Phương pháp tìm giới hạn dãy truy hồi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (205.67 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN MỞ ĐẦU

Bài tốn tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng
bài tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và
quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 nâng cao và bồi
dưỡng học sinh giỏi, tơi đã tìm tịi đúc kết và rút ra được một số kĩ thuật tìm
giới hạn của các bài tốn dạng này.

Hiện nay, các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số cũng
còn rất hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học
sinh giỏi tốn và u thích tốn có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn
của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức
truy hồi, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy
cho bởi hệ thức truy hồi”.

Xin chân thành cảm ơn!

Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011
Người thực hiện đề tài

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PHẦN NỘI DUNG

Trong sách giáo khoa ĐS và GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 do Đoàn
Quỳnh chủ biên) trang 135, bài tập 7 nguyên văn như sau:

“Cho dãy số (un) xác định như sau:

10
1

3, 1

n n

u

u  u n






   




a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định bởi

15
4

n n

v u 

là một cấp số
nhân

b) Tính limun”

Qua phân tích và giải quyết bài tốn trên, tơi nhận thấy:

- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ u cầu tìm limun thì bài tốn trở
nên rất khó và lạ đối với học sinh. Đây là bài tốn tìm giới hạn của một dãy
cho bởi hệ thức truy hồi

- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định cơng thức tổng quát
(CTTQ) của dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ của một cấp số nhân, từ đó áp
dụng các định lí về giới hạn để tính limun

- Khai thác bài tốn trên, tơi xây dựng thành một kĩ thuật để tính giới hạn của
dãy truy hồi đó là: “ Kĩ thuật tính giới hạn của dãy truy hồi bằng cách xác
định CTTQ của dãy”.

Ngoài ra, trong q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của
dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tơi sẽ trình 3 kĩ
thuật cơ bản để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi sau đây:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.

Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy.

I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách xác định CTTQ của dãy.

Phương pháp xác định CTTQ của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tơi chỉ trình bày kĩ
thuật tìm CTTQ của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy
đã cho về cấp số cộng(CSC) hoặc cấp số nhân(CSN) hoặc tổng hiệu của các
cấp số cộng, và cấp số nhân. Quay lại bài tập 7 trang 135 sách giáo khoa ĐS
và GT 11 NC

Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định như sau:

10
1

3, 1

n n

u

u  u n






   




a) CMR dãy số (vn) xác định bởi

15
4

n n

v u 

là một cấp số nhân
b) Tính limun”

Giải:

a) Ta có (vn) là CSN  vn1 q v. (n const q),   0, n 1. Thật vậy, ta có

1 1

15 1 15 1 15 3 1

3 ( )

4 5 4 5 4 4 5

n n n n n

v  u    u    v    v

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

công bội
1
5

q

và v1
25



. Do đó

1 3

1
1

25 1 1 1

. . .

4 5 4 5

n n

n
n

v v q

 

    

      

   

b) Từ câu a) suy ra

15 1 1 15

4 4 5 4

n

n n

u v



 

     

  . Do đó

15
lim

n

u 

.
Nhận xét:

1/ Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến

15
4

n n

v u 

để dãy (vn) là một CSN?

Ta thấy 1
1

3
5

n n

u   u 

, ta cần tìm số b sao cho 1

( )

n n

u   b u  b

1 1 1 15

5 5 5 4

n n n

u  b b u u b

       

Do vậy, nếu đặt

15
4

n n

v u 

thì 1
1

, 1

n n

v   v  n

nên (vn) là một CSN
2/ Ngồi ra, có thể đặt vn 5 . ,nun  n 1, khi đó ta có

1 3.5 , 1

n

n n

v v  n

     .

Suy ra

15 15 5 1 35 1 1 15

(5 1) 35 .

4 5 4 5 5 4 5 4

n
n

n n

n n n n n

v

v u



  

          

 

Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi

1
1

2 n n 1, 1

u

u  u n





   



Đặt Sn = u1 + u2 +… +un , n1.

a) CMR dãy số (vn) với vn = un – 1 , n1 là một CSN lùi vơ hạn

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Ta có 1 1

1 1 1 1

1 1 ( 1) , 1

2 2 2 2

n n n n n

v  u    u    u   v  n

Suy ra dãy số (vn) là một CSN lùi vô hạn với công bội q =
1

2 . Nên

2
1
2
n
n
v

 
 
 

b) Từ câu a) suy ra

1 1, 1

n

n n

u v n


 
      
 
Suy ra
2
2
1 1
1 1

( ) 4

2 2
n
n n
k
n k
k k

S u n n



 
 
       
 



.
Vậy

2
n
1
limS =lim

4+n-2
n
   

   
 
 
 

Nhận xét: Có thể tìm CTTQ của dãy (un) bằng phép đổi biếnvn 2 . ,nun  n 1

Ta có

1 1

1 1 1

1 1

2 . 2 ( ) 2 , 1 2 , 1

2 2

n n n n

n n n n n n

v  u  u v n v v n

              

Do đó 1 1 2 .... 2 1 1 2 1 2 2 ... 2 6

n n

n n n n n

v v v v v v v v  

  

            

Hay

1 1

2(2 1) 6 2 4 1

2
n
n n
n n

v u

  
         
 

Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi

1
1
1
4
, 1
6
n
n
n
u
u
u n
u





   
 



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) CMR dãy (vn) với
1
4
n
n
n
u
v
u



 là một CSN. Tính limun

Giải:

a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un 4, n 1.

Khi n = 1 ta có u1  1 4

Giả sử uk 4, k 1, ta chứng minh uk1 4. Thật vậy, giả sử ngược lại

1 4

k

u   , khi đó

4 4 4 24 4

k

k k k

k

u

u u u

u



      

 , trái với giả

thiết quy nạp. Vậy un 4, n 1

b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi  n 1

Ta có

1
1

4 1

1 6 2( 1) 2

,
4

4 4 5( 4) 5

n

n n n

n n

n

n n

n

u

u u u

v v n

u
u u
u





  
    

  

 . Vậy (vn) là 1 CSN lùi

vô hạn với công bội q =
2

5. Suy ra

2
5

n
n

v   

 
Nên
2
4. 1
5
2
1
5
n
n n
u
 

 
 

 
  

  . Do đó

4. 1

lim lim 1

2
1
5
n
n n
u
 

 
 
 
 
  
 

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi

1
1
1
1
, 1
( 1)
n n
u

u u n

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có 1 1 1 2 2 1 1

1 1 1

...

( 1) 1

                

 

n n n n n n n

u u u u u u u u u u

n n n n

1 1 1 1 1 1 1

... 1 2

1 2 1 1 2

n

u

n n n n n

          

  

Do đó limun = lim

1
(2 ) 2

n

 

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi

, 1

n

n n

u

u  u n





  

   

  

 

 . Tính limun

Giải: Ta có 1 1 1 2 2 1 1

...
2

n

n n n n n n n

u  u u u u  u  u  u u u

 

           
 

1 2 1 1 ( )1 1

1 1 1 2 1

... 1 2

2 2 2 1 2

2
n

n n n

n

u

   

       

             
        

Do đó limun = lim

2 2

2
n

   

 

   
 

 

 

Như vậy, nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài tốn trở nên quen
thuộc và ta có thể tính được giới hạn của dãy đó một cách dễ dàng dựa vào

các định lí về giới hạn đã được học trong chương trình của sách giáo khoa.
Sau đây là một số bài tập tương tự

* Bài tập tham khảo:

1/ Cho dãy số (un) xác định bởi

5
2

6, 1

n n

u

u  u n






   



 .Tính limun

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2/ Cho dãy số (un) xác định bởi

1
1

4 1, 1

n n

u

u  u n





   

 .Tính lim 2

2
n

n

u

ĐS: lim 2

2 3

n
n

u



3/ Cho dãy số (un) xác định bởi

   

       2 2 .... 2

n

n dau can

u

.Tính lim

1. ....2

2
n
n

u u u

(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

HD: Tìm được CTTQ của dãy (un) là un 2cos2n 1, n




 

và lim

1. ....2 2

2
n
n

u u u





4/ Cho dãy số (un) xác định bởi

   

       

2 . 2n 2 .... 2

n

n dau can

u

.Tính limun

HD: Từ bài 3 suy ra

2 . 2 cos 2 .sin

2 2

n n

n n n

u   



  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi 
bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp

*Cơ sở lí thuyết:

Cho 3 dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn các điều kiện vn un w ,n n và
n

limv =lmwn a, khi đó limun = a. (Ngun lí kẹp)

Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng nguyên lí
kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Sau đây là một số ví dụ

Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 133 NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi

2
1

1
4

, 1

n

n n

u

u  u n







    




a) CMR:

0 ,

4
un  n

b) CMR:

1 3,



 
n

n

u

n

u . Tính limun

Giải:

a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được 0un,n. Ta CM

,
4
 
n

u n

. Với

n = 1 thì u1 =

4 đúng. Giả sử 
1

, 1

4
  
k

u k

, ta chứng minh 1

1
4

 

k

u

. Thật vậy,

ta có

1 1

4 4

  

k k k

u u u

và

3 3 1 3

4uk 4 4 16 . Do đó 1

1 1 3 3 1

4 2 4 16 4

     

k k k k

u u u u

Vậy

0 ,

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

b) Từ câu a) suy ra

1 1 1 1 3,

2 4 2 4



     
n

n
n

u

u n

u

Do đó ta có

1 2

1 1

1 2 1

3 3 3 1 3

0 . ... . . ... . . ,

4 4 4 4 4




 

 

      

 
n
n n

n

n n

u u u

u u u n

u u u

Mà lim

1 3
.
4 4



 
 
 
n

=0, nên theo ngun lí kẹp thì limun = 0

Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ của dãy (un) như trong kĩ thuật
1 đã trình bày gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh
giá và ngun lí kẹp thì bài tốn được giải quyết rất đơn giản.

Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi

1
2

, 1

1








   

 



n
n

u

u n

n

a) CMR: un 0 và

1 1,

  

n
n

u

n

u

b) Tính limun
Giải:

Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) rất khó khăn, nhưng từ hệ thức

truy hồi ta thấy có thể đánh giá tỉ số

1


n
n

u

u dễ dàng.

a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un 0,n

Từ hệ thức truy hồi ta có

1 1 1, 1

1 2

    



n

u

n

u n

b) Từ câu a) ta có

1 2

1 2 1

1 1 1 1 1

0 . ... . . ... . , 1

2 2 2 2 2



 

 

      

 
n
n n

n

n n

u u u

u u n

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Mà lim

1
2
 
 
 
n

= 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0

Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 135 NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi

, 1








  



 n n

u

u u n

. Tính limun
Giải:

Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) thật không đơn giản, nhưng
ta thấy rằng un >1, với mọi n (kiểm tra bằng quy nạp). Hơn nữa theo bất đẳng

thức Cosi, ta có 1

1
1.

2




   n

n n n

u

u u u

Dấu “=” khơng xảy ra vì un >1,n, do đó 1

1
,
2




 n 

n

u

u n

1 ,

2




 un  un n

(*)
Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có

1 2 1

2 1 1

1 1 1 9

0 1 .... , 1

2 2 2 2

 

  

un  un un   u n  n  n

Hay 1

1 1 , 1

2 

un   n  n

Mà lim( 1
9
1

2 

 n

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 4: (Bài 4.74 trang 148 sách ĐS và GT 11 NC NXBGD 2007)

Cho dãy số (un) xác định bởi

1 2

1, 1

1








    

 



n
n

n

u a

u

u n

u

. (với – 1 < a < 0)

a) CMR 1 2

0 1 ( 1), 1

1


     



n n

u u n

a

b) Tính limun
Giải:

Nhận xét rằng – 1 < un < 0, với mọi n (kiểm tra bằng chứng minh quy

nap). Từ đó suy ra 0 < un + 1 < 1 và un2 1> 1

Suy ra

1 2

1 ( 1) 1 , 1

1




       


n

n n n

n

u

u u u n

u , nên Dãy ( )un là dãy giảm

Do đó  1 un un1 ....u1  a 0, n 1

2 2 2 2

2 2

1 1

       

 

n n

n

u a u a

u a

Nên

1 2 2

1 1

0 1 ( 1), 1

1 1



      

 

n

n n

n

u

u u n

u a

1 2

2 2

1
1
2

1 1

0 1 ( 1) ( 1)

1 1

.... ( 1), 1

 



 

       

   

 

     



 

n n n

n

u u u

a a

u n

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Hay

1
2

1 .( 1) 1, 1



 

       



 

n
n

u a n

a

Vì

2 2

1 1

0 1 lim ( 1) 1 1

1 1



   

 

       

 

     

n

a

a a

.
Do đó theo ngun lí kẹp ta được limun = -1

* Bài tập tham khảo

Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi

, 1

2







   



 n n n

u

u u n

a) CMR 1 1

, 1

     

n n n

u u n

b) Tính limun

(Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)

Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi 2 1

, 1







   


n

n n n

u

u u u n

a) CMR

, 1

  

n

u n

n

b) Tính limun

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi

2
1

1
2

, 0, 1









     



 k k k

u

u u u k n

n

a) CMR
1

1 un 1

n

b) Tính limun

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
 cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn

* Cơ sở lí thuyết:

- Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu
định lí 4 như sau:

“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”

- Nếu dãy số (un) thõa mãn điều kiện un M,n và tồn tại giới hạn

limun thì limun M ; nếu dãy số (un) thõa mãn điều kiện un m n, và tồn

tại giới hạn limun thì limun m

- Giả sử dãy số (un) có giới hạn hữu hạn thì nlim un nlim un1

Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho
bởi hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp
tỉnh, các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế.
Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toán tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định bởi 
1

2 , 1



 




   



 n n

u

u u n

. Tính limun

Giải:

Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số (un) tăng và bị chặn trên.

Chứng minh dãy (un) tăng bằng quy nạp, tức là un1>un, n 1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Giả sử uk1uk, khi đó uk2  2uk1  2uk uk1. Vậy un1>un, n 1

Nên (un) bị chặn dưới bởi 2. Ta sẽ chứng minh dãy (un) bị chặn trên bởi 2

bằng quy nạp, thật vậy
Khi n = 1 ta có u1  2 2

Giả sử uk 2, k 1, khi đó uk1 2uk  2 2 2  .

Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả
sử limun = a, thì a 2.

Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có limun1 lim 2un

Hay

2 1

2 2




      




a

a a a a

a

Vì a 2 nên a = 2. Vậy limun 2

Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được CTTQ của dãy (un) là

2cos , 1





  

n n

u n

, tuy nhiên việc xác định CTTQ của (un) không phải là
đơn giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên,
bài toán được giải quyết gọn nhẹ.

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi

1 2

1 1

, 2

 

 





   



 n n n

u u

u u u n . Tính limun

Giải:

Nhận xét: Ta thấy u1u2 1, u3    1 1 2 u2; u4  u3  u2  2 1 u3.

Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Rõ ràng un 0, n 1. Khi n = 2 ta có u3  2 u2 1

Giả sử uk1uk, k 2. Ta có uk2  uk1  uk  uk  uk1 uk1, k 2

Nên dãy (un) là dãy số dương tăng  un u1  1, n 1

Hơn nữa, ta thấy  n 3,un  un1  un2  un  un 2 un

Hay un2 4un un 4(do un 0). Nên (un) bị chặn trên bởi 4

Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó a1

Từ hệ thức truy hồi suy ra limun1 lim un lim un1

Hay a a a  a2 4a. Do a1> 0 nên a = 4

Vậy limun 4.

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi
1

2010

2 .  2011 0 , 1





    

 n n n

u

u u u n

Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.

(Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Giải:

Trước hết ta nhận xét rằng un> 0, với mọi n,

Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0. Giả sử uk 0, k 1, ta chứng minh uk1 0

Từ hệ thức truy hồi suy ra

2
2

1 1

2011

2 . 2011 0 0

 



     k 

k k k k

k

u

u u u u

u

Do đó ta có

2
1

2011 1 2011

( )

2 2



 n  

n n

u

u u

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2
1

2011 2011

. 2011, 1

2




 n    

n n

u

u u n

u u .

Mặt khác ta có

2
1

2 2

2011 1 2011 1 1
1

2 2 2 2 2

       

n n

n n n

u u

u u u

(vì 2

2011 2011 1

2011, 1

2 2.2011 2

     

n

u n

u )

Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2011, do đó dãy (un) có giới
hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó 0 a 2010

Và ta có

2 2 2

1 1

2011 2011 2011

lim lim

2 2 2

 

  

 n   n  

n n

u u a

2 2011 2011

 a   a . Vậy limun  2011

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi
1

2
1

30 3 2011, 1



 




    



 n n n

u

u u u n

Tính lim



n
n

u
u

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Giải:

Nhận xét rằng un 0,n ( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp)

Hơn nữa, ta có un1 30un2 3un 2011 30un2  un2 un, n 1

Nên dãy số (un) là dãy tăng. Giả sử dãy (un) bị chặn trên, khi đó (un) có giới

hạn hữu hạn và ta đặt limun = a ( a > 0)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2 30 2 3 2011 29 2 3 2011 0

 a  a  a  a  a  . Phương trình này vơ

nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy dãy (un) không bị chặn haylimun 

Mặt khác

2
1

2 2

30 3 2011 3 2011

      

n n n

n n n n

u u u

u u u u

Do đó

3 2011

lim n  30 lim lim  30

n n n

u

u u u

Ví dụ 5:Cho dãy số (un) xác định bởi
1

2
1

, 1

2010







   




n

n n

u

u u n

Tính lim

1 1

2 2 1

( ... )



   n

n

u u u

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011)
Giải:

Từ hệ thức truy hồi ta có

1 0, 1(*) 1 , 1

2010

          

n

n n n n

u

u u n u u n

,
do đó dãy (un) là dãy số tăng  un u1  1 0, n 1

Từ (*) suy ra

2
1

1 1

2010.

. .



 




n n n

n n n n

u u u

u u u u hay 1 1

1 1

2010( )

 

 

n

n n n

u

u u u

1 1

2 2 1 1 1 1

1 1 1

... 2010( ) 2010(1 )

  

    n    

n n n

u u u

u u u u u u

Do đó lim

1 1

2 2 1 1

( ... ) lim 2010.(1 )

 

   n  

n n

u u u

u u u u

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(Vì un    1, n 1 a1).

Từ hệ thức truy hồi suy ra

2
1

lim lim( )

2010

  

n

n n

u

u u

Hay

0
2010

 a   

a a a

(vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là limun 

lim 

 un . Vây lim

1 1

2 2 1

( ... ) 2010



   n 

n

u u u

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) thõa mãn 1

0 1

(1 ) , 1

4


 





   




n

n n

u

u u n

a) CMR dãy (un) là dãy số tăng
b) Tính limun

Giải:

a) Nhận xét rằng (un) là dãy bị chặn

Hơn nữa 0un   1 1 un 0 và un10,n. Theo bất đẳng thức Cosi, ta có

1 1 1

(1 ) 2. .(1 ) 2. 1, ,

            

n n n n n n

u u u u n u u n

. Do đó (un) là
dãy số tăng

b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử
limun a, thì a0. Do đó lim



un1(1 un)



limun1.lim(1 un)a(1 a).

Mặt khác từ giả thiết suy ra,





lim (1 )

  

n n

u u (1 ) 1

 a  a 

2 1 0 ( 1)2 0 1

4 2 2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vậy limun =
1
2

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi
1

0
1

( ), 1

2







   



 n n n

u

a

u u n

u (a > 0)

Tính limun
Giải:

Nhận xét rằng (un) bị chặn dưới bởi a .

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có 2 1 1

( )

  a 

u u a

u .

Giả sử uk  a, k 2, ta chứng minh uk1 a

Theo bất đắng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có

( ) .

    

k k k

k k

a a

u u u a

u u . Do đó un  a n, 2, nên (un) bị chặn 
dưới bởi a

Mặt khác, ta có

1
2 2
  

n

n n

u a

u u mà 2

1 1

, 2

2 2

    

n

u a n

u a

Do đó

1
2

1 1

1 , 1

2 2 2 2



        

n

n n

u a a

u u n

u u a nên (un) là dãy giảm.

Vậy dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun=, khi đó  > 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1 1

lim lim ( ) ( )

2  2   

       

n n

n

a a

u u a

u (Do  > 0)

Vậy limun = a

Ví dụ 8: Cho dãy số (un) xác định bởi
0

1 2

, 0

1








  

 



n
n

n

u

u n

u . Tính limun

Giải:

Nhận xét rằng un> 0 với mọi n. Thật vậy, u0 > 0 và u1 =
0

2
0

1 

u
u

Giả sử 1 2

0, 0

1


    


k

k k

k

u

u k u

u . Do đó

1,
1

   


n

n n

u

n

u u (vì 2 0


n

u )

1 , ( )



 un un  n un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên (un) có giới

hạn hữu hạn. Đặt limun= a, khi đó từ hệ thức truy hồi suy ra

1 2 2

lim lim 0

1 1

        

 

n
n

n

u a

u a a a a a

u a . Vậy limun 0

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi
1

1 1 2

1 . .... , 1






   

 n n

u

u u u u n .

Đặt 1

1






n
n

k k

S

u . Tính limSn

Giải:

Nhận xét: Dễ thấy un>1,  n 1 u u1. ...2 uk11

Ta có un1 un  1 u u1. ...2 un  un  1 un  un   1 0 un1 un, n 1, do

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

hạn hữu hạn, và ta đặt limun= a

Ta có alimun1 lim(1u u1. ...2 u un1. ) 1 lim( . ...n   u u1 2 un1).limun

Vì lim( . ...u u1 2 un1) 1  a 1 1.a. Điều này vơ lí. Vậy (un) khơng bị chặn

trên tức là limun 

Mặt khác ta có, uk1 1u u1. ...2 uk u u uk( . ...1 2 uk1 1 1)u uk( k  1)

1 1 1 1

, 2

1 ( 1) 1



     

  

k k k k k

k

u u u u u

1 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

   

        

  



n n

n

k k k k n n

S

u u u u u u u

Do đó limSn = lim 1

(2 ) 2

1


 


n

u

* Bài tập tham khảo

Bài 1: Cho dãy (un) thõa mãn các điều kiện 1

(1 ) , 1

2







   




n

n n

u

u u n

Tính limun (ĐS: lim

1
2



n

u

)

Bài 2: Cho dãy (un) xác định bởi
1

1 2

0
1

(2 ), 1

3







   



 n n n

u

a

u u n

u ( Với a > 0)

Tính limun (ĐS: lim
3

n

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 3: Cho dãy (un) xác định bởi
1

2
1

3
1

2, 1

2








    



 n n n

u

u u u n

Tính 1

1
lim

 




n
n

k uk (ĐS: 1)

(Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)

Bài 4: Cho dãy (un) xác định bởi

2
1

1, 1







    

 n n n

u

u u u n

Tính 1

1
lim

 




n
n

k uk (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 - 2005)

Bài 5: Cho dãy (un) xác định bởi
1

2
1

1
2

, 1

2








 

   




n n n

n

u

u u u

u n

Chứng minh rằng dãy 1 2

1
lim

 






n

n n

k k

y

u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

(VMO 2009) (ĐS:limyn= 6)

Bài 6: Cho dãy (un) xác định bởi
1

2
1

, 1



 




  

 n n

u a

u u n

Tính 1 1

lim

1
 

  



n
k
n

k k

u
u

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) ĐS:
1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 7: Cho dãy (un) xác định bởi
1
2

1
1
1
, 1

 


 
   


n n
n
n
u a
u u
u n
u

Tính 1 2

1
lim
1
 
 



n
n

k uk (Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Bài 8: Cho dãy (un) xác định bởi
1

2
1

2009

( 1) , 1






   


 n n n

u

u u u n

Tính 1

lim
1
 
 



n
n

k uk

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) (ĐS: 1

1 1
lim
1 2009
 






n
n

k uk )

Bài 9: Cho dãy (un) xác định bởi
1

2
1

( 1), 1

2





   


 n n

u

u u n

Tính 1

1
lim
1
 
 



n

k uk (Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Bài 10: Cho dãy (un) xác định bởi
1

2
1

8
1

( 7 25), 1

3





    


 n n n

u

u u u n

Tính 1

1
lim
2
 
 



n
n k
k

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

PHẦN KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một q trình tự tìm tịi, nghiên
cứu, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp
trường và cấp tỉnh ở cả hai khối 11 và khối 12 trong năm học 2010 – 2011.
Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này, tơi thấy tính hiệu quả của đề tài
rất cao, có thể áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho
những năm tiếp theo. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung
để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học
sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết quả.

Tôi rất mong được hội đồng chun mơn Nhà trường góp ý, bổ sung để
đề tài này hồn thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao.

Trong q trình biên soạn đề tài tơi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành
của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chun mơn Nhà trường để đề

tài của tơi được hồn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Duyệt của Hội đồng chuyên môn nhà trường:

………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
…