I) Các bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất
Bi tập1: Cho biểu thức
A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
Cho a+b+c = 1 .Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A
Giải: Ta có : A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
= a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2)
V ới a+b+c = 1 th ì A = a2+b2+c2
Ta c ó a2+b2
2ab
2
2
a+c
2ac
2
2
b +c
2bc
2
2
2
2(a + b +c )
2(ab + bc + ac) (1)
Cộng thêm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2
⇔ 3(a2 + b2 + c2)
(a+b+c)2
⇔ 3A
1
⇔

A

1
3

1

Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c Mà a+b+c = 1 nên a =b=c = 3
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là

1
3

khi

1

a =b=c = 3

Bài 2: Cho x+y = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+y2
Giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski :
(ac+bd)2
(a2 + b2)(c2+d2) dấu = x¶y ra ⇔ a = b (*)
c d
Chän a = x ; c=1 ; b=y d =1
Ta cã : (x.1+y.1)2
(x2+y2)(1+1)
2
(x+y)
(x2+y2)(1+1)

4
(x2+y2).2
2
(x2+y2)
VËy B 2
DÊu “= ’’xÈy ra khi x=y = 1
VËy Min B = 2 khi x = y =1
C¸ch 2:
Ta cã : x+y =2 ⇔ y =2- x
Do ®ã: B = x2 + (2-x)2 = x2 +x2- 4x + 4
= 2x2 – 4x + 4
= 2(x2 – 2x+1 +1)
= 2(x-1)2 +2
2
VËy Min B = 2 khi x-1 =0 hay x= 1 ; y =1
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5
Giải:


Ta có : C = (x2 - 2xy + y2) + ( y2 – 4y+4)+1
= (x –y)2 + (y -2)2 + 1
Vì (x – y)2
0 ; (y-2)2
0
Do vậy: C
1 với mọi x;y
Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0 ⇔ x=y =2
Vậy: Min C = 1 khi x = y =2
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức

D = 2x2 – 2xy +5y2 + 5
Giải: Ta có : D = x2 – 4xy + 4y2 + x2 +2xy +y2 +5
D = (x - 2y)2 + (x+y)2 + 5
Ta thấy : (x-2y)2
0 ; (x+y)2
0
Nên: D
5
Dấu “ = ” Xảy ra khi :
x – 2y = 0
x+ y = 0
⇔
x=y=0
Vậy Min D = 5 khi x = y =0
Bài 5: Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E = 5x2 +8xy + 5y2 – 2x + 2y
Giải: Ta có : E = (4x2 + 8xy +4y2 )+(x2 - 2x +1) + (y2 +2y +1) – 2
E = (2x +2y)2 +(x- 1)2 +( y+1)2 - 2
Do đó E
-2
Dấu “ = ” xảy ra khi
¿
2 x +2 y=0
x − 1=0
y +1=0
⇔
¿ x=1
y =−1
¿{{
¿


Vậy Min B = -2 khi x =1 và y =-1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = a3 + b3 + ab ;
Cho a + b = 1
2
Giải: Ta có : F = (a+b)(a –ab+b2) +ab
Thay a+ b =1 vào F ta được
F = a2 – ab +b2 + ab
F = a2 +b2
F = (a+b)2 – 2ab
F = 1 – 2ab
Do a+b =1 ⇔ a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b
F = 1 -2b+2b2
1

1

F = 2(b2 – b+ 4 ) + 2


1

1

1
2

F = 2(b - 2 )2 + 2
1


1

Với mọi b
1

Dấu “ = ” xảy ra khi : b - 2 = 0 ⇔ b = 2 và a = 2
1

1

Vậy Min F = 2 Khi a =b = 2
1

Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : G (x) = x + 4 x

cho x > 0

1

Giải: Ta có: G = x + 4 x
=

2 x −1 ¿2 + 4 x
¿
2
4 x +1
¿
=
2

4x
4 x − 4 x +1+4 x
=¿
4x

2 x −1 ¿
¿
= 1+
¿
¿

V ì x > 0 Nên G

2

1

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 1 khi :

2 x −1 ¿
¿
¿
¿

1

= 0 ⇔ (2x -1)2 = 0 ⇔ x = 2


Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H = x(x+1)(x+2)(x+3)
Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2)
H = (x2+ 3x)(x2 + 3x +2)
H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)
H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)+1 – 1
H = (x2 + 3x +1)2 – 1

− 3 ±√5
- 1 , Dấu ‘ = ’ xảy ra khi x2 + 3x +1 = 0 ⇔ x =

⇔ H

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x =

− 3 ±√ 5
2

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
I(x) =

x 2 −1
x 2+1

Giải : Ta có : I(x) =

2
x 2 −1

= 1- 2
2
x +1
x +1

Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức
nghĩa là x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất .
Ta có :
x2 + 1
1 Với mọi x
2
 Min (x + 1) = 1 tại x = 0
 Min I(x) = 1- 2 = -1
Vậy Min I(x) = -1 tại x = 0

2
x +1
2

đạt giá trị lớn nhất


Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
J = 3( x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10
Giải : Ta có :
J = ( x2 – 2xy + y2 ) + ( y2 – 2yz + z2 ) + (z2 – 2zt + t2 ) + ( t2 – 2tx + x2 )
1

1


1

1

+ ( x2 – x + 4 ) + ( y2 – y + 4 ) + ( z 2 – z + 4 ) + ( t 2 – t + 4 ) + 9
1

1

1

= ( x – y)2 + ( y – z )2 + ( z – t)2 + (t – x)2 + (x – 2 )2 + (y – 2 )2 + (z – 2 )2
1

+ (t – 2 )2 + 9
Do vậy J
9 Với mọi x ; y ; z ; t

1

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 2
1

Vậy giá trị nhỏ nhất của J là 9 khi x = y = z = t = 2
Bài 11: Cho biểu thức :
K = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x ; y ; z ; t là các số ngun khơng âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của K và
các giá trị tương ứng của x ; y ;z và t , biết rằng :
x2 – y2 + t2 = 21
Giải:


x2 + 3y2 + 4z2 = 101
Theo giả thiết , ta có :
x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
 x2 – y2 + t2 + x2 + 3y2 + 4z2 = 122
 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
 2K – t2 = 122
 2K = 122 + t2
Do đó : 2K
122
⇔
K
61
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 0
Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất là 61 tại t = 0
Ta có :
x2 – y2 + t2 = 21
(1)
2
2
2
x + 3y + 4z = 101
(2)
Vì x ; y
N nên từ (1) => x > y
0
 x+y
x – y > 0 . Do đó :
(x + y)( x – y) = 21 . 1= 7 . 3

¿
x+ y=21
=> x − y=1
¿{
¿

⇔
x=11
y=10
¿{


hoặc

¿
x + y=7
x − y=3
¿{
¿

⇔

¿
x=5
y=2
¿{
¿

Từ (2) => 3y2
101 => y2

33 => 0
y
5
Ta chọn x = 5 ; y = 2
(2) => z = 4
Vậy Min K =61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0
II) Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc
A = 3xy – x2 – y2 BiÕt x; y là nghiệm của phơng trình 5x+2y = 10
Giải:
Từ : 5x +2y = 10 ⇔ y =

10 −5 x
2

Thay y vµo biÓu thøc A ta cã:

10 −5 x
10 −5 x 2
2
x
–
(
)
2
2
60 x −30 x 2 − 4 x 2 −100+100 x − 252
A=
4
A = 1 (-59x2 +160x-100)

4
A = 1 .59 ( -x2 + 160 x − 100 ¿
4
59
59
A = 1 .59 −(x 2 −2 . x 80 ⋅ 1 + 6400 )− 5900 + 6400
4
59 2 3481 3481 3481
80
500
x − ¿2 +
59
3481
A=
−¿
59
¿
4
80 2
x− ¿
125
59
A=
125 59
59
− ¿
59
4
VËy Max A = 125 Khi x = 80
vµ y = 10 −5 x

59
59
2

A = 3x.

[

]

= 95
59

Bµi 2: Cho biĨu thøc B = - a2 – b2 +ab +2a+2b
B đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào?
Giải: Ta có B = - a2 – b2 +ab +2a+2b
2B = -2a2 – 2b2 +2ab +4a+4b
⇔
= - (a2 - 2ab +b2) –( a2- 4a +4) – (b2 -4b +4) + 8
= 8 – (a-b)2 – (a-2)2 – (b -2 )2
⇔ 2B
8
⇔
B
4
DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi a = b =2
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b =2
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
C = - 5y2 – 5x2 + 8x – 6y – 1



Gi¶i: C = - (5x2 – 8x ) – (5y2 + 6y) – 1
C = - 5( x2 - 2. 4 x+ 16 ¿ - 5( y2 +2. 3 y + 9 ¿ + 4

C= 4- 5

5 25
3 2
y+ ¿
5
4 2
x− ¿ +¿
5
¿
¿

Do ®ã ta cã : C
DÊu ‘ = xảy ra khi



5

25

4

3 2
y+
5

4
x 2+
5


4
x=
5

=0
và y = 3
5

4
x=
5

Vậy giá trị lớn nhất của C là 4 tại
và y = 3
5
Bài 4: Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc
D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1
Gi¶i: Ta cã
D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1
49

= - ( x2 +2xy + y2) – (4x2 - 14x + 4
2

=


y −5 ¿
7
2 x − ¿2 − ¿
2
x+ y ¿ 2 −¿
145
−¿
4

145

D
4
DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi vµ chØ khi
¿
x+ y=0
7
2 x − =0
2
y − 5=0
⇔
¿ x= y
7
x=
4
y=5
{{



( không thỏa mÃn )

Vậy giá trị lớn nhất của D không tồn tại
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè
y = √ x −2+ √4 − x
Gi¶i:

) – (y2 - 10 y +25) +

49
+25 – 1
4


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski :
(a2 + b2)(c2+d2) dấu = x¶y ra ⇔
Chän: √ x −2=a ; c =1
√ 4 − x=b ; d =1
§KX§ : 2 x 4
[( x −2)+( 4 − x )] (1+1)
ta cã y2 = ( √ x −2+ √4 − x )2
(ac+bd)2

⇔

a b
=
c d

(*)


4
2
| y|
Vì y > 0 nên ta có 0 < y
2
DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi √ x −2=√ 4 − x ⇔ x -2 = 4 –x ⇔ x =3 ( thỏa mÃn ĐKXĐ)
Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là y là 2 tại x = 3
y2