Lớp 11

PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHƢƠNG 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC- PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I.

CƠNG THỨC

1. Cơng thức lƣợng giác cơ bản
sin 2 a  cos 2 a  1
tan a.cot a  1, a 

1

, a   k ( k  )
2
cos a
2
1
1  cot 2 a 
, a  k  k  
sin 2 a
1  tan 2 a 


2

 k ( k  )

2. Giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối:  và  

cos     cos

tan      tan 

sin      sin 

cot      cot 

b. Cung bù:  và   
sin      sin 

tan       tan 

cos      cos

c. Cung phụ:  và


2

cot       cot 

 .



sin      cos
2





tan      cot 
2




cos      sin 
2




cot      tan 
2


d. Cung hơn kém  :  và    
sin       sin 

tan      tan 

cos      cos

cot      cot 

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot
3. Công thức cộng



Lớp 11

sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b
sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b
cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b
cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b
tan a  tan b
1  tan a.tan b
tan a  tan b
tan  a  b  
1  tan a.tan b
tan  a  b  

Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia 1 trừ tích
tan.
4. Cơng thức nhân đơi

sin 2a  2sin a.cos a

cos2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos 2 a  1  1  2sin 2 a

tan 2a 

2 tan a
1  tan 2 a

5. Công thức hạ bậc

sin 2 a 


1  cos2a
2

cos2 a 

6. Cơng thức tính theo t  tan

sin a 

2t
1 t2

cos a 

1  cos2a
2

tan 2 a 

1  cos2a
1  cos2a


2

1 t2
1 t2

tan a 


a 

   k , k  
2 2


2t
1 t2

7. Công thức nhân ba

sin 3a  3sin a  4sin 3 a

cos3a  4cos3 a  3cos a

tan 3a 

3tan a  tan 3 a
1  3tan 2 a

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

ab
a b
cos
2
2
ab
a b

sin a  sin b  2sin
cos
2
2
sin  a  b  


tan a  tan b 
 a, b   k , k  
cos a.cos b 
2

cos a  cos b  2 cos

9. Cơng thức biến đổi tích thành tổng

ab
a b
sin
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2cos
sin
2
2
sin  a  b  



tan a  tan b 
 a, b   k , k  
cos a.cos b 
2


cos a  cos b  2sin


Lớp 11

1
cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  
2
cos a.cos b 

10. Bảng giá trị lƣợng giác của các cung đặc biệt

Cung

 
 
 
 

 2 
0
0  3 
0  5 
00  0  300   450   600   900   1200 
 135   150   180  
 3 
 6 
6
4
3
2
 4 

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos


1

3
2

2
2

1
2

0



tan

0

1
3

1

3

║

 3


cot

║

3

1

1
3

0



1
3

3
2

1
2



Chú ý:

n

với   00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4 .
2
a0

 Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:

0
180

11. Đƣờng tròn lƣợng giác
 sin  

1
2

2
2
2
2

0



3
2

1

1




1
3

0

1

 3

║


Lớp 11
sin
1

π
2

3π

π

4

4


2π

π

0

O

-1

cos

1

7π

5π

4

4
-1

3π
2

II.

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC .
1. Tìm tập xác định của hàm số lƣợng giác.


Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:


y  tan f ( x) 

sin f ( x) ĐKXĐ

 cos f ( x)  0  f ( x)   k  k 
cos f ( x)
2



y  cot f ( x) 

cos f ( x) ĐKXĐ
 sin f ( x)  0  f ( x)  k  k 
sin f ( x)



.

.



Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:
1

ĐKXĐ
o y

 P( x)  0 .
P( x)
o

ĐKXĐ
y  2n P( x) 
 P( x )  0 .

o

y

2n

1
ĐKXĐ

 P( x)  0 .
P( x)

A  0
Lưu ý rằng : 1  sin f ( x);cos f ( x)  1 và A.B  0  
.
B  0
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lƣợng giác.



Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

0  sin x  1
.
1  sin x  1  
2
0

sin
x

1


o Biến đổi về dạng m  y  M .

o

3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lƣợng giác.
 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác. Nếu x  D thì  x  D  D là tập đối
xứng và chuyển sang bước 2.
 Bước 2: Tính f ( x) .


Lớp 11

o Nếu f ( x)  f ( x) thì y  f ( x) là hàm chẵn.
o Nếu f ( x)   f ( x) thì y  f ( x) là hàm lẻ.
o Nếu f ( x)  f ( x), f ( x)   f ( x) thì hàm y  f ( x) khơng chẵn cũng khơng lẻ.
III.


PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản:
a. Phương trình sin x  a .

 a  1 : Phương trình vơ nghiệm
 a 1
 x    k 2
 sin x  sin   
k  
 x      k 2
 x   0  k 3600
0
 sin x  sin   
k 
0
0
0
 x  180    k 360
 x  arc sin a  k 2
 sin x  a  
k  
 x    arc sin a  k 2



 f  x   g  x   k 2
Tổng quát: sin f  x   sin g  x   
k 
 f  x     g  x   k 2

* Các trƣờng hợp đặc biệt

 sin x  1  x 


2

 k 2

 sin x  1  x  
 sin x  0  x  k


2

k  

 k 2

k  

k  

b. Phương trình cos x  a .

 a  1 : Phương trình vơ nghiệm

 a 1
 cosx  cos  x    k 2  k 




 cosx  cos 0  x    0  k 3600  k 
 cosx  a  x   arccosa  k 2  k 




Tổng quát: cosf  x   cosg  x   f  x    g  x   k 2  k 
* Các trƣờng hợp đặc biệt






Lớp 11

k  
cosx  1  x    k 2  k  

 cosx  1  x  k 2


 cosx  0  x 


2

 k


k  

c. Phương trình tan x  a .

k  
 tan x  t an 0  x = 0  k1800  k  
 tan x  a  x = arctan a  k  k  
 tan x  t an  x =   k

Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k 



d. Phương trình cot x  a .

k  
 cot x  cot  0  x =  0 + k1800  k  
 cot x  a  x = arc cot a + k  k  
 cot x  cot   x =  + k

Tổng quát: cotf  x   cotg  x   f  x   g  x   k  k 
IV.

.

MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP.
1. Phƣơng trình lƣợng giác đƣa về bậc hai và bậc cao cùng một hàm lƣợng giác.

Dạng

a.sin X  b.sin X  c  0
a.cos2 X  b.cos X  c  0
a.tan 2 X  b.tan X  c  0

t  sin X
t  cos X
t  tan X

2

Đặt ẩn phụ

t  cot X
a.cot 2 X  b.cot X  c  0
2. Phƣơng trình lƣợng giác bậc nhất đối với sin và cos .

Dạng tổng quát: a sin x  b cos x  c,  a, b 



a 2  b2  c 2 .
Phương pháp giải:

o Chi hai vế cho
o Giả sử cos  

\ 0 .Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

a 2  b2  0 ta được phương trình :
a

a b
2

2

b

;sin  

sin x.cos   sin  .cos x 

a  b2
2

c
2

a
a b
2

2

sin x 

b
a b
2

thì :


 sin  x    

a b
3. Phƣơng trình lƣợng giác đẳng cấp.
2



 k
2
X  k
X



Điều kiện

1  t  1
1  t  1

c
a  b2
2

: dạng cơ bản.

2

cos x 


c
a  b2
2

.


Lớp 11



Dạng tổng quát: a.sin X  b.sin x.cos x  c.cos x  d ,  a, b, c, d 



Phương pháp giải:

2

o Với cos X  0  X 
o Với cos X  0  X 


2


2

2


 k khi đó sin 2 X  1 thay vào phương trình ta được : a  d .
 k , ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :

sin 2 X
sin X
d
b
c 
2
cos X
cos X
cos 2 X
 a tan 2 X  b tan X  c  d 1  tan 2 X 
a

o Giải phương trình bậc hai với ẩn t  tan X .
4. Phƣơng trình lƣợng giác đối xứng.
a. Dạng 1: a  sin x  cos x   b sin x.cos x  c  0 .
Phương pháp giải :


t 2 1
Đặt t  sin x  cos x, t  2  sin x.cos x 
2



Khi đó ta có phương trình : a.t  b




t 2 1
c  0 .
2
Giải phương trình bậc hai ta được ẩn t . Từ đó giải được x .

b. Dạng 2: a  tan 2 x  cot 2 x   b  tan x  cot x   c  0 .

Phương pháp giải:


Đặt t  tan x  cot x, t  2  tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 .



Khi đó ta có phương trình : a  t 2  2   bt  c  0 .

 Giải phương trình bậc hai ta được ẩn t . Từ đó giải được x .
5. Phƣơng trình lƣợng giác không chuẩn mực.
A  0  B  0 A  0

a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm 
.
A  B  0
B  0

A  M  B A  M

b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập : 

.
A  B
B  M
 A  B, B  N
A  M

c. Trương hợp 3: Sử dụng tính chất : 
.
A  B  M  N
B  N



.

sin u  1
sin u  sin v  2  
.
sin v  1
sin u  1
sin u  sin v  2  
.
sin v  1


Lớp 11








sin u  1
.
sin u  sin v  2  
sin v  1
sin u  1
.
sin u  sin v  2  
sin v  1
A  M , B  N
 A  M  A  M
d. Sử dụng tính chất : 
.


 A.B  M .N
B  N B   N
sin u  1 sin u  1
.
sin u.sin v  1  

sin v  1 sin v  1
sin u  1 sin u  1
.
sin u.sin v  1  

sin v  1 sin v  1


CHƢƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Vấn đề 1: QUY TẮC ĐẾM
I.

Lý thuyết
1. Quy tắc cộng.

Giả sử có 1 cơng việc có thể tiến hành bằng k phương án A1 , A2 , A3 ..., Ak .
Nếu :
Phương án A1 có n1 cách thực hiện.
Phương án A2 có n2 cách thực hiện.
…
Phương án A2 có n2 cách thực hiện.
Khi đó cơng việc đó có thể thực hiện theo n1  n2  ...  nk cách.
2. Quy tắc nhân.
Giả sử một cơng việc có thể tiến hành qua k cơng đoạn B1 , B2 ,..., Bk .
Nếu :
Cơng đoạn B1 có m1 cách thực hiện.
Cơng đoạn B2 có m2 cách thực hiện.
…


Lớp 11

Cơng đoạn Bk có mk cách thực hiện.
Khi đó , cơng việc đó có thể thực hiện theo n1.n 2 ....nk cách.
3. Ngun lí bù trừ

Vấn đề 2: HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I.


Hoán vị
1. Định nghĩa : Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n phần tử này theo
một thứ tự nào đó gọi là một hốn vị của n phần tử: Pn  n !

2. Dấu hiệu:
 Tất cả n phần tử đều có mặt.
 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần.
 Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
II.
Chỉnh hợp
1. Định nghĩa: Lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử và sắp xếp theo thứ tự có Ank cách.
2. Cơng thức : Ank 

n!
(n  k )!

3. Dấu hiệu:
 Phải chọn k phần tử trong n phần tử cho trước.
 Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
II.
Tổ hợp
1. Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương. Lấy k phần tử từ n phần tử có Cnk
cách.
2. Cơng thức : Cnk 

n!
k !(n  k )!

3. Tính chất:

 Cnk  Cnnk , 0  k  n


Cnk  Cnk1  Cnk11 , 0  k  n

4. Dấu hiệu :
 Phải chọn k phần tử trong n phần tử cho trước.
 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

Vấn đề 3 : NHỊ THỨC NEW-TON
I.

Lý thuyết.
1. Công thức nhị thức Newton.


n

(a  b)n   Cnk a n k bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b 2  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnb n
0


Lớp 11

 Số hạng tổng quát : Tk 1  C a
k
n




nk

b

k

n

(a  b)n  (1) k  Cnk a nk bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b 2  ...  (1) n Cnnb n
0

 Số hạng tổng quát : Tk 1  (1)k Cnk a nk bk

Vấn đề 4: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I.

Lý thuyết .

1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại
nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó khơng dự đốn trước được và có thể xác định
được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu
Ω.
b. Xác suất các biến cố:
Định nghĩa : Giả sử phép tốn thử T có khơng gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của
T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mơ tả A
thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định bởi cơng thức:


P( A) 

A


trong đó  A và  lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω
- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1.
- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0.
2. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
2.1. Quy tắc cộng xác suất
a. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc biến cố B xảy ra”, kí
hiệu là A  B được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí hiệu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp mơ tả A và
B thì tập hợp mô tả biến cố A  B và ΩA  ΩB.


Lớp 11

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ có ít
nhất một trong các biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu là A1  A2   Ak , được gọi là hợp của k
biến cố đó.
b. Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc
nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu.
ΩA  ΩB = 
c. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P( A  B)  P( A)  P( B)


(1)

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak đơi một xung khắc thì ta có:

P( A1  A2  ...  Ak )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( Ak )

(2)

d. Biến cố đối


Cho biến cố A thì biến cố “ Khơng xảy ra A”, ký hiệu là A¸ được gọi là biến cố đối của A.




Cho biến cố A xác suất của biến cố đối A¸ là: P( A)  1  P( A)

(3)

2.2. Quy tắc nhân xác suất
a. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu
là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận
lợi cho AB là ΩA  ΩB .
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ tất cả
k biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra “, ký hiệu là A1A2 Ak , được gọi là giao của k biến cố đó.
b. Biến cố độc lập
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với

nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố kia.
c. Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P( AB)  P( A).P( B)


Lớp 11

CHƢƠNG 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG -CẤP SỐ NHÂN
Vấn đề 1: CẤP SỐ CỘNG
I. Dãy số.




Dãy số hữu hạn.
Dãy số vơ hạn tuần hồn.
Dãy số vơ hạn khơng tuần hồn.

II. Cấp số cộng.
1. Cấp số cộng.
Là 1 dãy số hữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn trong đó số hạng sau bằng số hạng trước cộng thếm một số d
không đổi ( d  0 ).
2.Công thức tổng quát.
a. u1 là số hạng đầu; d là công sai .
Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d
b. Tổng của n số hạng đầu.


Sn  n.u1 

n(n  1)
.d
2

Lưu ý: Ba số a;b;c lập thành cấp số cộng  a  c  2b

Vấn đề 2: CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa :
Cấp số nhân là 1 dãy số mà số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân them một hằng số q ( q  0 ).
2. Các công thức.
a. Số hạng tổng quát.
Cho CSN có u1 là số hạng đầu , cơng bội q(q  0) , khi đó số hạng tổng quát:
un  u1.q n1

b. Tổng n số hạng đầu:


Lớp 11

Sn 

u1 (1  q )
1 q
n

Lưu ý: Ba số a; b; c lập thành cấp số nhân  a.c  b2

CHƢƠNG 4: GIỚI HẠN

Vấn đề 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ
I.

Lý thuyết .
1. Giới hạn hữu hạn.

lim vn  a   lim (vn  a)  0 .

n

n

1. Giới hạn vô cực .
lim un    lim (un )   .

n

n

2. Các giới hạn đặc biệt .
1
1
 0 lim k  0 lim n k  (k 
n
n
n
lim q  0( q  1) lim q n    q  1
lim




)

lim c  c

3. Định lý về giới hạn hữu hạn.
 Nếu lim un  a và lim vn  b thì :



lim  un  vn   a  b

lim(un  vn )  a  b

lim un .vn  a.b

lim

un a
 .
vn b

Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a .

4. Định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
lim un  a
u
 lim n  0 .
 
vn

lim vn  


II.

lim un  a  0
u
 lim n   .

vn
lim vn  0(vn  0)
lim un  
 lim un .vn   .

lim vn  a  0
Các dạng toán thường gặp.


Lớp 11

1. Dạng vô định


.


a0nm  a1n m1  ...  am
a. Xét dãy un 
, a0  0, b0  0 .
b0nk  b1n k 1  ...  bk







1
1
a0  a1.  ...  am . m
n
n
Nếu m  k chia cả tử và mẫu cho n m khi đó lim un 
  .
1
1
1
b0 . mk  b1. mk 1  ..  bk . m
n
n
n
1
1
1
a0 . k m  a1. k m1  ...  am . k
n
n
n 0 .
Nếu m  k chia cả tử và mẫu cho n k khi đó : lim un 
1
1

b0  b1.  ...  bk . k
n
n
a
Nếu m  k chia cả tử và mẫu cho n k khi đó : lim un  0 .
b0

b. Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa số lớm nhất
của n ở tử và mẫu.
c. Đối với biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất của tử và mẫu.
2. Dạng vô định    .
a. Đối với dãy un  amnm  am1nm1  ...  a0 , alm  0 thì đặt thừa số chung là n m ra ngồi . Khi đó

lim un  (am  0) và lim un    am  0  .
b. Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:

A  B2
AB
A B
A B 
A B
A  B2
AB
AB
A B
A B 
A B
AB

3


3

3

3

AB
AB

A  B3
3

A2  B 3 A  B 2
A  B3

3

A2  B 3 A  B 2
A B

A3 B 
A3 B 

3

A2  3 AB  3 B 2
A B

A2  3 AB  3 B 2

c. Đối với biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thauwf số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của
n lớn nhất.
3

Vấn đề 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I.

Lý thuyết.
1. Giới hạn hữu hạn.
 lim f ( x)  L
x x0




lim f ( x)  L

x x0

lim f ( x)  L

x x0


Lớp 11




lim f ( x)  L


x

lim f ( x)  L .

x

2. Các giới hạn đặc biệt.

lim x  x0

lim c  c

x x0

lim c  c

x x0

x x0

lim x k  (k 

c
0
x x
lim x k  (k  2n)
lim

x




lim x k  (k  2n  1)

)

x

x

3. Định lí về giới hạn hữu hạn.
 Nếu lim f ( x)  L và lim g ( x)  M ta có :
x x0

xx0

lim  f ( x)  g ( x)  L  M

lim  f ( x)  g ( x)  L  M

xx0

xx0

xx0

lim

lim  f ( x).g ( x)  L.M


II.

f ( x) L
 ( M  0)
g ( x) M

x x0

Nếu f ( x)  0 và lim f ( x)  L , thì L  0 và lim
x x0

x x0

f ( x)  L .

Các dạng bài toán thường gặp.

1. Dạng vô định
khi x  , x   .

a. Đối với hàm phân thức ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x .

0(m  k )

a0 x m  a1x m1  ...  am
a
, a0  0, b0  0 . Khi đó : lim f ( x)   0 (m  k ) .
Xét hàm số f ( x) 
k

k 1
x
b0 x  b1x  ...  bk
 b0
(m  k )
b. Đối với biểu thức chứa căn, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức đưa về dạng phân thức đã nêu
trên.
0
2. Dạng vô định .
0
f  x   x  x0  f1  x 

a. Đối với hàm phân thức lim f ( x) ta phân tích
rồi rút gọn cho x  x0 .
x x0
g  x   x  x0  g1  x 
b. Đối với biểu thức chứa căn thức , ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức, tạo ra thứa số x  x0 , rồi
rút gọn.
3. Dạng vô định   ,0. .




Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x .
Quy đồng mẫu phân số.
Nhân chia lượng liên hợp để khử căn.


Lớp 11




Chuyển về dạng

0

hoặc
đã biết.
0


Vấn đề 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I.

Lý thuyết .

Định nghĩa :Hàm số liên tục tại x0 khi f ( x0 )  lim f ( x) .
xx0

II.

Các dạng bài tốn thường gặp.
1. Xét tính liên tục cảu hàm số tại 1 điểm x  x0 .

Bước 1: Tìm TXĐ.
Bước 2: Xét x0 có thuộc D hay khơng?
Bước 3: Tính lim f ( x) hoặc lim f ( x), lim f ( x) và f ( x0 ) .
x x0

xx0


xx0

Bước 4: So sánh lim f ( x)  f (x 0 ) hoặc lim f ( x)  lim f (x)  f  x0 
xx0

xx0

xx0

Thì hàm số liên tục tại x  x0 .
2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn.
 Để chứng minh hàm số y  f  x  liên tục trên một khoảng, đoạn ta dung các định nghĩa về hàm số
liên tục trên khoảng, đoạn và nhận xét để suy ra kết luận.
 Khi nói xét tính liên tục của hàm số thì ta hiểu là xét trên tập xác định của nó.
 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số khơng liên tục
tại điểm nào.
3. Chứng minh phƣơng trình có nghiệm.


Biến đổi về dạng f ( x)  0 .



Tìm hai số a, b sao cho f (a). f (b)  0 .



Chứng minh f ( x) liên tục trên  a; b từ đó suy ra f ( x)  0 có nghiệm.


 Chú ý: Nếu f (a). f  b   0 thì phương trinh có nghiệm thuộc  a; b .
Để chứng minh f ( x)  0 có ít nhất n nghiệm thì ta chia đoạn  a; b thành n đoạn nhỏ rời
nhau, rồi chứng minh trong mỗi đoạn đó phương trình có ít nhất một nghiệm.

CHƢƠNG 5 : ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa,


Lớp 11

f '( x0 )  lim

x0

f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
 lim
x x0
x
x  x0

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Bƣớc 1: Với x là số gia của đối số tại x0 , tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
Bƣớc 2: Lập tỉ số

y
.
x

y

.
x0 x

Bƣớc 3: Tính lim

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) có dạng : y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) .
4. Các phép toán .

U  V  W  '  U ' V ' W '
(UV ) '  U '.V  U .V '
(kU ) '  K .U '
 U  U 'V  V 'U
 ' 
V2
V 
V'
1
 '   2
V
V 
5. Các quy tắc tính đạo hàm .


Lớp 11

1.  x n   nx n1
2.

14.  u n   nu n1.u


 x   2 1 x

15.

 u   2uu

1
 1 
3.     2
x
x

u
 1 
16.     2
u
u

4.  sin x   cos x

17.  sin u   u cos u

5.  cos x    sin x

18.  cos u   u sin u

6.  tan x  

19.  tan u  


 
9.  e   e

 
22.  e   e .u

u
cos 2 u
u
20.  cot u    2
sin u
21. a u   a u .ln a.u

1
cos 2 x
1
7.  cot x    2
sin x
8. a x   a x .ln a
x

x

u

u

u
23.  log a u  

ln a.u
u
24.  log u  
ln10.u
u
25.  ln u  
u
u

26. n u 
n n 1
n u

10.  log a x  

1
ln a.x
1
11.  log x  
ln10.x
1
12.  ln x  
x
1

13. n x 
n n 1
n x

 


 

PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
I.

Phép biến hình

Các phép biến hình có chung tính chất :
-

Bảo tồn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
Biến 1 tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho.
Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính


Lớp 11

STT
1

Tên
Phép
tịnh
tiến

Công thức

M '  Tv (M )  MM '  v

2

Phép
đối
xứng
trục

M '  Đd (M )  M 0 M '  M 0 M

3

Phép
quay

M '( xM ' ; yM ' )  Q( I , ) ( M )

4

Phép
đối
xứng
tâm

 x  ( xM  a) cos   ( yM  b)sin   a
  M'
 yM '  ( xM  a)sin   ( yM  b) cos   b

Cho I ( xI ; yI ), M ( xM ; yM ) và M '( xM ' ; yM ' ) là ảnh

của M qua phép đối xứng tâm I.
 x  2 xI  xM
Khi đó :  M '
 yM '  2 y I  yM

Hình minh họa


Lớp 11

II.
1.





Phép vị tự
Tính chất
Biến đường thẳng khơng qua tâm vị tự thành một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.
Biến tia thành tia.
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k .



Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ số đồn dạng là k .

 Biến góc bằng góc ban đầu.
2. Ảnh của đường tròn qua phép vị tự.

Cho đường tròn (C) tâm I ; bán kính R.

 I '  V(O;k ) ( I )
Khi đó: ((C '))  V(O ,k ) ((C ))  (C ') 
 R'  k R


Lớp 11

CHƢƠNG 2: ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẢNG TRONG KHÔNG GIAN
I.

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
a. Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng.
 Tìm hai điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng.
 Đường thẳng nối 2 điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cách biểu diễn:

b. Dạng tốn 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) .


Tìm một mặt phẳng phụ (  ) chứa d sao cho dễ tìm giao tuyến với mặt phảng ( ) Mặt phảng
này tạo bởi đường thẳng d và một điểm của ( ) .



Tìm giao tuyến u của ( ) và (  ) .

 Trong (  ) , d cắt u tại I, mà u  ( ) . Vậy d  ( )  I .
c. Dạng tốn 3: Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) .

Ta tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng ( ) với hình chóp cho đến khi khép kín
thành một đa giác phẳng. Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của
thiết diện.
II.

Hai đường thẳng song song.
Bài tốn : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song

 A  ( )  (  )

a  ( ); b  (  )  ( )  (  )  Ax với Ax a b .

a b

III.

Đường thẳng song song với mặt phẳng.

Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
a

 a b

b  ( P)  a ( P)
 a  ( P)

P

Bài tốn 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng


b


Lớp 11

a ( P)


 ( P)  (Q)  Mx a
 a  (Q)
 M  ( P)  (Q)

a ( P)


Hoặc 
a (Q)
 ( P)  (Q)  Mx a
 M  ( P)  (Q)


IV.

Hai mặt phẳng song song

 a b  I
a, b  ( )

 ( ) (  )


 a ( )
 b (  )

CHƢƠNG 3 : QUAN HỆ VNG GĨC
I.

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Cách 1 :Nếu 1 đường thẳng vng góc với 2 đường cắt nhau trong một mặt phẳng thì đường thẳng đó
vng góc với mặt phẳng đã cho.
d

d’

d”

Cách biểu diễn:

P

Cách 2: Hai đường thẳng song song . Mặt phẳng nào vng góc với đường thẳng này thì cũng vng góc
với mặt phẳng kia.
d
d’

Cách biểu diễn:

P



Lớp 11

Cách 3: Hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vng góc với mặt phẳng này thì cũng vng góc
với mặt phẳng kia.

d
P

Cách biểu diễn:

Q

Cách 4: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cũng vng góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng sẽ
vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.
d
P

Q

Cách biểu diễn:

T

Cách 5: Nếu 2 mặt phẳng vng góc với nhau .Nếu có 1 đường thẳngtrong mặt phẳngnầyv ng góc với
giao tuyến thì đường thẳng đó vng góc với mặt phẳng kia.

P

d’


Cách biểu diễn:

d
Q

II.

Hai mặt phẳng vng góc


Lớp 11

Cách chứng minh: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vng góc là mặt phẳng này chứa một đường
thẳng vng góc với mặt phẳng kia.

Cách biểu diễn:

III.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

d

P

d’

là hình chiếu của

trên