<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A-</b>

<b>Đặt vấn đề:</b>

<i><b>I.Lý do chọn đề tài:</b></i>

Trong nhà trờng nói chung, trờng THCS nói riêng, việc dạy đúng chuẩn
kiến thức kỹ năng của chơng trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi ngời
giáo viên đứng lớp. Mặt khác, việc bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là
một việc làm rất cần thiết và phải đợc tiến hành thờng xuyên. Việc bồi dỡng
không chỉ giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà
cịn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp
lơgíc tìm ra đợc cách giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thơng minh
sáng tạo, có hứng thú trong khi học tập.

Thông qua các hoạt động giáo dục không những trang bị cho các em
những tri thức khoa học mà điều quan trọng ngời GV còn truyền cho các em
sự say mê, phơng pháp nghiên cứu khoa học nhằm đào tạo đợc những thế hệ
học sinh phù hợp với yêu cầu của xã hội, của thời đại.

Với mỗi bài tốn, việc tìm ra lời giải nhiều khi khơng phải là khó nhng
thực ra sau mỗi bài tốn có biết bao điều lí thú. Nếu ngời thầy khơng biết khơi
dậy ở học sinh óc tị mị, sự tìm tịi khám phá những bí ẩn sau mỗi bài tốn mà
chỉ giải xong bài tốn là kết thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo và điều
quan trọng hơn là nếu sau mỗi bài tốn ta tìm đợc một chuỗi bài tốn liên quan
từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực t duy sáng tạo cho học sinh, đồng
thời kiến thức sẽ đợc mở rộng hơn, hệ thống hơn.

Là một giáo viên dạy toán đã nhiều năm tơi ln trăn trở về điều đó.
Làm thế nào để học sinh có thể tiếp thu đợc bài, vận dụng tốt trong việc làm
bài tập đồng thời khơi dậy đợc tí tị mị của các em, giúp các em có phơng
pháp tìm tịi, t duy tốn học đặc biệt đối với mơn Hình học, một mơn mà các
em luôn “ ngại” trong khi thời gian trên lớp không nhiu.

Với sự tìm tòi của bản thân và qua thực tế giảng dạy, tôi xin trình bày
giải pháp:

<b>Khai thỏc, phỏt triển từ một bài tốn về góc</b>

”

Rất mong đợc các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý.

<i><b>II.</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>1. Phạm vi nghiên cứu:</b>

- Các phơng pháp dạy học to¸n ë trêng THCS.

- Nội dung sách giáo khoa Hình học 8, Hình học 9, các tài liệu tham khảo và
các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán.

- Phơng pháp tìm tịi lời giải một bài tốn của Pơlya.
- Qua thực tế giảng dạy và qua học hỏi đồng nghip.

<b>2. Đối tợng áp dụng:</b>

- tài đợc áp dụng với đối tợng là học sinh của lớp nâng cao khối 9 trờng
THCS nơi tôi cụng tỏc.

- Thời gian: Năm học 2012 – 2013 vµ 2013 – 2014

<b> B- Néi dung :</b>

<b>I/ Giải pháp chung:</b>

* GV nghiên cứu giả thiết su tập các dạng câu hỏi khai thác.

* T kt qu bi toán nghiên cứu, khai thác theo các hớng t duy sau:
+ Đặt câu hỏi với các mức độ đòi hỏi HS t duy cao hơn.

+ Thay đổi giả thiết tạo các tình huống địi hỏi sự sáng tạo, t duy cao hn
ca HS.

+ Phát hiện bài toán khái quát hơn.
<b> II/ VÝ dô cụ thể:</b>

<i><b> 1)Bài toán 1.(bài toán gốc). </b></i>

<b> Cho gúc xOy v mt điểm I cố định trên tia phân </b>
<b>giác Ot. Đờng thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I,</b>
<b>cắt các tia Ox, Oy lần lợt tại M, N.</b>

<b>Chøng minh r»ng giá trị của biểu thức :</b>
<b> lµ h»ng sè. </b>

<i>H</i>

<i> íng dÉn : </i>

Dựng hình thoi ODIE với D thuộc Ox, E thuộc Oy. Lúc đó các điểm D, E cố
định đặt OD = a (không đổi).

d

D
E

I

M
N

x
t
y

O

1 1



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta cã:

a
OM₊

a IE ID IN I M

ON OMON MNMN_{= 1.}



1 1 1

OM ON a lµ h»ng sè.

<i>Bài tốn trên khá quen thuộc và khơng q khó với đối tợng HS khá giỏi nhng</i>
<i>nếu biết khai thác phát triển ta sẽ có những kết quả rất lý thú và bổ ích</i>

<b>2) Tỉ chøc khai th¸c:</b>

<b>Đặt câu hỏi với các mức độ địi hỏi HS t</b>

<b> duy cao hn</b>

- Khi điểm I không thuộc tia phân giác nhng vẫn nằm trong góc xOy thì sao?
Ta có thể khái quát hóa bài toán khi xét điểm I nằm trong góc xOy nh sau:

<b>Bài toán 2:</b>

<i>Cho góc xOy và một điểm I cố định nằm trong góc đó. Đờng thẳng d thay đổi </i>
<i>ln đi qua điểm I, cắt các tia Ox, Oy lần lợt tại M và N. Trên các tia Ox, Oy </i>
<i>lần lợt lấy điểm D và E sao cho ID//Oy và IE//Ox. Đặt OD = a, OE = b</i>

<i> Chøng minh r»ng: </i>

a b

OM ON <i>_{= 1}</i>

<i> H íng dÉn: </i>

Chú ý rằng D, E cố định nên a,b không đổi. Chứng minh tơng tự bài toán 1.
Tiếp tục cho điểm I chuyển từ miền trong góc xOy ra miền ngồi góc đó ta có
bài tốn sau.

<b>Bµi to¸n 3:</b>

<i>Cho hai đờng thẳng xx và yy cắt nhau tại điểm O. Một điểm I cố định nằm </i>’ ’

<i>ngồi các góc xOy, x Oy . Đ</i>’ ’ <i>ờng thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt các </i>
<i>tia Ox, Oy lần lợt tại M và N. Lấy các điểm D, E trên các đờng thẳng x x, y y</i>’ ’

<i>sao cho ID // y y và IE // x x. Đặt OD = a, OE = b. </i>’ ’

<i>Chøng minh r»ng </i>

a b

OM ON<i>_{luôn là hằng số.}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>H</i>

<i> íng dÉn: </i>

<i> Chứng minh tơng tự các </i>

bài toán trên, chú ý rằng

nếu điểm I nằm trong góc xOy
thì

a b

OM ON_{= -1, còn nếu}

điểm I nằm trong góc y’Ox th×

a b

OM  ON _{= 1.}

Một cách biến đổi bài toán là xét mệnh đề đảo của các bài toán 2 và 3. Để làm
giảm mức độ phức tạp của giả thiết có thể chuyển việc xét biểu thức chứa hai

tham sè a, b vỊ biĨu thøc chøa một tham số
<i>a</i>
<i>k</i>

<i>b</i>_{nh sau.}

<b>Bài toán 4:</b>

<i>Cho hai đờng thẳng xx và yy cắt nhau tại điểm O. Đ</i>’ ’ <i>ờng thẳng d thay đổi </i>

<i>cắt các tia Ox, Oy lần lợt tại M và N. NÕu tån t¹i sè k sao cho </i>

1 k

OMON

<i>ln bằng một hằng số khác 0 thì đờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố </i>
<i>định.</i>

<i> H íng dÉn: <b> </b></i>

Gi¶ sư

1 k 1

OM ON a

I
N
M
x' x
y'
y
E
D
O
d

a) Xét trờng hợp k > 0, lúc đó a > 0.

Dùng ®iĨm D trên tia Ox sao cho OD = a thì OD < OM.
Kẻ DI // Oy và cắt đoạn thẳng MN tại I.

Lấy điểm E trên tia Oy sao cho OE = ID

thì ODIE là hình bình hành. Chứng minh tơng tự các bài toán 1, 2 ta cã

OD OE

1
OMON  _=>

1 OE 1

OMOD.ON OD _{. Từ đó và giả thiết suy ra}
OE

k OE k.OD k.a 0

OD      _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i> b) Với trờng hợp k < 0. Cần xét a > 0 hc a < 0</i>

c) Với k = 0 thì M là điểm cố định cần tìm.
Chú ý rằng khi

1 k

0
OMON  _th×

ON
k

OM  _{nên các đờng thẳng d song song với}

nhau.

Ta lại thay đổi giả thiết bằng cách xét một điểm cố định nằm trong ba góc trong
của một tam giác ta có bài tốn 5.

<b> Bài toán 5 : </b>

<i> Cho tam giác ABC với I là tâm đờng tròn nội tiếp. Đờng thẳng d thay đổi luôn </i>
<i>đi qua điểm I, cắt các cạnh AB, AC và tia CB lần lợt tại M, N và P. Chứng minh </i>

<i>rằng giá trị biểu thức sau là không đổi.</i>

AB AC BC

AM.BMAN.CN  BP.CP

<i> H íng dÉn:<b> Dựng các hình thoi AGIK, BEIF, CRIS. </b></i>

Do BMP FMI MBI IBE BIF FIM BPM

BP > BM.

Đặt AG = m, BE = p, CR = n.
Theo bài toán 2, 3 ta có

1 1 1 1 1 1

; ;

AM AN m CN CP n

1 1 1

.

BM BP p

   

 

Cộng các hệ thức này theo từng vế rồi biến đổi ta có điều phi chng minh.

<b>3) Bài tập:</b>

<i>Sau khi học sinh nghiên cứu xong bài toán giáo viên yêu cầu học sinh vận</i>
<i>dụng làm các bài tập sau:</i>

Đặc biệt hóa bài toán 5 ta sẽ có bài toán:

<b> Bài toán 6 : </b>

<i> Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, I là tâm đờng trịn nội tiếp. Đờng thẳng d </i>
<i>thay đổi ln đi qua điểm I, cắt các cạnh AB, AC và tia CB lần lợt tại M, N và P. </i>
<i>Chứng minh rằng </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i> a. </i> 2

1 1 1 9

AM.BMAN.CN  BP.CP a

<i> b. </i> 2 2 2 2

1 1 1 18

IM IN IP a

TiÕp tôc phát triển các bài toán trên (mở rộng) ta có bài toán sau:

<b> Bài toán 7: </b>

<i> Cho hình bình hành ABCD. Đờng thẳng d thay đổi cắt các đoạn thẳng AB, AD, </i>
<i>AC lần lợt tại các điểm M, N, P. </i>

<i> Chøng minh r»ng: </i>

AB AD AC

.
AMAN AP

Nh vậy từ một bài toán đơn giản nếu giáo viên nghiên cứu kỹ kết quả, khai
thác hợp lý sẽ phát hiện đợc các kiến thức mới làm giàu tri thức toán học cho
bản thân và hình thành phơng pháp nghiên cứu khoa học, sáng tạo từ đó truyền
tải đến học sinh những kiến thức bổ ích, lý thú và có hệ thống nhất đồng thời
hình thành cho các em cách t duy sáng tạo phát huy đợc tính tích cực chủ động
trong quá trình học và tự học cho các em.

Trên đây mới chỉ là một ví dụ về hớng gợi mở tạo tình huống cho HS, từ
bài tốn 1 với cách làm trên mỗi GV dạy tốn có thể tổ chức, tạo tình huống
cho HS khai thác tìm hiểu và vận dụng theo các hớng khác nhau để thu các kết
quả quan trọng và hấp dẫn khác.

<b>C </b>

-

<b>KÕt luËn:</b>

I<b>/ Kết quả đạt đợc.</b>

Sau quá trình áp dụng giải pháp trên đặc biệt với đối tợng HS giỏi tôi nhận
thấy:

1/ Kiến thức và kỹ năng cơ bản của học sinh đợc củng cố và khắc sâu.
2/ Rèn phơng pháp học tập cho học sinh: có ý thức nghiên cứu kỹ kết quả
các bài tốn dù là đơn giản để tìm hiểu bản chất đồng thời phát hiện, khai thác
đợc các kết quả lý thú khác.

3/ RÌn cho HS kh¶ năng vận dụng kiến thức linh hoạt và sáng tạo.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Trớc đây khi cha áp dụng các biện pháp trên, kết quả các bài kiểm tra khảo
sát học sinh giỏi về phần hình học rất thấp, học sinh rất lúng túng khơng biết
cách phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải nhất là các bài tốn khó, có lời giải
phức tạp. Khi áp dụng theo các biện pháp trên tôi thấy chất lợng học sinh đợc
nâng cao rõ rệt ở lớp nâng cao cũng nh ở đội tuyển HSG của trờng, phần lớn
các em chủ động, hăng hỏi hc tp hn.

<b>II/Bài học kinh nghiệm</b>

Dạy toán là dạy phơng pháp làm toán. Vì vậy ngoài việc cung cấp kiến
thức cơ bản cho học sinh một cách chính xác, khoa học ngời thầy còn cần có sự
khéo léo, linh hoạt khơi dậy ở các em lòng say mê khám phá, óc tìm tòi sáng
tạo.

Vi mi nm hc, i tng học sinh lại khác, nếu ngời thầy năng góp nhặt
t liệu tổng hợp hành một khối thống nhất, rút ra phơng pháp giải thì trị rất dễ
tiếp thu, lĩnh hội, đồng thời phát triển đợc t duy sáng tạo của các em. Nếu chỉ

dừng lại những bài tập đơn thuần trong sách giáo khoa thì cha khuyến khích hết
t duy sáng tạo của học sinh vì vậy giáo viên cần mở rộng kiến thức để các em
có thể vận dụng linh hoạt vào các dạng bài áp dụng.

Dạy học các phơng pháp tìm lời giải các bài tốn có ý nghĩa rất quan trọng
đòi hỏi ngời giáo viên phải say mê tìm tịi, học hỏi, nghiên cứu các phơng pháp
và cách vận dụng để dạy cho học sinh của mình.

Tuy nhiên khơng phải đối với tất cả các đối tợng học sinh chúng ta đều
phải truyền tải các nội dung trên. Mà cần xác định đúng đối tợng để cung cấp
những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của giờ học.
Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ cơ bản đến phức tạp để tạo tiền đề
cho học sinh có t duy sáng tạo trong việc giải các bài toán nâng cao.

Với khả năng có hạn một vài ý kiến nhỏ của tơi chắc chắn cha hồn thiện
đáp ứng đợc u cầu đặt ra rất mong các bạn đồng nghiệp tham khảo, góp ý
kiến, mong đợc Ban giám khảo quan tâm tạo điều kiện động viên giúp tôi cố
gắng phấn đấu hơn nữa trong cơng việc dạy học của mình.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i> Quỳnh phụ, ngày 06 tháng 4 năm 2014</i>

Ngời viết

<b>Nhn xét đánh giá</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9></div>

<!--links-->