daõy soá – caáp soá coäng – caáp soá nhaân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (864.63 KB, 92 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
1.Chứng minh rằng:

a. 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2

b. 12 + 22 + 32 + …+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)

c. 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2

d. 12 + 32 + 52 + …+ (2n – 1)2 = n(2n – 1)(2n + 1)

3
e. 13 + 23 + 33 + …+ n3 = n

(n + 1)2
4
f. 1.21 + 1

2.3 +
1

3.4 +...+
1
n(n + 1) =

n + 1
g. 1 + 12 + 1

22 +...+
1

2n = 1 –
1
2n
h. (1 – 14 )(1 – 1

9 )…(1 –
1
n2 ) =

n + 1
2n

i. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)3
j. 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1) n ∈ N
k. 1.31 + 1

3.5 +
1

5.7 +...+

(2n – 1)(2n + 1) =

n
2n + 1
l. 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1)
m. 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)2
n. 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) = 3n

+ 5n + 2
2
o. 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) = n(3n + 1)2
p. 13 + 1

32 +
1
33 +...+

1
3n =

3n – 1
2.3n
q. 13 + 2

32 +
3
33 +...+

n
3n =

3
4 –

2n + 3
4.3n

r. 1 + 3 + 6 + 10 +... + n(n + 1)2 = n(n + 1)(n + 2)

s. 1.2.31 + 1
2.3.4 +

3.4.5 +...+

n(n + 1)(n + 2) =

n(n + 3)
4(n + 1)(n + 2)
2.Chứng minh rằng :

a. n3 – n chia hết cho 6 ∀ n > 1
b. n3 + 11n chia hết cho 6 ∀ n
c. 42n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n
d. 2n+2 > 2n + 5

e. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
f. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

g. 3n – 1 > n ∀ n > 1 f) 3n > 3n + 1

h. 2n – n > 3
2

i. 11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133
j. 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19
k. 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6
l. 3n > n2 + 4n + 5

m. n + 11 + 1
n + 2 +

n + 3 + …+
1
2n >

24 ∀ n >1
n. n + 11 + 1

n + 2 +
1

n + 3 + …+
1

3n + 1 > 1 ∀ n ≥ 1
o. 1 + 1

2 +
1

3 + …+
1

n < 2 n ∀n ≥ 2
p. 1 + 12 + 1

3 + …+
1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

DÃY SỐ
1.Viết 5 số hạng ñầu tiên của các dãy số sau :

a. un =

1
2n – 1
b. un =

3n + 1
n2 + 1

c. un =

1 + (– 2)n
n + 1
d. un =

n + 1 – n

e. un =

n
2n
f. un =

2n – 1
2n + 1
g. un = (1 +

1
n )

h. un =

n + 1
n2 + 1

2.Cho dãy số un =

3n – 1
2n + 1

a. Xác ñịnh 5 số hạng ñầu tiên
b. Số 17

15 là số hạng thứ mấy của dãy số
c. Số 32

7 là số hạng thứ mấy của dãy số

3. Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3. Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9, ∀ n ≥ 1

4. Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a. u1 = 3 ; un +1 = un + 4

b. u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2

c. u1 = 2 ; u n +1 =

2 un

d. u1 = 2 ; un +1 = 2 + un

e. u1 =

3 ; un +1 =

un + 1

1 – un

f. u1 = 3 ; un +1 =

un + 1

1 – un

g. u1 = 1 ; u n +1 =

3 un + 1
h. u1 = 1 ; un +1 = un + (

1
2 )

5. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 =

un+1 + un

2
a. Chứng minh rằng: un + 1 = –

2 un + 1

b. Xác định cơng thức tính un .Từ đó tính lim un

6. Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un =

un–1 + un– 2

2
a. Chứng minh rằng: 2un + un–1 = 4 và un – un– 1 = 3(–

1
2 )

n– 2

b. Tính lim un

7. Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số:

a. u1 = 1 ; u2 = – 2 ; un = 3un – 1 – 2un – 2

b. u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2

8. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7, ∀ n ≥ 1

a. Tính u2, u4 và u6

b. Chứng minh rằng: un = 7n – 6, ∀n ≥ 1

9. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 1 và un + 1= –

3
2 un2 +

2 un + 1, ∀ n ≥ 1

a. Tính u2, u3 và u4

b. Chứng minh rằng: un = un + 3, ∀n ≥ 1

10. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 2 và un + 1= 5un, ∀ n ≥ 1

a. Tính u2, u4 và u6

b. Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1, ∀n ≥ 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

12. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 2 và un + 1=

un2 + 4

4 , ∀ n ≥ 1
Chứng minh rằng: (un) là một dãy khơng đổi

13. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 =

3 và un + 1= 4un + 7, ∀ n ≥ 1

a. Tính u2, u3 và u4

b. Chứng minh rằng: un =

22n + 1 – 7

3 , ∀n ≥ 1
14. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

a. un =

3n2 – 2n +1
n +1
b. un =

n2 + n +1
2n2 +1
c. un = n – n2 – 1

d. un =

n +1 – 1
n

15. Xét tính đơn ñiệu của các dãy số sau:
a. un =

n + 1
n
b. un = n2 – 5

c. un =

n – 1
2n
d. un = (– 1)n.n

e. un = 2n

f. un =

3n
4n

g. un =

(– 1)n.n
n + 1
h. un =

2 – n
n
i. un = n + cos2n

j. un = 1 – n + 1

16. Xét tính đơn ñiệu của các dãy số sau :
a. un =

n2 + 1
n2
b. un =

n
3
c. un =

n
4n

d. un = n + 1 – n

e. un = 2 + 2 + 2 + …+ 2 n dấu

căn

f. un = 2n + cos

1
n

g. un =

1
n – 2
h. un =

n – 1
n + 1

i. un = (– 1)n(2n + 1)

j. un =

2n + 1
5n + 2
k. un = 2n +

1
5n
l. un =

2n. n
3n
17. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi un =

an2 + 1

2n2 + 3 a là một số thực.Hãy xác ñịnh a ñể:
a. (un) là dãy số giảm

b. (un) là dãy số tăng

18. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a. un =

n + 1
n
b. un =

2n – 1
3n + 1
c. un =

n – 1
n2 + 1

d. un =

n2
n2 + 1
e. un =

2n2
n2 + 1
f. un =

2n2 + 2n + 1
n2 + n + 4
19. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên: un =

1
1.2 +

2.3 + …+
1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

20. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn: un =

n + 3
n + 1
21. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi công thức: u1 = 0 và un +1 =

2 un + 4
a. Chứng minh rằng un < 8 ∀ n

b. Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn

22. Cho dãy số (un) xác định bởi cơng thức: u1 = 1 và un +1 =

un + 2

un + 1

a. Tìm 5 số hạng ñầu tiên của dãy số

b. Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và bị chặn trên bởi số 3/2

23. Cho dãy số (un) xác định bởi cơng thức u1 = 6 và un +1= 6 + un . Chứng minh rằng un < 3, ∀ n

24. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi un =

n + (– 1)n
2n + 1
a. Tìm 5 số hạng đầu tiên

b. Chứng minh rằng (un) bị chặn

25. Chứng minh rằng dãy số xác ñịnh bởi: u1 =

2 ; un +1=
un2 + 1

2 tăng và bị chặn trên
26. Chứng minh rằng:các dãy số sau

a. un =

1
n + 1 +

n + 2 + … +

n + n (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1

b. un = 1 +

1
22 +

32 + …+
1

n2 tăng và bị chặn trên bởi 2
c. u1 = 2 ;un + 1 = 2 + un tăng và bị chặn trên bởi 2

d. u1 = 1;un + 1 =

un+ 2

un + 1 tăng và bị chặn trên bởi

3
2
27. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

CẤP SỐ CỘNG
1.Cho CSC thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 .Tính a7

2.Cho CSC thoả mãn





=
+

=
−
+

8
a
a

10
a
a
a

6
2

4
7
3

. Tính a5 ;S9

3.Cho CSC thoả mãn





=
=
−

75
a
.
a

8
a
a

7
2

3
7

. Tính a10 ; S100

4. Tìm CSC biết
a.





=
+

=
−
+

26
a
a

10
a
a
a

6
4

3
5
2





=
+

1170
a

60
a

a
2
12
2
4

15
7

5. Một CSC có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400. Hỏi CSC có
mấy số hạng, xác định CSC đó.

6. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 CSC. Chứng minh rằng:
a. a2 + 2bc = c2 + 2ab

b. 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo thành 1 CSC
c. a2 + 8bc = (2b + c)2

d. 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2

7. Bốn số a, b, c, d tạo thành 1 CSC có tổng bằng 10, tích bằng – 56.Tìm 4 số đó
8. Năm số a, b, c, d, e tạo thành 1 CSC có tổng bằng 10, tích bằng 320.Tìm 5 số đó

9. Ba số a ,b, c lập thành một CSC có tổng bằng 27 và tổng bình phương của chúng là 293. Tìm 3 số đó.
10. Ba số a ,b, c lập thành một CSC có số hạng đầu là 5 và tích của chúng là 1140.Tìm 3 số đó

11. Ba số a,b,c tạo thành 1 CSC có tổng bằng 12, tổng nghịch ñảo của chúng bằng 39

28 . Tìm 3 số đó.
12.Tìm các nghiệm của phương trình x3

– 15x2 + 71x – 105 = 0 biết rằng chúng tạo thành một CSC
13.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 CSC có tổng = 8, tổng nghịch đảo của chúng bằng 8

15 .Tìm 3 số đó
14.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa ñể ñược 1 CSC

15.Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

a. Các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 CSC⇔ các số 1
b + c

, 1

c + a

, 1

a + b lập thành 1 CSC
b. Các số a, b, c lập thành 1 CSC ⇔ các số 1

b + c

, 1

c + a

, 1

a + b lập thành 1CSC
16.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập thành 1 CSC ⇔ tgA

tgC
2 =

1
3
17.Chứng minh rằng nếu cotgA

2 , cotg
B
2 , cotg

2 tạo thành 1 CSC thì 3 cạnh a, b, c cũng tạo thành 1 CSC
theo thứ tự đó.

18. Mơt đa giác có chu vi là 158cm, độ dài các cạnh lập thành 1 CSC với công sai d = 3.Biết cạnh lớn
nhất là 44cm. Tính số cạnh của ña giác

19. Một ña giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một CSC có cơng sai d = 3o. Tính các góc của ña giác.
20. Tìm 4 số nguyên khác nhau, biết rằng chúng lập thành 1 CSC và số hạng ñầu bằng tổng các bình
phương của 3 số cịn lại.

21.Cho CSC (un). Chứng minh rằng :

a. 1
u1u2 +

u2u3 +…+

1
un–1un =

n – 1

u1un , un ≠ 0 , ∀ n

b. 1
u1 + u2

+ 1
u2 + u3

+ …+ 1
un–1 + un

= n – 1
u1 + un

22. Tìm m để phương trình x4

– (3m + 5)x2 + (m+1)2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSC

23. Cho 2 CSC (un): 4,7,10,13,16,…. (vn) : 1,6,11,16,21,… Hỏi trong 100 số hạng ñầu tiên của mỗi CSC

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

24. Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ. Sau hai giờ một xe máy khác ñuổi theo với vận tốc
trong giờ ñầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước. Hỏi sau mấy giờ thì
hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km

25. Cho dãy số (un) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là Sn được xác định theo cơng thức

sau: Sn =

n.(7 – 3n)
2
a. Hãy tính u1, u2, u3

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un)

c. Chứng minh rằng: (un) là một CSC, xác định cơng sai

26. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 1 và un + 1 = un2 + 2 , ∀n ≥ 1

a. Chứng minh rằng: dãy số (vn) mà vn = un2 ∀n ≥ 1 là một CSC, hãy xác định CSC đó.

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un)

c. Tính tổng S = u12 + u22 + u32 + …+ u1002

27. Cho dãy số (un) ñịnh bởi: u1 = 1 và un +1= un + n, ∀n ≥ 1. Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un, ∀ n ≥ 1

a. CMR: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng ñầu tiên của dãy số (vn) bằng uk + 1 – u1

b. CMR: dãy số (vn) là là một CSC ,hãy xác định CSC đó

28. Cho dãy số (un) ñịnh bởi: u1 = 1 và un +1= un + 2n – 1, ∀n ≥ 1.

Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un,∀ n ≥ 1.

a. Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một CSC ,hãy xác định CSC đó

b. Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng ñầu tiên của dãy số (vn) theo k. Từ ñó suy

ra số hạng tổng quát của (un)

29. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi: u1 = – 2 và un +1=

1 – un , ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng: un < 0 ∀n ∈ N

(ðặt vn =

1 + un

un . Chứng minh rằng: (vn) là một CSC .Từ đó suy ra biểu thức của un và vn )

30. Cho hai CSC (un) và (vn) lần lượt có tổng của n số hạng ñầu tiên là Sn = 7n + 1 và Sn’ = 4n + 27. Tính

tỉ số u11
v11

31. Xác ñịnh CSC biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n2 + 5n , ∀n ∈ N

32. Cho CSC (un) biết Sp = q và Sq = p. Hãy tính Sp + q

33. Cho CSC (un) biết up = q và uq = p. Hãy tính un

34. Cho CSC (un) biết Sn = 2n + 3n2 . Tìm uq

35. Cho CSC (un) biết Sn = n2 và Sm = m2 . Chứng minh rằng: um= 2m – 1 và un= 2n – 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

CẤP SỐ NHÂN

1. Cho cấp số nhân có u2 = – 8; u5 = 64.Tính u4 ; S5

2. Cho cấp số nhân thoả:
a.



=
+
=
+
180
a
a
60
a
a
3
5
2
4

Tìm a6 ; S4 b.



=
+
+
=

−
91
a
a
a
728
a
a
5
3
1
1
7

Tìm a4 ; S5

c.



=
+
=
+
20
a
a
1460
a
a

3
1
1
7

Tìm a2 ; S5 d.



=
+
−
=
+
65
a
a
a
325
a
a
5
3
1
1
7
Tìm q
Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân :

1 3 5

4 2

5 3 1 7

5 3 5

9 2 6

1 3 5

2 4

u - u - u = 65
u u 72

a. e.

u u 144 u + u = 325

u 96 u + u = 90

b. f.

u 192 u - u = 240

a + a + a = - 21

a + a = 10

− = 

 − = 
 
=
 
 = 
 




1 2 3

4 5 6

5 1 4

4 3

a + a + a = 13
g.

a + a + a = 351

u 96 u u 225

d. h.

u u 75
u 192



= + =
 
 =  + =



3. Cho cấp số nhân (un) có 3 3 .u2 + u5 = 0 và u32 + u62 = 63.Tính tổng S = |u1| + |u2| + |u3| + ….+|u15|

4. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 2 và un + 1 = 3.un2 – 10 ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng: (un) vừa là CSC,

vừa là cấp số nhân

5. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có cơng bội bằng 2. Tìm 4 góc ấy

6. Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có mấy
số hạng

7. Xác định cấp số nhân có cơng bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728

8. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng ñầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau

bằng 62

9. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng ñầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai
số hạng còn lại bằng 72

10. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen ngày trước. Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá
sen thì tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen

a. Khi đầy hồ có mấy lá sen ?

b. Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ ?
11. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng

a. (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2
b. (bc + ca + ab)3 = abc(a + b + c)3
c. (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2
d. 3 số 2

b – a ;
1
b ;

b – c tạo thành 1 CSC
e. 3 số 1

3 (a + b + c);
1

3(ab + bc + ca) ;
3

abc cũng lập thành một cấp số nhân, với a, b, c > 0
12. Tìm x để 3 số x + 1; x + 4; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân.

13. Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng thứ hai ta ñược 1 CSC. Nếu thêm 32 vào
số hạng thứ 3 ta được 1 cấp số nhân. Tìm 3 số hạng đó

14. Tìm cấp số nhân a, b, c biết:
a.



=
=
+
+
64
c
.
b
.
a
14
c
b
a
b.




=
=
+
+
3375
c
.
b
.
a
65
c
b
a

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

16. Tìm cấp số nhân a, b, c biết rằng tổng a + b + c = 26, ñồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ
ba và thứ chín của một CSC khác.

17. Tìm cấp số nhân a, b, c biết rằng tổng a + b + c = 21, ñồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,
thứ hai và thứ tư của 1 CSC khác.

18. Tính các góc của 1 tam giác vng có độ dài 3 cạnh lập thành 1 cấp số nhân
19. Cho 2 số a, b > 0.Giữa các số a

b2 Và
b

a2 , hãy thêm vào 5 số nữa ñể ñược 1 cấp số nhân.

20. Hãy xác ñịnh 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng 3 số hạmg ñầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau
bằng 21

21. Khoảng cách giữa 1 người ñi xe máy và 1 người ñi bộlà 1km. Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc
người ñi bộ. Hỏi xe máy cần vượt 1 quãng ñường dài bao nhiêu ñể ñuổi kịp người ñi bộ

22. Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của các cạnh tam giác ABC lập thành tam giác
A1B1C1, trung ñiểm các cạnh của A1B1C1 lập thành tam giác A2B2C2 trung ñiểm các cạnh của A2B2C2 lập

thành tam giác A3B3C3 ....Tính tổng chu vi của tất cả các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2...

23. Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác ấy khơng thể có 2
góc lớn hơn 600

24. Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành 1 cấp số nhân có cơng bội q = 2. Chứng minh rằng :
a. 1 1 1

b+ = c a

b. cos2A + cos2B + cos2C = 5
4

25. Hãy xác ñịnh a,b sao cho 1,a,b lập thành 1 CSC và 1, a2

, b2 lập thành 1 cấp số nhân.

26. Ba số dương lập thành 1 CSC có tổng bằng 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất và số thứ hai, thêm 4 vào
số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp số nhân .Tìm các số ñó

27.

Ba số lập thành 1 CSC có tổng bằng 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất, thêm 4 vào số thứ hai,thêm 19
vào số thứ ba thì ñược 3 số mới lập thành 1 cấp số nhân .Tìm các số đó

28. Bốn số lập thành 1 CSC .Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 4 số đó

29. Ba số khác nhau tạo thành 1 cấp số nhân ,có tổng bằng 15 đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ
tư,thứ hai mươi lăm của 1 CSC khác.Tìm các số đó

30. Cho cấp số nhân a,b,c,d. Chứng minh rằng :
a. a2b2c21 

ª3 +
1
b3 +

1
c3 = a

+ b3 + c3

b. (ab + bc + cd)2 = (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2)
c. (d – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (d – a)2

31. Một CSC và một cấp số nhân cùng có số hạnh thứ nhất bằng 5,số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số
hạng thứ hai của cấp số nhân là 10,còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau. Tìm các cấp số đó

32. Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với cơng bội q ≠ 1;đồng thời các số x ,2y ,3z
theo thứ tự đó lập thành một CSC với công sai d ≠ 0. Hãy tìm q

33. Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một CSC ; ñồng thời các số x – 1 , y + 2 , x –
3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y

34. Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một CSC ; ñồng thời các số x + 5

3 , y – 1 , 2x –
3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

35. Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân;ñồng thời các số x , y – 4 , z theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân; và ba số x, y – 4, z – 9 theo thứ tự đó lập thành một CSC. Hãy tìm x, y, z

36. Các số x + 5y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự ñó lập thành một CSC;

ñồng thời các số (y – 1)2, xy – 1, (x + 2)2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tìm x và y
37. Tính các tổng

a. S = 1 + 4
5 +

7
52 +

53 + …+
3n – 2

5n – 1
b. S = ( 4

7 –
5
72 ) + (

4
73 –

5
74 ) + (

4
75 –

76 ) + …+ (
4
72n – 1 –

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c. S = 1 + 3
2 +

5
4 +

8 + …+
2n – 1

2n – 1
38. Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi u1 = 1 ;un + 1 =

un + 8

5 và dãy số (vn) xác ñịnh bởi vn = un – 2 . Chứng
minh rằng: (vn) là một cấp số nhân. Từ ñó suy ra biểu thức của un và vn

39. Tìm 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân có tích bằng 64 và tổng bằng 14
40. Hãy đặt thêm 5 số vào giữa hai số 1

2và 4 để đựơc cấp số nhân.

41. Chèn 4 số hạng vào giữa 2 số 160 và 58 theo thứ tự ấy để đựơc một cấp số nhân. Tìm các số phải
chèn ?

42. Tìm các số hạng của cấp số nhân, biết rằng cấp số đó :
a. Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 243.
b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243, số hạng cuối là 1

43. Tìm 4 góc của tứ giác, biết rằng tổng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần
góc thứ 2.

44. Tìm 3 số hạng của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 21, tổng bình phương của chúng
bằng 189.

45. Tìm 3 số hạng của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 19, tổng bình phương của chúng

bằng 216.

46. Một CSN có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 1792 và cơng bội là 2. Tìm số số hạng của CSN ?
47. Một cấp số nhân có n số hạng. Biết số hạng đầu a1 = 7, công bội là q = 2 và số hạng thứ n là an =

1792. Tính tổng n số hạng này ?

48. Một cấp số nhân (un) có số hạng u3 = - 5 và u6 = 135. Tìm số hạng tổng quát của CSN này ?

49. Trong một CSN gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4 là 576 và hiệu số giữa
số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9. Tổng 5 số hạng đầu tiên là bao nhiêu ?

50. Một CSN (an) có 3 5

4 6

a a 20

a a 40

 + =




 + = −



. Tổng 5 số hạng đầu tiên của CSN này là bao nhiêu ?

51. Một CSN thỏa điều kieän: 4 2

5 3

u u 72

u u 144

− =



 − =

 . Số hạng đầu và công bội là bao nhiêu ?

52. Một CSN thỏa điều kiện: 1 3 5

1 7

u u u 65

u u 325

− + =



 + =

 . Số hạng đầu và công bội là bao nhiêu ?

53. Cho 3 số 1, 5, 13. Ta cộng thêm x vào 3 số này để được một số mới tạo thành một CSN. Giá trị x
bằng bao nhiêu ?

54. Giữa 2 số 2 và 1458 ta đặt thêm 5 số nữa để được một CSN. Công bội của CSN bằng mấy ?

55. Cho một CSN, tổng 2 số hạng đầu S2 = 8 và tổng 4 số hạng cuối S4 = 80. Cơng bội q (q > 1) của

CSN này là bao nhiêu ?

56. Một CSN có số hạng đầu là 1 và số hạng thứ 6 là 243. Tổng 100 số hạng đầu tiên của CSN này là
bao nhiêu ?

57. Tìm số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết công bội là 3, tổng các số hạng là 728, số hạng
cuối là 486.

58. Xác định số hạng đầu tiên, biết công bội là 3 , số hạng thứ n là 972 và tổng n số hạng đầu tiên là
1456 ?

59. Cho cấp số nhân có u1 = 3 , q = 2

− . Tính S6 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Dãy số nào sau đây khơng bị chặn trên:

A) un =nsin1

n B)

1
sin
=
n

u n

n C)

1
( 1) sin
= − n
n

n D)
1

sin( 1)

= − n

n
u

n
Câu 2. Cho dãy số (

u

n) với

u = −

n

( 5)

n. Khi đó số hạng

u

2nbằng:

A) 25n B) 10n C) – 25n D) ( 5)− n2
Câu 3. Cho cấp số cộng (

u

n).ðẳng thức nào sau ñây là ñúng:

u

10

+

u

20

=

2 u

15 B)

u u

10

.

20

=

2 u

15 C)

u u

10

.

20

=

u

152 D)

u

10

+

u

20

=

u

30

Câu 4. Cho cấp số nhân (

u

n).ðẳng thức nào sau ñây là ñúng:

u

1

+

u

11

=

2 u

6 B)

u

1

+

u

11

=

u

62 C)

u u

1

.

11

=

u

62 D)

u u

1

.

11

=

u

12

Câu 5. Cho cấp số cộng x; 1; y; 9. Khi đ ó:

A) x = -3, y = 5 B) x = -5, y = 3 C) x = -1, y = 7 D) x = -2, y = 6
Câu 6. Cho cấp số nhân 3 số hạng: 2,5 ; x; 40. Hãy chọn kết quả ñúng:

A) x = 10 B) x = 5 C) x = 20 D) x = 25

Câu 7.Cho dãy số (

u

n) với u1=2; un =2un−1, n≥2. Khi đó:
7.1. Số hạng thứ 100 bằng:

A) 299 B) 2100 C) 2101 D)200

7.2. Tổng của 100 số hạng ñầu tiên bằng:

A) 299 – 1 B) 2100 – 1 C) 2101 – 1 D) 1 – 2101
Câu 8. Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11;... Khi đó cơng sai d và tổng 20 số hạng ñầu tiên là:
A) d = 3; S20 = 510; B) d = – 3; S20 = – 610

C) d = – 3; S20 = 610 D) d = 3; S20 = – 510
Câu 9. Dãy số nào sau đây khơng phải là cấp số cộng:

A) 1

2
−
=
n

u B) 1

2
 
=   
n
n

u C) un = −2 D) un =2n+1
Câu 10. Ba số xen giữa các số 2 và 22 ñể ñược một cấp số cộng là:

A) 7; 12; 17 B) 6; 10; 14 C)8; 13; 18 D) 5; 10; 17
Câu 11. Cho cấp số cộng có 1 1; 1

4 4

= = −

u d . Tổng của 5 số hạng ñầu tiên là:
A) 5

4 B)

5 C)

5
4

− D) 4

5
−
Câu 12. Cho cấp số cộng có d =0,1; s5 = −0,5. Số hạng ñầu tiên là:

A) 0,3 B) 10

3 C)

10
3

− D) -0,3

Câu 13. Cho cấp số cộng có u5 = −15;u20 =60. Tổng của 20 số hạng ñầu tiên là:

A) 200 B)-200 C)250 D)-250

Câu 14. Cho tam giác có số ño 3 góc lập thành một cấp số cộng. Biết số đo một góc là 250

, số đo 2 góc
còn lại là:

A) 650; 900 B)750; 800 C) 600; 950 D)700; 850
Câu 15. Cho cấp số nhân với u1 = -1; q = - 0,1. Số 10-103 :

A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân ñã cho.
B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân ñã cho.
C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân đã cho.

D) khơng phải là một số hạng của cấp số nhân ñã cho.
Câu 16.Cho dãy số 1 ; ; 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 17. Cho cấp số nhân 1; 1 1 1; ; ;...

2 4 8 Số hạng thứ 10 bằng:

A) 29 B) 210 C) 2−9 D) 2-10
Câu 18. Các giá trị của x ñể 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là:

A) 1

3
= ±

x B) 1

3
= ±

x C) x= ± 3 D) 1

9
= ±

x .

Câu 19. Dãy số nào là cấp số nhân?

A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; ... B) 2; 22; 222; 2222; ...
C) x, 2x, 3x, 4x, 5x,... D) 1 1 1 1; ; ; ;...

2 3 4 5
Câu 20. Cho cấp số nhân có u1 = -3; q =

2
3. Số

96
243
−
A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân ñã cho.
B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân ñã cho.
C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân ñã cho.

D) không phải là một số hạng của cấp số nhân ñã cho.
Câu 21. Cho cấp số nhân có 2 1; 5 16.

= =

u u Khi đó:
A) 1 1; 1

2 2

= =

u q B) 1 1; 1

2 2

= − = −

u q C) 1 1 ; 4

= =

u q D) 1 1 ; 4

16
= − = −

u q

Câu 22.Cho dãy số 1= −2; n+1= − −2 1 , ∈ ℕ*
n

u u n

u . Công thức số hạng tổng quát của dãy này là:
A) un = − +n 1

n B)

1
+
=
n

n
u

n C)

1
+
= −
n

n
u

n D)

1
−
=
n

n
u

n
Câu 23. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 2n + 3. Khẳng ñịnh nào sau ñây là ñúng?
A) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 3

B) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 2
C) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 3
D) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 2

Câu 24. Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q ≠ 0. ðẳng thức nào dưới ñây là ñúng?
A) 12 = 1

a bc B) 2

1 1

b ac C) 2

1 1

c ba D)

1 1 2
+ =
a b c

Câu 25. ðặt Sn = 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4

   

 −  −  −  −

     

     n 

, n∈ℕ,n≥2. Khi đó :
A) Sn = n−1

n B)

1
2

−
=

n
S

n C)

1
+
=

n
S

n D)

1
2

+
=

n
S

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

GIỚI HẠN

GIỚI HẠN DÃY SỐ
1.Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau:

a. lim 2

n +1 b. lim
2n +1

n -1 c. lim
1
n2
2.Tính các giới hạn sau:

a. lim2n
2

+ n – 3
n2 +1
b. lim– n

+ n – 1

2n2 – 1
c. lim3n – 1

n2 – 2
d. lim 4n – 1

n + 1

e. lim
1
n
2
n
3
n
2

3 3 − +

−

f. lim( n2 – 2n – n )
g. lim2sinn +3cosn

3n – 2

3.Tính các giới hạn sau:
a. lim2n – 3

n2 +1
b. lim( n + 1 – n )
c. lim n( n + 1 – n )

d. lim n – 1( n + 1 – n )
e. limn n – 1

3n2 +2
f. lim2n n

2
+ n

3n2 +2n + 1
g. lim
1
3
n
1
n
3
n
n
n 2

3 3 2

+
+

h. lim 2n – 3 – n
3n + 1
i. lim( n2 + n – n2 + 1 )
j. lim n( n2 + 1 – n2 – 2 )
k. lim(3 n3 −2n2 −n)

l. lim 4n
2

+ 1 – 2n – 1
n2 + 4n + 1 – n
m. lim(1 + n2 – n4 + 3n + 1 )
n. lim n

+ 3 1 – n6
n4 + 1 – n2
4.Tính các giới hạn:

a. lim 2
n

– 5.3n
3n + 1

b. lim 2

+ 2n + 1
2n + 4.3n
c. lim4.3

+ 7n + 1
2.5n + 7n

d. lim 3
n

– 4n
3n + 4n
e. lim (– 2)

n
+ 3n
(– 2)n + 1 + 3n + 1
f. lim(– 1)

n
+ 2n
1 + (– 3)n
g. lim 1 + a + a

+ …+ an

1 + b + b2 + …+ bn với |a| < 1 ; |b| < 1
4. Tính các giới hạn sau:

2 1 4

lim
3 2
n n
n
+ +
−

b. lim

(

n2+2n+ −2 n

)

c.
2
3
2 1
lim
3 3
n
n n
+
− +
d.

2 2

2 1 1

lim n n

n
+ − −
e.
3
3
lim
3
n n
n
+
+
f.
3
2

2 2 1

lim
6 5
n n
n n
− +
+ −

g. lim 1
2
n
n

+
−

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

4.Cho dãy (un) xác ñịnh bởi u1 = 2 ; un+1 = 2 + un

a. Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b. Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó

5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 =
1

2 ; un+1 =
1
2 – un

a. Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b. Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó

6.Tìm các số hữu tỉ sau :

a. 2,1111111... b.1,030303030303... c.3,1515151515....
7.Tính lim(1 – 1

22 ).(1 –
1

32 ).(1 –
1

42 )…(1 –
1
n2 )
8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥

4 . Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn
9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn –

1
2 xn

∀n ∈ N
a. Chứng minh rằng: |xn – 2 | < (

1
2 )

∀n ≥ 3
b. Tính lim xn

10.Cho dãy số xác ñịnh bởi : u1 =
1

2 ; un +1=
un2 + 1

2
a. Chứng minh rằng: un < 1 ∀n

b. Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c. Tính limun

11.Cho dãy số (un) xác định bởi cơng thức u1 = 6 và un +1= 6 + un
a. Chứng minh rằng un < 3 ∀ n

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

ƠN TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ
Dãy số có giới han 0

1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng qt sau đây có giới hạn 0.
a) ( 1)

n
−

+ b)

sin
5
n

n + c)

os2n
n 1
c

+
2. Chứng minh hai dãy số (un) và (vn) với:

1
( 1)
n
u
n n
=

+ : 2

( 1) osn
n 1

n
n

c
V = −

+ có giới hạn 0
3. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau ñây có giới hạn 0

a) u =n (0,99)n b) ( 1)
2 1

n n

u = −

+ c)

sin
5
(1, 01)
n n
n
u

π

= −

4. Cho dãy số (un) với
3

n n

u =

a) Chứng minh rằng 1 2

n
n

u
u

+ ≤ với mọi n.

b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng 0 2
3

n
n

u  
< <  

  với mọi n.
c) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.

Dãy số có giới hạn hữu hạn
5. Cho dãy số (un) với

15 1

n
n
u
n
+

= . Chứng minh lim un = 15
6. Tìm các giới hạn sau:

a) lim 2 ( 1)
2
n
n
 − 
+
 + 

  b)

sin 3
lim 1
4
n
n
 − 
 

  c)

limn

n
−

d) lim 2
1
n
n

+
+
7. Tìm các giới hạn:

a) lim6 1
3 2
n
n
−
+ b)
2
2
3 5
lim
2 1
n n
n
+ −
+
8. Tìm giới hạn:

a)
2
2
4 5
lim
3
n n
n
+

− b)

3 2

17 3 4

lim
2
n n
n n
+ +
+
9. Tìm giới hạn 2

1 3 2

lim
2
n
n
n n
−
 +  
  − 
  

10. Tìm các giới hạn:
a)

2 2

2 3 1

lim

n n n

n
− + +
+ b)
3
2
2
lim

1
n n
n
+
−

11. Tìm các giới hạn sau:
a) lim 1

1
n
n
+
+ b)
3 3
lim
2
n n
n
+
+ c)
2

lim( n + −n n)
12. Tìm các giới hạn:

a) lim( n2+ + −n 1 n) b) lim(n−3 n3+2n2)

c) lim( n2+ −1 3 n3+ 1)
13. Tìm các giới hạn

a) lim 4
2.3 4

n+ n b)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) lim3 5.7
2 3.7

n n

− b)

1
1

5 11
lim

3 11

n n

+
+

+
+
15. Tìm giới hạn lim 1 1 1 .... 1

1.2 2.3 3.4 (n 1)n

 

+ + + +

 − 

 

16. Tìm giới hạn lim1 2 3 ...2 n
n

+ + + +

17. Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)

2 3

1 1 1 1

, , ,..., ,...

2 2 2 2n b)

1 1 1 1

1, , , ,..., ....

2 4 8 2

n−

 

− − − 

 
18. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hồn 0,777… dưới dạng phân số.
Dãy số có giới hạn vơ cực

20. Tìm các giới hạn:
a) lim 2 1

2n +4n+1 b) 3

3
lim

6 3

n n

−

− + −

21. Tìm các giới hạn:
a)

3
2

3 5 4

lim n n
n n

+ +

− b)

2
lim

3 2
n n

− +

−
22. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:

a) un = 3n4+5n3−7n b)

3 6 3

7 5 8

12
n

n n n

− − +

23. Tìm các giới hạn sau:

a) lim(2n c+ osn) b) lim 1 2 3sin 2 5

2n n

 − + 

 

 

24. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:

a) 3 1

2 1

n n

u = +

− b) 2 3

n n

u = −
25. Tìm các giới hạn:

a) lim2 5
.3"
n
n

2
2

5 1

lim
.2 n
n
n n

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Dùng định nghóa, CMR:

x 2

lim(2x 3) 7

→ + = b. x 3

x 1

lim 1

2(x 1)

→

+ =

− c.

2
x 1

x 3x 2

lim 1

x 1

→

− + = −
−

2. Tính các giới hạn sau:
a.
2

2
4
9 20
lim
5 4
x
x x
x x
→
− +
− +
b.
2
2
3

2 3 9

lim
6
x
x x
x x
→
− −
− −
c.
3 2
3
2

2 3 6

lim

x x x

x
→
− − +
−
d.
2
3
1

2 7 5

lim
2
x
x x
x x
→
− +
+ −

e.
3
6 3
lim
3
x
x
x
→
+ −
−
f. 2

2 2 4

lim
6
x
x
x x
→
+ −
+ −

g. 2

3 1 4

lim
25
x
x
x
→
+ −
−
h.
1
3 2
lim

4 1 3

x
x
x
→
+ −
+ −
2.Tính các giới hạn sau:

a.
2
x
2
x

3
x
2
lim
2
2
x −
−
−
→
b.
1
x
3
x
5
x
3
x
lim
2
2
3
1
x −
−
+
−
→
c.

4
x
4
x
x
2
x
lim 2
2
2

x + +

+
−
→
d.
2
x
3
x
1
x
x
x
lim 2
2
3
1

x − +

+
−
−
→
e.
9
x
8
x
9
x
3
x
5
x

lim 4 2

2
3
3

x − −

+
+
−
→

f.
3
x
2
x
1
x
lim
2
3
4
1

x − +

−
−
→
g.
1
x
x
2
3
x
2
x
lim 2
2
1

x − −

−
+
→
h. 2
3
2

x 4 x

2
x
3
x
lim
−
+
−
−
→
i.
1
x
x
x
5
x
4

lim 2
5
6
1
x −
+
−
→
k.
1
x
1
x
lim n
m
1
x −
−

→ m,n∈N

2.Tính các giới hạn sau:
a.
x
4
3
5
x
lim
4

x −
−
+
→
b.
x
x
1
x
1
lim
0
x
−
−
+
→
c.
49
x
3
x
2
lim 2
7
x −
−
−
→
d.

4
x
3
1
x
4
lim 2
2
x −
−
+
→
e.
3
1
x
4
x
2
x
lim
2

x + −

−
+
→

f.

x
5
1
x
5
3
lim
4

x − −

+
−
→
g.
3
x
3
2
x
3
x
2
lim
1
x +
+
−
+
−

→
h.
3
x
4
x
4
x
7
x
2

lim 3 2

x − +

−
+
+
→
i.
1
x
x
x
lim
2
1

x −
−
→
j.
2
3
x
1
x
lim
1

x + −

−
→
k.
3
1
x
4
x
2
x
lim
2

x + −

−

+
→
l.
3
x
2
3
7
x
2
lim
1

x − +

−
+
→
m.
1
x
1
x
1
x
lim
2
1
x −
−

+
−
+
→

n.
1
x
2
x
3
x
lim 2
3
1
x −
−
−
→
o.
1
x
x
3
x
3
x
lim
3
2

1
x −
−
+
+
→

3.Tính các giới hạn sau:

a.lim x b. lim x x 2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

c.
1
x
1
x
lim
3
0

x→ + −

d. 2
3 2
0
x x
1
x

1
lim + −

→
e.
4
x
5
x
x
4
x
lim 2
3
4

x − +

−
+
→
f.
9
x
5
x
10
x
2
lim 2

3
3
x −
−
+
+
−
→
g.
2
x
2
x
x
10
lim
3
2
x −
+
−
−
→
h.
4
x
2
x
6
x

lim 2
3
2
x −
+
−
+
→

i.
3
2
x 2

8x 11 x 7
lim

x 3x 2

→

+ − +

− +

3 4 5

x 1

(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
lim

(1 x)

→

− − − −

−

4.Tính các giới hạn sau:

a. )
1
x
3
1
x
1
(
lim 3
1

x→ − − −

b. )

4
x
4
2
x
1
(
lim 2
2

x→− + + −

b. 2 2

x 2

1 1

lim

x 3x 2 x 5x 6

→
 + 
 − + − + 
 
c.
x
4
x

)
x
3
x
)(
1
x
(
lim 3
2
x +
+
−
∞
→
d.
1
x
2
x
3
x
x
lim
2
x −
−
+
∞
→

e.lim( x2 x 3 x)

x→∞ − + +

f. lim( 3 x 5 x)

x→−∞ − − −

g.limx( x2 5 x)

x→∞ + −

h. lim x( x2 1 x)

x→+∞ + −

i. lim( x2 2x 1 x2 7x 3)

x→+∞ − − − − +

2
2
x

x x 2 3x

lim

4x 1 x 1

→∞
+ + +
+ − +
k.
2 2
x

9x x 1 4x 2x 1

lim
x 1
→∞
+ + − + +
+
l.
2
3 3
x

x 2x 3

lim

x x 1

→∞
+ +

− +
m.
1
x
x
1
x
x
1
x
x
lim
2
2
2

x + +

+
−
+
+
+
∞
→
n.
1
x
x
16

x
14
1
x
7
lim
2

x→∞ + + + +

5.Tính giới hạn các hàm số sau
a.
2
x
x
3
x
lim
2
x +
−
∞
→

b.lim( x2 x x2 1)

x→∞ − − +

c.
x

1
sin
x
lim 2
0
x →

d.
3
x
2
x
x
2
cos
3
x
sin
lim 2

x − +

+
∞
→
e.
1
x
x
x

cos
5
lim 3
2
x −
+
+∞
→

f. 2

lim( x x x

→∞ + − .

g. 2

lim(2x 1 4x 4x 3)

→∞ − − − −

xlim→+∞ x x x x

 + + − 

 

 

i. 3 2 3

lim(x 3x x )

→∞ + −

(

2 3 3

)

lim x 1 x 1

→∞ + − −

6.Tìm 2 số a,b ñể

a. lim( x2 x 1 ax b) 0

x→+∞ + + − − =

b. ax b)

1
x

1
x
(
lim
2

x + − −

∞

→ = 0

7. Tính các giới hạn sau:

(

2 2

)

xlim x→+∞ x +2x−2 x + +x x

(

3 3 2 2

)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

8. Tìm các giới hạn sau

a. 3 2

x 0

lim(x 5x 10x)

→ + +

b) 2

x 1

x 5x 6

lim
x 2
→
− +
−
c)
x 3

lim x 1

→ −

d) 22

x 2

2x 3x 1
lim

x 4x 2

→−

+ +

− + +

e) 3

x 1

1 1

lim

1 x 1 2x

→

 − 

 + 

 − 
f) 3 2

x 0

x 4

lim

x 3x 2

→

−

− +

x 1

1 x 1 x

lim

x
→

+ − −

Dạng vơ định 0
0
9. Tìm các giới hạn sau:

a) 2 2

x 2

x 4

lim

x 3x 2

→

−

− +

b) 2 2

x 1

x 1
lim

x 3x 2

→ −

−

+ +

c) 22

x 5
x 5x

lim
x 25
→
−
−

d) 22

x 2

x 2x
lim

2x 6x 4

→

−

− + −

e) 34

x 1

x 3x 2
lim

x 4x 3

→

− +

− +
f) 3 2 2

x 1

x x x 1

lim

x 3x 2

→

− − +

− + −
g) lim 22 23 6

8
x
x x
x
→ −
+ −
+
h) 42 2

3
72
lim
2 3
x
x x
x x
→
− −
− −

i) lim1 53 1
1
x
x
x
→−
+
+

j) 3 4 2 2

x 3

x 5x 3x 9

lim

x 8x 9

→

− + +

− −

k) 4 3 3 2 2

x 1

2x 8x 7x 4x 4
lim

3x 14x 20x 8

→

+ + − −

+ + +

l) 3 3 2
x 2

x 3x 9x 2
lim

x x 6
→ −

− − +

− +

m) 2

2 1

lim

1 1

x→ x x

 − 

 − − 

 

n) 3

1 3

lim

1 1

x→ x x

 − 

 − − 

 

o) 5 2 6

x 1

x 5x 4x

lim

(1 x)
→

− +

−

p) 3 3

h 0

(x h) x

lim

h
→

+ −

q) 2 3 3

x a

x (a 1)x a
lim

x a

→

− + +

−

r) 4 4

x a
x a
lim
x a

→
−
−

s) 3 3

h 0

2(x h) 2x
lim

→

+ −

t) 2 2

x 1

x 2 x 4

lim

x 5x 4 3(x 3x 2)

→

 + − 

 − + − + 

 

u) 19921990

x 1

x x 2

lim

x x 2

→

+ −
+ −

v) n 2

x 1

x nx n 1

lim

(x 1)
→

− + −

−

10. Tìm các giới hạn sau:
A =
8
x
18
x
x
4
lim
3
2
2
x −
−
+
→

B = 22

x 5

x x 30
lim

2x 9x 5

→

+ −

− −

C = 3 2

x 1

x 1
lim

x 2x x 2

→−

+ − −
D = 3 2 2

1
x

4x 1
lim

4x 2x 1

→

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

E = 22

x 1

x 4x 3
lim

x 2x 3

→

− +

+ −
F = 2 2

1
x

2x 5x 2
lim

4x 1

→

− +

−

G = 22

x 1

2x 3x 1
lim

x 4x 5

→−

+ +

− + +
H = 24

x 2
x 16
lim
x 2x
→−

−
+
I = 23

x 1
x 1
lim
x x
→
−
−
J =
3
x
4
x
27
x
lim
2
3
3

x − +

−

→

K = 3 2 2

x 2

x 6x 12x 8
lim

x 4x 4

→

− + − +

− +

L = 3 2 2

x 1

x x x 1

lim

x 5x 6

→

− + −

− − +
M = 2 3

x 2

8x 64
lim

x 5x 6

→

−

− +

N = 3 2 3

x 2

x 2x 6x 4
lim

8 x

→

+ − −

−

O = 3 2 2

x 2

x x 5x 2
lim

x 3x 2

→

+ − −

− +

P = 3 2 2

x 1

x 4x 6x 3
lim

x x 2

→−

+ + +

− −
Q = 32

x 1

x 3x 2
lim

x 2x 1

→

− +

− +
R = 53

x 1
x 1
lim
x 1
→
−
−
11. Tìm các giới hạn sau:

a) 2

x 0

x 1 x x 1

lim

x
→

+ − + +

b) 2

x 7

x 3 2
lim

49 x

→

− −

−
c) 2

x 2

2 x 2

lim

x 3x 2

→

− +

d) 2

x 2

4x 1 3
lim

x 4

→

+ −
−

e) 3 2

x 1

2x 7 3
lim

x 4x 3

→

+ −

− +
f)

x 4

x 5 2x 1

lim

x 4
→

+ − +

−

g) 2 2

1
2 3
lim
3 2
x
x
x x
→
− +

− + −

h) 3

2
2
lim
8
x
x x
x
→
− +
−

i) 2 2

x 1

3x 2 4x x 2

lim

x 3x 2

→

− − − −

− +

x 4

3 5 x

lim

1 5 x

→

− +

− −
k)

x 1

3 8 x

lim

2x 5 x

→

− +

− −

x 2

x x 2

lim

4x 1 3

→
− +
+ −
2
3
1

2 6 4 1

) lim

2 1

x x x

x x

→

+ + − +

− +

n) 34 2

x 1

x 1
lim

x x 2

→

−

+ −

o) 3 2

0
1 1
lim
2

x
x
x x
→
− −
+
p) 23

1
lim

2 5 3

x
x
x x
→−
+
+ +

q) 3 2

x 2

2x 12 x
lim

x 2x

→−

+ +

+
r) 3

x 1

x 7 2
lim

x 1

→

+ −

−
s) 3

0
1 1
lim
1 1
x
x
x
→

+ −
+ −
t) 3

x 1

x 7 2
lim

x 1

→

+ −
−
v) 3

4
x 1
x 1
lim
x 1
→
−
−
w) 3 3

x 1

lim

4x 4 2

→

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

12. Tính các giới hạn sau:
a.

x 0

x 1 x 4 3
lim
x
→
+ + + − 
b.
x 0

x 9 x 16 7
lim

→

+ + + − 
c. 3

x 0

x 1 x 4 3

lim
x
→
+ + + −
d. 3
x 0

x 1 x 1

lim

x
→

+ − +

e. 2 3

3 3 5

lim
1
x
x x
x

→
+ − +
−

f. 3 2

x 1

8x 11 x 7
lim

x 3x 2

→

+ − +

− +

Dạng vô định ∞
∞
13. Tìm các giới hạn sau:
a)
x
2x 1
lim
x 1
→+∞
+
−

b) 2 2

x 1
lim

1 3x 5x

→ −∞

− −

c) 2

x x 1
lim

x x 1

→+∞

+
+ +

d) 22

3x(2x 1)
lim

(5x 1)(x 2x)
→ −∞

−

− +

e) lim 3 33 2 2 2

2 2 1

x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
f) lim 3 34 2 2 1

4 3 2

x
x x

x x
→±∞
− −
+ −
g) lim 3 22 2 2

3 1
x
x x
x x
→±∞
− −
− −
h) lim 43 3 2 1

2 2
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −

i) 2 4 2

(x 1) (7x 2)
lim

(2x 1)
→±∞

− +

j) 22 2 3

(2x 3) (4x 7)
lim

(3x 4) (5x 1)
→±∞

− +

− −

k) 2

x
4x 1
lim
3x 1
→∞
+
−

l) lim 2 3 2

3 1

x x x

x
→+∞

− +

−

m) lim 2 3 2

3 1

x x x

x
→−∞
− +
−
n) 2
2

x x 2 3x 1
lim

4x 1 1 x

→ ± ∞

+ + + +

+ + −

o) 2

2
x

4x 2x 1 2 x
lim

9x 3x 2x

→ ± ∞

− + + −

− +

p) 2

2
x

x 2x 3 4x 1
lim

4x 1 2 x

→±∞

+ + + +

+ + −

q) 2

x x 3
lim

x 1

→+∞

+
r) lim 3 3 2 2

2 2

x x x

x
→−∞

+ +

−

s) lim 3( 3 2 )2 2 2 3 3 2 2 2

3 2

x x x x x x

x x
→−∞
+ + + +
−
t)
x

(x x x 1)( x 1)

lim

(x 2)(x 1)

→+∞

+ − +

+ −

Dạng vô định ∞ − ∞
14. Tính các giới hạn sau:
a) lim(2x3 3x)

x→+∞ −

b) lim (2 3 3 )
x

x x

→±∞ −

c) lim 2 3 4
x

x x

→±∞ − +

d) 2

xlim ( x→ −∞ + −x x)

e) 2

xlim ( x→ + ∞ + −x x)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

g) lim( x2 3x 2 x)
x→−∞ − + −

h) lim ( 2 2 4 )

x x x

→±∞ − + −

i) lim( +2− −2)

+∞

→ x x

j) 2 2

xlim ( x→ ± ∞ −4x 3+ − x −3x 2)+

k) lim ( 2 5 )

x x x

→±∞ + +

l) 2

xlim (2x 1→± ∞ − − 4x −4x 3)−

m) 2

xlim (3x 2→± ∞ + − 9x +12x 3)−

n) lim( 2 −3 +2+ −2)
+∞

→ x x x

o) lim( 2 −3 +2+ −2)
−∞

→ x x x

p) lim ( 2 3 2 1)

x x x

→±∞ − + + −

q) lim ( 2 3 1 3)

x x x

→±∞ − + − +

r) lim ( 4 2 3 2 1)

x x x

→±∞ − + − +

s) 3 3 2

xlim ( x→ ±∞ +x −x)

t) 3 3 2

xlim ( x→ ±∞ −x + +x x)

v) 2 3 3

xlim ( x→+ ∞ + −1 x −1)

w) lim (3 3 2 1 2 3 )

x x x x

→±∞ + − − −

Giới hạn một bên
15. Tìm các giới hạn sau
a) 2

2
2
lim
3 1
x
x x
x
−
→
−
+

b)
2
3 1
lim
2
x
x
+
→ −
c)
1
1
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
d)
1
1
lim
1
x
x
x
−

→
−
−

e) 2 3

x 0
x x
lim
2x
+
→
+
f)
2 3
x 0
2x
lim
4x x
±
→ +

g)
2
3
3
lim
2
2 −
+

−
−
→ x
x
x
x

h)
2
3
3
lim
2
2 −
+
−
+
→ x
x
x
x

i)
4
3
lim
4
x
x

x
±
→
−
−
j)
2
3
3
lim 2
2

2 + −

+
−

−

→ x x

x
x
x
k)
2
3
3

lim
2
2

2 + −

+
−

−

→ x x

x
x
x

l)
3
2
x 1

x 3x 2
lim

x 5x 4

−

→
− +
− +
g)
x 0
1 x
lim x
x
±
→
 − 
 
 
 
h)
2
x 1

x x 2

lim
x 1
+
→
+ −
−

16. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại xo và xét xem hàm số có giới hạn tại xo
không ?

 − + >

 −
= =
− <

2
2
o

x 3x 2 (x 1)

x 1

a. f(x) ,với x 1

x (x 1)
2

 −
<

= − =

 − >


4 x (x 2)

b. f(x) x 2 ,với x 2
1 2x (x 2)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

ÔN TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
ðịnh nghĩa và một số định lí về giới hạn

1. Áp dụng ñịnh nghĩa giới hạn của hàm số. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
1
3 4
lim
1
x
x x
x
→−
− −

+ b) 1

1
lim

x→ −x

2. Tìm các giới hạn:
a)

lim

x→ x b) lim(x→2 x−7) c) lim(4x→5 x+ 3)

lim( 7)( 1)

x→ x+ x− e) 4

4
lim
3
x
x
x
→
+

− f) limx→1 x+15

3. Tìm các giới hạn sau:

a) 2

lim(3 7 11)

x→ x + x+ b)

3
4
1

lim

(2 1)( 3)

x x

→

−

− − c) 0

lim 1

x→ x x

 − 
 
 
d)
2
9
3
lim
9
x
x
x x
→
−

− e)

2
3

lim | 4 |

→ − f)

4
2
2
3 1
lim
2 1
x
x x
x
→
+ −
−
4. Tìm các giới hạn:

a)
2
2
5 2
lim
1
x
x x
x
→+∞
+
+ b)
2
2

5 2
lim
1
x
x x
x
→−∞
+
+
5. Tìm các giới hạn:

a)
2
3
1
lim
2
x
x
x x
→+∞
−

+ + b) 4 2

2
lim
1
x
x

x x
→−∞
−
+ −
6. Tìm các giới hạn

a)
4 2
4 2
1
lim
2 3
x
x x
x x
→+∞
− +

+ + b)

3
5 2
2
lim
2 1
x
x x
x x
→−∞
+

− +

7. Tìm các giới hạn:
a)
2
3
2
2
lim
8 3
x
x x
x x
→−∞
+

− + b) Error! Objects cannot be created from editing field
codes.

Giới hạn một bên – Giới hạn vô cực
1. Cho hàm số f(x) =




≥
−
−
<
1

3
2
1
x
2
3
x
khi
x
x
khi
. Tìm
1

lim ( )

x→− f x

2. Tìm các giới hạn:
a)

lim 1

x→+ x− b) xlim ( 5→5− − +x 2 )x c) 3

1
lim

x→ + x− d) 3

1
lim

x→− x−

3. Tìm các giới hạn:
a)

| 2 |
lim
2
x
x
x
+
→
−

− b) 2

| 2 |
lim

2
x
x
x
−
→
−

− c) 2

| 2 |
lim
2
x
x
x
→
−
−
4. Tìm các giới hạn:

a)
2
5 1
lim
2
x
x
x
−

→
+

− b) 2

5 1
lim
2
x
x
x
+
→
+
−
5. Tìm các giới hạn:

a)
2
3
3
lim
3
x
x x
x
−
→
+ −
− b)

2
3
3
lim
3
x
x x
x
+
→
+ −
−
6. Tìm các giới hạn:

a) lim ( 3 2 )

x→+∞ x − x b)

lim ( 2 )

x→−∞ x − x c)

4 2

lim (2 1)

x→+∞ x +x − d)

4 2

lim (2 1)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

a) lim ( 2 3 1)

x→+∞ − x + +x b)

lim ( 2 1)

x→−∞ − x + +x

c) lim ( 5 4 2 2)

x→+∞ − x +x + d)

4 2

lim ( 5 2)

x→−∞ − x +x +

8. Tìm giới hạn: lim 3 2 5
x→−∞ x − x

Các dạng vơ định 0, , 0,
0

∞
∞

∞ và ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞

1. Xác định dạng vơ ñịnh và tìm các giới hạn sau:
a)

2
3

4 3
lim

x x

→

− +

− b)

2
2

2 3 1

lim

x x

→−

+ +
−
2. Xác ñịnh dạng vơ định và tìm các giới hạn sau:

3 2

1
lim

x x x

→

− + −

− b)

4 4

lim

x a

x a
x a

→

−
−
3. Xác định dạng vơ định và tìm các giới hạn sau:

2
2
1

2 3
lim

2 1

x x

→

+ −

− − b)

2
2

4
lim

7 3

x
x
→

−
+ −

4. Xác định dạng vơ định và tìm các giới hạn sau:
a)

2
0

1 1

lim
x

x x x

x
→

+ − + +

2
lim

4 1 3

x x

→

− −

+ −
5. Xác định dạng vơ định và tìm các giới hạn sau:

3 2

4 3 1

lim

x x

→+∞

− +

+ − b)

1 2

lim

2 3
x

x x

x
→−∞

+ −

−

6. Xác định dạng vơ ñịnh và tìm các giới hạn sau:

a) 2

3 1

lim

2 4

x→ + x x

 − 

 − − 

  b)

lim ( 4 2 )

x→−∞ x − +x x

7. Xác định dạng vơ định và tìm các giới hạn sau:
a)

1 1

lim 1

x→ x x

 − 

 + 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a. f(x) = x2 + x – 3
b. f(x) = 3x – 5

x2 + 3x
c. f(x) = x + 2

x2 + 4

2. Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a. f(x) =





≥
−
<
+
−
1
x
khi

3
2x
1
x
khi

4
x
3
x2

tại xo = 1

b. f(x) =

1 2x 3

khi x 2
2 x

1 khi x 2

 − − ≠



 −

 =



tại xo = 2

c. f(x) =

2
2

x 3x 2

khi x 1
x 1

khi x 1
2
 − +
≥

 −

− <


tại xo = 1

d. f(x) =

4 x

khi x 2
x 2

1 2x khix 2
 −

<


−


 − >


tại xo = 2

e. f(x) =

x khi x 0
2

x 1 1

khi x 0
1 x 1

 + ≤

 + −
 ≥
 + −


tại xo = 0

3. Tìm a ñể các hàm số sau liên tục tại x0
a. f(x) =




≥

+
<
−
+
1
x
khi

a
2x
1
x
khi

1
x
2
x
3 2

tại x0 = 1

b. f(x) =
3

x 2x 3

khi x 1

x 1

a khi x 1

 + −
≠

 −
 =


tại x0 = 1

c. f(x) =

1 x 1 x

khi x 0
x

4 x

a khi x 0

x 2
 − − +
<



−
 + ≥
 +

tại xo = 0

4. Xét sự liên tục của các hàm số sau trên R:

a. f(x) =

x 3x 7 khi x 2
1 x khi x 2

 − − < −




− ≥ −

 b. f(x) =

2
2

x 3x 10

x 4

khi x 2
3x 4 khi x 5

2x 3

khi 2 x 5

x 2

 + −

<


−

 − >


 +
 ≤ ≤
+


5. Cho hàm số

x 5x 6

nÕu x 3
2x 6

y
5

nÕu x = 3
2
 − +
≠
 −
= 



</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

6. Cho hàm số

2
2

3 7 2

nÕu x 2
4

3 nÕu x = 2

 − +
≠

= −

x x

y x . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 2.

7. Cho hàm số

2
2

11 5 34

nÕu 2
4

3 1 nÕu x = 2

 − −
<

= −
 −

x x
x
y x

. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 2.

8. Cho hàm số

2 6 4

nÕu x 5
10 2

2 3 nÕu x = 5

 + −
≠

=  −
 +

x
y x
m

. Tìm m để hàm số liên tục số tại x0 = 5.

9. Cho hàm số

2 5 2

nÕu 2
2

5 7 nÕu x 2

 − +
>

= −
 − ≤

x x
x
y x
x

. Xét tính liên tục của hàm số trên R.

10. Cho hàm số

2 5 2

nÕu 2
7 3

2 nÕu x = 2

 − +
≠

= + −
−

x x
x

y x . Xét tính liên tục của hàm số trên R.

11. Cho hàm số

1 1

nÕu 0

2 1 nÕu x 0

 + − + +

 >

= 

 − ≤



x x x

y x

. Tìm m để hàm số liên tục trên R.

12. Tìm a để các hàm số f(x) =

3x 2 2

khi x 2
x 2

ax + khi x 2
4
 + −
>
 −

 ≤


liên tục trên R.

13. Tìm a, b ñể hàm số f(x) =
2

x khi x 1
ax b khi 1 x 3
4 x khi x 3

 <



+ ≤ ≤



 − >



liên tục trên R.

14. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo:
a.

x 1 (x 1)

f(x) x 1

Ax 2 (x 1)
 −
<

=  −
 + ≤


với x0 = 1

b. 3 2

x 6 2x 9

A x 3

f (x) x 4x 3x

3x 2 x 3

 + + −
+ <

= − +

 − ≥


với x0 = 3

15. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a. x3 – 2x – 7 = 0

b. x5 + x3 – 1 = 0

c. x3 + x2 + x + 2/3 = 0
d. x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0
f. cosx – x + 1 = 0

16. Chứng minh rằng phương trình

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

e. 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f.* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
17. Cho 3 số a,b,c khác nhau.

Chứng minh rằng phương trình: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0, có 2 nghiệm phân biệt.
18*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0
có nghiệm trong [0;1

3 ]
19*.Cho f(x. = ax2

+ bx + c thoả mãn: 2a + 3b + 6c = 0
a.Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)

b.Chứng minh rằng ba số f(0), f(1), f(1/2) không thể cùng dấu

c.Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
20*.Cho f(x. = ax2

+ bx + c thoả mãn : a
m + 2 +

b
m + 1 +

c
m = 0
a.Chứng minh rằng af( m

m + 1 ) < 0 với a ≠ 0
b.Cho a > 0, c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0

c.Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
21*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên ñoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]

22. Chứng minh rằng: các phương trình sau ln ln có nghiệm:
a. cosx + m.cos2x = 0

b. m(x – 1.3(x + 2. + 2x + 3 = 0

c. a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d. (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0

23. Cho phương trình: x5 + x – 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm.
24. Chứng minh rằng phương trình 4x4+2x2− − = có ít nhất hai nghiệm. x 3 0

25. Chứng minh rằng phương trình 2x3−6x+ = có ít nhất ba nghiệm. 1 0
26. Chứng minh rằng phương trình sinx+ − = có ít nhất một nghiệm. x 1 0
27. Tính các tổng sau:

1 1

8 4 2 1 ... ...

2 2n

S = + + + + + + +

2 1 (0,3) (0,3) ... (0,3) ...
n

S = + + + + +

1 1 1

... ...

2 4 2n

S = + + + +

4 2

1 1 1

1 ... ...

10 10 10n

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

ÔN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC
Hàm số liên tục tại một điểm

1. Xét tính liên tục của hàm số:

( ) 2

4
x

f x x

 −


= −



. Tại ñiểm xo = 2.

2. Cho hàm số:

3
1
( )

3 2

x x

f x
x
 − +
= 



Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm xo = 1.
3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại ñiểm xo = 3.
a)

2 3
( )

x x

f x

− −

=
−
b)

2 3

( ) 3

x x

f x x

 − −


= −



4. Cho hàm số

( ) 1

f x x

a
 −

= −



Xác ñịnh a ñể hàm số f(x) liên tục tại ñiểm xo = 1.
Hàm số liên tục trên một khoảng, một ñoạn:

1. Xét tính liên tục của hàm số:

1
( )

2 4

x x

f x

x
 + +
= 



Trên tập xác định của nó.
2. Xét tính liên tục của hàm số:

2 3

( ) 3

x x

f x x

 − −


= −


Trên tập xác ñịnh của nó.

3. Cho hàm số:

2 1

( ) x x

f x

x a

 + +

=  +


ðịnh a ñể hàm số f(x) liên tục trên ℝ
4. Cho hàm số

2 3 1

( ) 3
7 4

x x

f x

 + −


= 

 −


Xét tính liên tục của hàm số tại ñiểm:
a) xo = 0 b) xo = 1

Chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số

1. Chứng minh phương trình: 4 2

4x +2x − − = , có ít nhất 2 nx 3 0 0 phân biệt trên khoảng (–1, 1).
2. Chứng minh phương trình:x3−3x+ = có 3 nghiệm phân biệt 1 0

3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm
nằm trong khoảng (– 1; 2).

4. Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:cosx + mcos2x = 0

5. Chứng minh rằng phương trình m x( −1) (3 x2−4)+x4− = ln có ít nhất hai nghiệm với mọi 3 0
giá trị của m.

Nếu x ≠ 2
Nếu x = 2
Nếu x >1

Nếu x ≤1

Nếu x ≠ 3
Nếu x =3

Nếu x ≠ 1
Nếu x = 1

Nếu x ≥ 1
Nếu x< 1

Nếu x ≠ 3
Nếu x = 3

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

ƠN TẬP CHƯƠNG

Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Bằng Công Thức

Chứng minh :
1. lim

2
2

n 2n

n 2n 4

+ +

2. lim n 1
n 1+ =
3. lim2n 1 2

n 2
+ =
+
4. lim

2
2
2n 1
2
n 1
+
=
+

5. lim n 1 1
3n 2 3

+ =
+
6. lim

2
2
n 1
1
n 4
+
=
+
7. lim 21 0

n +1=
8. lim3n 1 3

2n 1 2
+ =
−
9. Cho dãy số n 2 2

n 2n

a .

n 2n 4

+
=

+ + Chứng minh rằng n n
lim a 1

→∞ =

10. Cho dãy số an = n 1+ − n.Chứng minh rằng lim an =0.
Tính Giới Hạn Của Dãy Số

Tìm các giới hạn sau :

1. lim
2
2

2n n 3

3n 2n 1

− +

+ +

2. lim 5n 1
3n 2
−
+
3. limn 1

n
+

4. lim

(

)

2
2

n 1
2n

5. lim 3 2n 12
n 4n 3

+ +

6. lim

3 2

3n 2n n

n 4

+ +

7. lim

(

)(

)

(

)

4
2

n 1 2 n+ + n +1

8. lim
2
4

n 1

2n n 1

+
+ +

9. lim

(

) (

)

(

) (

)

4 4

n 1 n 1

+ − −

+ + −

10. lim

(

) (

)

(

) (

)

3 3

2 2

n 1 n 1

+ − −

+ + −

11. lim

(

n2+ + −n 1 n

)

12. lim

(

n2+2n− + n 1

)

13. lim

(

n2+ −n n2+2

)

14. lim

(

n2+ + −n 1 n

)

15. lim

(

1 n+ 2− n4+3n 1+

)

16. lim

2
2

4n n 2n
n 4n 1 n

+ −
+ + −

17. lim

(

)

3 3

n 2 n n

n 1 n

− +

+ −

18. lim

n n 1
n
2 5
1 5
+
+
+
19. lim

n n 1

n n
4.3 7
2.5 7
+
+
+
20. lim

n 1 n 2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Sử Dụng Định Lý Tìm Giới Hạn Hàm Số
Tìm các giới hạn sau :

2
x 2

x x 1
lim
x 1
→
− +
−
2.
2
x 1

x 3x 3
lim
x 1
→
− +
+
3.
x 2

x 7 3
lim

x 2
→

+ −
+
4. 33 22

x 4x 5x 1

lim

2x 3x 4x 3

→+∞

− + −

+ − +

(

3 2

)

x 0

lim x 5x 10x

→ + +

(

)

x 4

x x 2

lim

x - 4
→

−

(

3 2

)

x 3

lim x 5x 2x 1

→ − + −
8.
x 1
2x +1
lim
x 1
−
→− +

9. 4

x 2
2x 1
lim
x 2
+
→
+
−
10.
x 3
3x 3
lim
x
→−
+

11. x
x 0
3 1
lim
x
−
→
+
12.
x 1
x 5
lim

x 5
→
+
+
2
13.
2
x 3

x 2x 15
lim
x -1
→
+ −
14.
2
2
x 1

2x 3x 1

lim
x 1
→−
+ +
−
15.
3 2
x 1

x x x 1

lim
x -1
→
− + −
16.
x 0
1
lim

x - 2
→
17.
x 2
x +1
lim
x -1
→
18. 3

x a
lim x

→

19. 3
x a

lim x

→
20. 2

x 1
1
lim
x
→
21.
x 9
1
lim
x
→
22.
3 3
5 5
x y
x y
lim
x y
→ −
+
+
23.
15
5
x 0
x 1
lim

x 1
→
−
+
24.
x 0

x + 4 2
lim

x
→

−
25.

xlim x -1→2

26.

(

)

xlim x→a −3x+4 x
27. 3 3

x a
x - a
lim

x a

→ −

28. 3 2

x 0

lim(x 5x 10x)

→ + +

29.

2
x 1

x 5x 6

lim
x 2
→
− +
−
30.
x 3

lim x 1

→ −

31.

2
2
x 2

2x 3x 1
lim

x 4x 2

→−

+ +

− + +

32. 3

x 1

1 1

lim

1 x 1 2x

→
 − 
 + 
 − 
33.

2
3
x 0
x 4
lim

x 3x 2

→

−

− +

34.

x 1

1 x 1 x

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tìm Giớí Hạn Của Dạng Vơ Định .
Dạng 0

Tìm các giới hạn sau :

1.

3 2
2

1
1
lim
3 2
x

x x x

x x
→
− − +
− +

2.

4
3 2
1
1
lim
2
x
x

x x x

→

−

− +

3.

2 2

4 1 3
lim
4
x
x
x
→
+ −
−

4.

3
3
1
1
lim

4 4 2

x
x
x
→
−
+ −

5.

5
3
1

1
lim
1
x
x
x
→−
+
+

6.

3 2
4 2
3

5 3 9

lim

8 9

x x x

x x
→
− + +
− −

7.

5 6

2
1

5

4 lim

(1

)

→

−

x

8.

2
3
7 12
lim
3
x
x x
x
→
− +
−

9.

1 3

2 7 4

lim
4 3
x
x x
x x
→
+ + −
− +

10.

3

1
1 3
lim
1 1
→
 + 
 − − 
 

x x x

9.

2

1 4

lim

2 4

x→− x x

 + 

 + − 

 

10.

3

1 12

lim

2 8

x→ x x

 − 
 − − 
 

11.

0
1 1
lim
x

x x
x
→
+ − −

12.

2

7
2 3
lim
49
x
x
x
→
− −
−

13.

4
3 5
lim
1 5
x
x
x
→
− +
− −

14.

2
2
lim
2 2
x
x
x
→
−
− −

Daïng ∞
∞

Tìm các giới hạn sau

1.

x
2x 1
lim
x 1
→∞
+
−

2.

2
2
x
x 1
lim

2x x 1

→∞
+
− +

3.

2
x

2x x 1
lim

x 2
→∞

− +
−

4.

2

x x 1
lim

x x 1

→∞
+

+ +

5.

x
1- 2x
lim
x 1
→∞ +

6.

2
3 2
x
2x 1
lim

x 3x 2

→∞
+
− +

7.

2
x

x x 2
lim
x 1
→±∞
+ −
+

8.

x
x 1
lim 2
x
→∞
+
 + 
 
 

9. (

)

(

)

(

)

(

)

3
x

3x 1 5x 3
lim

2x 1 x 1

→∞
+ +
− +

10.

3 2
lim

1
→∞
+
+
x
x
x

11.

2
3 3
x

x x 3

lim

x x 1

→∞

+ +
+ −

12. (

)

6
6
m

m m 10

lim
m 10
→∞
+
+

13.

3
x
x x
lim
1 4x
→ −∞
−
−

14.

2
2
x

2 x 3x
lim
1 x
→ ∞
− +
+

15.

2
x
x
lim

1 x
→ ∞ −

16. (

) (

)

(

)

2 2

4
x

x 1 7x 2
lim

2x 1

→∞

− +

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

17.

2
x
4x 1
lim
3x 4
→−∞
+
−

18.

3
2
x

x 3x 1

lim

2x 4x 5

→∞
+ −
+ −

19.

4
2
x

3x 2 x x 5x

lim

2x 4x 5

→∞
− + +
+ −

20.

2
x

x x 2 3x
lim

4x 1 x 1
→∞
+ + +
+ − +

21.

3 2
3 2
x

x 4x 5x 1

lim

2x 3x 4x 3

→±∞
− + −
+ − +

22.

2
2
x

x 4x 5 2x 1

lim

3x 3x 4 x
→±∞

+ − + +

− − −

Daïng ∞ − ∞ :

Tính các giới hạn sau :

1.

1 2

2 1

lim

1 1

x→ x x

 − 

 − − 

 

2.

2 2 2

1 1

lim

3 2 5 6

x→ x x x x

 + 

 − + − + 

 

3.

1 3

1 3

lim

1 1

x→ x x

 − 

 − − 

 

4. (

)

lim 4

x→∞ x − x −x

5. (

2 2

)

lim 1 1

x→−∞ x − + −x x + +x

6. (

)

lim 3

x→−∞ x − + −x x

7.

lim

(

3 5

)

x→−∞ − −x −x

8. (

)

lim 5

x→∞x x + −x

9.

lim 1 2

x
x
x
→+∞
+
 + 
 
 

10. (

)

lim 4 4 1 2 3

x→∞ x − x+ − x+

Tính các giới hạn sau :

1. (

)

lim 4

y→∞ + y − y

2.

lim

(

)

x→∞ x+ − x

3.

lim

(

)

x→∞ x x x

 + − 

 

4. (

3 2 3 3

)

lim 1 1

x→∞ x + − x −

Tìm Giới Hạn Mọât Bên
Tìm giới hạn sau:

1.

2
2

2 3 1 4
lim

4 1 2

→∞

+ + + +
+ + −

x x x

x x

2.

2
3
2 3
lim
1
→∞
+ +
− +
x
x x
x x

3.

4
2

3 2 5

lim

2 4 5

→∞

− + −

+ −

x x x x

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Tại X 0

Cho hàm số f(x), xác định tính liên tục của hàm số tại x=x0 :

1.

Cho

( )

2 7x 5x x

, khi x 2

f x x 3x 2

1 , khi x = 2

− + −

 ≠



= − +

 , taïi x =0 2

2.

Cho

( )

3 2

, khi x 1

1

, khi x = 1
4

 + −

≠
 −

= 



x
x

f x , taïi x =0 1

3.

Cho

( )

2, 1

2 5, 1

+ ≥ −



=  + < −


x x

f x

x x , taïi x = −0 1

4.

Cho

( )

11 13 , x 1
1 , x = 1

 − ≠



= − −
−



f x x x , taïi x =0 1

Xét Tính Liên Tục Một Bên Của Hàm Số
Xét tính liên tục một bên :

1.

Cho

( )

(

)

x 5

, x 5
2x 1 3

f x

x 5 3, x 5
−

 >

 − −

= 

 − + ≤



, taïi x =0 5

2.

Cho

( )

x 1

f x 1 x

1
−



= −

 ≤



, x > 1
2x + 5 , x

, taïi x =1

3.

Cho

( )

2
2

0, x 0

f x x , 0 x 1

x 4x 4, x 1
<




= ≤ <

− + − ≥



, taïi x = 0 va x = 1.

4.

Cho

( )

2 2 3

1 , 1

2 7 5

, 2 x 1

3 2

1 , khi = 2
khi x

x x x

f x khi x

x x

− =



 − + −



= ≠ ∨ ≠

− +




, taïi x =0 2

5.

Cho

( )

3 2

, khi x 1

1

, khi x = 1
4

 + −

≠
 −

= 



x
x

f x , taïi x =0 1

6.

Cho

( )

2, 1

2 5, 1

+ ≥ −


= 

+ < −


x x

f x

x x , taïi x = −0 1

7.

Cho

( )

1 3

, x 1

1 1

1 , x = 1

 − ≠



= − −
−



f x x x , taïi x = 0 1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

8.

Cho

( )

1 22 3, 2 32

1 , 2

 − −
≠ ≥


=  −
 =

x
x

f x x

, taïi x0 =2

9.

Cho

( )

2
3 2
, 1
1, 1
 − +
≠

= 
 =

x x
x

f x x

, taïi x0 =1

10.

Cho

( )

2, 0

0, 0

1, 0

 + <


= =

 + >


x x

f x x

x x

, taïi x0 =0

11.

Cho

( )

(

)

x 5

, x 5

2x 1 3
f x

x 5 3, x 5

−
 >
 − −
= 
 − + ≤


, taïi x =0 5

12.

Cho f x

( )

1 xx 1

1
−


= −
 ≤


, x > 1
2x + 5, x

, taïi x =1

13.

Cho

( )

2
2

0, x 0

f x x , 0 x 1

x 4x 4, x 1
<




= ≤ <

− + − ≥



, taïi x = 0 vaø x = 1

14.

Cho

( )

, 3

1 , 3

 −

<


= −

 − >


x
x

f x x

x x

, taïi x = 3

15.

Cho

( )

2
3
4
2
, 2
8
16
, 2
2
 −
>
 −
= 
−
 <
 −

x x
x
x
f x
x
x
x

, taïi x = 2 .

16.

Cho hàm số

( )

x 1
, x 1

f x x 1

ax 2, x 1
 −

<


= −
 + >


. Tìm a để

( )

x 1
lim f x

→ tồn tại.

17.

Cho hàm số

( )

1 x 1 x

, x 0
x

f x

4 x

A , x 0

x 2
 − − +
<

= 
−
 + ≥
 +


. Tìm A để hàm số trên liên tục tại x = 0.

18.

Cho hàm số

( )

33x 2 2

, x 2
x 2

f x

Ax , x 2

4
 + −
>
 −
= 
 + ≤


. Tìm A để hàm số trên liên tục tại x = 2.

19.

Cho hàm số

( )

3 2

x 5x 5x 3

, x 3

f x x 9

a 4x, x 3

− + − −
>

= −
 + ≤



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Dạng 1: Giới hạn xác định
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

((((

))))

) l
)l

4 3 2

x 2

3 2

x 1

a im x 5 x 3 x 2
2 x 4 x 9 x 3
b im
x 3
→
→
→
→
→
→
→
→

− − +
− − +
− − +
− − +
− + −
−− ++ −−
− + −
−−−−

((((

))))

sin

) l
) l
2
2
2005
x 1
πx
x x
2 6
x 1

3 x 5 x 4

c im 3 x 8

x 2
d im 2 x x 1

→−
→−→−
→−
+ −
+ −
+ −
+ −
→−
→−
→−
→−
− +
−− ++
− +
+ +
++ ++
+ +
−−−−
− +
− +
− +
− +
Dạng 2: Kh dng vụ nh 0

0
Bài 2. Tìm các giới hạn:

3 2
2
x 3

3
2
1
x
2

x 4x 4x 3
a) l im

x 3x
8x 1
b) l im

6x 5x 1
→
→
− + −
−
−
− +

(

) (

)

(

) (

)

4 3 2

x 1

3 2

x 1

2x 5x 3x x 1
c) l im

3x 8x 6x 1

2x 4 2 1 x 4 2 2 x 2
d) l im

x 2 2 1 x 2 2 2 x 2
→
→
− + + −
− + −
− + + + −
− + + +

Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
) lim
) lim
2
x 0
2
x 2

1 x 1

x
x 7 3
b
x 4
→
→→
→
→
→
→
→
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −+ −
+ −
−−−−
) lim
) lim
x 1
3 2
2
x 0

x 7 1

x 5 2

1 x 1

d
1 x
→−
→−→−
→−
→
→
→
→
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+
++++

Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
) lim
) lim
3
2
x 1
3
x 0

x 7 x 3

x 3 x 2

2 x 1 8 x

b
x
→
→→
→
→
→
→
→
+ − +
+ − +
+ − +
+ − +

− +
− +
− +
− +
+ − −
+ − −
+ − −

+ − − ) lim

3
2
x 0

1 2 x 1 3 x

c
x
→
→→
→
+ − +
+ − +
+ − +
+ − +

Dạng 3: Khử dạng vơ định ∞∞∞∞
∞
∞∞
∞

Bài 5.Tìm các giới hạn sau:

) lim

3 2

4 3 2

5 3

5 4 2

2 x 3 x 4 x 1
a

x 5 x 2 x x 3
6 x 7 x 4 x 3
b

8 x 5 x 2 x 1

→±∞
→±∞→±∞
→±∞

→±∞
→±∞
→±∞
→±∞
− + −
− + −
− + −
− + −
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
−− ++ −− ++
− + − +
− + −
− + −
− + −
− + −

((((

))))

((((

))))

) lim
( ) ( ) ... ( ) ( )
) lim
2
2
2
x

100 100 100 100

100 10 10

2 x 1 3 x x 2
3 x

2 x 1 4 x

x 1 x 2 x 99 x 100

x 10 x 100

→±∞
→±∞→±∞
→±∞
→±∞
→±∞
→±∞
→±∞
 
 
 −−−− + ++ ++ ++ + 
 
 
 −−−− 

 
 
 ++++ 
 
 
 
+ + + + + + + +
++ ++ ++ + ++ + ++ ++ ++
+ + + + + + + +
+ +
+ +
+ +
+ +

Dạng 4: Khử dạng vô định ∞ − ∞∞ − ∞∞ − ∞ ∞ − ∞
Bài 6. Tìm các giới hạn sau:

) lim

) lim ( )( )

a x x x

b x a x b x

→+∞

→+∞→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
 
 
 ++++ −−−− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ++++ ++++ −−−− 
 
 
 
 

((((

))))

) lim ( )( )( ) ( )( )( )( )

) lim ,

3 4

m n

x 1

c x 5 x 6 x 7 x 1 x 2 x 3 x 4

m n

d m n Z

1 x 1 x

→+∞
→+∞→+∞
→+∞
+
++
+
→
→
→
→
 
 
 ++++ ++++ ++++ −−−− ++++ ++++ ++++ ++++ 
 
 
 
 

 −−−−  ∈∈∈∈
 
 
 −−−− −−−− 
 
 

Dạng 5: Khử dạng vô định .0∞∞∞∞
Ph−ơng pháp: Biến i a v dng

Bài 7. Tìm các giới hạn sau:

) lim . 2

a x x 1 x

→+∞
→+∞→+∞
→+∞
 
 
 
 + −+ −+ −+ − 
 
 

 
 
 
 
 

  ) lim

3 3

3
x

b x x 1 x 1

→+∞
→+∞→+∞
→+∞
 
 
 
 + −+ −+ −+ − −−−− 
 
 
 
 
 
 

 

  c) limx→+∞→+∞→+∞→+∞x. x2 2 x x 2 x2 x

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

TÌM ĐẠO HAØM CỦA HAØM SỐ

1. y=x5−4x3+2x 3−

2. y 1 1x x2 1x4

4 3 2

= − + −

4 3 2

x 2x 4x

2 3 5

= − +

4. y=x2+x x 1+

5. y= x2−3x+2

6. y 73
x
=

7. y=x x+ x− 5
8. y=3(x−2)4

9. y= −(1 2x )2 10

10. y=(5x3+x2−4)5

11. y=(x7+x)2

12. y=(2x3+5)4

13. y 1 x

9
x

= +

14. y=(2x 3) (x+ 2 2+3x 1)−

15. y=(x2+1)(5 3x )− 2

16. y=(x3−3x+2)(x4+x2+1)

17. y=x(2x 1)(3x− +2)
18.

2
x 2x
y

x x 1
−
=

+ +
19. y=x x2+1

20.

2
x
y

x 1
=

+
21.

2 2

y , b const

b x

= =

−
22.

2 2

y , a const

a x

= =

−
23. y sin x cos x

sin x cos x
+
=

−
24. y=3sin(3x 5)+

25. y=tan(2x 3)+
26. y=cot(x2+5x−2)

27. y tanx cotx

2 2

= −

28. y=sin(2x2+3)

29. y=cos 2x2

30. y=cos (x )3 2

31. y=x sin x2 +2x cos x−2 sin x

32. y x sin x cos x 1cos x2
2

= +

33. y=(x 1) .(x+ 2 2+1)−3

34. y= +(1 sin x)2 4

35. y sin3 x
3
=
36. y=tan x6

37. y=cos nx, n=const
38. y=sin nx, n=const
39. y= 2 cos 2x+4 sin x
40. y=sin 2x cos 2x

41. y=3cos 2x 3sin 2x2 − 2

42. y= 2 2 cos 2x+

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) thuộc (C) có dạng: y = f’(x0).(x – x0) + y0, trong đó f’(x0) là
giá trị đạo hàm tại tiếp điểm hoặc hệ số góc.

BÀI TẬP:

Viết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số tại các điểm tương ứng sau:

a. 2

y=2x − +x 1, tại điểm A(1, 2).

(

) (

)

y= x 1+ x−2 , tại điểm A có hồnh độ bằng 2.

c. 1 4 2 3

y x 3x

2 2

= − + , tại điểm A 0,3
2

 

 

 .
d. y x 3

2x 1
−
=

− , tại điểm mà đồ thị cắt trục tung và trục hoành.
e. y x2 2x 2

x 1

− −

+ , tại điểm A
3
1,

2
 − 

 

 .
f. 2 5 1 3

y x x

3 9

= − , tại điểm có hồnh độ x = 1.

TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM 1
1. Cho ®−êng cong 3

y=x . Phơng trình tiếp tuyến của đờng cong này tại điểm M(-2; -8) là:
A. y= 12x32 B. y=12x+16

C. y=12x−16 D. y= −12x+32
2. Cho ®−êng cong 3

y= − − . Tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng -1 có hệ số góc là: x x
A. 2 B. 4

C. −4 D. −2
3. Trên đồ thị (C) của hàm số 3

2 3

y=x − x+ lấy điểm M có hồnh độ x= . Tiếp tuyến của (C) tại M có 1
ph−ơng trình là:

A. y=2x+ 2 B. y=3x− 1
C. y= + x 1 D. y= − 2 x
4. Cho ®−êng cong 3

y=x + . Tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1 có ph−ơng trình là:
A. y= − x 2 B. y=2x+ 1

C. y=3x+ 1 D. y=3x+ 4
5. Cho hµm sè 3

y=x + + có đồ thị (C). Để đ−ờng thẳng (d): x y=4x+ tiếp xúc với (C) thì giá trị của m
m là:

A. m = 0 và m = 4 B. m = 1 và m = 2
C. m = 3 D. Không có giá trị nào của m
6. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 4

y=x + . TiÕp tuyến của (C) vuông góc với đờng thẳng (d): x x+5y= 0
có phơng trình là:

A. y=5x 3 B. y=3x− 5
C. y=2x− 3 D. y= + x 4

7. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 4
1
y

x
=

− tại điểm với hoành độ x= − có ph−ơng trình là: 1
A. y= − − x 3 B. y= − + x 2

C. y= − x 1 D. y= + x 2
8. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1

2
y

= tại điểm với hoành độ 1
2

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

9. Cho hµm sè

( )

3 2

( )

2 2 3,

= − + −

f x x x x C . Ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M có
hồnh độ bằng 1 là:

(

)

(

)

3 4 2 1 2

y= x − x+ x− − B. y=0

(

x− −1

)

C. y=

(

x− −1

)

2 D. y=

(

x− −1

)

10. TiÕp tun víi ®−êng cong 1
1
x
y

x
+
=

− tại điểm có tung độ bằng 3 có ph−ơng trình là:
A. y = 2x – 1 B. y = – 2x + 7

C. y = – 2x + 1 D. y = 2x – 7
11. TiÕp tun víi ®−êng cong 1 1

1
y x

x
= + +

+ tại điểm M(-2; -2) có phơng trình là:

A. y = 2 B. y = 2

C. y = 2x + 2 D. y = 2x – 2
12. Cho hµm sè 3 2

6 9

y=x − x + x có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đ−ờng thẳng y=9x+ 1
có ph−ơng trình là:

A. y=9x+40 B. y=9x−40
C. y=9x+32 D. y=9x−32

13. Cho hµm sè 3 2

6 9

y=x − x + x có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) vng góc với đ−ờng thẳng
1 19

24 8

y= − x+ có phơng trình là:

A. y=24x+40 và y=24x−140 B. y=24x+ vµ 8 y=24x−100
C. y=24x−40 vµ y=24x−100 D. y=24x− vµ 8 y=24x+100

14. TiÕp tun víi ®−êng cong 1

2
y

= tại điểm có tung độ bằng 1 có ph−ơng trình là:
A. y= − 2x+ 2 B. y= − 2x− 2

C. y= − 2x D. y= 2x
15. Cho hµm sè 3

y= − + + có đồ thị (C). Để đ−ờng thẳng (d): x x y= −2x m− tiếp xúc với (C) thì giá trị
của m là:

A. m = – 3 vµ m = –1 B. m = – 1 vµ m = – 5
C. m = – 1 vµ m = 1 D. m = – 5 vµ m = 1

16. Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). M0

(

x0; ( )f x0

)

∈( )C , PTTT của (C) tại M0 là:
A. y= f x′( )0

(

x−x0

)

B. y= f x′( )

(

x−x0

)

+y0

C. y−y0 = f x x′( )0 D. y−y0 = f x′( )0

(

x−x0

)

17. Cho hµm sè

11
( )

8 2

y= f x = + , có đồ thị (C). PTTT của (C) tại M có hồnh độ x0 = − là: 2
A. 1( 2) 7

y= x+ + B. 1( 2) 7

y= − x− +
C. 1( 2) 6

y= − x+ + D. 1( 2) 6

y= − x+ −

18. Cho hàm số y= f x( )= − + , có đồ thị (C). PTTT của (C) tại M có tung độ x2 5

0 1

y = − vi honh

0 0

x < là kết quả nào sau đây?

A. y=2 6

(

x+6

)

1 B. y= −2 6

(

x+6

)

− 1
C. y=2 6

(

x−6

)

+ 1 D. y=2 6

(

)

1
19. Phơng trình tiếp tuyến của đờng cong ( )

2
x
f x

x
=

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

A. y = – 2x + 1 B. y = – 2x – 1
C. y = 2x + 1 D. y = 2x – 1
20. Ph−¬ng trình tiếp tuyến của đờng cong

1
( )

1
x x
f x

+ −
=

− tại điểm N có hồnh độ x0= –1 là:

A. 3 5

4 4

y= x− B. 3 5

4 4

y= x+

C. 4 5

3 4

y= x− D. 4 5

3 4

y= x+
21. Phơng trình tiếp tuyến của ®−êng cong tan 3

4
y= π − x

  tại điểm có hồnh độ 0

6
x =π lµ:

A. 6

y= − − − x π B. 6
6

y= − +x π +

C. y= −6x+ − π 1 D. 6

6
y= − − + x π
22. HƯ sè gãc cđa tiÕp tun cđa ®−êng cong 1sin

2 3

y= − tại điểm có hồnh độ x0 = là:

π

A. 3

− B. 3

12
C. 1

− D. 1

23. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN cđa ®−êng cong (C): 2

y=x − + , biết hoành độ M, N theo thứ tự là x
1 và 2.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 7

2
* Cho ®−êng cong (C): 3

( )

y= f x =x . Giả thiết này đ−ợc dùng cho các câu từ 24 đến 29
24. PTTT của (C) tại M0( 1; 1)− − là kết quả nào sau đây?

A. y = 3x – 2 B. y = 3x + 2

C. y = 3x D. y = – 3x

25. PTTT của (C) tại điểm có hoành độ bằng 12 là kết quả nào sau đây?

A. y = 3x B. y = 3x + 2

C. y = 3x – 2 D. y = 2x – 3
26. PTTT cđa (C) biÕt nã cã hƯ sè gãc k = 12 lµ:
A. y=12x±16 B. y=12x± 8
C. y=12x± 2 D. y=12x± 4

27. PTTT cña (C) biết nó đi qua điểm M(2;0) là kết quả nào sau đây?
A. y=27x27 B. y=27x54

C. y=27x =9 y 27x− 2 D. y= ∨ =0 y 27x−54

28. PTTT cđa (C) biÕt nã song song víi ®−êng thẳng (d): 1 10
3

y= x là kết quả nào sau đây?
A. 1 27

y= x B. 1 1

3 3

y= x±

C. 1 2

3 27

y= x± D. 1 1

3 27
y= x±
29. PTTT cña (C): 3

y=x biết nó vuông góc với đờng thẳng ( ) : 8
27

x
y −

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

C. 1 54
27

y= − x± D. 1 3

27
y= − x±

30. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN cđa ®−êng cong (C): 3

y=x − , biết hồnh độ M, N theo thứ tự là 0 x
và 3.

A. 8 B. 4 C. 5

4 D.

1
2
31. Cho hµm sè 2

( ) 5 4

y= f x =x + x+ , có đồ thị (C). Tại các giao điểm của (C) với trục Ox, tiếp tuyến
của (C) có ph−ơng trình:

A. y = 3x – 3 và y = – 3x + 12 B. y = 3x + 3 và y = – 3x – 12
C. y = 2x – 3 và y = – 2x + 3 D. y = 2x+ 3 và y = – 2x – 3
32. Một đ−ờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) của hàm số 2

3 5 5

y= x x+ tại A(2; a) và B(b; 3). Hệ số góc của
đờng thẳng (d) là:

A. 3 hc – 4 B. – 3 hc 4
C. 3 hc 4 D. 3 hoặc 4
33. Cho hàm số 2

2 3

y=x − x+ , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đ−ờng 4x – 2y + 5 = 0 là
đ−ờng thẳng có ph−ơng trình:

A. y = 2x – 2 B. y = 2x + 2
C. y = 2x – 1 D. y = 2x + 1

34. Cho hµm sè 2

3 2 5

y= x − x+ , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) vng góc với đ−ờng thẳng x+4y+1=0
là đ−ờng thẳng có ph−ơng trình:

A. y = 4x + 1 B. y = 4x + 2
C. y = 4x – 1 D. y = 4x – 2
35. Cho hµm sè 2

5 8

y=x − x− có đồ thị (C). Khi đ−ờng thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ
có tọa độ là:

A. M(4; 12) B. M(– 4; 12)
C. M(– 4; – 12) D. M(4; –12)
36. Cho hµm sè

1
4

y= − + , có đồ thị (C). Từ điểm M(2; – 1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. x
Hai tiếp tuyến này có ph−ơng trình:

A. y = – x + 1 vµ y = x – 3 B. y = – x + 3 vµ y = x + 1
C. y =– x – 3 vµ y = x – 1 D. y = – x – 1 vµ y = x + 3

37. Cho hµm sè = − 2 +2 +1
2

y x có đồ thị là (P) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: y = kx. Để các tiếp
tuyến của (P) tại các giao điểm của (d) và (P) vng góc với nhau, giá trị thích hợp của k là:

A. 4
5

k = B. 5

4
k =

C. 4

k = − D. 5

4
k = −

38. Gọi (C) là đồ thị của hàm số = − − − +

3
2

2 3 1

3
x

y x x . Cã hai tiÕp tuyÕn cña (C) cùng có hệ số góc bằng
3

4. Đó là c¸c tiÕp tuyÕn:
A. 3 29

4 24

y= x+ vµ 3 3
4

y= x+ B. 3 37
4 12

y= x− vµ 3 3
4
y= x−
C. 3 37

4 12

y= x+ vµ 3 13

4 4

y= x+ D. 3 29

4 24

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

39. Gọi (C) là đồ thị của hàm số = 3 −2 2+ +2
3

y x x . Cã hai tiếp tuyến của (C) cùng song song với đờng
thẳng 2x+y-5=0. Đó là các tiếp tuyến:

A. 2 10 0
3

x+ −y = vµ 2x+ − = B. 2y 2 0 x+ + = vµ 2y 4 0 x+ − = y 1 0

C. 2 4 0

x+ + = và 2y x+ + = D. 2y 2 0 x+ − = và 2y 3 0 x+ + = y 1 0
40. Gọi (C) là đồ thị của hàm số = 3−3 2−3

y x x x. Cã hai tiÕp tuyÕn cña (C) cùng vuông góc với đờng
thẳng x + 6y 6 = 0. Đó là các tiếp tuyến:

A. y = 6x + 6 và y = 6x + 12 B. y = 6x – 5 và y = 6x + 27
C. y = 6x + và y = 6x – 27 D. y = 6x – 6 và y = 6x – 12
41. Gọi (C) là đồ thị của hàm số = 3−3 2+2

y x x . Cã hai tiÕp tun cđa (C) xt ph¸t tõ điểm A(0; 3). Đó
là các tiếp tuyến:

A. y = 3x + 3 vµ y = – 4x + 3 B. y = – 3x + 3 vµ 15 3
4
y= x+
C. y = 4x + 3 vµ 13 3

y= x+ D. y = – 2x + 3 vµ 5 3
4
y= x+
42. Cho hµm sè

3
2

6 9 12

3
x

y= −mx − mx− m+ có đồ thị là

( )

Cm . Khi tham số m thay đổi, các đồ thị

( )

Cm

dều tiếp xúc với một đ−ờng thẳng cố định. Đ−ờng thẳng này có ph−ơng trình:

A. y = – 9x + 9 B. y = 9x + 9

C. y = – 9x + 15 D. y= 9x + 15
43. Cho hµm sè 3 2

4 4 1

y=x + x + x+ có đồ thị là (C). Tiếp tuyến tại điểm A(-3; -2) cắt lại (C) tại điểm M.
Tọa độ của M là:

A. M(1; 10) B. M(– 2; 1)
C. M(2; 33) D. M(– 1; 0)
44. Gọi (C) là đồ thị của hàm số = 4 −3 2+3

2 2

y x . Tiếp tuyến tại điểm uốn của (C) có phơng trình:
A. y = 4x 3 và y = – 4x – 3 B. y = – 4x + 3 vµ y = 4x + 3

C. y = 3x – 4 vµ y = – 3x – 4 D. y = – 3x + 4 vµ y = 3x + 4
45. Cho hµm sè 4 2

(3 5) 4

y=x − m+ x + có đồ thị là

( )

Cm . Để

( )

Cm tiếp xúc với đ−ờng thẳng y = – 6x – 3
tại điểm có hồnh độ x = −0 1 thì giá trị thích hợp của m là:

A. m = 2 B. m = 1

C. m = – 2 D. m = –1

46. Cho hµm sè 4 2

y=x − x có đồ thị là (C). Các tiếp tuyến khơng song song với trục hồnh kẻ từ gốc tọa
độ O(0; 0) đến (C) là:

A. y = 2x vµ y = – 2x B. y = x vµ y = – x
C. 4

y= x vµ 4
3

y= − x D. y = 3x vµ y = – 3x
47. Cho hµm sè 4 2

6 5

y= − +x x + có đồ thị là (C). Các tiếp tuyến khơng song song với trục hồnh kẻ từ
điểm A(0; 5) đến (C) là:

A. y=2 2x+ vµ 5 y= −2 2x+ B. 5 y=3 2x+ vµ 5 y= −3 2x+ 5
C. y=4 2x+ vµ 5 y= −4 2x+ D. 5 y=5 2x+ vµ 5 y= −5 2x+ 5
48. Cho hµm sè 3

2 1
x
y

x
− +
=

− có đồ thị là (C). Các tiếp tuyến song song với đ−ờng thẳng (d):5x+4y-1=0 là:

A. 5 21

4 8

y= − x+ vµ 5 19

4 8

y= − x− B. 5 21

4 8

y= − x− vµ 5 19

4 8

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

C. 5 3
4

y= − x+ vµ 5 3

y= − x− D. 5 23

4 8

y= − x+ vµ 5 17

4 8

y= − x−
49. Cho hµm sè 4 ; 0; 1

x m

y m m

mx
−

= ≠ ≠ ±

− có đồ thị là

( )

Cm . Đồ thị

( )

Cm luôn đi qua hai điểm cố định

A, B. §Ĩ tiÕp tun cđa

( )

Cm t¹i A và tại B song song với nhau, giá trị cần tìm của m là:

A. m = 2 B. m = – 2

C. m = 3 D. m = 0

50. Cho hµm sè

2 3
ax b
y

x
+
=

+ có đồ thị là (C). Nếu (C) qua A(1; 1) và tại điểm B tren (C) có hồnh độ bằng
-2, tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k=5 thì các giá trị của a và b là:

A. a = 2; b = 3 B. a = 3; b = 2
C. a = 2; b = – 3 D. a = 3; b = – 2
51. Cho hµm sè

1
ax b
y

x
+
=

− có đồ thị là (C). Nếu (C) qua A(3; 1) và tiếp xúc với đ−ờng thẳng y = 2x – 4,
thì các cặp số (a, b) theo thứ tự là:

A. (2; 4) hay (10; 28) B. (2; – 4) hay (10; – 28)
C. (– 2; 4) hay (– 10;28) D. (– 2; – 4) hay (– 10; – 28)
52. Cho hµm sè y (m 1)x m

x m

+ +

+ có đồ thị là

( )

Cm . Với mọi giá trị m≠0,

( )

Cm luôn tiếp xúc với một

đ−ờng thẳng cố định. Đ−ờng thẳng này có ph−ơng trình:
A. y = – x + 1 B. y = – x – 1
C. y = x + 1 D. y = x – 1
53. Cho hàm số 2

3
ax
y

bx
+
=

+ có đồ thị là (C). Tại điểm M(– 2; – 4) thuộc (C), tiếp tuyến của (C) song song
với đ−ờng thẳng 7x-y+5=0. Các giá trị thích hợp của a và b là:

A. a = 1; b = 2 B. a = 2; b = 1
C. a = 1; b = 3 D. a = 3; b = 1

54. Cho hµm sè = +

+
4
2
x
y

x có đồ thị là (C). Qua A(0; – 2) có thể kẻ đến (C) hai tiép tuyến. Ph−ơng trình
hai tiếp tuyến này là:

A. 9x+2y− = vµ 4 0 x+2y− = B. 94 0 x+2y+ = vµ 4 0 x+2y+ = 4 0
C. 9x−2y− = vµ 4 0 x−2y− = D. 94 0 x−2y+ = vµ 4 0 x−2y+ = 4 0
55. Cho hµm sè = − +

−

2 3 4

2 2

x x

x có đồ thị là (C). Tiếp tuyến với (C) tại điểm A(0; – 2) có ph−ơng trình:
A. x+2y− = 4 0 B. x+2y+ = 4 0

C. x−2y− = 4 0 D. x−2y+ = 4 0
56. Cho hµm sè = +

−
2

2( 1)

x x

x có đồ thị là (C). Các tiếp tuyến của (C) song song với đ−ờng thẳng

1
2
x

y = − + lµ:

A. x+2y= vµ 0 x+2y− = 8 0 B. x+2y+ = vµ 1 0 x+2y+ = 8 0
C. x+2y− = vµ 1 0 x+2y+ = D. 4 0 x+2y+ = vµ 2 0 x+2y− = 4 0
57. Cho hµm sè = + +

2 3

x x m

x có đồ thị là (C). Để trên (C) có tiếp tuyến vng góc với đ−ờng thẳng
y=x+1 thì m phải thỏa mgn điều kiện sau:

A. m≥1 B. m≥ −1

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

58. Cho hµm sè = + +
+

3
x ax b
y

x có đồ thị là (C). Để tại điểm

0; ( )

3
A − ∈ C

  , tiÕp tuyÕn cña (C) cã hƯ sè
gãc b»ng 10

9 , c¸c gi¸ trị của a và b là:

A. a= 2;b= 4 B. a=2;b= − 4
C. a= −2;b= − 4 D. a=4;b= − 2
59. Cho hµm sè = − +

−

2 4

x x

x có đồ thị là (C). Từ điểm A(1; -4) kẻ đợc đến (C) một tiếp tuyến duy nhất.
Đó là đ−ờng thẳng có ph−ơng trình:

A. y= −4x B. y=4x
C. y= −4x+ 1 D. y=4x+ 1
60. Cho hµm sè = + − + +

− +

2x (1 m x) 1 m
y

x m có đồ thị là

( )

Cm ;∀ ≠ −m 1.Đồ thị

( )

Cm luôn luôn tiếp xúc với
một đ−ờng thẳng cố định tại mọt điểm cố định. Đ−ờng thẳng đó có ph−ơng trình:

A. y= − − x 1 B. y= − x 1
C. y= − + x 1 D. y= + x 1
61. Cho hµm sè = − +

−

2 3 4

2( 1)

x x

x có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; -2) thuộc (C) cắt hai đ−ờng

tiệm cận của (C) tại A và B. Tọa độ của A và B là:
A. 1; 5 ; 5; 3

2 2

A −  B − 

    B.

5 3

1; ; 5;

2 2

A  B 
   
C. 1;3 ; 5;5

2 2

A  B− 

    D. A

(

1; 2 ;−

) (

B −5; 2

)

62. Cho hµm sè

− + +

2 3

2
2

x mx
y

x m có đồ thị là

( )

Cm . Để tiếp tuyến của

( )

Cm tại

( )

2 m

A C

  ∈

 

 

vu«ng gãc víi tiƯm cËn cđa

( )

Cm , giá trị cần tìm của m là:

A. m = ±2 B. m = ±3

C. m = ± 2 D. m = ± 3

63. Cho hµm sè = − +
− +

2 3 3

x x

x có đồ thị là (C). Khi đ−ờng thẳng y = 3x + m tiếp xúc (C), thì giá trị thích
hợp của m là:

A. m= − ∨ =2 m 6 B. m= ∨ = −2 m 6

C. m= − ∨ =3 m 4 D. m= ∨ = −3 m 4

64. Cho hµm sè = − − +
+

2 3

1
x x
y

x có đồ thị là (C). Từ điểm M(2; – 5) kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến phân
biệt. Các tiếp điểm của hai tiếp tuyến này với (C) là:

A. 1;1 ;

(

2; 1

)

A  B − −

  B. (2; 1); ( 1;9)A − B −
C. (0;3); ( 4;3)A B − D. 3; 9 ; 3;3

4 2

A −  B− 

   

65. Cho hµm sè = − + −
+

x x m

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

66. Cho hµm sè = + −
+

2 1

x mx
y

x m có đồ thị là

( )

Cm . Đồ thị

( )

Cm luôn cắt trục Ox tại hai điểm A và B. Để
hai tiếp tuyến của

( )

Cm tại A và B vng góc với nhau, giá trị cần tìm của m là:

A. m=3 hay m= − 1 B. m= −3 hay m= 1

C. m = 2 D. Không có giá trị nào

67. Cho hµm sè =2 2−3 +5

y x x có đồ thị là (P). Một đ−ờng thẳng AB cắt (P) tại (2; ); ( ;10)A a B b . Tiếp
tuyến của (P) song song với đ−ờng thẳng AB sẽ có hệ số góc bằng:

A. – 6 hc 1 B. – 1 hc 6
C. – 3 hc 2 D. 2 hoặc 3
68. Cho hàm số = 2 +4 +4

2
x

y x có đồ thị là (P). Tiếp tuyến của (P) vng góc với đ−ờng x + 2y – 2 = 0 là
đ−ờng thẳng có ph−ơng trình:

A. 2x – y + 1 = 0 B. 2x – y – 1 = 0
C. 2x – y + 2 = 0 D. 2x – y – 2 = 0
69. Cho hµm sè =2 3+3 2 −4 +5

y x x x có đồ thị là (C). Trong số các tiếp tuyến của (C), có một tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng:

A. – 3,5 B. – 5,5

C. – 7,5 D. – 9,5

70. Cho hµm sè y x 1
x

= − , có đồ thị (C). Ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox là:

A. y = 0 B. y = 2

C. y = 2x – 2 vµ y = 2x + 4 D. y = 2x – 2 vµ y = 2x + 2
71. Cho hµm sè

2
2
x

y = , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) vng góc với đờng thẳng x− 2y+ = có 1 0
phơng trình là:

A. 2 2 1

y= − x+ + B. 2 2 1

2
y= x− −

C. 2 2 1

y= − x− + D. 2 2 1

2
y= x +
72. Phơng trình tiếp tuyến với đờng cong 3 2

2 1

y=x − x + − tại điểm có hồnh độ x x = −0 1là:
A. y = 8x + 3 B. y = 8x + 7

C. y = 8x + 8 D. y = 8x + 11
73. Phơng trình tiếp tuyến với đờng cong 3 2

y=x −x + tại điểm có hồnh độ x =0 1là:

A. y = x B. y = 2x

C. y = 2x – 1 D. y = x – 2

74. HƯ sè gãc cđa tiÕp tun víi ®−êng cong 3 2

2 3 2

y= x − x + tại điểm có hồnh độ x =0 2là:

A. 18 B. 14

C. 12 D. 6

75. TiÕp tun cđa ®−êng cong 3 2

y=x −x + tại điểm có hồnh độ x = −0 2có ph−ơng trình là:
A. y = 4x – 8 B. y = 20x – 56

C. y = 20x + 14 D. y = 20x + 24
76. HÖ sè gãc cđa tiÕp tun víi ®−êng cong 3 2

2 3 5

y= x − x + tại điểm có hồnh độ x = −0 2là:

A. 38 B. 36

C. 12 D. -12

77. HƯ sè gãc cđa tiÕp tun víi ®−êng cong 4 3 2

2 1

y=x +x − x + tại điểm có hồnh độ x = −0 1là:

A. 11 B. 4

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

78. TiÕp tun víi ®−êng cong 3 2

y=x −x + tại điểm có hồnh độ x = −0 1có hệ số góc là:

A. 7 B. 5

C. 1 D. – 1

79. Cho hµm sè 3

2 3

y= x − + có đồ thị (C). PTTT với (C) tại điểm mà (C) cắt trục tung là: x
A. y = – x + 3 B. y = – x – 3

C. y = 4x – 1 D. y = 11x + 3
80. Cho hµm sè 3

3 2

y=x − x+ có đồ thị (C). PTTT với (C) đi qua điểm A(0;2) là:
A. y = 2x – 3 B. y = – 2x + 3

C. y= – 3x – 2 D. y = – 3x + 2
81. Cho hµm sè y x 1

x
−

= có đồ thị (C). PTTT cới (C) tại điểm mà (C) cắt hai trục toạ độ là:
A. y = – x + 1 B. y = x – 1

C. y = x + 1 D. y= ± x 1
82. Cho hµm sè

2 1
2

x x

y
x

− −

− có đồ thị (C). Đ−ờng thẳng ( )∆ song song với đ−ờng thẳng (d): y = 2x – 1
và tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm là điểm:

A. M0(3; 2) B. M0(3; 2) vµ M1(1; 2)

C. M0(2;3) D. Không tồn tại

83. Cho hàm số y 2 4
x

= − có đồ thị (C). Đ−ờng thẳng ( )∆ vng góc với đ−ờng thẳng (d): y = – x + 2 và
tiễp xúc với (C) thì ph−ơng trình của ( )∆ là:

A. y = x + 4 B. y = x – 2 hc y = x + 4
C. y = x – 2 hc y = x + 6 D. Không tồn tại

84. Cho hµm sè 3 2

2 3 1

y= x − x + có đồ thị (C). Tiếp tuyến với (C) nhận điểm 0( ;3 0)
2

M y lµm tiÕp điểm có
phơng trình là:

A. 9
2

y= x B. 9 27

2 4

y= x−
C. 9 23

2 4

y= x− D. 9 31

2 4

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

TRẮC NGHIỆM ĐẠO HAØM 2

1. Cho hàm số: f(x) x5 1 1

= + − . Tính f(1).

a. 1 b. 7 c. 4 d. 6

2. Cho hàm số: f(x) 2x 1
x 1

+
=

+ . Tính f(1).
a. 1

4 b.

1
4

− c. 3

2 d. 2

3. Cho hàm số: f(x) x x 1=

(

+

)

10. Tính f(0).

a. 0 b. 1 c. 11 d. Một kết quả khác.

4. Cho hàm soá: f(x) ax b, a b

(

)

a b

= + ≠

+ . Tính f(0).
a. b

a b+ b.

a b+ c. 0 d. 1

5. Cho hàm số f(x)= x2+1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
a. f(1)= 2 b. f '(0) 0= c. f '(1) 2

= d. f '( 1) 1
2
− =

6. Cho hàm số y = sinx.cosx . Tính y '
8
π
 
 

 
a. 2

2 b.

2 c.

2 d.

2
2
−
7. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x3+3x2 tại M(-1;2) là :

a. 3x + y + 1 = 0 b. 3x – y – 1 = 0 c. 2x + y – 2 = 0 d. y = 3x + 1
8. Cho hàm số

3
2
2x

y x 3x 3

= + − + có đạo hàm tại x0 1

2
−
= là :
a. –7 b.

2
7

− d. Một kết quả khác .
9. Hàm số: y x. 6 x= − có đạo hàm là :

x
x
−
−
6
2

(

)

x
x

−
−
6
2

4
3

c. 12-3x d. Một kết quả khác .
10. Hàm số y sin 3x cos 2x= + có đạo hàm tại x0

3
π
= là :

a. − 3( 3+1) b. 3

(

3− ; 1

)

c .

(

3 1

)

+ d . Một kết quả khác .
11. Đạo hàm của hàm số: f(x) x2 x3 4x2

x 4
−

= +

− , với x 4≠ bằng:

a. x 2 b. 2x c. 4x d. 4

12. Đạo hàm của hàm số:

(

)

3 2

x x

f(x)

x x 1
−
=

− , với x 0 x 1≠ ∧ ≠ bằng:

a. 1 b. 0 c. 3x d. 3(x+1)

13. Cho hàm số:

(

)

f(x)= 2x 1+ . Tính f’(x):
a. 10 2x 1

(

)

9 b.

(

)

20 2x 1+ c.

(

)

5 2x 1+ d.

(

)

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

14. Cho hàm số: f(x) x2 x 1

x 1

+ +
=

+ , với x≠ −1. Tính f’(x):
a. 2x 1+ b.

(

)

2
2

x 2x 1

x 1

+ −

+ c.

(

)

2
2
x 2x
x 1
+
+ d.
2

x 2x 1

x 1

+ −

15. Trong các hàm số sau, hàm số nào là đạo hàm của hàm số:f(x)=

(

x 1 x 2 x 3−

)(

−

)(

−

)

a. 3x2 −12x 11+ c. 3x2+12x 11+

b. 3x2 −12x 11− d.

(

x 1 x 2−

)(

−

) (

+ x 2 x 3−

)(

−

)

16. Cho hàm số f(x)=

(

x 1+

)

3. Tính f ’’(0)

a. 3 b. 6 c. 12 d. 24

17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

a. (sin x)’ = cos x b. (cos x)’ = sin x c. (tan x)’ = 12

cos x d. (tan x)’ =

1 tan x+
18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

a.  +π=

 

sin x cos x

2 c. (cot x)’ = 2

1
sin x
b. (cos 2x)’ = 2sin 2x d. (cot x)’ = 1 cot x+ 2

19. Cho hàm số f(x) 31
x 1
=

+ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
a. f '(0) 1= b. f(0) 0= c. f '(1)= −3

4 d.

1
f(1)

3
=
20. ðạo hàm của hàm số

( )

1
3
2
−
−

=
x
x
x

f tại x0 = 3 là:
a. 1

3 b. 4

1
c.
6
1
d.
3
2

21. ðạo hàm của hàm số

x
x
x

y=3 + 2 là:
a.
x
2
1
b.

x
3
−
c.
x
2
3
d.
x
2
3
−

22. ðạo hàm của hàm số

x
x
x
x
y
cos
sin
cos
sin
+
−

= là:

(

)

cos
sin
2
sin
2
x
x
x

+ b.

(

)

cos
sin

2
x

x + c.

(

sin cos

)

2
1

x + d. 0
23. Cơng thức nào sau đây sai:

a. y = tgx ⇒ y’ = 1 + tg2x b. y = sin2x ⇒ y’ = 2cos2x
c. y = cotgx ⇒ y’ = 1 + cotg2x d. y = cos2x ⇒ y’ = -2sin2x

24. Cho hàm số f(x) = 2x2 – x + 1 và g(x) = f(sin x) thì g’(x) = ?

a. 2cos 2x – sinx b. 2cos 2x + sin x c. 2sin 2x – cos x d. 2sin2x + cos x
25. Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = sinx tại ñiểm x0 = 0 là:

a. y = 1 b. y = – 1 c. y = x d. y = x.cosx
26. Cho hàm số




≥
−
<
+
=
1
x
khi

x
1
x
khi

)
(
2 x
b

ax
x

f nếu hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 thì a, b có giá trị là:
a. a = 1 b = – 1 c. a = – b d. a = b = 1

27. Cho hàm số f(x) x= 2+3x thì lim f( 1 x) f( 1)
x

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

a. -1 b. 0 c. 1 d. 2
28. Cho hàm số f(x)= x 3+ . Giá trị của f(1) f '(1)+ là :

a.
4
1
b.
2
5
c.
2
3
d.
4
9
29. Cho hàm số f(x) = (1 – x2)3 ta có f '(1) = ?

a. 1 b. 0 c. 2 d.. -1

30. Cho hàm số f(x)= x 3+ . Giá trị của f(1) f '(1)+ là :
a.

4
1
b.
2
5
c.
2
3
d.
4
9
31. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x= 3+3x2 tại M(– 1; 2) là :

a. 3x + y + 1 = 0 b. 3x – y – 1 = 0 c. 2x + y – 2 = 0 d. y = 3x + 1
32. Câu nào sau ñây là ñạo hàm của hàm số: y f (x) x 1

x 1
+

= =

− , trên R \ 1

{ }

a. y ' 2 2

(x 1)
−
=

− b. 2

2
y '

(x 1)
=

− c. 2

1
y '

(x 1)
=

− d. 2

2x
y '

(x 1)
=

−

33. Câu nào sau ñây chỉ ñúng ñạo hàm của hàm số: y=f (x)= x2− 1
a.
2
2x
y '
x 1

− c. 2

y ' , ( 1 x 1)
x 1

= − < <

−

2
x

y ' (x 1)

x 1

= ≠ ±

− d. 2

x
y '

x 1

−
34. ðạo hàm của hàm số

x x 1
y

x 1
+ +
=

+ bằng:
a. 2x + 1 b.

2
2
2 1
( 1)
x x
x
+ −

+ c.

2
2
2

( 1)
x x
x
+

+ d.

2
2 1
1
x x
x
+ −
+
35. Cho hàm số 3

1
( )
1
f x
x
=

+ . Khi đó :
a. f ’(0) = -1 b. f ’(1) = 3

− c. f (0) = 0 d. f (1) =1
3

36. Cho hàm số 3

1
( )
1
f x
x
=

+ . Khi đó :
a. f ’(0) = 0 b. f ’(1) = 2

2 c. f ’(-1) =
2

2 d. f (1) = 2
37. ðạo hàm của hàm số y = tg3x bằng:

a. 12

cos 3x b. 2
3

cos 3x c. – 2
3

cos 3x d. 2
3
sin 3x
−

38. Cho hàm số ( ) 4 2
5
x

f x x

x
−

= +

+ . Khi đó f’(1) bằng :
a. 5

4 b.
1

2 c.
9

4 d. 2
39. Cho hàm số y = (x – 1)(x + 2)(2x – 3). Khi đó f ’(– 2) bằng:

a. 0 b.21 c.– 21 d. 31
40. ðạo hàm của hàm số y = 1 – cot2x bằng:

a. – 2cotx b. – 2cotx(1+cotg2

x) c.

cot
3

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

41. Tiếp tuyến của ñồ thi hàm số 4
1
y

x
=

− tại điểm có hồnh đo x0 = – 1 có phương trình là:
a. y = – x – 3 b.y = – x + 2 c. y = x – 1 d. y = x + 2

42. Tiếp tuyến của ñồ thi hàm số

x
y

2
1

= tại ñiểm A(
2
1

; 1) có phương trình là:

a.2x – 2y = – 1 b. 2x – 2y = 1 c. 2x + 2y = 3 d. 2x + 2y = – 3
43. Hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hồnh của đồ thị hàm số 2

1
1
y

x
=

− bằng:
a.Ờ1 b. 0 c.1 d. đáp số khác

44. Tiếp tuyến của ñồ thi hàm số

3 1
2 1

x x

x
− +
=

− tại giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục tung phương
trình là:

a. y = x – 1 b.y = x + 1 c. y = x d. y = – x
45. ðạo hàm của hàm số

1
1
x x
y

x
+ +
=

+ bằng:
a. 2x + 1 b.

2
2

2 1
( 1)

x x

+ −

+ c.

2
2

2
( 1)

x x

x
+

+ d.

2 1
1

x x

+ −

+
46. Cho hàm số:

3 3
1

x x

x
+ +
=

+ . Khi đó : ( 2)y − +y'( 2)− =

a. – 1 b. 1 c. 0 d. – 7
47. Cho hàm số: y=cos3x. Khi đó: y’ = ?

a.3cos2xsinx b.−3sin2 xcosx c. 3sin2 xcosx d. −3cos2 xsinx
48. Đạo hàm của hàm số sau: ( )f x =x.sin 2x là

a. f x'( )=sin 2x+2 .cos 2x x b. '( )f x =x.sin 2x
c. '( )f x =x.sin 2x d. '( ) sin 2f x =

49. Ptrình tiếp tuyến với ñường cong cong (C): y=x2−3x+ tới ñiểm M ∈( C) và x2 M = 1 là :
a.y = – x + 1 b.y = – x – 1 c. y = x + 1 d.y = x – 1

50. ðạo hàm của hàm số

2
2

1
1
x x
y

x x
− +
=

+ + là:
a.

2 2

( 1)

x
y

x x

−
′ =

+ + b.

2 2

( 1)

x
y

x x

+
′ =

+ + c.

2 2

2 4 2

( 1)

x x

+ −

′ =

+ + d.

2 1
2 1

x
y

x
−
′ =

+ .
51. Cho hàm số f x( )= −

(

x 1

)

(

x2−2

) (

4 3 2− x5

)

(

2x−1

)

12. Ta có f ′(1) bằng:

a. 1 b. – 1 c. 0 d. 2 .

52. Xét hàm số 1 3 1
3

y= x − + . Ptrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x x = là: 0 3

a. y = 8x – 17 b. y = 8x + 31 c. y = 8x – 31 d. y = 26x + 85

53. Cho hàm số f(x) = x3+1 . Mệnh ñề ñúng là :

a. f ’(0) = 3/2 b. f ’ (1) = 1

2 c. 4.f(1) = 3.f ’(1) d. 2.f(2) = 3.f ’(2)
54. ðạo hàm của hàm số y =

3 3

sin x cos x
2 sin 2x

− tại ñiểm x0 = π/2 là :

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

QUAN HỆ SONG SONG

TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ SONG SONG
1. Mệnh đề nào sau đây đúng:

a. Nếu đường thẳng a nằm trong mp ( )

α

và đường b cắt ( )

α

thì a và b chéo nhau.
b. Nếu ba đường thẳng đơi một cắt nhau thì chúng đồng quy.

c. Hai đường thẳng khơng có điểm chung nào cả thì song song.
d. Mỗi đường thẳng a và b chéo với c thì a và b chéo nhau.

e. Cho bốn điểm A, B, C, D. Nếu hai đường thẳng AB và CD chéo nhau thì hai đường thẳng AC và
BD cũng chéo nhau.

2. Mệnh đề nào sau đây đúng:

a. Qua ba điểm có một đường thẳng và chỉ một.
b. Qua ba điểm có một mặt phẳng và chỉ một.

c. Một đường thẳng d cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b thì tồn tại đường thẳng c song song với
d và cũng cắt a và b.

d. Một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng thì đường thẳng và mặt phẳng đó có nhiều
nhất một điểm chung.

e. Cả bốn mệnh đề trên đều sai.
3. Câu nào sau đây sai:

a. Hai mphẳng phân biệt có 2 diểm chung phân biệt thì chúng cắt nhau.

b. Ba mặt phẳng cắt nhau từng đơi một thì chúng có một điểm chung duy nhất.
c. Hai mặt phẳng có chung 3 điểm khơng thẳng hàng thì trùng nhau.

d. Hai mphẳng phân biệt có 1 điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm trên.
e. Ít nhất cũng có 4 điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

4. Chọn câu đúng:

a. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.
b. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.
c. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì song song.
d. Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo nhau thì song song.

e. Hai đường thẳng không song song và khơng có điểm chung thì chéo nhau.

5. Chọn câu đúng:

a. Hai mặt phẳng có mơt điểm chung thì chúng có 1 đường thẳng chung duy nhất.
b. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cịn có vơ số điểm chung khác.

c. Hai mặt phẳng tùy ý thì hoặc chúng khơng có điểm chung, hoặc chúng có vơ số điểm chung.
d. Nếu ba điểm cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

e. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
6. Cho 3 mp (

α

), (

β

), (γ ) và 3 đường thẳng a, b, c phân biệt.

Câu nào sau đây đúng:

a. Neáu a // vaø a // thì // α β α β

b. Neáu a // ; b // vaø a b = thì a // b . α α ∩ ∅
c. Neáu a // ; a // vaø b = thì a // bα β α ∩ β .
d. Neáu a // ; b thì a // b . α ⊂ α

e. Cả 4 câu trên đều đúng.

7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh AD, BC, CD, AB. Mp (

α

) đi qua
M và // với AC, BD.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

a. MN=

(

MBC

) (

∩ NAD

)

b. MN=

(

MND

) (

∩ MNA

)

c. PQ=

(

QCD

) (

∩ PAB

)

d. MP= α ∩

( ) (

ACD

)

Câu nào sau đây sai:

a. Tứ giác MNPQ là thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (

α

).
b. Các đoạn MN và PQ cắt nhau tại trung I của mỗi đoạn.
c. AI đi qua trọng tâm ∆ BCD.

d. IA = IB = IC = ID.

8. Cho hai hình vng ABCD và CDEF nằm trong hai mp khác nhau và lần lượt có tâm là O1 và O2.
Mp (

α

) là mp đi qua O1O2 và song song với CD, mp (

α

) cắt BC tại M và Cắt CF tại N.

Câu nào sau đây sai:

a. O1MNO2 là hình bình hành.
b. MN // EA.

c. (ABCD) ; (CDEF) và (

α

) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến song song.
d. Bốn điểm B, D, E, F đồng phẳng.

Câu nào sau đây đúng:
a. MF cắt AE.

b. O1AEO2 là hình thang cân.

c. Bốn điểm A, B, N, O2 không đồng phẳng.
d. Các câu trên đều sai.

9. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì:

a. Song song nhau.

b. Chéo nhau.

c. Khơng cùng thuộc 1 mp.
d. Song song hoặc chéo nhau.
e. Các câu trên đều sai.
10. Cho d1 // d2 và d2 //

α

thì:

a. d1 //

α

b. d1 ⊂

α

c. d1 ∉

α

d. d1 caét

α

e. d1 //

α

hoặc d1 ⊂

α

11. Mệnh đề nào đúng:

a. Hai mp phaân biệt không // thì cắt nhau.

b. Hai mp phân biệt cùng // với mp thứ ba thì // với nhau.
c. Hai đường thẳng cùng // với mp thì // nhau

d. Hai đường thẳng phân biệt thuộc 2 mp phân biệt thì chéo nhau

12. Cho a, b, c là các đường thẳng phân biệt, (

α

) và (β) là các mp phân biệt, tìm mệnh đề sai:
a. a // c và b // c thì a // b

b. a // b vaø b ⊂ α

( )

thì a //

( )

c. a , a // vaø b , b // , a và b cắt nhau thì a //⊂ α β ⊂ α β

( )

d. a //

( )

α vaø b ⊂ α

( )

thì a // b

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

a. Nếu mp (

α

) // (β), thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong (

α

) cũng song song với một đường
thẳng bất kỳ nằm trong (β).

b. Nếu 2 mp song song, mp nào song song với 2 mp này thì cũng song song với mp kia.
c. Nếu 2 đường thẳng phân biệt cùng song song với 1 mp thì 2 đường thẳng đó song song.

d. Nếu 2 đường thẳng phân biệt song song, lần lượt nằm trong 2 mp phân biệt thì 2 mp đó song
song.

e. Cả 4 câu trên đều sai.

14. Cho 2 mp (

α

) // (β). Mệnh đề nào sau đây đúng:

a. Đường thẳng nào song song với (

α

) thì song song với (β).

b. Một đường thẳng bất kỳ nằm trong (

α

) đều chéo với một đường thẳng bất kỳ nằm trong (β).
c. Nếu ( ) // ( )γ α ⇒ γ( ) // ( )β .

d. Mọi đường thẳng cắt (

α

) thì cắt (β).

e. (

α

) và (β) cắt mọi cát tuyến những đoạn thẳng bằng nhau
15. Cho 2mp phân biệt cùng vng với mp thứ ba thì hai mp đó . . .:

a. Trùng nhau c. Song song nhau
b. Cắt nhau d. // hoặc cắt nhau
16. Chon các câu đúng:

a. Nếu 2 mp cắt nhau, mp nào cắt mp này thì cắt mp kia.

b. Nếu 2 đường thẳng song song, đường thẳng nào cắt đường thẳng này thì cắt đường thẳng kia.
c. Nếu 3 mp cắt nhau từng đôi một và các giao tuyến phân biệt, thì 3 mp đó nhiếu nhất 1 điểm

chung.

d. Nếu 2 mp phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thì chúng song song.
e. Cả 4 mệnh đề trên đều đúng.

17. Xét các mệnh đề:

a. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, M là điểm không thuộc hai đường thẳng đó, thì giao
tuyến của hai mặt phẳng (a, M) và (b, M) cắt a và cắt b.

b. Không tồn tại mặt phẳng qua năm điểm chung của năm cạnh nào đó trong một tứ diện.

c. Nếu ba mặt phẳng phân biệt có một điểâm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua
điểm chung trên.

d. Nếu hai đường thẳng chéo nhau, mặt phẳng nào 2 chứa đường thẳng này thì cắt đường kia.
Câu nào sau đây đúng:

a. Cả bốn mệnh đề 1, 2, 3, 4 đều sai.
b. Các mệnh đề 1 và 2 đều đúng.
c. Chỉ có mệnh đề 2 đúng.
d. Các mệnh đề 2 và 4 đều đúng.
e. Cả bốn mệnh đề 1, 2, 3, 4 đều đúng.

18. Trong mp ( )α cho tứ giác ABCD và điểm O ( )∉ α . Một mặt phẳng ( ')α lần lượt cắt các đường

thẳng OA, OB, OC, OD tại A’, B’, C’, D’ sao cho AB và A’B’ cắt nhau tại M, BC và B’C’ cắt
nhau tại N. Chon các câu đúng:

a. AC và A’C’ cắt nhau.
b. CD và C’D’ cắt nhau.

c. Nếu AC và A’C’ cắt nhau tại P thì M, N, P thẳng hàng.
d. Nếu CD và C’D’ cắt nhau tại Q thì M, N, P, Q thẳng hàng.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

19. Cho 3 mp (

α

), (β), (γ ) và 3 đường thẳng a, b, c phân biệt.
Câu nào sau đây đúng:

f. Nếu a // và a // thì // α β α β

g. Neáu a // ; b // vaø a b = thì a // b . α α ∩ ∅
h. Neáu a // ; a // vaø b = thì a // bα β α ∩ β .
i. Neáu a // ; b thì a // b . α ⊂ α

j. Cả 4 câu trên đều đúng.

20. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh AD, BC, CD, AB. Mp (

α

) đi qua
M và // với AC, BD.

Câu nào sau đây sai:

e. MN=

(

MBC

) (

∩ NAD

)

f. MN=

(

MND

) (

∩ MNA

)

g. PQ=

(

QCD

) (

∩ PAB

)

h. MP= α ∩

( ) (

ACD

)

Câu nào sau đây sai:

e. Tứ giác MNPQ là thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (

α

).
f. Các đoạn MN và PQ cắt nhau tại trung I của mỗi đoạn.
g. AI đi qua trọng tâm ∆ BCD.

h. IA = IB = IC = ID.

21. Cho 2 hình vng ABCD và CDEF nằm trong 2 mp khác nhau và lần lượt có tâm là O1 và O2. Mp
(

α

) là mp đi qua O1O2 và song song với CD, mp (

α

) cắt BC tại M và Cắt CF tại N.

Caâu nào sau đây sai:

e. O1MNO2 là hình bình haønh.
f. MN // EA.

g. (ABCD) ; (CDEF) và (

α

) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến song song.
h. Bốn điểm B, D, E, F đồng phẳng.

Câu nào sau đây đúng:
e. MF cắt AE.

f. O1AEO2 là hình thang caân.

g. Bốn điểm A, B, N, O2 không đồng phẳng.
h. Các câu trên đều sai.

22. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì:
f. Song song nhau.

g. Cheùo nhau.

h. Không cùng thuộc 1 mp.
i. Song song hoặc chéo nhau.
j. Các câu trên đều sai.
23. Cho d1 // d2 và d2 //

α

thì:

f. d1 //

α

g. d1 ⊂

α

h. d1 ∉

α

i. d1 caét

α

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

e. Hai mp phân biệt không // thì cắt nhau.

f. Hai mp phân biệt cùng // với mp thứ ba thì // với nhau.
g. Hai đường thẳng cùng // với mp thì // nhau

h. Hai đường thẳng phân biệt thuộc 2 mp phân biệt thì chéo nhau

25. Cho a, b, c là các đường thẳng phân biệt, (

α

) và (β) là các mp phân biệt, tìm mệnh đề sai:
e. a // c và b // c thì a // b

f. a // b vaø b ⊂ α

( )

thì a //

( )

g. a , a // vaø b , b // , a và b cắt nhau thì a //⊂ α β ⊂ α β

( )

h. a //

( )

α vaø b ⊂ α

( )

thì a // b

26. Mệnh đề nào sau đây đúng:

a. Nếu mp (

α

) // (β), thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong (

α

) cũng song song với một đường
thẳng bất kỳ nằm trong (β).

d. Nếu 2 đường thẳng phân biệt song song, lần lượt nằm trong 2 mp phân biệt thì 2 mp đó song
song.

e. Cả 4 câu trên đều sai.

27. Cho 2 mp (

α

) // (β). Mệnh đề nào sau đây đúng:

f. Đường thẳng nào song song với (

α

) thì song song với (β).

g. Một đường thẳng bất kỳ nằm trong (

α

) đều chéo với một đường thẳng bất kỳ nằm trong (β).
f. Nếu ( ) // ( )γ α ⇒ γ( ) // ( )β .

g. Mọi đường thẳng cắt (

α

) thì cắt (β).

h. (

α

) và (β) cắt mọi cát tuyến những đoạn thẳng bằng nhau
28. Cho 2mp phân biệt cùng vuông với mp thứ ba thì hai mp đó . . . ?

c. Truøng nhau c. Song song nhau

d. Cắt nhau d. Song song hoặc cắt nhau
29. Chon các câu đúng:

h. Nếu 2 mp cắt nhau, mp nào cắt mp này thì cắt mp kia.

i. Nếu 2 đường thẳng song song, đường thẳng nào cắt đường thẳng này thì cắt đường thẳng kia.
j. Nếu 3 mp cắt nhau từng đôi một và các giao tuyến phân biệt, thì 3 mp đó nhiếu nhất 1 điểm

chung.

k. Nếu 2 mp phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thì chúng song song.
l. Cả 4 mệnh đề trên đều đúng.

30. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

a. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước.
b. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.

c. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và1 điểm nằm ngoài mặt phẳng đó.

d. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác nữa và tất
cả các điểm chung đó cùng nằn trên một đường thẳng và đi qua điểm chung đó.

31. Trong hình bình hành ABCD, điểm O là trung điểm của AC. Ta xét các mệnh đề sau:
MĐ1: Mp (ABC) ≡ mp (BCD)

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

MĐ4: D (ABC)∈

a. Chỉ có 1 mệnh đề đúng. c. Chỉ có 3 mệnh đề đúng.
b. Chỉ có 2 mệnh đề đúng. d. Tất cả 4 mệnh đề đếu đúng.

32. Cho hình bình hành ABCD với các cạnh BC nằm trên đường thẳng a. Chọn mệnh đề đúng trong

các mệnh đề sau:

a. D (A,a)∉ c. BD (A,a)⊂

b. (ABCD) (A,a)≠ d. CD ⊂(A,a)

33. Cho hai đường thẳng song song nhau. Chon câu sai trong các câu sau đây:
a. Hai đường thẳng a và b cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

b. Nếu c là một đường thẳng song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
c. Mọi mặt phẳng cắt a thì cũng cắt b.

d. Mọi đường thẳng cắt a thì đều phải b.
34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

a. Hai mặt phẳng song song cùng song với mặt phẳng thứ ba thì song song nhau.
a. Ba mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy.

b. Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b, không tồn tại mặt phẳng nào qua đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.

c. Có 2 mặt phẳng song song, đường thẳng nào cắt mặt phẳng này cũng cắt mặt phẳng kia.
35. Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

a. Hai đường thẳng a và b, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cịn đường thẳng kia khơng
nằm trong mặt phẳng (P) thì hai đường thẳng a và b chéo nhau.

b. Hai đường thẳng phân biệt không song song và khơng có điểm chung thì chéo nhau.
c. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

d. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, nếu a nằm trong mp (P) nào đó thì khơng thể song song
với mp (P).

36. Cắt hình chóp tứ giác bằng 1 mặt phẳng, thiết diện khơng thể là hình nào sau đây ?

a. Tam giác c. Tứ giác

b. Ngũ giác d. Lục giác

37. Cho đường thẳng a song song với mp (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
a. Tồn tại duy nhất một mp chứa a và song song với (P)

b. Nếu (Q) là mp cắt đường thẳng a thì (Q) cũng cắt mp (P).
c. Mọi mp nằm trong mp (P) đều song song với a.

d. Có vơ số đường thẳng cắt a và song song với (P).

38. Cho đường thẳng a và mp (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
a. b (P),b / /a a / /(P)∃ ⊂ ⇒

b. a / /(P) a / /b, b (P)⇒ ∀ ⊂

c. Giả sử a // (P), khi đó nếu b là đường thẳng song song với (P) thì a // b.
d. Nếu a // (P) thì tồn tại duy nhất một mp (Q) qua a và song song với (P).
39. Cho hai đường thẳng a, b và hai mp (P), (Q). Ta xét các mệnh đề sau ?
(I): Nếu a (P) a / /(Q) (P) / /(Q)

b (P) b / /(Q)

 ⊂ ∧

 ⇒



 ⊂ ∧



(II): Nếu (P) // a và (Q) // a thì (P) // (Q).

(III): Nếu a // (P) và (P) // ( Q) thì a // (Q) hoặc a (Q)⊂
Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng ?

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

b. Có hai trong ba mệnh đề đúng. d. Cả ba mệnh đề đều đúng.
40. Xét các mệnh đề sau:

MĐ1: Nếu hai mp có một điểm chung thì chúng cịn có vơ số điểm chung khác nữa.
MĐ2: Nếu hai mp có một điểm chung thì chúng cịn có một đường thẳng chung duy nhất.
MĐ3: nếu hai mp phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
MĐ4: Nếu ba điểm cùng thuộc hai mp phân biệt thì chúng thẳng hàng.

Câu nào sau đây đúng:

a. MĐ1 + MĐ2 đúng. c. MĐ2 + MĐ4 đúng

b. MĐ1 + MĐ3 + MĐ4 đúng. d. Tất cả các mệnh đề trên đều sai.

41. Cho 3 điểm khơng thẳng hàng, có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mp phân biệt ?

a. 1 2 3 4

42. Cho 4 điểm khơng đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mp phân biệt ?

a. 2 3 4 6

43. Caùc yếu tố nào sau đây xác định một mp phẳng duy nhaát ?

a. Ba điểm c. Một điểm và một đường thẳng
b. Bốn điểm d. Hai đường thẳng cắt nhau.

44. Cho 2 đường thẳng d1 và d2 . Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận d1 và d2 chéo nhau ?
a. d1 và d2 khơng có điểm chung

b. d1 và d2 là 2 cạnh một tứ diện.
c. d1 và d2 nằm trên hai mp phân biệt.

d. d1 và d2 không cùng nằm trên một mp bất kỳ.
45. Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

a. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mp phân biệt thì chéo nhau.
b. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

c. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.
d. Hai đường thẳng phân biệt khơng song song thì chéo nhau.

46. Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng nếu có sẽ là:
a. Song song với hai đường thẳng đó.

b. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

c. Trùng với một trong hai đường thẳng đó.

d. Cắt một trong hai đường thẳng đó.

47. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b
?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

48. Cho 2 đường thẳng phân biệt a và b nằm trong mp (P). Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

49. Cho tứ diện ABCD. Khi đó:

a. AB và CD cắt nhau. c. AB và CD song song.
b. AB và CD cắt nhau hoặc chéo nhau. d. AB và CD đồng phẳng.
50. Cho 3 đường thẳng a, b, c trong đó a // b và c // a. Hãy chọn câu sai:

a. Nếu mp (a,b) khơng trùng với mp (a,c) thì b và c chéo nhau.
b. Nếu mp (a,b) và mp (a,c) phân biệt thì b // c.

c. Nếu mp (a,b) khơng trùng với mp (a,c) thì 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau.
d. Cả ba câu đều đúng.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

b. Nếu điểm M khơng nằm trên (P) và (Q) thì khơng thể có đường thẳng nào đi qua M mà cắt cả a
và b.

c. Nếu a và b không song song nhau, điểm M không nằm trên mp (P) và mp (Q), thì ln có duy
nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b.

d. Cả ba câu trên đều sai.

52. Neáu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến ấy:
a. Đôi một cắt nhau

b. Đơi một song song
c. Đồng quy

d. Đồng quy hoặc đôi một song song.

53. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó:

a. Tồn tại hai đường thẳng c và d song song với nhau, mỗi đường đều cắt cả a và b.
b. Không thể tồn tại hai đường thẳng c, d, mỗi đường đều cắt a và b.

c. Không thể tồn tại một đường thẳng cắt cả a và b.
d. Cả ba câu trên đều sai.

54. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mp chứa a và song song với b ?
a. Vô số b. 2 c. 1 d. Khơng có mp nào
55. Nếu 2 mp (P) và (Q) cùng song song với đường thẳng d thì giao tuyến (P) và (Q) sẽ:

a. Trùng với d c. song song hoặc trùng với d
b. Song song với d d. cắt d

56. Giả thiết nào sao đây đủ kết luận đường thẳng a song song với mp (P).
a. a // b và b // (P) c. a // b và b (P)⊂
b. a // (Q) và (Q) // (P) d. a (P)∩ = ∅

57. Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các
cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng nào sau đây không song song với đường thẳng MN ?

a. AB b. DC c. PQ d. CS

58. Cho hai ñường thẳng d1 và d2. ñiều hiện nào sau ñây ñủ ñể kết luận d1 và d2 chéo nhau?
a. d1 và d2 khơng có điểm chung

b. d1 và d2 là hai cạnh của một hình tứ diện
c. d1 và d2 nằm trên hai mặt phẳng phân biệt

d. d1 và d2 không cùng nằm trên một mặt phẳng bất kì.

59. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có bao nhiêu đường chéo của hình lập phương chéo nhau
với cạnh AB?

a. 1 b. c. 3 d. 4

60. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung ñiểm của SA. Mệnh
ñề nào sau ñây ñúng?

a. CM và AB cắt nhau b. CM và BD cắt nhau
c. CM và SB cắt nhau d. CM và AO cắt nhau

61. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt trung điểm của BƯỚC và CD. Khi đĩ giao điểm của BJ và
mặt phẳng (ADI) là:

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

62. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thanh đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của SC. Khi đó
giao điểm của BC với mặt (ADM) là:

a. Giao ñiểm của BC và SD b. Giao ñiểm của BC và MD
c. Giao ñiểm của BC và MA c. Giao điểm của BC và AD

63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của SB và
SD. Thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp là:

a. Tam giác b. Tứ giác c. Ngũ giác d. Lục giác

64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K lần lượt là trung ñiểm của
BC, DC và SB. Thiết diện của mặt phẳng (MNK) với hình chóp là:

a. Tam giác b. Tứ giác c. Ngũ giác d. Lục giác

65. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(IBC) và (JAD) là:

a. IJ b. AB c. IB d. JD

66. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thắng song song thì giao tuyến của chúng (nếu
có) sẽ:

a. Song song với hai đường thẳng đó

b. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ñó.
c. Trùng với một trong hai ñường thẳng ñó

d. Cắt một trong hai đường thẳng đó

67. Các mệnh ñề sau ñây, mệnh ñề nào ñúng?

a. Hai ñường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
b. Hai đường thẳng khơng có ñiểm chung thì chéo nhau

c. Hai ñường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung
d. Hai đường thẳng phân biệt khơng song song thì chéo nhau

68. Cho hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa d1 và song song d2 ?

a. Vô số b. 2 c. 1 d. Khơng có mặt phẳng nào

69. Cho tứ diện ABCD. ðiểm M ∈AC. Mặt phẳng α qua M và song song với AB. Thiết diện của α với
tứ diện ABCD là:

a. Hình thang b. Hình bình hành c. Hình chữ nhật d. Hình vng

70. Trong các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận ñường thẳng d1 song song với mặt phẳng α?
a. d1 // d2 và d2 // α b. d1 ∩ α = ∅ c. d1 // d2 và d2 ⊂ α d. d1 // d2 và d2 ∩ α= ∅

71. Cho ñường thẳng d song song với mặt phẳng α. Nếu mặt phẳng β chứa d và cắt α theo giao tuyến d’
thì:

a. d’//d hoặc d’ ≡ d b. d’//d c. d’ ≡ d d. d’ và d chéo nhau

72. Cho hai ñường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng. Giả sử a // b và b//α. Có thể kết luận gì về giá trị
tương đối của a và α?

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

73. Cho hai mặt phẳng song song α và β. d là một ñường thẳng nằm trong α. Kết luận nào sau ñây sai?
a. d // β

b. d song song với một ñường thẳng d’ nào đó nằm trong β

c. d song song với mọi đường thẳng nằm trong β

d. Có hai đường thằng phân biệt nằm trong β cùng song song với d

74. Khẳng định nào sau đây khơng suy ra ñược hai mặt phẳng α và β song song nhau?
a. α ∩ β = ∅

b. Trong α có chứa hai ñường thẳng cắt nhau và hai ñường thẳng này cùng song song với β
c. Trong β có chứa hai ñường thẳng cắt nhau và hai ñường thẳng này cùng song song với α
d. Trong α có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng này cùng song song với β

75. Chi hai mặt phẳng α và β song song với nhau. Giả sử mặt phẳng γ cắt α , β lần lượt theo hai giao
tuyến a và b thì:

a. a // b hoặc a ≡ b b. a ≡ b c. a // b d. a cắt b
76. Cho các phát biểu sau:

I. Nếu hai mặt phẳng α , β song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng α ñều song
song với β.

II. Hai ñường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song
III Thiết diện ñược cắt bởi mặt phẳng và tứ diện luôn luôn là tứ giác

IV. Có thể tìm được hai đường thẳng song song cắt ñồng thời hai ñường thẳng chéo nhau
Chọn câu ñúng trong các câu sâu ñây:

a. Chỉ I ñúng b. Chỉ I, II ñúng c. Chỉ I, II, III ñúng d. I, II, III, IV ñúng
77. 20.

Cho các giả thiết sau ñây. Giả thiết nào kết luận ñường thẳng d1 song song mặt phẳng α?

a. d1 // d2 và d2 // (α) b. d1 ⊂ α =∅ c. d1 // d2 và d2 ⊂ α d. d1 // (β) và (β) // (α)

78. Chọn khẳng ñịnh sai trong các khẳng ñịnh sau: (với giả thiết các ñoạn thẳng và đường thẳng khơng
song song hoặc trùng với phương chiếu)

a. Phép chiếu song song bảo tồn thứ tự của ba ñiểm thẳng hàng

b. Phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng.

c. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai ñường thẳng song song hoặc trùng nhau
d. Hình chiếu song song của đường thẳng là ñường thẳng.

79. Hãy tìm khẳng ñịnh sai trong các khẳng định sau:
a. Hình lập phương có 6 mặt là 6 hình vng bằng nhau
b. Hình lập phương có 8 đỉnh

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

80. Cho hình bình hành ABCD. Qua các ñỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa ñường thẳng song song với
nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói
trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

a. Hình thoi b. Hình thang c. Hình chữ nhật d. Hình bình hành
81. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng

a. Hai ñường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
c. Một ñường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng cịn lại
d. Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song thì cắt nhau

82. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung ñiểm của AB. Qua M dựng mặt phẳng (P) song song

với mặt phẳng (BCD). Tìm diện tích thiết diện của (P) và tứ diện.

a.
2

a

3

4 a

3

8 a

3

16 a

3

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG

1. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
a. Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SBD).

b. Tìm giao tuyeán (SAB) ∩ (SCD).

c. Gọi M là trung điểm SC. Thiết diện giữa (ABM) và hình chóp S.ABCD là hình gì ?

2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm BC, BD. Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác
ACD.

a. Tìm giao tuyến giữa (OMN) ∩ (ACD).
b. Tìm giao tuyến giữa hai mp (ABO)∩ (OMN)

3. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Gọi G là trọng tâm ABC∆ .
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (MNG) ∩ (ABC)

b. Tìm giao điểm giữa MN ∩ (SAG).

4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Tìm giao tuyến giữa hai mp
(BNC) ∩ (AMD)

5. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, K là trung điểm AD, BD, CD.
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (ABK)∩ (ACN ).

b. Tìm giao tuyến giữa hai mp (ABK)∩ ( MNK).

6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm SD, AD.
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (SAC) ∩ ( SBN) .

b. Tìm giao tuyến giữa hai mp (SAC) ∩ ( BMN ) .

7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là điểm nằm
trên đọan AD sao cho MI không song song với BD.

a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (MNI) ∩ (ACD) .
b. Tìm giao tuyến (MNI) ∩ (BCD) .

8. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm AB, BC .
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (SMN) ∩ (SBD) .

b. Tìm giao tuyến giữa hai mp (SMN) ∩ (SAC) .

9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a. Tìm giao tuyến (MND) ∩ (ACD).

b. Xác định (MCD)∩ (NAD) .

10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, K là trung điểm SB, SD.
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (CIK) ∩ (ABCD) .

b. Tìm giao tuyến giữa hai mp (CIK) ∩ (SAC) .

11. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm AD, SD.
a. Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SMB).

b. Tìm giao tuyến (BMN) ∩ (SAB).

12. Cho tứ giác ABCD và điểm S không nằm trong mp (ABCD).
a. Tìm giao tuyến của hai mp: (SAC) và (SBD)

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

TÌM GIAO ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

13. Cho ∆ ABC và điểm S không thuộc (ABC). Trên SC lấy điểm M không trùng với C và S. Điểm N

nằm trong ∆ ABC.

a. Tìm giao tuyến (SAN) và (SBC); (AMN) và (SAB)
b. Tìm giao điểm của SN và (ABM); SB và (AMN).
14. Cho tứ diện ABCD, M nằm trong ∆ABC

a. Tìm giao tuyến (ABM) và (BCD)
b. Tìm giao điểm AC và (BDM)

15. Cho tứ giác ABCD thuộc mp (P), có AB // CD. Gọi S là điểm không thuộc mp (P).
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Điểm O có thuộc mp (P)?

b. Tìm giao tuyến (SOD) và (SAC); (SAD) và (SBC).

c. Điểm M nằm trong tam giác SCB. Tìm giao tuyến (SMD) và (ABCD); (SMD) và (SAC).
d. Tìm giao điểm DM và (SAC).

16. Cho tứ diện ABCD, N là trung điểm của AC, M nằm trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyến (BMN) và (ACD)

b. Tìm giao điểm AD và (BMN)

17. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AC, BC. Và P ∈AD sao cho: AP = 4PD .
a. Tìm giao tuyến giữa (MNP)∩ (ABD).

b. Tìm giao điểm giữa CD ∩ (MNP) .
c. Tìm giao điểm giữa BD ∩ (MNP).
d. Tìm giao tuyến giữa MN ∩ (BCD).
e. Tìm giao điểm giữa NH ∩ (ACK)

18. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Gọi G là trọng tâm ABC∆ .
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (MNG) ∩ (ABC)

b. Tìm giao điểm giữa MN ∩ (SAG).

19. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, K là trung điểm AD, BD, CD. Tìm giao điểm giữa PM ∩ (ABK) .
20. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành . Gọi M, N là trung điểm SD, AD. Tìm giao

điểm giữa BM ∩ (SAC) .

21. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, J là trung điểm SA, SB.
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (IJO) ∩ (ABCD) .

b. Tìm giao điểm IO ∩ (SBC) .

22. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành. Gọi M là điểm nằm trong ∆ SCD .
a. Tìm giao tuyến giữa hai mp (SBM) ∩ (SAC) .

b. Tìm giao điểm BM ∩ (SAC)

23. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. I là điểm nằm trên
đọan AD sao cho MI khơng song song với BD. Tìm giao điểm NQ ∩ (MCD)

24. Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm AB, BC . Tìm giao điểm
AQ ∩ (SBD)

25. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M và N là trung điểm AB, AC.

a. Tìm giao tuyeán (SMC) ∩ (SBN). c. Tìm giao tuyến (SMN) ∩ (SBC).
b. Tìm giao điểm MQ ∩ (SBN)

26. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SA, SD,
P∈SB sao cho: SP = 3PB.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

b. Tìm giao điểm PN ∩ (SAC)

27. Cho tứ diện SABC; M; N lần lượt là các ñiểm nằm trong ∆ SAB; ∆ SBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác
ñịnh giao ñiểm P.

28. Cho tứ diện ABCD; M là trung ñiểm AB; N và P lần lượt là các ñiểm nằm trên AC; AD sao cho AN
: AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :

a. MN với (BCD)
b. BD với (MNP)

c. Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)

29. A; B ; C ; D là bốn điểm khơng đồng phẳng. M; N lần lượt là trung ñiểm của AC; BC. Trên ñoạn
BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :

a. CD với (MNP)
b. AD với (MNP)

30. Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong tam giác ABC ; D và E là các ñiểm năm trên SB ; SC.Tìm
giao điểm:

a. DE với (SAO)
b. SO với (ADE)

31. Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung ñiểm SA; AB. Trên ñoạn SC lấy ñiểm K sao cho CK =

3KS.

a. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?

b. Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao ñiểm của ñường thẳng KM với (ABC) ?

32. Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba ñiểm trên SA; SB; SC.
Tìm giao điểm IK và (SBD); giao ñiểm (ỊJK) và SD; SC

33. Gọi I; J lần lượt là hai ñiểm nằm trong ŻABC; ŻABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD.
Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB)

34. Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a. Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh: BI = 2IM ?

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

CHỨNG MINH BA ðIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ðƯỜNG THẲNG ðỒNG QUY

35. Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B nhưng khơng thuộc
d. O là điểm ở ngồi hai mặt phẳng . Các ñường thẳng OA ; OB lần lượt cắt β tại A’ ; B’. AB cắt d
tại C

a. Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?

b. Chứng minh A’; B’; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB; A’B’; d đồng quy

36. Trong khơng gian cho ba tia Ox; Oy; Oz khơng đồng phẳng. Trên Ox lấy A; A’; trên Oy lấy B; B’
trên Oz lấy C; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D; BC cắt B’C’ tại E; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D;
E; F thẳng hàng ?

37. Cho A; B; C khơng thẳng hàng ở ngồi mặt phẳng α . Gọi M; N; P lần lượt là giao ñiểm AB; BC;

AC với α. Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?

38. 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành; O là giao ñiểm hai ñường chéo; M; N lần
lượt là trung ñiểm SA; SD. Chứng minh ba ñường thẳng SO; BN; CM ñồng quy

2. Cho tứ diện ABCD. Mặt phẳng α không song song AB cắt AC; BC; AD; BD lần lượt tại M; N; R;
S. Chứng minh AB; MN; RS ñồng quy ?

39. Chứng minh trong một tứ diện các ñừơng thẳng nối ñỉnh với trọng tâm mặt ñối diện ñồng quy ?
40. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai ñáy là AD; BC. Gọi M; N là trung ñiểm AB;

CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của:
a. (GMN) và (SAB)

b. (GMN) và (SCD)

c. Gọi giao ñiểm của AB và CD là I; J là giao ñiểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng
minh S; I; J thẳng hàng ?

CHỨNG MINH HAI ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ CÁC ðIỂM ðỒNG PHẲNG
41. Cho bốn ñiểm A, B, C, D không ñồng phẳng

a. Chứng minh ba trong số 4 điểm này khơng thẳng hàng
b. Chứng minh AB chéo với CD ?

42. Cho hai ñường thẳng chéo nhau a và b. Trên a lấy hai ñiểm A, B; trên b lấy hai ñiểm C, D
a. Chứng minh AC chéo BD ?

b. Lấy M nằm trên ñoạn AC; N nằm trên ñoạn BD. ðường thẳng MN có song song AB hoặc CD
khơng ?

c. O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N ñồng phẳng

43. Cho ñường thẳng a cắt hai ñường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không ?
Tại sao ?

44. Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung ñiểm AD; BC.
a. Chứng minh AB chéo CD ?

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

THIẾT DIỆN

45. 1. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung ñiểm AA’ ; AD ; DC . Tìm
thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?

2. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết
diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)

46. 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung ñiểm của
SA; AB; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K

2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các ñiểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác ñịnh
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp.

47. Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngồi BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai ñiểm thuộc
cạnh AD ; DC sao cho MA = Error! Objects cannot be created from editing field codes.MD ;
ND = Error! Objects cannot be created from editing field codes.NC

a. Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b. Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c. Chứng minh MN; PQ; AC ñồng qui ?

48. 1. Cho tứ diện ABCD; ñiểm I; J lần lượt là trọng tâm ∆ ABC ; ∆ DBC ; M là trung điểm AD. Tìm
tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?

2. Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác ñịnh thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (MNK) với hình chóp

49. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là ñáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?

b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?

c. Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp

50. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC
a. Tìm giao ñiểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM

b. Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c. Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp

d. Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?

51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M; N; P lần lượt là trung ñiểm SB;
SD; OC

a. Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b. Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c. Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA; BC; CD ?

52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm ∆SAD

a. Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?

b. Chứng minh (CGM) chứa ñường thẳng CD ?
c. Chứng minh (CGM) ñi qua trung ñiểm SA ?
d. Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?

53. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm ∆SAB ; ∆SAD
a. Tìm giao ñiểm của JI với (SAC) ?

b. Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp

54. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba ñiểm trên SA ; AB ; CD
a. Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

BÀI TẬP TỔNG HỢP

55. Cho tứ diện ABCD; I là điểm nằm ngồi đoạn BD. Mặt phẳng (α) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M;
N; P; Q.

a. Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba ñiểm I; N; P cũng thẳng hàng ?
b. Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?

56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BC
a. Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?

b. Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?

c. Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA

57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là ñiểm trên cạnh

SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình

58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung ñiểm SD; E là ñiểm trên cạnh
SB sao cho SE = 3EB.

a. Tìm giao ñiểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b. Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?

c. Chứng minh BC; AF; d ñồng qui ?

59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. F là trung ñiểm SC; E là ñiểm trên cạnh BC
sao cho BE = 2EC.

a. Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b. Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?

60. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O; M là trung ñiểm SB; G là trọng tâm
∆SAD

a. Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên ñường thẳng CD và IC = 2ID ?
b. Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số Error! Objects cannot be created from editing
field codes.

c. Tìm giao ñiểm K của (OMG) với SA ? Tính Error! Objects cannot be created from editing
field codes.

61. Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho AN = 2ND; M là trung ñiểm AC; trên BC lấy Q sao cho
BQ = Error! Objects cannot be created from editing field codes.BC.

a. Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID

b. Tìm giao ñiểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD

62. Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai ñiểm cố ñịnh nằm trên AB; AC và IJ không song song với BC.
Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD; BD tại M; N

a. Chứng minh MN ln đi qua một điểm cố định ?
b. Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

63. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a. Tìm giao điểm MP ∩ (NAD). b. Chứng minh: MN // PQ .

64. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh: IJ
song song với CD.

65. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA, SB.

a. Chứng minh: MN // CD.

b. Tìm giao điểm P của SC và mp (ADN). Kéo dài AN và DP cắt tại I. Chứng minh SI // AB // CD.
Tứ giác SABI là hình gì ?

66. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a. Xác định giao tuyến của (MCD) và (NAD) c. Tìm giao điểm của MP và (NAD)

b. Chứng minh: MN // PQ d. Xác định giao tuyến của (MND), (ACD)
67. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BC, BD, AD. Chứng

minh: MNPQ là hình bình hành.

68. Cho hình chóp đỉnh S, đáy là hình thang ABCD, với AB // CD. Mặt phẳng ( )α qua AB cắt các
cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Chứng minh: MN // AB.

69. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). I, J lần l−ợt là trung điểm AD, BC. K ∈ SB
sao cho: SK SB

3
2
=

a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)

b. Dựng thiết diện của hình chóp và (IJK). Tìm điều kiện với AB, CD để thiết diện là hình bình hành.
70. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần l−ợt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

a. Chứng minh: MNPQ là hình bình hµnh

b. Tìm điều kiện của tứ diện để MNPQ là hình thoi, hình chữ nhật, hình vng
c. Gọi R, S lần l−ợt là trung điểm AC, BD. Tứ giác MRPS là hình gì?

d. Nêu nhận xét về 3 đoạn thẳng MP, NQ, RS.

71. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lợt là trung điểm AC, BC. P [BD].
a. Tìm (MNP) ∩ (ABD)

b. Q = AD (MNP). Khi nào MNPQ là hình bình hành
c. MQ ∩ NP = I. T×m (MNP) ∩ (ABI)

72. Cho 2 tam giác ABC, ABD không đồng phẳng, có trọng tâm lần l−ợt là G1, G2. CM: G1G2 // CD

73. Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF thuộc 2 mặt phẳng phân biệt, có tâm lần lợt là O,K. Trên các
đờng chéo AC, BF lÊy M, N sao cho:

3
1
=
=

BF
BN
AC
AM

a. CM: OK // DF b. CM: MN // DE

74. Chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). M, N lần l−ợt là trung điểm SA, SB.
a. CM: MN // CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN)

c. AN ∩ DP = I. CM: SI // AB, CD d. Tứ giác SABI là hình gì?

75. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB//CD). I, J lần l−ợt là trung điểm AD, BC. G là trọng
tâm tam giác SAB.

a. T×m (SAB) ∩ (IJG)

b. Tìm thiết diện của hình chóp và (IJG). Thiết diện là hình gì?
c. Tìm điều kiện với AB, CD để thiết diện là hình bình hành.

76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. I, J là trọng tâm ∆ SAB, SAD. M là trung điểm
CD. Xác định thiết diện của mp(IJM) và hình chóp.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

CHỨNG MINH ĐƯỜNG SONG SONG VỚI MẶT

78. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Gọi O là trung điểm MD.
a. Tìm giao điểm AO ∩ (BNC)

b. Chứng minh: NO // (ABC)

43. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành . Gọi M, N là trung điểm SD, AD.
a. Chứng minh: MN // (SAC).

b. Mp (

α

) chứa MN song song với AC, cắt CD tại H. Chứng minh: NH // AC .
44. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, BD. P ∈AC sao cho: AP = PC.

a. Xác định giao tuyến (MNP) với các mặt hình chóp.
b. Gọi G là trọng tâm ∆ ACD. Tìm I = BG ∩ (MNP).
c. Tìm giao điểm (MNP) ∩ CD. CM: PQ // (ABD).

45. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và BD
a. Chứng minh: CD // (AMN)

b. Tìm giao tuyến cặp mp(AMN) và (ACD), (ACN) và (ADM).

c. Một mp (

α

) chứa MN và song song với AB cắt AD, AC lần lượt tại P, Q. Tứ giác MNPQ là
hình gì?

d. Tìm giao điểm của MN và(ACN)

46. Cho lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M là trung điểm B’C’.

a. Tìm giao tuyến (d) của mp (ABC’) và mp (A’BC). Chứng minh: (d) // (BB’C’C).
b. Tìm giao điểm của AM và (A’BC).

47. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với AD // CD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của
các tam giác SAD, SBC. Chứng minh: G1G2 song song với (SAB).

48. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với AB // CD và AB = 2.CD. Gọi I và E lần lượt là
trung điểm của AB và SA. Chứng minh: (DEI) // (SBC) và DE // (SBC).

49. Cho tứ diện SABC có I, J lần l−ợt là trung điểm của AB và BC. CMR: với ∀M ∈ SB (M ≠ B) ta đều
có IJ // (ACM)

50. Cho tø diƯn ABCD gọi M và N lần lợt là trọng tâm ABD vµ ∆ ACD. CMR: MN // (BCD) vµ MN
// (ABC)

51. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và khơng đồng phẳng. Trên các cạnh
AD, BE lần l−ợt lấy các điểm M, N sao cho AM BN k

AD = BE = (0 < k < 1). CMR: MN // (CDE)

52. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần l−ợt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD
53. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (CD > AB). Gi M, N ln

lợt là trung ®iĨm cđa SA, SB
a. Chøng minh MN // CD

b. Tìm giao điểm P của SC và mp(AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI//AB//CD.

Tứ giác SABI là hình gì?

54. Cho tứ diƯn ABCD. Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn lợt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD
a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b. Chứng minh MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

55. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm trên BC, SC, SD và AD
sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD

a. Chøng minh PQ//SA

b. Gäi K lµ giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK//AD//BC

c. Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB. Tìm giao điểm của Qx và mp(SAB); giao điểm của Qy và mp(SCD)
56. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai ñường thẳng

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

57. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm của AB và CD
a. Chứng minh MN // mp SBC

(

)

và MN // mp SAD

(

)

b. Gäi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC song song với mp(MNP)

c. Gọi G1 và G2 lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chøng minh G1G2 // (SAC)

58. Cho tø diÖn ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. Lấy M trªn BC sao cho MB = 2MC. Chøng minh
MG // (ACD)

59. Cho tø diƯn ABCD. Gäi O vµ O lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD.
Chứng minh:

a. iu kin cần và đủ để OO’// (BCD) là BC AB AC
BD AB AD

+
=

b. Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) và mp(ACD) là BC = BD và AC = AD
60. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng

a. Gäi O vµ O lần lợt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh: OO//(ADF); OO// (BCE)
b. Trên AE và BD lấy M vµ N sao cho AM 1AE; BN 1BD

3 3

= = . Chøng minh MN // mp(CDEF)
61. Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung ñiểm M; trên BC lấy điểm N bất kì. Gọi (α) là mặt

phẳng chứa ñường thẳng MN và song song với CD .
a. Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với (α) ?

b. Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?

62. Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là ñiểm bất kì trên
cạnh AB. (α) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.

a. Mặt phẳng (α) cắt SABCD theo thiết diện là hình gì ?
b. Chứng minh SA // (α)

63. Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF khơng đồng phẳng, có tâm lần l−ợt là O, O’
a. Chứng minh: OO’ // (ADF) v (BCE)

b. M, N là trọng tâm ∆ ABD, ABE. Chøng minh r»ng: MN // (CEF)

64. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N lần l−ợt là trung điểm AB, CD.
a. Chứng minh: MN // (SBC), (SAD)

b. P là trung điểm SA. Chứng minh: SB, SC // (MNP)

c. G1, G2 là trọng tâm ABC, SBC. Chøng minh: G1G2 // (SAB)

65. Cho tø diÖn ABCD. Qua M ∈AC dùng (P) // AB, CD. (P) ∩ BC, BD, AD = N, P, Q.
a. MNPQ là hình gì ?

b. Chứng minh r»ng: + =1
CD
NP
AB
AM

khi M thay đổi trên đoạn AD.
c. *Xác định vị trí của M để SMNPQ Max

66. Cho h×nh chãp S.ABCD. AC∩ BD = O. (

α

) qua O vµ song song AB, SC. Dùng thiÕt diện của (

) và
hình chóp. Thiết diện là hình g×?

67. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của (β) qua trung điểm M của
AB và song song với BD, SA.

68. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, tâm O. SB = SD. M ∈AO: AM = x, (

α

) qua M và
song song SA, BD. (

α

) cắt SO, SB, AB tại N, P, Q.

a. MNPQ là hình gì?

b. Cho SA = a. Tính SMNPQ theo a, x. Tìm x để S Max

69. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD, AB = 2a, AD = CD = a, ∆ SAB đều), (

α

) qua
M ∈ AD và song song SA, CD. Mặt phẳng (

α

) ∩ BC, SC, SD = N, P, Q.

a. MNPQ lµ h×nh g×?

b. Tìm quĩ tích L = MQ ∩ NP khi M thay đổi trên đoạn AD.

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

b. Cho AM = x ( 0 < x < b). Tính diện tích thiết diện theo a, b, x. Tìm x để S Max
c. Tìm quĩ tích MQ ∩ NP

71. Cho ∆ SAB và hình bình hành ABCD không đồng phẳng, G là trọng tâm ∆ SAB. N ∈AC:

3
1
=
AC
AN

.
Chøng minh: GN // (SCD)

72. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N lần l−ợt là trung điểm AB, CD. Mặt phẳng (

α

)
chứa MN và song song vi SA.

a. Tìm giao tuyến của mp(

) và mp(SAB)

b. Dựng thiết diện của (

α

) và hình chóp. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
73. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm ∆ ABD. M ∈BC: MB = 2MC. CM: MG // (ACD)
74. Cho hình chóp S.ABCD. M, N ∈ SB, CD. Mp(

α

) chứa MN và song song SC.

a. T×m giao tun cđa (

α

) víi (SBC), (SCD), (SAC)
b. Tìm thiết diện của (

) và h×nh chãp.

75. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. C’∈SC, M di động trên SA. Mặt phẳng (

α

) qua C’M
và song song BC.

a. Chứng minh (

α

) chứa 1 đ−ờng thẳng cố định

b. Tìm thiết diện của (

α

) và hình chóp. Xác định M để thiết diện là hình bình hành
c. Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên SA.

76. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I là trung điểm AC, J∈AD: AJ = 2JD. M di động bên trong tam giác
BCD sao cho (MIJ) luôn song song với AB

a. Tìm quĩ tích điểm M

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

CHNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

77. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, J là trung điểm SA, SB.
a. Chứng minh: IJ // CD .

b. Chứng minh: (IJO) // (SCD).

78. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SA. Lấy P∈SB,
sao cho: SP = 3PB.

a. Chứng minh: SC // (MPO) .
b. Tìm (MPO) (SBC) = ?∩

c. Mp (PMN) cắt hình chóp theo thiết diện nào ?

79. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh: OO’ song song với các mặt
phẳng (ADF) và (BCE).

b. Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho: AM = 1

3AE, BN =
1

3BD. Chứng
minh: MN // (CDFE)

80. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, SD.
a. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).

b. Goïi P và Q là trung điểm của AB và ON. CMR: PQ // (SBC)
81. Hình hộp ABCD.A'B'C'D', có cạnh bên laø AA', BB', CC', DD'.

a. Chứng minh: (BDA') // (B'D'C).

b. Chứng minh: AC' qua trọng tâm G1,G2 của BAD'∆ và ∆ B’C’D’ và G1, G2 chia AC' thành 2

đọan bằng nhau.

82. Cho tứ diện ABCD, gọi E là trung điểm của các cạnh BD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
các đoạn CE và CA. Chứng minh: IJ // (ABD).

83. Trên hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax và By, ta lần lượt lấy hai điểm di động M, N sao cho
AM = NB. Dựng mp ( )α chứa By và // Ax. Đường thẳng ME // AD, cắt mp ( )α tại E .

a. Chứng minh tam giác BEN cân.

b. Chứng minh mp (MEN) luôn song song với một mp cố định.
84. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, K là trung điểm AD, BD, CD.

a. Chứng minh: MN // (ABK) .
b. Chứng minh:(MNK) // (ABC) .

85. Cho hình chớp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm của SA và CD
a. Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC)

b. I là trung điểm của SC và J là điểm nằm trên mp(ABCD) cách đều AB và CD. Chứng minh IJ //
mp(SAB)

c. Giả sử các tam giác SAB và ABC cân tại A. Gọi AE và AF là các đờng phân giác trong của các
tam giác ACD vµ SAB. Chøng minh EF // mp(SAD)

86. Cho 2 hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AC và BF lấy M và
N sao cho AM = BN. Các đờng thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lợt cắt AD; AF t¹i M’, N’.
a. Chøng minh: (CBE) // (ADF)

b. Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’)

c. Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp I khi M, N di động

87. Cho tø diÖn ABCD cã AB = AC = AD. Chøng minh r»ng c¸c đờng phân giác ngoài của các góc

BAC, CAD, DAB đồng phẳng.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

b. Gäi P và Q lần lợt là trung điểm của AB và ON. Chøng minh PQ // mp(SBC)

89. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là hai điểm di động lần l−ợt trên AD và BC sao cho IA = JB

ID JC. Chứng
minh IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định

90. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại A. Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a). Mặt phẳng

( )

α qua M và song song với
mp(SAB) cắt BC; SC; SD tại N, P, Q

a. Chøng minh MNPQ là hình thang vuông

b. Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M chạy trên AD
c. Tính diện tích MNPQ theo a và x

91. Cho 2 đờng thẳng a và b chéo nhau. Tìm tập hợp các điểm I trên đoạn MN vµ chia MN theo tØ sè k
cho tr−íc trong 2 tr−êng hỵp:

a. M, N di động lần l−ợt trên a, b

b. M, N di động trên a, b và MN luôn song song với 1 mặt phẳng hoặc nằm trên mặt phẳng cho tr−ớc
cắt a và b

92. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB,
SC.

a. Chứng minh (HIK)// (ABCD).

b. Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI .Chứng minh (SMN) //(HIK).
93. Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’.

a. Chứng minh (BA’D) // (B’D’C).

b. Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’

94. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,
CD.

a. Cm: (OMN) // (SBC).

b. Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của tam
giác ACD và SAB. Cm: E F //(SAD).

95. Cho hai hình vng ABCD, ABE F khơng cùng nằm trong một mặt phẳng . Trên các đường chéo
AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng // AB vẽ từ M, N lần lượt
cắt AD, A F tại M’, N’.

a. Cm: (CBE) // (AD F).
b. Cm: (DE F) // (MNN’M’).

96. Cho tø diÖn ABCD. Gäi G1, G2, G3 lần lợt là trọng tâm ABC, ACD, ABD. CMR: (G1G2G3)//(BCD)

97. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. M, N là trung điểm SA, SD.
a. CM: (OMN) // (SBC)

b. P, Q là trung điểm AB, ON. Chứng minh: PQ // (SBC)

98. Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF khơng đồng phẳng. M, N là trung điểm AD, BC. Gọi I, J, K lần
l−ợt là trọng tâm ∆ ADF, ADC, BCE. Chứng minh: (IJK) // (CDFE)

99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q, R lần l−ợt là trung điểm của
SA, SD, AB, ON, SB.

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

THIẾT DIỆN

100. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AC, BC. P ∈AD, sao cho: AP = 4PD.
a. Chứng minh: AB // (MNP) .

b. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với tứ diện. Thiết diện hình gì?

c. Mp (

α

) chứa MN song song với CD, cắt AD và BD tại H, K. Tứ giác MNHK là hình gì ?
101. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm BC, BD. Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác

ACD .

a. Chứng minh: MN // (ACD)

b. Thiết diện tạo bởi mp (OMN ) và tứ diện đã cho.

102. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Gọi G là trọng tâm ABC∆ .

a. Chứng minh: AC // (MNG) .

b. Tìm thiết diện tạo bởi mp (MNG) với tứ diện ABCD.

103. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm AD, BD, CD. Mp (

α

) chứa MN song
song với CD, cắt BC và AC tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ?

104. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, K là trung điểm SB, SD.
a. Chứng minh: IK // (ABC) .

b. Mp (

α

) chứa IK song song với SC, cắt CD tại N, cắt BC tại M. Tứ giác IKMN là hình gì ?
105. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành. Gọi M là điểm nằm trong ∆ SCD .

a. Chứng minh: CD // (ABM)

b. Mp (ABM) cắt SC, SO tại P, Q. Tứ giác ABPQ là hình gì ?

106. Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm AD, SD.
a. Tìm giao điểm MQ ∩ (SAC) . Chứng minh: MN // (SAC)

b. Mp (

α

) chứa MN song song với BC, cắt AB và SB tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
107. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi H và K là trung điểm SD, AD.

a. Chứng minh: HK // (SAB) .

b. Mp(

α

) chứa HK song song với CD, cắt SC tạiN, cắt BC tại N. Tứ giác HKMN là hình gì ?
c. Tìm (

α

) ∩ ( SAC). Chứng minh giao tuyến này song song SA.

d. Chứng minh: BK đi qua trọng tâm của ∆ SAC .

108. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, J là trung điểm SA, SB.
Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJO) với hình chóp . Thiếtù diện hình gì ?

109. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. I là điểm nằm trên
đọan AD sao cho MI không song song với BD.

a. Chứng minh: MN // (ACD) .

b. Mặt phẳng (

α

) chứa MN song song với BC, cắt CD và AD tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình
gì?

110. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm AB, BC.
a. Chứng minh: MN // (SAC) .

b. Mặt phẳng (

α

) chứa MN song song với SB, cắt SA và SC tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
111. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M và N là trung điểm AB, AC.

a. Chứng minh: BC // (SMN) .

b. Mặt phẳng (

α

) chứa MN song song với SA, cắt SB và SC tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
112. Hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành (có thể thay bằng hình thoi). SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N

lần lượt là trung điểm SD và AD

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

b. Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (BMN). Chứng minh giao tuyến này vng góc với (ABCD).

c. Mp (

α

) chứa MN và song song với BD, cắt AB và SB tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tìm
BM ∩ ( SAC).

113. Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là HCN có AB = a, BC = 2a. M∈SD: SM 2

3SD

.

( )

α

chứa M // (SAB). Mp (

α

) cắt AD, BC, SC tại N, P, Q.
a. Xác định thiết diện mp (

α

) và hình chóp. CMR: MMPQ là hình thang
b. Biết SD = b, SM = x, ( 0 < x < b) và SA = SB = 2a. Tính chu vi MNPQ.

114. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành. Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi
(

α

) qua trung điểm M của AB và cùng song song BD và SA .

115. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N là trung điểm của hai cạnh bên AA' và CC'. P ∈DD'
a. Tìm Q = BB' ∩ (MNP).

b. Tìm giao tuyến giữa hai mp (MNP) ∩ (ABCD) .
c. Mp (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện gì?

116. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A'B'C', có AA' // BB' // CC'. Gọi H là trung điểm A'B'.
a. Chứng minh: CB' // (AHC') .

b. Tìm giao tuyến (AB' C') ∩ (A'BC). CM: (d, H) // (BCC'B') .
c. Xác định thiết diện của (d, H) với lăng trụ.

117. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Có AB = a, AD = 2a.Tam giác SAB vuông
cân tại A, M là điểm trên cạnh AD.(M không trùng với A và D). Mp (

α

) qua M và song song
(SAB) cắt BC, SC, SD tại N, P, Q.

a. Chứng minh: MNPQ là hình gì ?

b. Đặt x = AM. Tính diện tích MNPQ theo a và x.

118. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA
và AD

a. CM: SD // (BIJ)

b. Tìm giao tuyến của: (OMN) ∩ (CBD); (ABO)∩ (ACD)

c. Một mp (

α

) chứa I J và song song AC cắt CD, SC lần lượt tại P, Q. Tứ giác IJPQ là hình gì?
d. Tìm giao điểm AQ ∩ (BIJ)

119. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD. O là điểm nằm trong tam
giác BCD.

a. CM: CD // (OMN)

b. Tìm giao tuyến của: (OMN) ∩ (BCD); (ABO)∩ (ACD)

c. Một mphẳng (

α

) chứa MN và // AB cắt BD, BC lần lượt tại P và Q. Tứ giácMNPQ là hình gì?
d. Tìm giao tuyến AO ∩ (MNPQ)

120. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm
của SB, AB, BC.

a. CMR: (IMN) // (SAC). Tìm giao điểm DI ∩ (SAC)
b. Tìm giao tuyến của: (DIM) ∩ (SAD); (SDM) ∩ (SAC)

c. Một mp (

α

) chứa MN và song song SB cắt SA, SC tại P,Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

121. Cho tứ diện đều ABCD độ dài các cạnh bằng a. Mp (

α

) qua M∈AB và song song các cạnh

BC, AD và cắt tứ diện theo thiết diện hình gì ? Tính thiết diện theo a và x với AM = x,

(

0 〈x a〈

)

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

123. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SC và SD.

a. CMR: (MNO) // (SAD).

b. Tìm thiết diện tạo bởi mp (MNO) và hình chóp S.ABCD.

124. Cho tứ diện ABCD, có đáy là tam giác đều cạnh a, AB = AC = AD = 2a . Mp (

α

) qua M ∈ BC
và song song với các cạnh AB, CD cắt tứ diện theo thiết diện hình gì? Tính chu vi thiết diện theo
a và x, với BM = x,

(

0 x a〈 〈

)

125. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , các cạnh bên cùng bằng a. Mp
(

α

) qua M ∈ AB và song song với các cạnh SA, BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì ? Tính
chu vi thiết diện theo a và x với AM = x ,

(

0 〈x a〈

)

126. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a và BC = CD = DB = 2a. Mp (

α

) qua M ∈ AC và
song song với các cạnh BC, AD cắt tứ diện theo thiết diện hình gì? Tính chu vi thiết diện theo a
biết AM = 2MC

127. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vng cạnh a , các cạnh bên cùng bằng 2a. Mp
(

α

) qua M ∈ SB và song song với mp (SAD) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính chu vi
thiết diện theo a và x với SM = 2x ,

(

0 〈x a〈

)

128. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = 3a ; AD = BC = 2a . Mp (

α

) qua M ∈ AB
và song song với các cạnh BC, AD cắt tứ diện theo thiết diện hình gì? Tính chu vi thiết diện theo
a và x với AM = x ,

(

0 〈x a〈

)

129. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 và các cạnh bên cùng bằng 2a.

Mp (

α

) qua M ∈ SA và song song với các cạnh SB, BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì?
Tính chu vi thiết diện theo a bit: SM = 2.MA

130. Cho hình lăng trụ ABC.ABC. Gọi H là trung điểm AB
a. Chøng minh: CB’ // (AHC’)

b. T×m AC’ ∩ (BCH)

c. Mặt phẳng (

α

) qua trung điểm của CC’ và song song AH, CB’. Xác định thiết diện và tỉ số mà
thiết diện chia các cạnh của lng tr.

131. Cho hình lăng trụ ABC.ABC. Gọi M, N là trung điểm AA, AC.
a. Dựng thiết diện của lăng trụ với (MNB)

b. Gọi P là trung điểm BC. Dựng thiết diện của lăng trụ với (MNP)
132. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Hai điểm M, N ∈ AD, CC’:

N
C

CN
MD
AM

'
=
a. Chøng minh: MN // (ACB’)

b. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với (ACB’)

133. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Gọi M ∈ [AB1] sao cho:

4
5

=
MB

. Xác định thiết diện của (

ω

)
với lăng trụ biết (

ω

) song song với A1C và BC1

134. Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi G1, G2, G3 lần lợt là trọng tâm ABC, ABC, AAC.

a. Dựng thiết diện của (G1G2G3) với lăng trụ

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ∆ ABC vng tại B, SA ⊥ (ABC).

a. CMR: Các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh: MN // (SBC) và MN // (SAB)
c. Tìm giao tuyến của: (SMN) ∩ (SAB), (SBN) ∩ (SCM)

d. Một mp (

α

) chứa MN và // SA cắt SB, SC tại P và Q . Tứ giác
MNPQ là hình gì?

2. Cho ∆ ABC có trọng tâm G, (G = AM ∩ CN). Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh SC, (P ≡ S, P ≡C và P
không là trung điểm của SC)

a. Tìm (SAM) ∩ (SCN) và (SAM) ∩ (MNP).
b. Tìm giao tuyến của SG với (MNP).

3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD.
a. Tìm giao tuyến (MCD) ∩ (NAD)

b. Tìm giao điểm MP ∩ (NAD)

4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O = AC ∩ BD. M, N, I là 3 điểm tuỳ ý trên các cạnh SA, SB, SC.
a. Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SBD).

b. Tìm giao điểm SO ∩ (MCD) và SD ∩ (MNI)
c. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNI)

5. Cho hình chóp S.ABCD, (AB ≠CD). M là điểm tuỳ ý trong ∆ SCD.
a. Tìm giao tuyến (SBM) ∩ (SAC).

b. Tìm giao điểm SD ∩ (MAB).

c. Gọi O = AC ∩ BD. Tìm giao điểm SO ∩ (MAB).
d. Xác định thiết diện của hình chóp với (MAB).

6. Cho hình thang ABCD, (AB // CD) và điểm S ∉ (ABCD). Gọi M, N, P là các điểm thuộc SA, SB
và CD, (MN ≠AB).

a. Tìm giao tuyến của (MNP) với (ABCD), (SAD) và (SBC).
b. Gọi O = AC ∩ BD. Tìm giao điểm SO ∩ (MNP).

c. Xác định thiết diện (MNP) với của hình chóp.

7. Trong khơng gian cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, I, E, F là trung điểm các
đoạn thẳng BC, CD, AC, AD.

a. Tìm giao tuyến của (AMD) và (ABI).

b. Gọi G là trọng tâm ∆ BCD. Tìm giao tuyến (AGI) và (BEF).

8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
SA, SB. Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD.

a. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b. CMR: AB // (IJO) và (IJO) // (SDC)

c. Tìm giao tuyến của: (SAC) và (SBO); (IJO) và (ABCD)

d. Tìm thiết diện tạo bởi mp (IJO) và hình chóp đã cho. Thiết diện là hình gì?

9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SD và AD.

a. CMR: SA // (BMN) vaø BD ⊥ (SAC)

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC là hình thoi cạnh a; SA = SB = a; SC = SD = a

3

. Gọi E, F lần
l−ợt là trung điểm của các cạnh SA, SB; M là một điểm trên cạnh BC.

a. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MEF). Thiết diện là hình gì?
b. Đặt BM = x (0 ≤ x ≤ a). Tính FM và diện tích thiết diện trên theo a và x

11. Cho tứ diện ABCD trong đó AB vng góc với CD và AB = AC = CD = a; M là một điểm trên cạnh
AC với AM = x (0 < x < a); (α) là mặt phẳng qua M song song với AB và CD.

a. Xác định thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt phẳng (α). Thiết diện là hình gì?

b. Tính diện tíchthiết diện theo a và x. Xác định x để diện tích thiết diện này lớn nhất.

12. Trong mặt phẳng (α) cho ∆ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của cạnh AC; lấy điểm S ở ngoài
(α) sao cho SA = a và SA ⊥ BO; (α) là mặt phẳng chứa BO và song song với SA.

a. (α) c¾t tø diƯn SABC theo thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện trên theo a.

13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với AB = 2a, AD = a. SAB là tam giác vuông
cân tại A. Gọi M là một điểm trên cạnh AD với AM = x (0 < x < a). (α) lµ mặt phẳng qua M và song
song với (SAB).

a. () cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện trên theo a và x.

14. Cho tø diƯn ABCD. Gäi I, J lÇn lợt là trung điểm của các cạnh CA, CB. M là một điểm trên đoạn
BD, mặt phẳng (IJM) cắt AD t¹i N.

a. Chứng minh IJMN là hình thang. Xác định vị trí của M để IJMN là hình bình hành.

b. Gọi K là giao điểm của IM và JN. Tìm tập hợp các điểm K khi M di động trên đoạn BD.

15. Từ bốn điểm của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đ−ờng thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz,
sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đ−ờng thẳng đó lần l−ợt tại

A', B', C', D'.

a. Chøng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt)

b. Chứng minh tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.

c. Gọi O, O' lần lợt là tâm các hình bình hành ABCD, A'B'C'D'. Chứng minh đờng thẳng OO' // AA'
và AA' + CC' = BB' + DD'

16. Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ CD, ∆BCD vng tại C có = 300 . M là điểm di động trên cạnh
BD, (α) là mặt phẳng qua M song song với AB và CD.

a. (α) c¾t tø diƯn ABCD theo một thiết diện là hình gì?

b. Giả sö AB = BD = a, BM = x. TÝnh diƯn tÝch S cđa thiÕt diƯn thao a vµ x.

c. Vẫn lấy giả thiết trong câu2). Xác định x để thiết diện có 2 đ−ờng chéo vng góc.

17. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M∈AB, (α) là mặt
phẳng qua M song song với (SAD) cắt CD, SC, SB lần l−ợt tại N, P, Q.

a. Chứng minh MNPQ là hình thang cân.

b. Gi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy từ A đến B.
c. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x

18. Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Gọi I, K, L lần l−ợt là trung điểm của AB, AI, SB. (α) là mặt phẳng
qua KL và song song với CI. Tính diện tích thiết diện của (α) với tứ diện.

19. Cho h×nh lập phơng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lần lợt là trung ®iĨm cđa AA', BB', CC'. CMR:

a. (EFG) // (ABCD)

b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (C'D'D).
c. Tìm giao điểm của A'C và (C'DB)

d. Gọi O và O' lần l−ợt là giao điểm của hai đ−ờng chéo đấy ABCD và A'B'C'D'. Chứng minh rằng AO'
và C'O chia A'C thành ba đạon bằng nhau

20. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G1, G2 lần l−ợt là trong tâm của ∆ABD và ∆BCD; I là trung điểm của

AC.

a. CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD)

b. Mặt phẳng () đi qua G1, G2 và song song với BC. Tìm thiÕt diƯn cđa (α) vµ tø diƯn ABCD. ThiÕt

diƯn là hình gì ? Tại sao?

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang mà đáy lớn là cạnh AD. Một điểm M bất kỳ trên cạnh
AB và một mặt phẳng (α) qua M v // AD v SB

a. Mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b. CM: SC // (α).

22. Cho hình hộp ABCD.A"B'C'D' có Q là trung điểm cạnh DD', I là một điểm trên đoạn BD sao cho DI
= 3IB. T×m thiÕt diƯn cđa h×nh hép ABCD.A"B'C'D' tạo bới mặt phẳng () qua IQ và // AC.

23. Cho tứ giác ABCD nằm trong mp (P). Hai đ−ờng thẳng AB và CD cắt nhau tại E; AD và BC cắt
nhau tại F. Một điểm S nằm ngoài mphẳng (P) và một mphẳng (Q) di động cắt SA, SB, SC tại I, J, K.
a. Tìm giao điểm K của (Q) và SD.

b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để IJ // KL là SE // (Q)

c. Tìm điều kiện giữa SF và (Q) để IL // JK. Chứng minh rằng nếu IJKL ln là hình bình hành thì (Q)
ln song song với một mặt phẳng cố định.

24. Cho hình vng ABCD có cạnh a và tam giác vng cân ADF (AD = AF) nằm trong hai mặt phẳng
khác nhau. Biết BF = a

2

, trên các đoạn AC, FD lần l−ợt lấy hai điểm M, N di động sao cho: AM =
FN = x (0 < x < a

2

a. Chøng minh r»ng: MM // (ABF).
b. Chøng minh: AN = MN = BM.

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

QUAN HỆ VNG GĨC

TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Câu nào sau đây sai:

a. Nếu a // b vaø b // c thì a // c.
b. Nếu a ( vaø b ( thì a // b⊥ α) ⊥ α) .

c. Neáu a b và c b thì a // c . ⊥ ⊥
d. Neáu a ( vaø b ( thì a b⊥ α) ⊂ α) ⊥ .

2. Câu nào sau đây sai:

a. Neáu a // ( ) và b α ⊥a thì b ( )⊥ α .

b. Neáu a // ( ) vaø b ( thì a bα ⊥ α) ⊥ .

c. Neáu ( ) ( ) vaø a ( ) thì a // ( )

α

⊥

β

⊥

α

β

.
d. Neáu a ( vaø a // ( ) thì ( ) ( )⊥

α

)

β

α

⊥

β

e. Neáu a ( và b a thì b // ( ) hay b ( )⊥

α

) ⊥

α

⊂

α

3. Câu nào sai:

a. a = ( ( ; b = ( ( ; c = (α)∩ β) α)∩ γ) γ)∩ (β),a // b thì a // b // c.
b. Neáu a ( vaø a ( thì ( // (⊥

α

) ⊥

β

)

α

)

β

)

c. Neáu a b vaø b ( thì a (⊥ ⊂

α

) ⊥

α

d. Nếu a // b và b ( thì a // (⊂

α

)

α

4. Cho hình S.ABCD, có ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), bieát SC = 2a.
Keát quả tính nào sai:

a. SA=a 2. c. SD=a 3.
b. SB=a 3. d. SA=a 3.

5. Mệnh đề nào đúng:

a. Hai đường thẳng cùng ⊥ với đường thẳng thứ 3 thì // nhau.
b. Hai mp phân biệt cùng ⊥ 1 đường thẳng thì cắt nhau.

c. Một đường thẳng vuông với 1 đường thẳng nằm trong mp thì đường thẳng đó vng góc với mp
nói trên.

d. Cho a // (

α

), b // a thì b vng góc (

α

)
6. Cho đường thẳng a và 2 mp ( )α vµ ( )β

a. Nếu ( ) ( )α ⊥ β , mp ( )β ⊥ ( )α thì ( )β ⊥ ( )β .

b. Nếu ( )α vµ ( )β cùng song song với a thì chúng song song nhau.
c. Nếu ( ) ( )α ⊥ β và a ( )⊥ α thì a // ( )β .

d. Neáu a // ( )α và ( )β ⊥ ( )α thì ( )β ⊥a.
e. Neáu a // ( )α và ( )β ⊥a thì ( )β ⊥(

α

7. Hình lăng trụ tứ giác có cạnh bên vng góc với mặt đáy là hình nào sau đây:
a. Hình hộp.

b. Hình hộp chữ nhật.
c. Lăng trụ đều.
d. Hình lăng trụ đứng.
e. Một kết quả khác.

8. Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình gì:
a. Lăng trụ đứng c. Lăng trụ đều

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

9. Hình chóp đều S.ABCD, cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Độ dài đường cao hình chóp:
a. 2

a c.

2
a

a d. a

10. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là tâm của đáy, SM là trung đoạn thì:

a. SO = SM c. SA = SM

b. SO 〈 SM d. SO〉 SM

11. Đường thẳng a ⊥ với mp (P) thì:

a. Cho a ⊥ với 1 đường thẳng nằm trong mp (P).
b. Cho a ⊥ với 2 đường thẳng nằm trong mp (P).

c. Cho a ⊥ với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mp (P).
d. Cả a, b, c đều đúng.

12. Đường thẳng a ⊥ b khi:
a. Góc tạo bởi chúng bằng 900 .

b. Cho a ⊥ với mp (P) chứa đường thẳng b.
c. Cho b ⊥ với mp (Q) chứa đường thẳng a.
d. Cả a, b, c đều đúng.

13. Mp (P) ⊥ (Q) khi:

a. Trong (P) có 1 đường ⊥ với giao tuyến của (P) và (Q).
b. Trong (Q) có 1 đường ⊥ với giao tuyến của (P) và (Q).
c. Trong (P) có 1 đường ⊥ với (Q).

d. a, b, c đều đúng.

14. Cho a, b, c là các đường thẳng phân biệt, (

α

) và (β) là các mp phân biệt, tìm mệnh đề sai:
a. Cho a // b và b c thì a c . ⊥ ⊥

b. Cho a ( vaø ( b thì a b . ⊂ α) α)⊥ ⊥
c. Cho )( // ( và ( a thì (α β) β)⊥ α)⊥ a .
d. Cho )( // a vaø a b thì (α ⊥ α)⊥ b.

15. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD tâm O, cạnh đáy 2a, M là trung điểm BC thì OM bằng:
a. 2

a c.

2
a

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT

1. Trong mp (

α

) cho ∆ BCD và 1 điểm A ∉ (

α

). Trong ∆ BCD keû BB’ ⊥ CD, DD’ ⊥ BC.
a. BB’ và DD’ có cắt nhau không? Tại sao.

b. Tìm giao tuyến của (ABB’) và (ADD’).

2. Cho hình chóp S.ABC, đáy là ∆ vng tại B, cạnh SA ⊥ (ABC). Kẻ AH ⊥ SB, (H ∈ SB), AK ⊥
SC, (K ∈ SC).

a. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng.
b. Chứng minh: SC ⊥ (AHK).

3. Cho hình chóp S.ABC, có đáy là ∆ vuông tại A, SA ⊥ (ABCD). Gọi AH là đường cao ∆ ABC,
(H ∈ BC).

a. Chứng minh: BC ⊥ (SAH).
b. Chứng minh: AB ⊥ (SAC).

c. Dựng AK ⊥ SH. Chứng minh: AK ⊥ (SBC).

4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SD và AD.

a. CMR: SA // (BMN) vaø BD ⊥ (SAC)
b. Tìm giao điểm của BM và (SAC).

c. Tìm giao tuyến của (SAC) và (BMN). Chứng minh giao tuyến này vng góc với (ABCD).
d. Mp (

α

) chứa MN và //BD cắt AB và SB lần lượt tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O. Cạnh SO vng góc (ABCD).

a. CMR: BD ⊥ (SAC) vaø CD // (SAB).

b. Mp (

α

) chứa SO và // CD cắt BC, AD lần lượt tại H và K.
Chứng minh HK // CD, BC ⊥ (SHK).

c. Tìm giao tuyến của (SHK) và (SCD), (SBK) và (SAC).
6. Cho hình vuông ABCD, SA ⊥ (ABCD).

a. CMR: (SAC) ⊥ (SBC).

b. Tính góc giữa (SAD) và (SDC).

c. Biết DF ⊥ SB taïi F. CMR: (ACF) ⊥ (SBC).

7. Cho hình vng ABCD và ∆ SBC đều cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của AB.
a. CMR: SI ⊥ (ABC) và AD ⊥ (SAB).

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABCD) và SA = a. Xác
định và tính độ dài đường vng góc chung của:

a. SB vaø AD.
b. SC vaø BD.
c. SB vaø CD.

2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vng. SA ⊥ (ABCD). Hình chiếu vng góc của điểm A
trên SB, SD lần lượt là H, K.

a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.
b. Chứng minh AH và AK cùng vng góc với SC.

c. Mp (AHK) cắt đoạn SC tại I. Chứng minh: HK ⊥ AI.

3. Cho tứ diện ABCD, có AB ⊥ CD, AD ⊥ BC. Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A trên
(BCD). H là trực tâm của tam giác BCD. Chứng minh: AC ⊥ BD

4. Cho tứ diện S.ABC, có SA ⊥ (ABC). Dựng đường cao AE của tam giác ABC.
a. Chứng minh: SE ⊥ BC

b. Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A trên SE. Chứng minh: AH ⊥ SC.

5. Cho tứ diện đều, chứng minh rằng 2 cặp cạnh đối diện của tứ diện này vng góc với nhau.
6. Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD), đáy là ABCD là hình thang vng tại A và D, với AD

= DC = 1AB

2 . Gọi I là trung điểm đoạn AB.
a. Chứng minh: CI ⊥ SB, DI ⊥ SC.

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

1. Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vng cân tại A. SA ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm BC.
a. Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAC)

b. Chứng minh: BC (⊥ SAI)⇒(SBC)⊥(SAI).

c. Gọi AH là đường cao trong ∆ SAI. Chứng minh: BC ⊥ AH .

2. Cho tứ diện ABCD, có AB (⊥ BCD). Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác BCD. DK là
đường cao của tam giác ACD.

a. Chứng minh: (ABE) (⊥ ADC)và (DF K) (⊥ ADC).

b. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của tam giác BCD và ACD. Chứng minh: OH (⊥ ADC)

3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABCD). Gọi M, N là 2
điểm lần lượt trên BC, DC sao cho: BM =

a , DN = 3

4a . Chứng minh: (SAM) ⊥ (SMN ).

4. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy là hình vng tâm O, cạnh a. Gọi M là trung điểm BC, N là
trung điểm AD. Chứng minh: (SMN) ⊥ (ABCD).

5. Cho tứ diện ABCD, có ACD, BCD là 2 tam giác cân chung đáy CD. Gọi I, J là trung điểm của
AB, CD. Gọi M, N là trung điểm của IC, ID.

a. CMR: AB ⊥ CD. Tìm giao tuyến của (ABJ) vaø (CID).
b. CMR: MN // (ACD) vaø MN ⊥ (ABJ).

c. Tìm giao điểm của MN và (ABJ).

d. Mp (

α

) chứa MN và // AB. Mp (

α

) cắt AC, BC, BD, AD tại P, Q, R, S. Tứ giác PQRS là hình
gì?

6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật. SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J là trung điểm SA, SB. O là
tâm hình chữ nhật ABCD.

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
GÓC GIỮA ĐƯỜNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy là tam giác đều cạnh là a, AA' = 2a . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AB, A' B'.

a. Chứng minh : CMM '∆ là tam giác vuông. Tính C'M .

b. Tính góc giữa C'M và (ABC) ,AC' và (A' B' C').

2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vng cạnh a, SA = 6a và vng góc với đáy . Tính góc
của :

a. SC với (ABCD)
b. SC với (SAB ).

3. Cho lăng trụ đứng ABC .A'B'C' , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với AB = a , AA'= a 2. I

là trung điểm BC.

a. Chứng minh: (AA' I) ( '⊥ A BC).
b. Tính góc giữa (A'BC) và (ABC) .

4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O.
SA (ABCD),AB a,AD a 2,SA 3a.⊥ = = =

a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vng .
b. Tính góc giữa SC và (ABCD ).

c. Gọi H là trung điểm AD. Chứng minh: OH (⊥ SAD).

d. Tìm khoảng cách từ O đến (SAD). Tính góc giữa SO và (SAD).

5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy là 2a, cạnh bên là 2 3a . I là trung điểm của BC
và O là tâm của đáy.

a. CMR: (SBC) ⊥ (SAI).

b. Tính độ dài đường cao và trung đoạn của hình chóp.
c. Tính góc giữa SA và (ABC).

d. Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
e. Tính góc giữa SI và AC.

f. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

6. Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi AH là đường cao
của ∆ ABC, (H ∈ BC).

a. CMR: BC ⊥ (SAH), AB ⊥ (SAC)
b. Dựng AK ⊥ SH. CM: AK ⊥ (SBC)

c. Một mp (

α

) đi qua K và // với SA, SB. Mp (

α

) cắt SB, SC, AB, AC lần lượt tại P, Q, R, S. Tứ
giác PQRS là hình gì?

d. Tìm giao tuyến của mp (

α

) và (SAH)
e. Tìm giao điểm của QR và (SAH)

7. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO ⊥ (ABCD)
a. CMR: BD ⊥ (SAC) và CD // (SAB)

b. Một mp (

α

) chứa SO và // CD cắt BC, AD lần lượt tại H và K. CM: HK // CD và BC // (SHK).
c. Tìm giao tuyến của: (SHK) và (SCD); (SBK) và (SAC)

8. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vng tại B và SA ⊥ (ABC). Biết SA = AB = a, AC = 2a.
a. Chứng tỏ: các tam giác SAB, SAC, SBC là các tam giác vuông.

b. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh SC, mp (R) qua M, song song với SA và SB, ( R) cắt SB tại

N, cắt AB tại P và AC tại Q. Thiết diện của (R) với hình chóp là hình gì?

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

9. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’, đáy là tam giác vuông tại B với AB = a, BC = 3a . Cạnh A’B
tạo với (ABC) một góc 300.

a. CMR: (AA’B) ⊥ (A’BC).

b. Tính khoảng cách từ A đến (A’BC)
c. Tính góc giữa A’B và (A’B’C’)
d. Tính góc giữa (A’BC) và (ABC)

10. Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi H là trọng tâm ∆ ABC. Mặt bên tạo với đáy một góc 600, cạnh 
bên bằng a.

a. CM: SH ⊥ (ABC)

b. Tính cạnh đáy, chiều cao của hình chóp.
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC

11. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a, AA’ = a 2

a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh: (AA’I) ⊥ (A’BC)
b. Tính góc giữa (A’BC) và (ABC)

12. Cho hình vng ABCD và ∆ SBC đều cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của AB.
a. CMR: SI ⊥ (ABC) và AD ⊥ (SAB).

b. Tính góc giữa BD và (SAD).

13. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng và SA ⊥ (ABCD).

a. CMR: các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH

1. Cho hình chóp S.ABCD , có ABC∆ là tam giác vuông tại A. Cạnh SA (⊥ ABC). Gọi AH là
đường cao của tam giác ABC, AB 3a, AC 4a.∆ = =

a. Chứng minh : BC (SAH),AB (SAC)⊥ ⊥ .
b. Góc giữa SH và (ABC) là 0

30 . Tính d(S, (ABC)).
c. Tính góc giữa SB và mp (SAC).

2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, SA = a và SA (ABCD)⊥ . Tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng :

a. SA vaø BD.
b. AC và SD.

3. Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a 2. SA (ABC)⊥ và SA =3 2

a . Gọi M là 
trung ñieåm BC.

a. Chứng minh: BC ⊥ (SAM) .
b. Tính góc SM và (ABC).

c. AH là đường cao của tam giác SAM,

(

H∈SM

)

Chứng minh: AH (SBC)⊥ .Tính khoảng cách từ A đến

(

SBC

)

4. Cho tứ diện ABCD, có BCD là tam giác cân tại C. BC = 3a AB (⊥ BCD) và B = 300. Gọi M là
trung điểm BD.

a. Chứng minh: CM (ABD)⊥

b. Tính khoảng cách từ C đến (ABD) .
c. Góc giữa AC và (BCD) là 0

60 . Tính d(A,(BCD)).
d. Tính góc giữa AC và (ABD) .

5. Cho hình chóp S.ABCD, có ∆ ABC vuông tại B, SA (⊥ ABC), AB=4, A=300

a. CMR: các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.
b. Cho BH ⊥ AC. Chứng minh: BH (⊥ SAC).

c. Tính khoảng cách từ S đến (SAC).

d. Biết SA = 4 3 . Tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).

6. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vng cân tại B. SA⊥ (ABC), SA = AB = 2a 2. Gọi H, K

là trung điểm của AC và AB

a. Chứng minh: BH ⊥ (SAC) , KH (SAB).⊥
b. Tính khoảng cách từ B đến (SAC).
c. Tính khoảng cách từ H đến (SAB).

d. Tính góc giữa SB và (ABC); SB và (SAC); SC và (SAB).

7. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng tâm O, cạnh 4 cm. SA (ABCD)⊥ . Gọi I, J lần lượt
là trung điểm SB, SD.

a. Chứng minh: BD (SAC)⊥
b. Chứng minh: IJ AC⊥ .

c. Góc giữa SO và (ABCD) là 3.Tính d(S, (ABCD)).
d. Tính khoảng cách từ J đến (ABCD) .

e. Dựng AH ⊥ SO. Chứng minh: AH⊥

(

SBD

)

. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

a. Chứng minh :(SCD) ⊥ (SAD) .
b. Chứng minh (SBD) (⊥ SAC).
c. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
d. Tính khoảng cách từ AB đến SC .

9. Cho tứ diện ABCD, có AB = AD = AC = a 2. ∆ BCD vuông cân tại C, cạnh huyền BD = 2a.

AH là đường cao ∆ ABD.
a. Chứng minh: AH (BCD)⊥ .
b. Tính khoảng cách từ A đến (BCD)

10. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SC (⊥ ABC) và SC = a.
Gọi M là trung điểm SA.

a. Chứng minh: AB ⊥ (SCB) .
b. Chứng minh :(SAB) (⊥ SCB) .

c. Tính khoảng cách từ M đến (SCB) .

11. Cho hình vng ABCD, cạnh a. Gọi O là tâm hình vng. Từ O kẻ một đường thẳng vng góc
mặt phẳng đáy, trên đường thẳng này chọn điểm S sao cho SO = a .

a. Tính SA, từ đó suy ra SB, SC, SD.
b. Gọi I và J là trung điểm AD và BC.
c. Chứng minh: BC (SIJ)⊥ ⇒(SBC)⊥(SIJ).

d. Xác định và tính khoảng cách từ M đến (SAC), với M là trung điểm DC.
12. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy SA = SB = SC = SD = 3

a , đáy ABCD là hình vng.Gọi O là 
tâm hình vng, dựng SO⊥(ABCD), biết SO = a.

a. Tính AO, suy ra độ dài các cạnh hình vuông ABCD

b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh:
BC (⊥ SIJ)⇒(SBC)⊥(SIJ).

c. Xác định và tính khoảng cách từ M đến (SAC).

13. Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng cạnh a vàSA = SB = SC = SD = a 2. Gọi I, J lần

lượt là trung điềm AD và BC .
a. Chứng minh: (SIJ) ⊥ (SBC).
b. Tính khoảng cách từ AD đến SB .

14. Hình chóp tam giác đều S.ABCD, các cạnh bên bằng 2
3

a , cạnh đáy bằng a.
a. Xác định và tính chiều cao trung đoạn hình chóp .

b. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) .

15. Tứ diện ABCD, có BCD là tam giác đều cạnh a, AB = a và AB ⊥ (BCD). Tính khoảng cách:
a. Từ D đến (ABC) .

b. Từ B đến (ACD).

16. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD tâm O, cạnh đáy là 2a, cạnh bên là 4a. Gọi I là trung điểm
của CD.

a. CM: CD ⊥ (SOI) và (SOI) ⊥ (SCD).
b. Tính SO và khoảng cách từ O đến ( SCD).

17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy là a và cạnh bên là 2 3
3

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

b. Tính chiều cao và trung đoạn của hình chóp.
c. Tính d( A, (SBC))

18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD tâm O, cạnh đáy là a, SO = 2a. I là trung điểm CD.
a. CM: BD ⊥ (SAC) và (SBD) ⊥ (SAC)

b. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
c. Tính d ( I, (SAC).

19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy là a có tâm là O. M là trung điểm của BC, SM =
3
a .
a. CM: (SBC) ⊥ (SAM).

b. Tính SO vaø d ( A, (SBC)).

20. Cho ∆ ABC cân tại A, SA ⊥ (ABC), BC =3a

2 , AB = AC =SA= a.
a. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAC).

b. Tính

(

) (

)

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

BAØI TẬP TỔNG HỢP

1. Cho tứ diện ABCD có ACD và BCD là hai tam giác cân đỉnh A và B . Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB và CD .

a. CMR: AB ⊥ CD

b. Tìm giao tuyến của (ABJ) và (CID)

c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của IC, ID . Chứng minh: MN // (ACD) và MN ⊥
(ABJ)

d. Tìm giao điểm của MN với (ABJ)

e. Một mp (

α

) chứa MN và // AB cắt AC, BC, BD, AD tại P, Q, R, S. Tứ giác PQRS là hình gì?

2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi,SA ⊥ (ABCD) .Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD

vaø AD.

a. CMR: SA // (BMN) vaø BD ⊥ (SAC)

b. Tìm giao tuyến của (SAC) và (BMN). Chứng minh giao tuyến này vng góc với (ABCD).
c. Một mp (

α

) chứa MN và // BD cắt AB, SB lần lượt tại P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
d. Tìm giao điểm của BM với (SAC)

3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vng góc. Gọi H là trực tâm ∆ ABC,

, , 8

AOH =

α

BOH =

β

COH = . Chứng minh:

a. OH ⊥

(

ABC

)

b. 2 2 2

sin α+sin β+sin γ =2

4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA ⊥ (ABC)
a. CMR: Các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh: MN // (SBC) và MN // (SAB)
c. Tìm giao tuyến của: (SMN) và (SAB); (SBN) và (SCM)

d. Một mp (

α

) chứa MN và // SA cắt SB, SC tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

5. Hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại A, SA ⊥ (ABC). Gọi AH là đường cao của ∆ ABC,
(H ∈ BC)

a. CMR: BC ⊥ (SAH) ; AB ⊥ (SAC)
b. Dựng AK ⊥ SH. CM: AK ⊥ (SBC)

c. Một mp (

α

) đi qua K // với SA, SB. (

α

) cắt SB, SC, AB, AC lần lượt tại P, Q, R, S. Tứ giác
PQRS là hình gì?

d. Tìm giao tuyến của mp (

α

) và (SAH)
e. Tìm giao điểm của QR và (SAH)

3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, SO ⊥ (ABCD).
a. CMR: BD ⊥ (SAC) và CD // (SAB)

b. Một mp (

α

) chứa SO và // CD cắt BC, AD lần lượt tại H và K. CM: HK // CD và BC // (SHK)
c. Tìm giao tuyến của: (SHK) và (SCD); (SBK) và (SAC)

4. Hình chóp SABC, đáy là tam giác vng tại B và SA ⊥ (ABC). Biết SA = AB = a; AC = 2a.
a. Chứng tỏ: các tam giác SAB, SAC, SBC là các tam giác vuông.

b. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh SC, mp (R) qua M, song song với SA và SB, ( R) cắt SB tại
N, cắt AB tại P và AC tại Q. Thiết diện của (R) với hình chóp là hình gì?

c. Khi M là trung điểm SC, hãy tính diện tích thiết diện.

5. Hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, D’C’. CM: MD’ // (A’BN).
6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành, giao điểm 2 đường chéo là O.Gọi M, N lần lượt là

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

b. Xác định thiết diện của (MNO) với hình chóp.

c. Một mp (

α

) đi qua K và // SA, SB cắt SB, SC, AB, AC lần lượt tại P, Q, R, T. Tứ giác PQRT là
hình gì ?

7. Hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vng tại B. SA ⊥ (ABC).
a. CM: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh: MN // (SBC) và MN ⊥ (SAB)

c. Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBC); của (SBN) và (SMC).

d. Mp (

α

) chứa MN và // SA. Mp (

α

) cắt SB và SC tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
e. Cho ∆ ABC vuông tại A, 0

B=60 , BC = 2a. M là trung điểm BC. Biết SA = SC = SM = a 5và
AB = a. Tính d (S,(ABC)).

8. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B,SA ⊥ (ABC).
a. CMR: Các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh: MN // (SBC) và MN // (SAB)
c. Tìm giao tuyến của: (SMN) và (SAB), (SBN) và (SCM)

d. Một mp (

α

) chứa MN và // SA cắt SB, SC tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
9. Cho tứ diện ABCD .Trên AD lấy điểm M sao cho MA MD

3
−

= ; trên BC lấy N:NB NC

3
−

= .Chứng
minh rằng: AB DC MN

, ñồng phẳng .

10. Cho tứ diện ñều cạnh a, M trung ñiểm BC. Tính cos(AB,DM)?
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a,

A 60=

2
3
a
SD
SB

SA= = =
12. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là 2 tam giác cân có chung đáy BC.

a. CMR: BC vng góc với AD

b. Gọi I trung điểm BC, AH là đường cao tam giác ADI. CMR: AH vng góc (BCD)

13. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3 , SA ⊥ (ABCD), SA = a.Tính:
a. Góc giữa SB và CD

b. Góc giữa SD và mp(SAB)

14. Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SA vng góc (ABC), SB = a, SC = a 2,BSC 90= .Tính:
a. Góc giữa (ABC) và (SBC)

b. Tính Stam giác ABC?

15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng
2

3
a

và cạnh ñáy bằng a. Gọi (P) là mặt

phẳng qua A, song song với BC và vng góc với mp(SBC).

a. Xác định mp(P). Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện.

16. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng tâm O cạnh a, SA = a,SA ⊥ (ABCD).Gọi (P) là mặt phẳng
ñi qua O, trung điểm M của SD và vng góc với mp(ABCD).

a. Xác định mp(P). Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện

17. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vuông tại A và D, AB = 2a,SA ⊥ (ABCD), SA = a, AD =
DC = a. Gọi (P) là mặt phẳng ñi qua O, trung ñiểm M của SD và vng góc với mp(ABCD).
a. Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).

b. Gọi (P) là mặt phẳng chứa SD và vng góc với mp(SAC). Xác định mp(P).Mp(P) cắt hình chóp
theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện?

18. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua Avà
vng góc với SC, (P) cắt SC tại I.

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

b. CMR: (SBD) vng góc với (SAC)

c. Xác định giao tuyến d của (SBD) và mp(P). Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a và góc A = 600

; SA = SB = SD =
2

a
a. Tính khoảng cách từ S tới mp(ABCD) và ñộ dài cạnh SC

b. Chứng minh (SAC) vng góc (ABCD) và SB vng góc với BC
c. Tính góc giữa (SBD) và (ABCD).

20. Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Gọi M là trung
ñiểm của AB.

a. Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

b. Tính đường cao AK của tam giác AMC.
c. Tính góc giữa (SMC) và (ABC).

d. Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

21. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vng góc với cạnh BC,
khoảng cách từ S ñến cạnh BC là a. Gọi M trung ñiểm BC.

a. CMR: BC vng góc với (SAM)
b. Tính chiều cao của hình chóp

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

BÀI GIẢI ÔN TẬP CHƯƠNG

1. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Tam giác ABC vuông tại B.

a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng.

b. Từ A kẻ AH ⊥ SB tại H, AK ⊥ SC tại K. Chứng minh rằng SC ⊥(AHK) và tam giác AHK là
tam giác vuông.

Bài giải:

a. Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC và tam giác ABC vuông tại B nên CB ⊥ AB
mà AB là hình chiếu của SB trên (ABC) ⇒ CB ⊥ SB

Vậy các tam giác SAB, SAC vuông tại A và tam giác SBC vng tại B.
b. Vì CB ⊥ AB và CB ⊥ SB ⇒ CB ⊥ AH (1)

Và AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ SC, (2)
Mà ta có SC ⊥ AK, (3)

Từ (2) và (3) ⇒ SC ⊥(AHK)

Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥(SBC) ⇒ AH ⊥ HK hay tam giác AHK vuông tại H.

2. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, AB = 2a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Gọi I là
trung ñiểm của AB

a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Tóm tắt lời giải:

a. Xem lời giải câu a. của bài 1.

b. Ta có BC ⊥ AB và BC ⊥ SB ⇒((SBC), (ABC))=SBA
Mà tam giác SAB vuông cân tại A ⇒((SBC), (ABC))=450

c) Ta có BC⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SB

Hạ AN⊥ SB tại N là trung ñiểm của SB

Ta có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng AN = a 2

3. Cho hình chóp ñều S.ABC có cạnh bên và cạnh ñáy bằng a
a. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (ABC)
b. Tính góc giữa cạnh bên và đáy

c. Tính góc giữa mặt bên và đáy
Tóm tắt lời giải:

a. Hạ AH ⊥ (ABC) tại H là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có khoảng cách từ ñỉnh A ñến mặt phẳng (ABC) bằng
b. Góc giữa cạnh bên SA và đáy ABC bằng góc SAH.
Tam giác vng SHA có SH = 6

3
a

và AH = 2. 3 3

3 2 3

a a

tanSAH SH 2 SAH arctan 2

⇒ = = ⇒ =

c. Gọi I là trung điểm của AC ta có góc giữa mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) bằng góc SIH
Tam giác vng SHI có SH = 6

3
a

và IH = 1. 3 3

3 2 6

a a

= tanSIH SH 2 2 SIH arctan2 2
IH

⇒ = = ⇒ =

4. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a. Mặt bên (SBC) hợp với
đáy một góc φ = 30o

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC)
b) Tính diện tích tam giác SBC theo a
Tóm tắt lời giải:

a. Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AC và BC.
Ta có: SA = AJ.tan 300 = 3. 3

2 3 2

a a

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Góc giữa SC và mp(ABC) bằng góc SCA

Mà tan 2 1 (, ( ) arctan1

2 2

a
SA

SCA SC ABC

AC a

= = = ⇒ =

b. Ta có

2
0

3

4 os30

3

2

ABC
SBC

a

S

a

S

c

=

△

=

△

5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên hợp với đáy 1 góc φ = 60o
a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy (ABC)

b. Tính góc giữa mặt bên và đáy

6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác ñều cạnh a .SA = SB = SC = 2a 3
2
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

b. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c. Tính diện tích tam giác SBC

7. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân tại A, BC = a . Cho SA = SB = SC = 3
2
a
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

b. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vng góc nhau
c. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC)

d. Tính diện tích tam giác SAC

8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60o. Cho SA = SB = SD = a 3
2
a. Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vng góc nhau

c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vng góc nhau và tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (SBD)

d. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), suy ra diện tích tam giác SBD

9. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy và cạnh bên ñều bằng a. Gọi I,J lần lượt là trung
ñiểm của BC và BB’.

a. Chứng minh rằng BC’ ⊥ (AIJ)

b. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC)
c. Tính diện tích tam giác AIJ

10. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 60o

. A’A = A’B = A’D = 3
2
a
a. Tính độ dài cạnh bên của lăng trụ

b. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC’D’) và (A’B’CD) vuông góc nhau
c. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)

d. Tính diện tích tam giác A’BD

Jb Traàn Long Giao

Địa chỉ: 132 / 26 Hùng Vương – Quận Ninh Kiều – Tp Cần Thơ
Điện thoại: 07103.834819 – 07103.500137 – 0908.831737

Email:

</div>