bµi tëp1 chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy cã thó ®a vò viöc chøng minh ba ®ióm th¼ng hµng vµ ngîc l¹i bµi tëp1 cho abc lêy e f m thø tù trªn c¹nh ac ab sao cho efbc mb mc chøng minh cf b
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (52.68 KB, 2 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<i><b>Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh ba</b></i>
<i><b>điểm thẳng hàng và ngợc lại.</b></i>
<b>Bµi tËp1:</b>
Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng
minh: CF, BE , AM đồng quy.
<i> Cách 1</i>: (chứng minh đồng quy)
Gọi AM EF = K
Theo định lý Talét:
AF
BF =
AK
KM ;
CE
AE=
KM
AK ; vµ
BM
CM=1
Suy ra AF
BF .
BM
CM .
CE
AE = 1
áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy.
<i> Cách 2:</i> (chứng minh thẳng hàng)
T A kẻ đờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I
Ta có AF
BF =
AN
BC ;
BC
MC =2;
MI
AI =
BM
AN
Suy ra AF
BF .
BC
MC .
MI
AI =
AN
BC .2.
BM
AN =1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABM thì F,I,C thẳng hàng.
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy.
<b>Bài tập 2:</b> Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D,
E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.
<i>Cách 1</i>: (chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
AF
BF .
BD
CD .
CE
AE =
AE
BD .
BD
CE .
CE
AE =1
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy.
<i>Cách 2</i>: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD CF = I. Ta cã :
AE
CE .
CB
DB .
DI
AI =
AF
CD .
CB
BF .
CD
AN =
AF
BF .
CB
AN =
AN
CB .
CB
AN =1
áp dụng định lí Menenauyt cho ACD thì
AD, BE, CF đồng quy.
<b>Bài tập 3:</b> Cho tam giác ABC đờng cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH
là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.
<i>Cách 1</i>: (chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đờng cao nên
AM = AN
A
F
M
B C
K E
E
A
F
M
B C
N
I
B C
F
A
E
D
B C
F
A
E
D
I
N
A
B C
D
M N
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Cã: AD
BD=
MA
BH ;
CE
AE=
CH
AN
AD
BD .
BH
CH .
CE
AE=
MA
BH .
BH
CH.
CH
AN=1 .
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng quy.
<i> Cách 2:</i> (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt tại M, N, K
Gäi AH BE = I
Ta cã: AD
BD =
MA
BH =
AN
BH vµ
HI
AI=
BH
AK
AD
BD .
BH
CH .
HI
AI =
AN
BH .
BC
HC.
BH
AK =
AN
HC .
BC
AK =
AE
CE .
CE
AE =1
áp dụng định lí Menenauyt cho ABH thì D,I,C thẳng hàng.
Vậy AH, BE, CD đồng quy.
<b>Bài tập 4:</b>Cho ABC vuông tại A, đờng cao AK. Dựng bên ngồi tam giác những hình
vng ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.
<i>Cách 1</i>: (chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB CE, I = AC BG
Đặt AB = c, AC = b.
Cã c2<sub> = BK.BC; b</sub>2<sub> = CK.BC </sub><sub></sub> BK
CK =
<i>c</i>2
<i>b</i>2
vµ AD
BD =
<i>b</i>
<i>c</i> ;
CI
AI =
<i>b</i>
<i>c</i> (do AIB CIG)
AD
BD .
BK
CK .
CI
AI =
<i>b</i>
<i>c</i> .
<i>c</i>2
<i>b</i>2 .
<i>b</i>
<i>c</i> =1
áp dụng định lý Ceva cho ABC
thì AK, BG, CE đồng quy.
<i>Cách 2:</i> (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC
cắt BG tại M. AK BG tại O.
Ta cã AD
BD =
<i>b</i>
<i>c</i> ;
KO
AO =
BK
AM
suy ra AD
BD .
BC
CK .
KO
AO =
<i>b</i>
<i>c</i> .
BC
CK .
BK
AM =
<i>b</i>
<i>c</i> .
BC
AM .
BK
CK =
<i>b</i>
<i>c</i> .
CI
AI .
<i>c</i>2
<i>b</i>2 =
<i>b</i>
<i>c</i> .
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>c</i>2
<i>b</i>2 =1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABK thì D, O, C thẳng hàng.
Vậy AK, BG, CE đồng quy.
B H
A
B C
D
M N
H
E
K
I
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
</div>
<!--links-->
