ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI TOÁN HSG HUYỆN QUẢNG XƯƠNG NAM 2007-2008
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (110.45 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
phòng giáo dục và đào tạo
Huyện Quảng xơng
<b>đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2007 - 2008</b>
<b> Mơn : Tốn</b>
<b> Thời gian làm bài : 150 phút </b><i><b>(không kể thời gian giao đề)</b></i>
<b>Bµi 1</b>: Cho biÓu thøc : <i>A</i>=( √<i>x</i>+2
<i>x</i>+2<sub>√</sub><i>x</i>+1<i>−</i>
√<i>x −</i>2
<i>x −</i>1 ).
√<i>x</i>+1
√<i>x</i>
a) Rót gän A .
b) Tìm số tự nhiên x để giá trị của A là số nguyên .
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị âm .
<b>Bµi 2</b>: 1) Với a là số nguyên, chứng minh rằng : <i>a5<sub> - 5a</sub>3<sub> + 4a</sub></i><sub> chia hÕt cho120 .</sub>
2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và <i>a + b + c = 1.</i>
Chøng minh : <i>a</i>+1
<i>a</i> .
<i>b</i>+1
<i>b</i> .
<i>c</i>+1
<i>c</i> <i>≥</i>64
<b>Bài 3</b>: Cho A = x2 <sub>+ (x+y)(y-3) + 2007 . Với giá trị nào của x, y thì A có giá trị</sub>
nhỏ nhất ? Tìm giá trị đó .
<b>Bµi 4</b> : 1) Giải phơng trình :
<sub></sub>
<i><sub>x</sub></i>2<i></i>22<i>x</i>+121+
<i>x</i>2+24<i>x</i>+144=2007 2) Tìm nghiệm nguyên của phơng tr×nh : (10 - y ) x - 3y + 37 = 0
<b>Bài 5</b> : 1) cho <i>Δ</i>ABC (vng tại A) có diện tích bằng 11/12 m2<sub> . Gọi A' , B' ,</sub>
C' theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua BC, AC, và AB .
TÝnh diÖn tÝch <i>ΔA ' B ' C '</i> .
2) Cho <i>Δ</i>ABC cã gãc B nhá h¬n 900<sub> , AB =c , AC =b , BC = a ; Hình </sub>
chiếu của AB trên cạnh BC b»ng c' . Chøng minh : a2 <sub>+ c</sub>2<sub> - b</sub>2<sub> = 2ac' .</sub>
<i>Ghi chó : C¸n bé coi thi không giải thích gì thêm</i> .
Họ và tên thí sinh : .
Số báo danh : .
Đáp án
Câu 1:
C©u 2:
1) P = <i>a5<sub> - 5a</sub>3<sub> + 4a =(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)</sub></i>
<i>⇒P</i><sub>⋮</sub>3<i>, P</i><sub>⋮</sub>5<i>, P</i><sub>⋮</sub>8 v× (3;5;8)=1 nªn P ⋮ 3.5.8 hay P
⋮ 120 .
2) Tõ a + b + c = 1 ta cã
A = 2<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>
<i>a</i> .
2<i>b</i>+<i>a</i>+<i>c</i>
<i>b</i> .
2<i>c</i>+<i>a</i>+<i>b</i>
<i>c</i> =
(
2+<i>b</i>+<i>c</i>
<i>a</i>
)(
2+<i>a</i>+<i>c</i>
<i>b</i>
)(
2+<i>a</i>+<i>b</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Theo BĐT Côsi ta cã : <i>b</i>
<i>a</i>+
<i>c</i>
<i>a≥</i>2
√
bc
<i>a</i>2 T¬ng tù :
<i>a</i>
<i>b</i>+
<i>c</i>
<i>b≥</i>2
√
ac
<i>b</i>2 ;
<i>a</i>
<i>c</i>+
<i>b</i>
<i>c≥</i>2
√
ab
<i>c</i>2
<i>⇒</i> A
(
2+2√
bc<i>a</i>2
)(
2+2√
ac
<i>b</i>2
)(
2+2√
ab
<i>c</i>2
)
<i>≥</i>64Dấu = sảy ra đồng thời ở 3 BĐT trên khi a = b = c
Vậy Min A = 64 tam giỏc ABC u .
Câu 3: Cách 1/ A = x2 <sub>+ (x+y)(y-3) + 2007 = x</sub>2 <sub>+ (y-3)x + y</sub>2<sub> - 3y + 2007 =</sub>
(
<i>x</i>2+(<i>y −</i>3)<i>x</i>+(<i>y −</i>3)2
4
)
+(
<i>y</i>2
<i>−</i>3<i>y −</i>(<i>y −</i>3)
2
4
)
+2007=(
<i>x</i>+<i>y −</i>3
2
)
2
+
(
3<i>y</i>2
<i>−</i>6<i>y −</i>9
4
)
+2007¿
(
<i>x</i>+ <i>y −</i>32
)
2
+3
4(<i>y −</i>1)
2
+2004<i>≥</i>2004
<i>x</i>+ <i>y −</i>3
2 =0
VËy Min A = 2004 khi y- 1 = 0 <i>⇒x</i>=<i>y</i>=1
C¸ch 2 / A = x2 <sub>+ (x+y)(y-3) + 2007 = x</sub>2 <sub>+ xy + y</sub>2<sub> - 3x - 3y + 2007 </sub>
= x2 <sub>- 2x + y</sub>2<sub> - 2y +xy - x - y + 2007 </sub>
= (x-1)2<sub> + (y-1)</sub>2<sub> + (x-1)(y-1) + 2004 </sub> <sub> 2004</sub>
( v× a2<sub> + b</sub>2<sub> + ab </sub> <sub> 0 víi </sub> <i><sub>∀</sub></i> <sub>a,b)</sub>
VËy Min A = 2004 khi x = y = 1
C©u 4.1
Giải phơng trình :
<sub></sub>
<i><sub>x</sub></i>2<i></i>22<i>x</i>+121+
<i>x</i>2+24<i>x</i>+144=2007 <i>⇔</i>|<i>x −</i>11|+|<i>x</i>+12|=2007
Víi <i>x</i><<i>−</i>12 ta cã pt : 11- x - x - 12 = 2007 <i>⇒</i> x = - 1004
Víi -12 x < 11 PTVN
Víi x 11 ta cã pt : x -11 + x +12 = 2007 <i>⇒</i> x = 1003
§s : x = - 1004 hoặc x = 1003
Câu 4.2
(10 - y ) x - 3y + 37 = 0 <i>x</i>=3<i>−</i>67
10<i>− y</i> <i>∈Z</i>
=> 10 - y Ư(67) = {<i>±</i>1<i>;±</i>67} từ đó chọn đợc 04 cặp số t/m là :
(x , y ) = ( 70 ; 11) , (- 64 ; 9) , ( 4 ; 77 ) , ( 2 ; - 57 )
C©u 5.1 /
S ABC = 1
2 BC.AH
S A'B'C' = 1
2 B'C'.A'H' =
1
2 .3BC.AH
= 33
12 <i>m</i>
2
( Do ⋄BCB<i>' C '</i> là hình thoi => BC
=B'C';
AH = AH' => A'H' = 3 AH )
B'
H
C'
H'
A'
C
A
B
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Th1: Gãc C nhän .
ta cã :
AH2 <sub>= c</sub>2<sub>- c' </sub>2<sub> = -( a - c')</sub>2<sub> + b</sub>2
=> c2<sub>- c' </sub>2 <sub>= -a</sub>2<sub>- c' </sub>2<sub>+ 2ac' + b</sub>2
=> a2<sub> + c</sub>2<sub> - b</sub>2<sub> = 2 ac' ./.</sub>
Th2 : Gãc C tï :
Ta cã : AH2<sub>= c</sub>2<sub> - c' </sub>2<sub> = b</sub>2<sub> - (c' - a)</sub>2
=> c2<sub> - c' </sub>2<sub> = b</sub>2<sub> - c' </sub>2<sub> - a</sub>2 <sub>+ 2ac'</sub>
=> a2 <sub>+ c</sub>2 <sub>- b</sub>2 <sub> = 2ac'</sub> H1
c'
a
b
c
H C
B
A
c'
a
b
c
H
C
B
A
</div>
<!--links-->
