mét sè bµi to¸n hay vµ khã mét sè bµi to¸n ®¹i sè vµ sè häc bµi1 cho c¸c sè x y tháa m n x y 2009 1 týnh gi¸ trþ cña bióu thøc a lêi gi¶i ta cã 1 2009y 2009 x y x
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (94.39 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>một số bài toán đại số và s hc</b>
<i><b>Bài1: Cho các số x, y thỏa mÃn:</b></i>
(x + <i>x </i>2 2009)(y +
2
2009
<i>y </i> <sub>) = 2009 (1)</sub>
Tính giá trị cđa biĨu thøc A = <i>x</i>2009<i>y</i>2009
<i><b>Lêi gi¶i: </b></i>
+ Ta cã: (1) 2009(y +
2 <sub>2009</sub>
<i>y </i> <sub>) = 2009(</sub> <i><sub>x </sub></i>2 <sub>2009</sub>
- x)
<sub>(y +</sub> <i>y </i>2 2009<sub>) = (</sub> <i>x </i>2 2009<sub> - x) (2)</sub>
+ T¬ng tù ta còng cã:
(x + <i>x </i>2 2009) = (
2 <sub>2009</sub>
<i>y </i> <sub> - y) (3)</sub>
Tõ (2) vµ (3) ta cã: x + y = 0 x = - y .
Vậy: A = <i>x</i>2009<i>y</i>2009 = 0
<i><b>Bài2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mÃn: </b></i>
<i><b> </b>x</i>22<i>y</i>2 + 2xy - 5x- 5y = - 6 (1) để x + y l s nguyờn?
<i><b>Lời giải: (cách1)</b></i>
(1) <sub>(x + y - </sub>
5
2<sub>)</sub>2
+ <i>y</i>2 -
1
4<sub> = 0. Do </sub><i>y</i>2 <sub> 0 nªn: (x + y - </sub>
5
2<sub>)</sub>2
-
1
4 <sub> 0</sub>
-
1
2 <sub> (x + y - </sub>
5
2<sub>) </sub>
1
2 <sub> 2 </sub><sub> x + y</sub><sub> 3. </sub>
Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
<i><b>Cách2: Đặt x + y = T </b></i> <sub>y = T – x thế vào (1) ta đợc phơng trình bậc hai </sub>
đối với ẩn x: <i>x</i>2 - 2Tx +2T2- 5T + 6 = 0 (2). Giá trị của T nếu có là điều kiện
có nghiệm của phơng trình (2) ,<sub> = - T</sub>2<sub>+ 5T - 6 </sub><sub> 0 </sub> <sub>2 </sub><sub> T </sub><sub> 3</sub>
2<sub> x + y </sub><sub> 3</sub>
Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
<i><b>Bµi3: </b>Cho các số nguyên dơng khác nhau: a</i>1<i><sub>; a</sub></i>2<i><sub>;...; a</sub></i>900<i><sub>. Chứng minh rằng </sub></i>
<i>phơng trình : </i> 1 2 900
1 1 1
... 60
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i><sub> v« nghiƯm</sub></i>
<i><b>Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức: </b></i>
1
2( <i>n</i> <i>n</i> 1)
<i>n</i> <i><sub> víi n </sub></i><i><sub>1. ThËt vËy:</sub></i>
Ta cã:
1
<i>n</i> <sub> = </sub>
2
<i>2 n</i> <sub> < </sub>
2
1
<i>n</i> <i>n</i> <sub> = </sub>
2
1
<i>n</i> <i>n</i> <sub> = </sub>2( <i>n</i> <i>n</i>1)<sub>.</sub>
VËy:
1
2( <i>n</i> <i>n</i> 1)
<i>n</i> <sub> (*)</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
1 2 900
1 1 1
...
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <sub></sub>
1 1 1
...
1 2 900 <sub> < 2(- </sub> 0<sub>+</sub>
1 1 2 2 ... 899 899 900<sub>) = 60. Suy ra:</sub>
1 2 900
1 1 1
...
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
< 60. Vậy phơng trình 1 2 900
1 1 1
... 60
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i> vô </i>
<i>nghiệm</i>
<i><b>Bài4: Tìm GTNN cđa biĨu thøc</b></i>
C = <i>x</i>
2<i><sub>−2 x+2008</sub></i>
<i>x</i>2 (x 0)
<i><b> Ta cã thể giải câu này bằng nhiều cách nh</b><b> sau:</b></i>
<i><b> Cách1:</b></i>
Do x 0 nên ta có:
C = 1 - 2
<i>x</i> +
2008
<i>x</i>2 . §Ỉt
1
<i>x</i> = t, khi đó: Ta đa về đa thức bậc hai nh
sau:
C = 2008t2<sub> – 2t + 1 = 2008(t</sub>2<sub> – 2t</sub> 1
2008 +
1
2008 )
C= 2008(t2<sub> – 2t</sub> 1
2008 +
1
20082 -
1
20082 +
1
2008 )
C = 2008(t - 1
2008 )2 +
2007
2008
2007
2008
Suy ra: GTNN (C) = 2007
2008 <i>⇔</i> t =
1
2008 <i>⇔</i> x = 2008
<i><b> Cách2: Ta có thể giải cách kh¸c nh sau:</b></i>
Do x 0 nªn C = <i>x</i>
2
<i>−2 x+2008</i>
<i>x</i>2 <i>⇔</i> (C - 1) x
2<sub> + 2x – 2008 = 0 </sub>
(2)
+ NÕu C = 1 suy ra x = 1004 (*)
+ NÕu C 1 thì giá trị của C nếu có chính là điều kiện có nghiệm của
ph-ơng trình (2)
<i></i> <i>,</i> = 1 + 2008(C - 1) 0 <i>⇔</i> C 2007
2008 suy ra GTNN(C) =
2007
2008 <i>⇔</i> <i>Δ,</i> = 0 <i>⇔</i> x = 2008.(**)
Từ (*) và (**) ta tìm đợc GTNN(C) = 2007
2008
<i><b>C¸ch3:Víi mäi a </b></i> R .Ta cã: C – a = <i>x</i>
2
<i>−2 x+2008</i>
<i>x</i>2 - a =
(1− a) x2<i><sub>−2 x+2008</sub></i>
<i>x</i>2 (3)
XÐt f(x) = (1- a)x2<sub> -2x + 2008. Gäi </sub> <i><sub>Δ</sub>,</i> <sub> = 2008a – 2007</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<i>Δ,</i> = 0 <i>⇔</i> a = 2007
2008 . Víi a =
2007
2008 th×: C -
2007
2008 =
<i>x − 2008</i>¿2
¿
¿
¿
0. DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi a = 2008 <i>⇔</i> C = 2007
2008 . VËy
GTNN(C) = 2007
2008
<i><b>C¸ch4:</b></i>
Ta cã: C = <i>2008 x</i>
2<i><sub>−2 x 2008+2008</sub></i>2
<i>2008 x</i>2 =
<i>x</i>2<i><sub>−2 x 2008+2008</sub></i>2<sub>+2007 x</sub>2
<i>2008 x</i>2 =
<i>x − 2008</i>¿2+<i>2007 x</i>2
¿
¿
¿
=
<i>x − 2008</i>¿2
¿
¿
¿
+ 2007
2008
2007
2008 (Do x 0)
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: x = 2008. VËy GTNN(C) = 2007
</div>
<!--links-->
