dùng ĐK cho trước lập hệ PT đối với các ẩn a,b,c.
- Giải hệ, tìm được a,b,c ta thay vào (1) thì có hàm số cần tìm
Cụ thể: 1) Nếu parabol đi qua A(xo;yo) thì ta có yo = axo 2 +bxo +c
b
 xo
2) Nếu parabol có trục đối xứng là x = xo thì ta coù: 2a
hay –b = -2axo
b  2axo

y axo2  bxo  c

3) Nếu parabol có đỉnh là I(xo;yo) thì ta coù:  o
yo 

   b 2  4ac

4a
4a

4) Nếu hàm số có giá trị cực đại (cực tiểu) là yo thì ta có:
5) Nếu hàm số đạt giá trị cực đại (cực tiểu)tại điểm có hoành độ x o thì ta có:
b
 xo
2a
hay –b = -2axo

Bài tập

Bài 1. Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b, biết:
a/Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A(1, 20) và B(3, 8)
2
x+1
3

b/ Đồ thị hàm số đi qua C (4, 3) và song song với đường thẳng y = 
HD: hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau

c/ Đồ thị hàm số đi qua M(1, 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5
HD: Xác định toạ độ giao điểm N của đồ thị hs với trục hoành.
Khi đó ta có: Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm M và N.
d/ Đồ thị hàm số đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2

e/ Đồ thị hàm số đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = 

1
x+5
2

HD: hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1.
Bài 2.
a. Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;-2)
và song song với đường thẳng y =3x-5
b. Viết phương trình y= ax+b của đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng 4x+7y2=0 và 8x+y-13=0 đồng thời song song với đường thẳng x-2y=0.
Bài 3. Một parabol có đỉnh là I(-2;-2),đi qua gốc toạ ñoä.


a) Xác định trục đối xứng của parabol, biết nó song song với trục tung.
b) Viết phương trình parabol đã cho
Bài 4. Viết phương trình của parabol y = ax2 + bx + c. Biết hàm số y = ax2 + bx + c có giá
trị nhỏ nhất bằng ¾ khi x = ½ và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1.
Bài 5. Viết phương trình parabol y = ax2 + 3x + c. Biết parabol có:
a) trục đối xứng là đường thẳng x = - 1 và đi qua điểm M (-2; 3)
b) Toạ độ đỉnh là I (4 ; -5)
Bài 6. Tìm Parabol y = ax2 + 3x  2, biết rằng Parabol đó :
a/ Qua điểm A(1; 5)
b/ Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2
c/ Có trục đối xứng x = 3 d/ Có đỉnh I(

1
11
;
)

2
4

e/ Đạt cực tiểu tại x = 1
Bài 7. Tìm Parabol y = ax2 + bx + c biết rằng Parabol đó :
a/ Đi qua 3 điểm A(1; 2) ; B(2; 0) ; C(3; 1)
b/ Có đỉnh S(2; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
c/ Đạt cực đại tại I(1; 3) và đi qua gốc tọa độ.
d/ Đạt cực tiểu bằng 4 tại x = 2 và đi qua B(0; 6)
e/ Cắt Ox tại 2 điểm có hoành độ là 1 và 2, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 8. Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m  1
a/ Định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
b/ Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) khi m = 1
c/ Tìm giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng y = x  1
d/ Vẽ đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ của (P)

Dạng 6. Sự tương giao giữa đường thẳng y = a1x +b1 và parabol: y = ax2 +bx
+c
1) Xác định số giao điểm của hai đồ thị
Cách 1: Dùng Phương trình hoành độ giao điểm: a1x +b1= ax2 +bx +c (1)
-Phương trình VN: Hai đồ thị không cắt nhau
- PT có nghiệm kép: Hai đồ thị tiếp xúc nhau
-PT có hai nghiệm phân biệt: Hai đồ thị cắt nhau tai hai điểm phân biệt.
Cách 2: Dùng đồ thị
-Trên cùng một hệ trục toạ độ vẽ hai đồ thi của hai hàm số đã cho
- Nhìn vào hình vẽ ta có số giao điểm của hai đồ thị
2) Biện luận số nghiệm của PT bậc hai bằng đồ thị
Cho phương trình F(x,m) = 0 (1) vói m là tham số, F(x,m) là một tam thức bậc hai đối với x



Bước 1. Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x)= h(m) với f(x) là một tam thức bậc hai đối với
x
Bước 2: Trên cùng một hệ trục toạ độ vẽ parabol y = f(x) và đường thẳng y = h(m)
Bước 3. Tuỳ theo m, số giao điểm của đường thẳng và parabol là số nghiệm của PT đã cho.

Bài tập
Bài 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số
a/ y = x2 + 4x + 4 và y = 0

b/ y = x2 + 2x + 3vaø y = 2x + 2

c/ y = x2 + 4x  4vaø

x=0

e/ y = x2 + 3x + 1vaø

y = x2  6x + 1

d/ y = x2 + 4x  1vaø

y=x3

Baøi 2. Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + c
a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được.
c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m. Định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm
tọa độ tiếp điểm.
Bài 3. Cho (P) : y = x2  3x  4 vaø (d) : y = 2x + m. Định m để (P) và (d) :
a)Có 2 điểm chung phân biệt,

b) tiếp xúc
c) không cắt nhau.

Bài 4. Cho (P) : y = x2  3x  4 vaø (d) : y = 2x + m
Định m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt.
2

x
Bài 5. Cho (P) : y = 
+ 2x  3 vaø (d) : x  2y + m = 0
4
Định m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác định tọa độ tiếp điểm

Dạng 7. Vẽ đồ thị hàm số
1) hàm số

y  f  x  ; y  f  x

(NC)

y f  x 

y  f  x
Bước 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số
với x 0
Bước 2: Lấy phần đối xứng (C2) của (C1) qua trục tung
y f  x
Bước 3: Kết luận đồ thị (C) của hàm số
gồm (C1), (C2)
y  f  x

2) hàm số
y  f  x
Bước 1: Vẽ đồ thị (C) của hàm số
trong miền xác định D
Bước 2. Giữ nguyên phần đồ thị (C1) của (C) nằm ở phía trên trục hoành
Bước 3. Lấy các phần đối xứng (C2) của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
y  f  x
Bước 4. Kết luận đồ thị của hàm số
gồm (C1), (C2)
Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau


¿
2
x
c) 2 x −5
¿ y={
¿

¿
2 x+3
a) −2 x+ 3
¿ y ={
¿
b) y = |5 −2 x|

x <3
x 3

d) y = |2 x+1|−7 + x


Bài 2. Vẽ đồ thị các hàm soá sau
a) y = 2x2 – 4x + 1
b) y = -2x2 +4x -1
2
c) y=2 x − 4|x|+1
d) y = |−2 x 2+ 4 x −1|
Baøi 3. Cho y = x(|x|  1)
a/ Xác định tính chẵn lẻ.
b/ Vẽ đồ thị hàm số.
Bài 4. Cho hàm số : y = x

√ x2

a/ Khảo sát tính chẵn lẻ.
b/ Khảo sát tính đơn điệu
c/ Vẽ đồ thị hàm số trên

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1.Giải và biện luận phương trình ax+b = 0
Dạng 2. Giải và biện luận phương trình ax2 +bx + c = 0 (NC)
Dạng 3. Ứng dụng của định lý Vi-et
+ Tìm hai số khi biết tổng của hai số và tích.
+) Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
+)Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số (NC)

Bài tập

Bài 1. Không giải, hãy tính tổng và tích các nghiệm của các pt sau (giả sử chúng đều
có nghieäm)

x2
3x 2
1
 5 x  1 0
 5 x  0
2
2
3
a/ 5x +3x -2 = 0
b/ -9x -5x + 4 = 0
c/ 2
d/ 2
2
2
2
2
e/ ( 2  1) x  2 2 x  2  1 0 f/ (m  1) x  2(m  1) x  m  1 0
g/ x  2 x 0
Bài 2.Tìm hai số biết :
a/ Tổng 20 và tích 99
b/ Tổng 20 và tích -96
c/ Tổng -11 và tích là 18
d/ Tổng là 5/6 và tích là 1/6
e/ Tổng 80 và tích là -2244

Bài 3. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau
a/ x2 -3x +2 = 0

b/ x2 +3x +2 = 0
c/ x2 -8x + 16 = 0

2
e/ -7x2 +3x + 10 = 0
f/ ( 2  1) x  2 2 x  2  1 0

d/ 2x2 + 5x -7 = 0


Bài 4. Lập pt bậc hai biết các nghiệm của chúng là:
a/ x1 = 3 và x2 = 1

b/ x1 = -2 vaø x2 = -9
c/ x1 = -1/3 vaø x2 =
e/ x1 = 3  2 vaø x2 = a  2

2

d/ x1 = m + 1 vaø x2 = m – 1
Bài 5
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – x – 5 =0.

D

x1 x2

x2 x1 ,

A  x  x , B  x1  x2 , C  x  x ,
E (2 x1  x2 )(2 x2  x1 )
Hãy lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm là: 2 x1  x2 ; 2 x2  x1
a. Tính:


2
1

2
2

3
1

3
2

Bài 6. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 +2mx+4=0
2
1

2
2

M x  x

N

1 1

x1 x2 , K  x1  x2

Tính theo m các biểu thức sau:
,

Bài 7.
Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x +m-3=0
aChứng minh PT luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập đối với m
c. Xác định m để PT có hai nghiệm trái dấu

Dạng 4. Xét dấu các nghiệm của PT bậc hai (NC)
Cho phương trình bậc hai

ax 2  bx  c 0

 a 0 

. Đặt

S 

b
c
;P 
a
a khi đó

x  0  x2 (hai nghiệm trái dấu)
+) P  0 thì 1

+)

  0


P  0
S  0


(hai nghiệm dương phân biệt)

+)

  0

P  0
S  0


(hai nghiệm âm phân biệt)

+)

  0

P  0
 S 0


(hai nghiệm đối nhau x1 = - x2)

Dạng 3. Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai ( BT dạng
SGK)
Dạng 4. Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối( BT dạng
SGK)

Dạng 5. Giải phương trình chứa ẩn chứa ẩn ở mẫu( BT dạng SGK)
Dạng 6. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn


A. Phương pháp
 ax  by c




Cho hệ PT:  a x  b y c
Bước 1:
a
D
a
Bước 2:

Tính các định thức
b
c b
Dx 
b = a.b  a.b ;
c b = c.b  c.b ;

D

a c
a c = a.c  a.c

Xeùt TH D 0 ( Tìm các giá trị của tham soá sao cho D 0 )

Dx

 x  D

 y  Dy
 Hệ PT có nghiệm duy nhất 
D

Bước 3: Xét TH D = 0 ( Tìm các giá trị của tham số sao cho D = 0 )
Ứng với mỗi giá trị tìm được của tham số ta tính giá trị của D x ; Dy.
Khi đó
D 0
 Nếu Dx 0 hoặc y
(một trong hai giá trị Dx ; Dy khác 0)

Hệ PT vô nghiệm
 Nếu Dx = Dy = 0

Hệ PT có vô số nghiệm ( tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của PT ax + by
= c)
Bước 4: Kết luận theo tham số nghiệm của hệ PT đã cho.

B. Ví dụ
ax  2 y 1

x   a  1 y a
Giải và biện luận hệ PT: 
Baøi laøm:
a 2
1 2

a 1
Dx 
Dy 
a a  1 = -a –1 ;
1 a = a2 – 1
Ta coù: D = 1 a  1 = a.(a-1) – 2 = a2 –a –2 ;
Xét các TH sau:
 a  1

TH1: D 0  a2 –a –2 0   a 2
Hệ PT có nghiệm duy nhất :
a 1

 x  a 2  a  2


2
y  a  1

a2  a  2

1

 x  a  2

y  a  1
a 2

 a  1


 a 2
TH2: D = 0  a2 –a –2 = 0
 Với a = -1 ta có: Dx = Dy = 0
 Với a = 2 ta có: Dx = -3 0

 Hệ PT có vô số nghiệm
 Hệ PT vô nghieäm


Vaäy

1

 x  a  2

a  1
y a  1

a 2
+) a 2 Hệ PT có nghiệm duy nhất : 
+) Với a = -1 : Hệ PT có vô số nghiệm
+) Với a = 2 : Hệ PT vô nghiệm

C. Bài tập

Câu 1. Giải các hệ PT sau bằng phương pháp định thức
 5 x  3 y  2
3 x  2 y  7



2x  3y  5
5
x

3
y

1

a)
b) 
 2 x  4 y 1
3x  ( 5  2) y 1


2x  4 2 y  5
( 2  1) x  3 y  5


c)
d) 
Câu 2. Giải và biện luận các hệ PT sau:
 x  my 3
(m  1) x  y 2
 2 x  2(a  1) y 1



a)  mx  4 y 6
b)   x  ( m 1) y m  1

c)  x  ( a  1) y a
 x  a 1

y  2 x 5
d) 

 3( x  y )
a

 x y
2 x  y  a  y  x


( m  1) x  ( m  1) y m

e) (3  m) x  3 y 2
f)
Caâu 3. Cho 3 đường thẳng (d1): 2x+3y = -4 (d2): 3x +y = 1 (d3): 2mx +5y = m
a) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm.
b) Với giá trị nào của m thì (d2) và (d3) vuông góc với nhau.
Câu 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT
Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135km và ngược dòng 63km. Một lần khác ca
nô đó cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108kmvà ngược dòng 84km. Tính vận tốc của
ca nô và vận tốc của dòng nước . ( Giả thuyết vận tốc của ca nô và vận tốc của dòng nước trong
cả hai lần là như nhau).
Câu 5.
Tìm một số có hai chữ số biết : Nếu lấy số đó chia cho tích của hai chữ số của nó thì được
thương là 2 và dư 18. Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của nó cộng với 9 thì được số đã
cho.
Câu 6. Mộât gia đình có 4 người lớn và 3 trẻ em mua vé xem xiếc hết 370 000 đồng. Một gia

đình khác có hai người lớn và hai trẻ em cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200 000 đồng.
Hỏigiá vé người lớn và tẻ em là bao nhiêu.

Dạng 7. Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Nguyên tắc chung:
Phương pháp 1: Dùng PP Gau –xơ khử dần ẩn số để đưa về hệ phương trình dạng tam giaùc
d1
a1 x  b1 y  c1 z d1
a1 x


b2 y  c2 z d 2
d 2

a2 x  b2 y

a x  b y  c d
c3 z d3
3
3
3

 3
hoaëc


Phương pháp 2. Khử bớt ẩn để quy về hệ PT hai ẩn. Giải hệ PT hai ẩn sau đó thế vào hệ PT
ban đầu để tìm ẩn còn lại.
 Chú ý: Để khử bớt ẩn ta cũng có thể dùng các PP cộng đại số hay PP thế giống như đối

với hệ phương trình hai ẩn.

Ví dụ

Giải hệ PT

 x  y  z  5

4 x  3 y  5 z 30
2 x  5 y  3z 76


 1
 2
(3)

7 y  z 50 (1)


a) Caùch 1: Từ PT (1) ta có: x = y+z-5. Thế vào PT (2) và (3) ta có: 7 y  5 z 86 (2 )
Trừ theo vế của PT(2/) và PT (1/) ta coù: 6z = 36(3/).
6 z 36

 x 9


 7 y  5 z 86   y 8
 x  y  z  5
 z 6


Từ PT (1); (2/); (3/) ta co ùheä PT: 
7 y  z 50 (1)


b) Cách 2: Từ PT (1) ta có: x = y+z-5. Thế vào PT (2) và (3) ta coù: 7 y  5 z 86 (2 )
(II)

 y 8

Giải hệ PT ( II) tacó:  z 6 thế vào hệ PT (I) ta có: x = 9.
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y;z) = (9;8;6).

Bài tập
Câu 1. Giải các hệ PT sau:
 x  y 25
2 x  y  3 z 2
 x  2 y  3 z 2



 y  z 30
 x  4 y  6 z 5
2 x  7 y  z 5
 z  x 29
5 x  y  3z  5
 3x  3 y  2 z  7
a) 
b) 
c) 
Câu 2. Lớp 10C1; 10C2; 10C3 cùng thực hiện công trình : tặng quà cho học sinh nghèo . Mỗi

em lớp 10C1 tặng 3 quyển tập và 2 cây viết. Mỗi em lớp 10C2 tặng 2 quyển tập và 4 cây
viết..Mỗi em lớp 10C3 tặng 4 quyển tập và 2 cây viết.Tổng cộng ba lớp quyên góp được
365 quyển tập và 308 cây viết. Biết tổng số HS của 3 lớp là 120. Tìm số HS mỗi lớp.

CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1.Chứng minh một số BĐT bằng phương pháp biến đổi tương đương :
1 1
1/ CMR: a> b>0 ⇒ > .
b a
2/ Cho hai số dương a,b. CMR : a+b ≤ √ 2(a 2+b 2) .
3/ CMR:
a) a2 + b2 + c2
ab + bc + ca, với mọi a,b,c R . Đẳng thức xảy ra khi nào ?


b)
c)
d)
e)

a2 + b2 + ab
0, với mọi a,b,c R . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
4
4
3
a +b
a b + ab3 , với mọi a,b, R . Đẳng thức xảy ra khi naøo ?
(a + b + c )2
3(a2 + b2 + c2), với mọi a,b,c R . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
(ab + cd)2

(a2 + c2)(b2 + d2), với mọi a,b,c R . Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Dạng 2. Ứng dụng của định lý Cauchy

+) Cho a và b là hai số dương. CMR :
a/ a2b + ab2
a3 + b3.
a b
+ ≥2 .
b/
b a
c/ (a + b)(ab + 1)
4ab.
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
+) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a/ Cho hàm số f ( x)=(x+ 3)( 5− x) khi −3 ≤ x ≤5 . Tìm x để hàm số đạt giá trị lớn nhất.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
3
* f ( x)=x + , khi x >0 .
x
1
, khi x >1 .
* f (x)=x +
x −1
+) Giải PT bằng PP đánh giá (NC)

Dạng 3. Xét dấu nhị thức bậc nhất- tam thức bậc hai-giải bpt

1). Dấu của nhị thức bậc nhất
 Nhị thức bậc nhất là đa thức có dạng tổng quát :

f(x) = ax+b ( a
 Nghiệm của nhị thức là: x =

−b
a

 Bảng xét dấu của nhị thức
x
ax+b

0; a,b

R)

−b
a

−∞

trái dấu với a

+ ∞
cùng dấu với a

2) Dấu của tam thức bậc hai
 Tam thức bậc nhất là đa thức có dạng tổng quát :
f(x) = ax2+bx+c ( a 0; a,b R)
 Nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c là nghiệm của pt bậc hai
ax2+bx+c = 0.
 Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

 Nếu Δ < 0: f(x) luôn cùng dấu với a, ∀ x ∈ R
−b
 Nếu Δ = 0: f(x) luôn cùng dấu với a, ∀ x ≠ 2a

 Nếu Δ > 0: f(x) cùng dấu với a khi và chỉ khi x ∈ ( −∞ ; x 1) ∪ ( x 2 ; +∞ )


f(x) trái dấu với a khi và chỉ khi x ∈ ( x1 ; x 2)
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau

a) f (x) = 4x3 + 3x2 -x

b) f(x) = 2x2 -5x4 +3x

c) f (x) = 2x2 – 4x +5 – 4x3 + x4

d) f (x) = (x-1)2 - (2x +1)2

2 x −3

1

a) f(x) = (4 +3 x)(− 2 x +4 )
2

c) f(x) =

3

b) f ( x)= 3 −2 x − 3+ x

2

x −7 x − 8
2
x −8 x − 9

d) f (x)=

x − 4 x +4
4
2
x −4x

Daïng 4. Giải BPT bậc hai một ẩn
Bài 1. Giải các bpt sau
a)2x2 – 3x +1 > 0
d) -3x2 +4x -3 < 0

Bài 2. Cho hàm số y =

b) -4x2 + 5x+6 > 0
e) 2x2 +3x + 4 < 0

c) 7x2 +9x -10 < 0
f) 6x2 -5x +4 > 0

√ x2 − 4 x+ m

Định m để hàm số xác định trên toàn trục số ?
2

Bài 3. Xác định m để phương trình (m− 2) x + 2(2 m−3) x+5 m −6=0 có nghiệm.
Bài 4. Tìm a để hàm số xác ñònh ∀ x ∈ R :
y = ( a + 1)x 2 - 2( a - 1)x + 3 a - 3

Bài 5. Tìm m để pt sau có nghiệm
a) ( m -1)x2 + 3mx – 2m +1 = 0

c) ( 3 – 2m)x2 – 4mx + 2 = 2mx -3x2

b) ( -2m+1)x2 + 4mx – 2m +1 = 0

d) (1 – 2m)x2 – 3mx + 2 = mx -2x2

Baøi 6. Tìm m để mỗi PT sau vô nghiệm
a) -3x2 + 3mx – 2m +1 = 0
b) (m2+3)x2 + mx -1 = 0

c) ( 5 – 2m)x2 – 3mx + 2 = mx +3x2
d) (4 – 2m)x2 –mx + 2 = mx -2x2

Bài 7. Tìm m để mỗi PT sau có hai nghiệm trái dấu

a) ( m2 -1)x2 + 3mx – 2m +1 = 0
b) ( -2m+1)x2 + 4mx – 2m +1 = 0

c) ( 3 – 2m2)x2 – 4mx + 2 = 2mx -3x2
d) (1 – 2m)x2 – 3mx + 2 = mx -2x2 + 3m2

Bài 8. Tìm m để các hàm số sau có TXĐ là R
a)


√

x2 +mx − 1
2
2 x −2 x +5

b)

√

x 2 +4
2
2 x +3 x +m

Dạng 5 Giải hệ bpt bậc nhất, bậc hai một ẩn
Bài 1. Giải các hệ BPT
¿
x −2 x − 3>0
2
a) x −11 x +28 ≥ 0
¿{
¿
2

¿
1
2
−x
4

b) −2 x 2+5 x − 3>0
¿{
¿


¿
x −12 x − 64<0
2
x − 8 x+ 15>0
3
13
d)
− ≤ x≤
4
2
¿{{
¿

¿
x 2 − 4 x − 5<0
x 2 −6 x +8>0
c)
2 x − 3 ≥0
¿{ {
¿

2

Bài 2. Cho phương trình : mx2-2(m-1)x + 4m -1 = 0. Tìm m để:
a) PT có hai nghiệm dương phân biệt

b) PT có các nghiệm âm phân biệt

Bài 3. Cho phương trình : (m2+m+1)x2-(2m-3)x + m -5 = 0. Tìm m để:
a) PT có hai nghiệm dương phân biệt
b) PT có các nghiệm âm phân biệt

Bài 4. Tìm m để các PT sau nghiệm đúng với mọi x
a)

2

x + mx − 1
<1
2
2 x − 2 x +3

2

2 x + mx −4
<6
2
− x +x− 1

b) -4 <

c) −1<

2

x +5 x +m

<7
2
2 x −3 x+ 2

Daïng 6.Giải BPT tích, thương
a. Dạng A.B.C….> 0 ( hay 0,  0, 0 )trong đó: A,B,C,… là các nhị thức hay tam thức bậc hai
A.B...
0
b. Dạng C.D...
(hay 0,  0, 0 )trong đó: A,B,C,… là các nhị thức hay tam thức bậc hai
Cách giải: - Lập bảng xét dấu, chọn nghiệm thích hợp

Bài 1. Giải các bất phương trình
a) ( 2x -4)(x2-3x +2) > 0
d) (3x +6)(3- 2x)(9-x2)

b)(6 -2x)(2x2 +5x +3)< 0
0

c) ( 2x2 –x -6) (4 - x2) >0

e) x3 -7x+6 > 0

f) (2x2 -5x -7 )(4-3x)

0

Bài 2. Giải các bất phương trình
a)


2 x −3
>0
(4 +3 x)(− 2 x +4 )

d)

3
x+1
≥
2 x−1 2−x

x 2 −7 x − 8
x 2 −8 x − 9

b)
e)

<0

3− x
2
≤
5
−9
x
5 x − 4 x −9
2

c)


2x −

f) x-1+

5 x −1
>0
2x

2
x
>
x +1
1−x

Bài 3. Giải các bất phương trình sau
a) 4x3 > -3x2 +x
c) 2x2 – 4x > 2x -2

b) 2x2 -5x4 +3x < 0
d) (3x-1)2 > (2x +1)2

Dạng 8. Giải PT, BPT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(BT đơn giản)
a)

|

−4 x2 +9 1
≤
2 x +3
2


|


c)

|x 2 − 3|<2 x −3

d)

|2 x2 + x +1|≤|x|− x +2

e) |x 2 − 2 x −3|≤ 3 x −3
h) |3 x − 2|≤ 4
h) |− √5 x − 2|≤ − 4
|x 2 − 2 x −3|≥ −2 x+6

i)

|3 x − 2|≤ 4 x2
g) |2 x+5|≥ 3
i) |−2 x +15|≥− 3

g

|x 2 − 2 x −3|≤ 3 x −3
k)

Daïng 9. Giải PT, BPT vô tỷ(BT đơn giản)
2


2

g) ( x − 3) √ x + 4 ≤ x −9

h)

2

9 x −4
≤3 x +2
√5 x 2 −1

Dạng 10.Tìm miền nghiệm của BPT, Hệ BPT bậc nhất hai ẩn
Dạng 11.So sánh các nghiệm của PT bậc hai với một số, hai số (NC)
a. So sánh nghiệm của PT bậc hai với một số α
S
Bước 1: Tính và xét dấu: af ( α ) , Δ , − α
2
Bước 2. Kết luận theo các TH sau
 Nếu af ( α )< 0
thì x 1< α < x 2
x 1=α ; x 2=S − α
 Nếu af ( α )=0
thì
 Nếu af ( α )> 0
ta xét các khả năng sau
¿
Δ≥ 0
S


thì α< x1 ≤ x 2
−α >0
2
¿{
¿
¿
Δ≥ 0
S

thì x 1 ≤ x2 <α
−α <0
2
¿{
¿
  <0: PT vô nghiệm
b. So sánh nghiệm của PT bậc hai với hai số α , β
hay \{ Δ
S
S
Bùc 1: Lập các biểu thức Δ (¿¿ ' ), af ( α ) , −α ,af ( β ) , − β
2
2
¿
Bước 2: Lập bảng , xét dấu các biểu thức trên và so sánh với mỗi số

α , β

CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
Dạng 1.Lập bảng phân bố tần số, tần suất; tần số, tần suất ghép lớp

Dạng 2. Xác đinh số trung bình , số trung vị,Mốt; của một mẫu số liệu
Dạng 3. Tính phương sai- độ lệch chuẩn


CHƯƠNG VI. GÓC LƯNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯNG
GIÁC
Dạng 1. Biểu diễn một cung LG trên đường tròn lượng giác
Dạng 2. Tính các giá trị LG của một cung LG
/.Tính sin, cos bieát:
a)  = - 6750,  = 3900
2/. Cho 0 <  < 900, Xét dấu các biểu thức:
a) cos( + 1800), b) tan( - 1800)
3/ Tính các giá trị lượng giác của cung  biết:
1
π
a) sin = 3 , 2 <α <π
2
va -90 0 <α <0 .
b)cos =
√5
4
π
4/ Cho cos a=− 5 vaø 2 <α <π .
a) Tính sin α ,tan α
tan 2 a . tan a
b) Tính giá trị biểu thức A = tan 2 a − tan a

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức LG
1/.Chứng minh các đẳng thức:
a) tan2x - sin2x = tan2x.sin2x,

tan x sin x
b) sin x − cot x =cos x .
1+sin2 x
=1+2 tg 2 x
c)
2
1 −sin x
2
2
cos x − sin x
=sin2 x . cos2 x .
d)
2
2
cot x − tan x
2/ Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a) sin(A + B) = sinC,
b) cos(A + B) = - cosC,
A+ B
C
=cos
c) sin
2
2 ,
A+ B
C
=sin
d) cos
2
2

A
B
C
e) r=4 R sin sin sin
2
2
2
1
1
1
1
A
B
C
A
B
C
+
+
= tan + tan +tan +cot . cot . cot
f)
sin A sin B sin C 2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
a +b +c
g) cot A +cot B+cot C=
4s
2
2
2
h) sin A +sin B+ sin C=2 sin B sin C cos A +2 sinC sin A cos B+ 2sin A sin B cos C

(

)


i) sin 2 A+ sin 2 B+sin 2 C=

2S
R2

A
B
C
sin
sin
2
2
2
+
+
=2

k)
B
C
C
A
A
B
cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
3
3
3
l) a sin ( B − C ) +b sin ( C − A ) +c sin ( A − B )=0
3 ( a2+ b2 +c 2 )
m) cot α + cot β+ cot γ =
trong đó cos5 x +sin 5 x+cos 2 x +sin 2 x =1+ √2 GÂB,
4s
β=¿ GBÂC, γ =¿ GCÂA , G là trọng tâm của tam giác ABC.
sin

Dạng 4. Rút gọn biểu thức
1/ Rút gọn các biểu thức sau :
π


a) A=cos( 2 + x )+ cos( 2 π − x)+cos (3 π + x).
7π

3π

b) B=2 cos x − 3 cos(π − x )+5 sin ( 2 − x)+cot( 2 − x ).
π

3π

π

c) C=2 sin( 2 + x)+sin (5 π − x )+ sin( 2 + x)+cos ( 2 + x ).
3π

3π

d) D=cos (5 π − x)−sin( 2 + x )+ tan( 2 − x )+ cot(3 π − x) .
2/ Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
a) A = 2cos4x – sin4x + sin2x.cos2x + 3sin2x.
b) B = (cotx + tanx)2 –(cotx - tanx)2.
c)
d)

2
cot x+ 1
+
.
tan x − 1 cot x − 1

D= √ sin 4 x + 4 cos2 x+ √ cos4 x +4 sin 2 x .

C=