<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đại số</b>

<b>CH 1:</b> <b>Căn thức </b>–<b> rút gọn biểu thức</b>
<b>I. cn thc:</b>

<b> Kiến thức cơ bản:</b>

<b>1. Điều kiện tồn tại : </b>

_√

<i>_A</i> Cã nghÜa <i>⇔</i> <i>A ≥0</i>

<b>2. Hằng đẳng thức: </b>

_√

<i>_A</i>2₌_|<i>_A</i>_|

<b>3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: </b>

_√

<i>_{A . B=}</i>

_√

<i>_{A .}</i>

_√

<i>_B</i> (<i>A 0; B 0)</i>
<b>4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng: </b>

√

<i>A</i>

<i>B</i>=

√

<i>A</i>

√

<i>B</i> (<i>A ≥ 0; B>0)</i>
<b>5. Đa thừa số ra ngoài căn: </b>

_√

<i>_A</i>2<i>_{. B=|}_A</i>

|

√

<i>B .</i> (<i>B 0)</i>
<b>6. Đa thừa số vào trong căn: </b> <i>_A</i>

_√

<i>_B=</i>

_√

<i>_A</i>2

<i>. B</i> (<i>A ≥ 0; B ≥ 0)</i>

<i>_A</i>

_√

<i>_B=−</i>

_√

<i>_A</i>2

<i>. B</i> (<i>A<0 ; B ≥0)</i>
<b>7. Khử căn thức ở mẫu: </b> <i>A</i>

√

<i>B</i>=

√

<i>A . B</i>

<i>B</i> (<i>B>0)</i>
<b>8. Trục căn thức ở mẫu: </b> <i>C</i>

√

<i>A ±</i>

√

<i>B</i>=

<i>C(</i>

√

<i>A∓</i>

√

<i>B)</i>
<i>A − B</i>
<b> Bµi tËp: </b>

<i><b> Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:</b></i>

1)

_√

<i>_{−2 x+3}</i> 2)

√

2

<i>x</i>2 3)

√

4

<i>x +3</i> 4)

√

<i>− 5</i>
<i>x</i>2+6

5)

_√

<i>_{3 x +4}</i> 6)

_√

<i>_1+x</i>2  ₇₎

√

3

<i>1 −2 x</i> 8)

√

<i>−3</i>
<i>3 x +5</i>

<i><b> Rút gọn biểu thức</b><b> </b><b> </b></i>
<i><b>Bµi1</b></i>

1)

_√

₁₂₊₅

_√

<i>_{3 −}</i>

_√

₄₈ 2) ₅

_√

₅₊

_√

<i>_{20 −3}</i>

_√

₄₅ 3) ₂

_√

₃₂₊₄

_√

<i>_{8 −5}</i>

_√

₁₈
4) ₃

_√

<i>_{12 − 4}</i>

_√

₂₇₊₅

_√

₄₈ 5)

_√

₁₂₊

_√

<i>_{75 −}</i>

_√

₂₇ 6) ₂

_√

<i>_{18 −7}</i>

_√

₂₊

_√

₁₆₂
7) ₃

_√

<i>_{20 − 2}</i>

_√

₄₅₊₄

_√

₅ 8) (

_√

2+2)

_√

<i>2− 2</i>

_√

2 9) 1

√

<i>5 −1−</i>
1

√

5+1

10) 1

√5 −2

+
1

√5+2

11)
2
<i>4 −3</i>

√

2<i>−</i>

2

4+3

√2

12)

2+

√

2
1+

√

2

13)

7

√

<i>28− 2</i>

√

14+√¿
¿

¿

14)

√

<i>14 −3</i>

√2¿

2+6

√28

¿

15)

√6 −

√5

¿2<i>−</i>

√120

¿ 16)

2

√3 −3

√2

¿2+2

√6+3√24

¿

17)

<i>1−</i>

√2¿

2
¿

√

2+3¿2

¿
¿
√¿

18)

√3− 2¿

2
¿

√

<i>3− 1¿</i>2

¿
¿
√¿

19)

√5− 3

¿2
¿

√

<i>5− 2</i>¿2

¿
¿
√¿

20) (

√

<i>19− 3)(</i>

√

19+3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

21)

<i>x −12</i>¿2
¿
¿
<i>4 x+</i>√¿

22)

√

7+

√

5

√

<i>7 −</i>

√

5+

√

<i>7 −</i>

√

5

√

7+

√

5

23)

<i>x</i>2<i>− 4 xy+4 y</i>2¿2
¿

¿
<i>x +2 y −</i>√¿

<i><b>Bµi2:</b></i>

1)

_√

₍₃₊

_√

₂₎2₊

_√

_{(3 −}

_√

₂₎2 2)

_√

₍₂₋

_√

₃

₎

2<i>₋</i>

_√

₍

₂₊

_√

₃₎2 3)

_√

<i>_{(5− 3)}</i>2

+

√

(

√

5+3)2 4)

√

8+2

√

15 -

_√

<i>_{8 −2}</i>

_√

₁₅ 5)

_√

₍₅₊₂

_√

₆

₎

+

_√

<i>_{8 −2}</i>

_√

₁₅ 6)

√

4+2

√

3+

_√

<i>4 −2</i>

√

<i>3 −</i> 5

√

<i>3 −2</i>

√

2<i>−</i>

5

√

3+

√

8

<i><b> Giải phương trình:</b></i>

1)

_√

<i>_{2 x −1=}</i>

_√

₅ 2)

_√

<i>_{x −5=3}</i> 3)

_√

<i>9(x − 1)=21</i> 4)

_√

<i>_{2 x −}</i>

_√

₅₀₌₀
5)

_{√3 x}

2<i>₋</i>

_√

₁₂₌₀ 6)

<i>x − 3</i>¿2
¿
¿
√¿

7)

_√

<i>_{4 x}</i>2

+<i>4 x +1=6</i> 8)

<i>2 x −1</i>¿2
¿
¿
√¿

9)

_√

<i>_{4 x}</i>2₌₆ 10)

<i>1− x</i>¿2
¿
4¿
√¿

11)

_√

3 <i>_x+1=2</i> 12)

_√

3<i>_{3− 2 x=−2}</i>

<b>II. c¸c bài toán rút gọn:</b>
<b>A.các b ớc thực hiên :</b>

Phõn tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nu c)

Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.

Quy ng, gm cỏc bớc:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Ph©n tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).

Rút gọn.

<b>B.Bài tËp luyÖn tËp:</b>

<b>Bài 1 Cho biểu thức : A = </b>

2
1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>





  _{với ( x >0 và x ≠ 1)}

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của biểu thức A tại <i>x  </i>3 2 2

<b>Bài 2. Cho biểu thức : P = </b>

4 4 4

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

  



  _{( Với a}_{0 ; a}_{4 )}

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.

<i><b>Bài 3: Cho biểu thức A =</b></i>

1 2

1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2/.Rút gọn biểu thức A

3/.Với giá trị nào của x thì A< -1

<b>Bµi 4: Cho biểu thức A = </b>

(1 )(1 )

1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

  _{( Với}<i>x</i>0;<i>x</i>1₎

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1

<b>Bµi 5 : Cho biĨu thøc : B = </b> 1
2

√

<i>x − 2−</i>

1
2

√

<i>x +2</i>+

√

<i>x</i>
<i>1 − x</i>

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để |<i>A</i>|=1

2
<b>Bµi 6: Cho biÓu thøc : P = </b>

√

<i>x+1</i>

√

<i>x − 2</i>+
2

√

<i>x</i>

√

<i>x+2</i>+

2+5

√

<i>x</i>
<i>4 − x</i>

a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2

<b> Bµi 7: Cho biÓu thøc: Q = (</b> 1

√

<i>a − 1−</i>
1

√

<i>a</i>¿:(

√

<i>a+1</i>

√

<i>a − 2−</i>

√

<i>a+2</i>

√

<i>a −1</i>)

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dng

c; Tính giá trị của Biểu thức biÕt a = 9- 4

_√

₅

<b>Bµi 8: Cho biĨu thøc: M = </b>

(

√

<i>a</i>
2 <i>−</i>

1
2

√

<i>a</i>

)(

<i>a −</i>

√

<i>a</i>

√

<i>a+1</i> <i>−</i>

<i>a+</i>

√

<i>a</i>

√

<i>a 1</i>

)

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M

<b>Tỡm giỏ tr của a để M = - 4 </b>

<b>Bµi 9 : Cho biÓu thøc : K = </b> 15

√

<i>x −11</i>
<i>x +2</i>

√

<i>x −3</i>+

3

√

<i>x</i>
<i>1−</i>

√

<i>x−</i>

2

√

<i>x+3</i>

√

<i>x+3</i>

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K

c. T×m x khi K= 1

2 d. Tìm giá trị lớn nhất cđa K
<b>Bµi 10 : Cho biĨu thøc:</b> G=

(

√

<i>x −2</i>

<i>x −1</i> <i>−</i>

√

<i>x+2</i>
<i>x +2</i>

√

<i>x +1</i>

)

.

<i>x</i>2<i>− 2 x +1</i>
2

1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G

3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gÝa trÞ lín nhÊt cđa G

5. Tìm x  Z để G nhận giá trị nguyên

6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm

<b>Bµi 11 : Cho biĨu thøc: P= </b>

(

<i>x +2</i>
<i>x</i>

√

<i>x −1</i>+

√

<i>x</i>
<i>x +</i>

√

<i>x +1</i>+

1
<i>1−</i>

√

<i>x</i>

)

:

√

<i>x −1</i>

2 Víi x ≥ 0 ; x ≠ 1

a. Rót gän biĨu thøc trªn

b. Chøng minh r»ng P > 0 víi mäi x≥ 0 vµ x ≠ 1

<b>Bµi 12 : cho biÓu thøc Q=</b>

(

1
2+2

√

<i>a</i>+

1
<i>2− 2</i>

√

<i>a−</i>

<i>a</i>2+1
<i>1− a</i>2

)

.

(

1+

1
<i>a</i>

)

a. T×m a dĨ Q tồn tại

b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 13: Cho biÓu thøc :</b>

A=

√

<i>x</i>

3

√

<i>xy −2 y</i>+

<i>2 x</i>

2

√

xy +2

√

<i>y − x −</i>

√

<i>x</i>.
<i>1− x</i>
<i>1−</i>

√

<i>x</i>

a) Rót gän A

b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2

<b>Bµi 14:XÐt biĨu thøc: P=</b>

[

3

√

<i>a</i>

√

<i>a+4</i>+

√

<i>a</i>

√

<i>a− 4</i>+

<i>4 (a+2)</i>
<i>16 − a</i>

]

:

(

<i>1 −</i>

2

√

<i>a+5</i>

√

<i>a+4</i>

)

(Víi a ≥0 ; a ≠ 16)

1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố

<b> </b>

---CHủ đề 2: <b>hàm số - hàm s bc nht</b>

<b>I. </b>hàm số:

<b> Khái niệm hàm sè</b>

<i><b>* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng </b></i>
<i><b>ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.</b></i>

* Hµm sè cã thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.

<b>II. </b>hàm số bậc nhất:

<b> Kiến thức cơ bản:</b>

Định nghĩa:

Hm số bậc nhất có dạng: <i>y=ax +b</i> Trong đó a; b là các hệ số <i>a ≠ 0</i>
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: <i>y=ax +b</i> là hàm số bậc nhất là: <i>a ≠ 0</i>

VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - 2 (1)

Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất <i>⇔</i> <i>3 −m≠ 0⇔ 0 ⇔m≠ 3</i>

 TÝnh chÊt:
+ TX§: <i>∀ x ∈ R</i>

+ §ång biÕn khi <i>a>0</i> . NghÞch biÕn khi <i>a<0</i>

Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):

+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R

Giải: + Hàm số (1) Đồng biến <i></i> <i>3 m>00 m<3</i>

+ Hàm số (1) Nghịch biến <i></i> <i>3 m<00 m>3</i>

Đồ thị:

+ c im: thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.

cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng <i>−b</i>

<i>a</i> .

+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:

Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1

Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1

Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1

 Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,_{x + b}, _:
+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) <i>_{⇔ a≠ a},</i> .

*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện <i>_b=b'</i> _.

*/. Để hai đờng thẳng vng góc với nhau thì : <i>_{a . a}'</i>₌<i>_{−1 .}</i>

+ Song song với nhau: (d1) // (d2) <i>_{⇔ a=a},_{;b ≠ b}'</i> _.

+ Trïng nhau: (d1) (d2) <i>_{⇔ a=a},</i>

<i>;b=b'</i> .

VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + 2 (d1)
Và y = 2 x – m (d2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau

c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:

a/ (d1)//(d2) <i>⇔</i>

¿
<i>3 −m=2</i>

<i>2 ≠ −m</i>
<i>⇔</i>
¿<i>m=1</i>
<i>m ≠− 2</i>

<i>⇔</i>{<i>m=1</i>

¿{
¿

b/ (d1) c¾t (d2) <i>_⇔</i> <i>3 −m≠ 2⇔m 1</i>

c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung <i>_⇔</i> <i>_{−m=2⇔ m=−2}</i>

 Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.

+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác <i>tg α=a</i>

 Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.

 Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù ( ₁₈₀0<i>_−α</i> )
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox

Gi¶i:

Ta cã: <i>_{Tg α=2=Tg 63}</i>0<i>_{⇒ α=63}</i>0_.

Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: <i>_α=63</i>0_.

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.

Ta có: _{Tg (180}0<i>_{− α )=2=Tg 63}</i>0<i>_⇒(180</i>0<i>_{− α)=63}</i>0<i>_⇒α=117</i>0_.
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: <i>₌₁₁₇</i>0_.

Các dạng bài tập th ờng gặp:

<i><b>-Dng 3: Tớnh góc</b></i>_{tạo bởi đường thẳng y = ax + b v trc Ox}

Xem lại các ví dụ ở trên.

<b>Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai</b>

<i><b>- Dng1: Xỏc dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng</b></i>

song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dơ ë trªn.

<i><b>-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b </b></i>

Xem lại các ví dụ ở trªn.

Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,

Ph

ơng pháp: Đặt ax + b = a,_{x + b},_{giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d}

1) hc

(d2) ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.

Tính chu diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng:

Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng khơng biết
trực tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:</b></i>

Ph

ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?

Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì điểm M khơng
thuộc đồ thị.

<i><b>-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:</b></i>

Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1).
Ph

ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.

+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.

<i><b>-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:</b></i>

Ví dụ: Cho các đờng thẳng :

(d1) : y = (m2_{-1) x + m}2_{-5 ( Víi m} _{1; m} _{-1 )}
(d2) : y = x +1

(d3) : y = -x +3

a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 ln đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vng góc d2

c) Xác định m để 3 đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui

<b>Gi¶i: </b>

a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2_{-1 ) x0 +m}2_{-5 Với mọi m}

=> m2_{(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :}
x0+ 1 =0

x0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1
Y0 = - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)

b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :
Ta có pt hồnh độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)

Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có:
2 = (m2_{-1) .1 + m}2_-5

m2_{= 4 => m = 2 vµ m = -2}

Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.

<b> Bµi tËp: </b>

<i><b>Bài 1: Cho hai đường thẳng (d</b></i>1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau .

2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai
đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính.

<i><b>Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay </b></i>

nghịch biến trên R ? Vì sao?

<i><b>Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? </b></i>
<i><b>Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m</b></i> 0¿ và y = (2 - m)x + 4 ; (<i>m≠ 2)</i> . Tìm điều kiện của m để hai

đường thẳng trên:

a) Song song.
b) Cắt nhau .

<i><b>Bài 5: Víi giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục</b></i>

tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với
(d’): y = <i>− 1</i>₂ <i>x</i> và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 10.

<i><b>Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).</b></i>
<i><b>Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).</b></i>

<i><b>Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d</b></i>1): y =

1
2

2<i>x </i> _{và (d2): y =}<i>x</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và
diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?

<i><b>Bài 9: Cho các đờng thẳng (d</b></i>1) : y = 4mx - (m+5) với m 0
(d2) : y = (3m2_{+1) x +(m}2_-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) ln đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA
?

<i><b>Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b </b></i>

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

CHủ đề 3: <b>hệ hai phơng trình bậc nhất hai n</b>

<b>I. </b>các kháI niệm:

<i><b>Ph</b><b> ơng trình bậc nhÊt hai Èn:</b></i>

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( <i>a ≠ 0</i> hoặc <i>b ≠ 0</i>¿

+ Mét nghiƯm cđa phơng trình là cặp số x0; y0 thỏa mÃn : ax0 + by0 = c
+ Phơng trình bậc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiƯm.

+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu <i>a ≠ 0 ;b ≠ 0</i> thì đờng thẳng (d) là đồ thị của

hàm số bậc nhất: <i>y=a</i>

<i>b</i> <i>x+</i>
<i>c</i>

<i>b</i> .

<i><b>Hệ hai ph</b><b> ơng trình bậc nhất hai ẩn:</b></i>

+ Dạng:

<i>ax+by=c .(1)</i>
<i>a,_{x +b},_y=c,</i>_.(2)

{

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình

+ Nu hai phng trỡnh ấy khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)

-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất

*NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.

<i><b>Hệ ph</b><b> ơng trình t</b><b> ơng đ</b><b> ơng:</b></i>

Hai h phng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng cú cựng tp nghim

<b>Ii.</b>ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình:

<i><b>Giải hệ ph</b><b> ơng trình bằng ph</b><b> ơng pháp thế</b><b> :</b></i>

<i>a) Quy t¾c thÕ : </i>

+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để
đợc một phơng trình mới (chỉ cịn 1 ẩn).

+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng
th-ờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc bc 1).

Ví dụ: xét hệ phơng trình:

<i>x 2 y=1 .(1)</i>
<i>3 x+2 y=3 .(2)</i>

¿{
¿

+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có: <i>_{x=1+2 y .(∗)}</i>
Thay <i>_{x=1+2 y .(∗)}</i> vào phơng trình (2) ta đợc: <i>3(1+2 y)+2 y=3 .(**)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

+ Bớc 2: Thế phơng trình (**) vào phơng trình hai của hệ ta có:

<i>x=1+2 y</i>
<i>3(1+2 y)+2 y=3</i>

¿{
¿

<i> b) Gi¶i hƯ :</i>

<i>x=1+2 y</i>
<i>3(1+2 y)+2 y=3</i>

<i>⇔</i>

¿<i>x=1+2 y</i>

<i>3+6 y +2 y=3</i>
<i>⇔</i>

¿<i>x=1+2 y</i>

¿
<i>y=0</i>
<i>⇔</i>
<i>x=1</i>
¿
<i>y=0</i>
¿

¿{
¿
¿
¿ ¿

VËy hệ phơng trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).

<i><b> Giải hệ ph</b><b> ơng trình bằng ph</b><b> ơng pháp cộng đại số</b><b> :</b></i>
<i> a)Quy tắc cộng đại số : </i>

+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình
kia)

L

u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.

Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để
đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)

bµi tập:

<i><b>Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế. </b></i>

<i><b> </b></i>

<i>4 x + y=2</i>

<i>8 x+3 y =5</i>

¿{
¿

<i><b> </b></i>

¿
<i>x − y=m</i>
<i>2 x + y =4</i>

¿{
¿



¿
<i>3 x+2 y=6</i>

<i>x − y=2</i>
¿{

¿

<i><b> </b></i>

¿
<i>2 x −3 y =1</i>

<i>− 4 x+6 y=2</i>

¿{
¿



2 3 5
5 4 1

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 <i><b>_</b></i>
3 7
2 0
<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 
<i><b> </b></i>
4 2

3 2 4

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 <i><b>_</b></i>
2
2 3 9
<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
  


  
 _

2x 3y 2
4x 6y 2

 




  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b> </b></i>

¿
<i>2 x −11 y =−7</i>
<i>10 x+11 y =31</i>

¿{
¿

<i><b> </b><b> </b></i>

¿
<i>3 x + y=3</i>
<i>2 x − y =7</i>

¿{
¿

<i><b> </b><b> </b></i>

¿
<i>2 x+5 y=8</i>
<i>2 x −3 y=0</i>

¿{
¿



¿

<i>3 x +2 y=−2</i>
<i>3 x −2 y=− 3</i>

¿{
¿

<i><b> </b><b> </b></i>

¿
<i>−5 x +2 y=4</i>
<i>6 x − 3 y =−7</i>

¿{
¿

<i><b> </b></i>

¿
<i>2 x −3 y=11</i>
<i>− 4 x+6 y=5</i>

¿{
¿



¿
<i>3 x+2 y=1</i>

<i>2 x − y=3</i>

¿{

¿

<i><b> </b></i>

¿
<i>2 x +5 y=2</i>
<i>6 x − 15 y =6</i>

¿{
¿

<i><b> </b></i>

¿
<i>3 x − 2 y =4</i>
<i>6 x 4 y =3</i>

{

<i><b>Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau</b></i>

<b> </b>

<i>2(x + y)+3 (x y )=4</i>
(<i>x+ y)+2(x − y )=5</i>

¿{
¿
<b> </b><b> </b>
¿
1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
4
5
1
<i>x−</i>
1
<i>y</i>=
1
5
¿{
¿
<b> </b>
¿
1
<i>x − 2</i>+

1
<i>y 1</i>=2
2

<i>x 2</i>
3

<i>y 1</i>=1

{

<b> </b>

<b>Các bài tập tự luyện</b>

<b> Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :</b>

a)

<i>2 x − y =−2</i>

<i>2 x − y=4</i>
¿{

¿

<b>b) </b>

¿
<i>2 x +5 y=1</i>
<i>−10 x − 5 y=20</i>

¿{
¿

c)

¿
<i>x+ y =3</i>
<i>2 x −3 y=− 4</i>

¿{
¿

d)

¿
<i>2 x +3 y=− 4</i>
<i>5 x+7 y=−9</i>

¿{
¿

e)

¿
<i>3 x +4 y =−2</i>
<i>6 x+8 y+3=0</i>

¿{
¿
f)
¿
<i>x</i>

2<i>−</i>
<i>y</i>
3=1
<i>x</i>
4+
<i>2 y</i>
3 =8
¿{
¿
<b>Bµi 2 : Giải các hệ phơng trình sau :</b>

a)

1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
5
8
1
<i>x</i>
1
<i>y</i>=
3
8
{

b)

1

<i>x</i>
2

<i>y −2</i>=2

3
<i>x</i>+

1

<i>y −2− 1=0</i>
¿{

¿

c)

¿
4
<i>x +2 y−</i>

1
<i>x − 2 y</i>=1
20

<i>x+2 y</i>+
3
<i>x −2 y</i>=1
¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài 3 : Cho hệ phơng trình </b>

(<i>m 3) x + y =5</i>

<i>x y=7</i>
{

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.

<b>Bµi 4 : Cho hệ phơng trình </b>

<i>ax y=2</i>

<i>x+ay=3</i>
{

a) Giải hệ phơng trình khi a = 1

b) Tỡm a hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó

c) Tìm a để hệ phơng trình vơ nghim

<b>Bài 5 : Cho hệ phơng trình </b>

<i>ax 2 y =a</i>
<i>2 x+ y=a+1</i>

{

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2

b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1

d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x v y l cỏc s nguyờn.

<b>Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình: </b>

¿

<i>2 x +(m− 4) y=16</i>
(4 −m) x − 50 y=80

¿{
¿

(I)

b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1

<b>Bài 7* : Giải phơng trình sau :</b>

a)

_√

₈₊

_√

<i>_x+</i>

_√

<i>_{5 −}</i>

_√

<i>_x=5</i> b)

_√

<i>_{2− x}</i>2₊

_√

<i>_x</i>2₊₈₌₄
CHủ đề 4: <b>_{hình học}</b>

<b>I. </b>hệ thức trong tam giác vuông:

<i><b> Hệ thức giữa cạnh và đ</b><b> ờng cao:</b></i>

+ <i>_b</i>2

=<i>a .b,;c</i>2=a . c<i>,</i> + <i>a</i>2=<i>b</i>2+c2

+ <i>_h</i>2₌<i>_b,_{. c},</i> + <i>_a=b,</i>₊<i>_c,</i>
+ <i>a . h=b . c</i>

+ 1

<i>h</i>2=
1
<i>b,</i>+

1

<i>c,</i> +
<i>b</i>2

<i>c</i>2=

<i>b,</i>
<i>c,. ;</i>

<i>c</i>2
<i>b</i>2=

<i>c,</i>
<i>b,</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i><b>Tỷ số l</b><b> ợng giác:</b></i>
Sin=<i>D</i>

<i>H;Cos=</i>

<i>K</i>

<i>H; Tg=</i>

<i>D</i>

<i>K;Cotg=</i>

<i>K</i>
<i>D</i>

<i><b>Tính chất của tỷ số l</b><b> ợng giác:</b></i>

1/ Nếu <i>_{+ =90}</i>0 Thì: <i>Sin α=Cos β</i>

<i>Cos α=Sin β</i>

<i>Tg α=Cotg β</i>
<i>Cotg α=Tg β</i>

2/Víi <i>α</i> nhọn thì 0 < sin <i>α</i> < 1, 0 < cos <i>α</i> < 1

*sin2 <i>α</i> _{+ cos}2  _{= 1 *tg} <i>α</i> _{= sin} <i>α</i> _/cos <i>α</i>
*cotg <i>α</i> = cos <i>α</i> /sin <i>α</i> *tg <i>α</i> . cotg <i>α</i> =1

<i><b>Hệ thức giữa cạnh và góc:</b></i>

<b>+ Cnh gúc vuụng bng cạnh huyền nhân Sin góc đối: </b>

<i>b=a .SinB . ;c=a . SinC</i>

<b>+ </b>C¹nh gãc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:
<i>b=a . CosC.;c =a .CosB</i>

<b>+</b> Cạnh góc vng bằng cạnh góc vng kia nhân Tg góc đối:
<i>b=c . TgB. ;c=b . TgC</i>

<b>+</b> Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nh©n Cotg gãc kỊ:
<i>b=c . CotgC. ;c=b . CotgB</i>

<b>Bài Tập áp dụng:</b>

<b>Bi 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC</b>
<b>Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại A có b</b>’_{= 7, c}’_{= 3. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 3a: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b</b>’_{= 3.2. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 3b: Cho tam giác ABC vuông tại A có c = 4, b</b>’_{= 3.2. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC?</b>
<b>Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có h = 4, c</b>’_{= 3. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 6: Cho tam giác ABC vng tại A có b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC?</b>
<b>Bài7: Chotam giác ABC vng tại A có h = 4, c = 5. Giải tam giác ABC? </b>
<b>Bài 8: Cho tam giác ABC vuông có A = 90</b>0_{, b = 5, B = 40}0._{Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 60</b>0_{. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 10:Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 3, C = 40</b>0_{. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có c</b>’ _{= 4, B = 55}0_{. Giải tam giác ABC?}

<b>Bài 12: Chotam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m</b> ❑<i>_a</i> _{= 5, h = 4.}

Giải tam giác ABC?

<b>Bài13: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m</b> ❑<i>_a</i> _{= 5, một góc nhọn bằng 47}0_.
Giải tam giác ABC?

<b>Bài14: Tam giác ABC vng tại A có h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g</b> <i>_a</i> _{= 5.}

Giải tam giác ABC?

<b>Bài15: Chotam giác ABC vuông tại A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g</b> ❑<i>_a</i> _{= 5. Góc C = 30}0_{. Giải}

tam giác ABC?

<b>II. </b>Đ ờng tròn:

<i><b> .Sự xác định đ</b><b> ờng tròn:</b></i> Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc

+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc

+ Đờng trịn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai
trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i><b> Tính chất đối xứng:</b></i>

+ Đờng trịn có tâm đối xứng là tâm của đờng trịn.

+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng trịn.

<i><b> C¸c mèi quan hƯ:</b></i>

1. Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:

+ Đờng kính (hoặc bán kính) Dây <i></i> Đi qua trung điểm của dây ấy.

2. Quan h gia dõy v khoảng cách từ tâm đến dây:

+ Hai dây bằng nhau <i>_⇔</i> Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn <i>⇔</i> Dây gần tâm hơn.

<i><b> Vị trí t</b><b> ơng đối của đ</b><b> ờng thẳng với đ</b><b> ờng tròn:</b></i>

+ Đờng thẳng khơng cắt đờng trịn <i>⇔</i> Khơng có điểm chung <i>⇔</i> d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng
thẳng; R là bán kính của đờng trịn)

+ Đờng thẳng cắt đờng trịn <i>⇔</i> Có 1 điểm chung <i>⇔</i> d < R.

+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn <i>⇔</i> Có 2 điểm chung <i>⇔</i> d = R.

<i><b> Tiếp tuyến của đ</b><b> ờng tròn:</b></i>

1. nh ngha: Tip tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn đó

2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng trịn thì vng góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)

3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vng góc tại đầu mút của bán kính của một đờng trịn là tiếp
tuyến của đờng trịn đó.

<b>Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I:</b>

<b>Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D </b>

a/ Chửựng minh: AD là đờng kính
b/ Tính góc ACD

c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đờng trịn tâm (O)

<b>Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngồi đờng trịn . Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn</b>

( B , C là tiếp điểm )

a/ Chứng minh: OA BC

b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO

c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?

<b>Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB . Qua C thuộc nửa đờng trịn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn . G ọi E , F lần </b>

lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đờng vng góc kẻ từ C đến AB. Chửựng minh:
a/ CE = CF

b/ AC lµ phân giác của góc BAE
c/ CH2_{= BF . AE}

<b>Bài 4: Cho đờng trịn đờng kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến </b>

thø 3 nã c¾t Ax ë C c¾t B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR

a/

<i>CN</i> <i>NB</i>

<i>AC</i> <i>BD</i>

b/ MN  AB
c/ gãc COD = 90º

<b>Bµi 5 : </b>Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường trịn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M.

BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.

a)CMR: NE  AB

b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).

d/ Chứng minh : BM.BF = BF2_{– FN}2

<b>Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn </b>

( M  A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax
và By tại C và D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.

<b>Bài 7: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường </b>

tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia
vng góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.

a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.

b/ Hạ OI vng góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R2

d/ Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.

<b>Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp </b>

tuyến xy. Vẽ AD và BC vng góc với xy.

a/ Chứng minh rằng MC = MD.

b/ Chứng mihn AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa ng trũn.

<b>Các dạng toán về phơng trình bậc hai</b>

bài mẫu: <i><b>Giải các phơng trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ (...)</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>1) Giải phơng trình: 3x</b>2_{-27x = 0} 3x(x-……) = 0 3x= 0 (1) hoặc ...(2)
Giải(1) x=

Giải(2) x=

Vy phng trỡnh đã cho có…….nghiệm ………..

<b>2) Giải các phơng trình: 5x</b>2_{- 45 = 0} x2_{-…… = 0} x2_{= 9} x_{1,2=………}
Vậy phơng trình đã cho cú.nghim ..

3)Giải phơng trình: 2x2_{-2007x +2005= 0}

(a=…..;b=…..;c=……)
Ta cã:a+b+c=………= 0

Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ……… ; ………..

??:Em hãy đề xuất một bài tốn tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình by ngn gn chớnh xỏc.

4) Giải phơng trình: 2x2_{+7x -5= 0}

(a=…..;b=…..;c=……)
Ta cã: ∆=……….=………..>0

Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………. ; ………..
5) Giải phơng trình: x4_{- 7x}2_{+10 = 0(*)}

Đặt x2 = y (y≥0)

<b> Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y</b>2_{- 7y +10 = 0 (1)}
Giải(1) ta có: =.=..>0

=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2==..
Víi y1=………; y2=…………tho¶ mÃn điều kiện của bài toán

Mà x2 _{= y}

Nên y1==> x2 _=..<=>
y2=………=> x2 _{=………..<=>………}

VËy Ph¬ng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
6) Giải phơng trình: <i>_x+5</i>



<i>_{x 6=0}</i> (*)

Đặt

_√

<i>_x</i> = y (y≥0)

<b>Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y</b>2_{+5y -6 = 0 (1)}
Giải(1) ta cú: =.=..>0

=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2==..
Với y1=;. thoả mÃn điều kiện của bài toán => y1=(loại)

y2=thoả mÃn điều kiện của bài toán
Mà x2 _{= y}

Nên y2==>



<i>x</i> =..<=>

Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..

<b>Bài 1 : Giải các phơng trình</b>

a) 2x2_{- 50 = 0 c)54x}2_{= 27x e)y+}

√

<i>y</i> -6=0
b) <i>3 x</i>

2

+5
4 =<i>x</i>

2<i>_{− 2}</i> _{d) y+}

√

<i>y</i> =0 f)y-5



<i>_y</i> +4=0

<b>Bài 2: Giải các phơng trình</b>

a) 3x2_{-17x - 20 = 0}
b) 2x2_{- 2007x + 2005 = 0}
c) x2_{+ x + 1 = 0}

d) x2_{- 4x + 4= 0}

e) x2_{+ 3x - 1 = 0}
f) x2_{- x +}

√

<i>2− 2</i> = 0

<b>Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ</b>

1) x4_{- 5x}2_{- 6 = 0}
2) x4_{+ 7x}2_{- 8 = 0}
3) x4_{+ 9x}2_{+ 2 = 0}
4) <i>2 x</i>

<i>x</i>2<i>₋₁</i>=2+

1
<i>x +1</i>

6)

₍

<i>_x</i>2_{+2 x}

₎

2<i>₋₂</i>

₍

<i>_x</i>2_{+2 x}

₎

<i>_{− 3=0}</i>
7)

₍

<i>_y</i>2

+5 y

)

2<i>− 8 y ( y +5 )− 84=0</i>

8)

₍

<i>_y</i>2<i>_{− 5)}₋₅</i>

√

<i>y</i>2<i>₋₅₌₆</i>

9) <i>_x</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

5) <i>x</i>

<i>x +1</i>+
<i>x +1</i>

<i>x</i> =<i>−2</i>

bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x2_{+ mx - m}2_{-12 = 0 (1)}
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm cịn li

Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x1=2 thì:
5.22_{+m.2 -m}2_-12=0

 8+m.2 -m2₌₀
 m2_{-2m - 8 = 0(*)}

Gi¶i (*)Ta cã: ∆'=………..=……..> 0 =>



<i>'</i> =

=> phơng trình (*) có hai nghiệm m1==.. ; m2==..
+)Với m1= phơng trình(1) có một nghiệm x1=2.

lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- <i>m</i>

5 .

Mµ x1=2 ; m1=…… Nªn 2 + x2 =- 4

5  x2=……….=………..

+)Với m2=………… phơng trình(1) có một nghiệm x1=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- <i>m</i>

5 .

Mµ x1=2 ; m2=…… Nªn 2 + x2 =…….. x2=.=..

Vậy

<b>Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình</b>

a) 2x2_{+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại}
b) b2_x2_{- 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại}

c) (b-1)x2_{+ (b+1)}2_{.x - 72 = 0 cã mét nghiƯm b»ng 3. T×m nghiệm còn lại}

<b>Bi 5 : Cho cỏc phng trỡnh n x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:</b>

a) x2_{+ 5x + k = 0} _{c) x}2_{- (2k+3) + 4k + 2 = 0}
b) x2_{+ kx + 2 = 0 d) (k-1) x}2_{+ kx + 1 = 0}

<b>Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.</b>

<b>Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt</b>

bµi mÉu: Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x2_{+ m x +1= 0}
cã nghiệm với mọi giá trị của m

Giải: phơng trình: (m-3)x2_{+ m x +1= 0(*)}
( a=…….; b=………; c=………)

+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phơng trình(*) trở thành:

3x+1=0  x=…………

=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=…….(1)
+) XÐt a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……

Ta cã: ∆=………=………= m2 _{- 4m + 12}
= m2 _{- 2(….).m +(…..)}2_{-…….. +12 = (… - ….)}2_+……….

NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Víi mäi m ≠ 3
Hay ∆>0 Víi mäi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m ≠ 3 (2)
Tõ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m

<i><b>Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 vµ a ≠ 0 </b></i>

<b>Bµi 8 : Chøng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trÞ cđa m.</b>

a)x2_+(m+1)x+m=0 _{b) x}2_{-mx + m - 4 = 0}
c) -3x2_{+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x}2_{+ 4x - m}2_{+ 4m - 9 = 0}
e) (m+1)x2_{+ x - m = 0}

bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2_{+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.}
Giải: phơng trình bậc hai: x2_{+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)}

Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
 30-5m < 0 ……….<=> m > 6

Vậy m.

<i><b>Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ë hÖ sè a ta</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<i><b> không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0 </b></i>

<b>Bi 9: Tỡm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.</b>

a) x2_{+ 2x + m - 1 = 0} _{b) x}2_{+ mx + 7 = 0}

c)-3x2_{+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0} _{d) 3x}2_{- 2(2m+1)x+ m}2_{-2 5 = 0 e) (m}2₊
4 m +4)x2_{+ mx - 1 = 0} 

<b>Bµi 10 : Cho phơng trình : (m+3)x</b>2_{- m(m+5)x + 2m}2_{= 0 (1)}
a) Gi¶i phơng trình khi m = 5

b) Chng minh rng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

bµi mÉu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x2_{+ 2(m-2) x +m = 0 (Èn x , tham sè m)}
Giải: phơng trình: (m-3)x2_{+ 2(m-2)x +m = 0(*)}

( a=…….; b=………; c=………)

+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
….x+1=0  x=…………

=> m = ..thì phơng tr×nh(*) cã mét nghiƯm x=…….
+) XÐt a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……

Ta có: ∆'=………=………..= -m +4
-Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 ………  m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x1= <i>−(m−2)+</i>

√

<i>4 − m</i>

<i>m− 3</i> ;……….

-Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 ………  m= 4

lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x1=….= <i>−(m−2)</i>

<i>m −3</i> =2 (do m= 4)

-Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 ………  ……. kết hợp vơí điều kiện ta đợc……….
lúc đó phơng trình(*) vơ nghiệm

Vậy m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.

<b>Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx</b>2_{- 2(m-2) x + m - 3 = 0}
a) Giải phơng trình khi m = 3

b) Tỡm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm cịn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghim ca phng trỡnh

<b>Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x cã hai nghiƯm lµ </b>

a) 3 vµ 5 b) 3-

_√

₅ vµ 3 +

_√

₅

c) 3-

_√

₂ vµ 3 +

_√

₂ d) 1

<i>3 − 2</i>

√

2 vµ
1
3+2

√

2

e) 1

<i>a+b</i> vµ

1

<i>a− b</i> với a b

bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1-



₅ và 1 +



₅
Giải: Đặt x1=3-



₅ và x2= 3 +



₅

Ta cã: x1+x2=………+………= 6

x1.x2=(………….).(………..)=………….= 4

<b>áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x</b>1,x2 là nghiệm của phơng trình: ……….= 0
Vậy phơng trình cần lp l:..

<b>Bài 13 : Cho phơng trình : x</b>2_{+ 5x - b = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2}
Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mÃn :
y1 = x12_{+ 1 vµ y2 = x2}2_{+ 1}

<b>Bài 14:Cho phơng trình : x</b>2_{- 2010}2005_{x +1 = 0}

Có 2 nghiệm x1và x2 .Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mÃn :
y2 = x12_{+ 1 vµ y1 = x2}2_{+ 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bài 15: Giải hệ phơng trình :</b>

a)

<i>x + y=5</i>
<i>x . y=− 35</i>

¿{
¿

b)

¿
<i>x − y=11</i>

<i>x . y=60</i>
¿{

¿

c)

¿
<i>x</i>2+<i>y</i>2=25

<i>x . y=12</i>

¿{

¿

bài mẫu: Khơng giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình
a) 5x2_{- 7x - 1 = 0}

Gi¶i: cã : a.c = .=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x2_{- 7x + 2 = 0}

Giải: phơng trình: 5x2_{- 7x+2 = 0}
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta cã : ∆=……….= 9 > 0

¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã:

¿

.. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. .
.. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. ..
.

{

=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dÊu d¬ng
c) x2_{+ 11x + 5 = 0}

Giải: phơng trình: x2_{+11x+5 = 0}
(a=…..; b=…….; c=…….)

Ta cã : ∆=……….= …. > 0

¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã:

¿

.. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. .
.. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. ..
.

{

=> phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt cïng dÊu ©m
d) 5x2_{+ x + 2 = 0}

Gi¶i: phơng trình: 5x2_{+ x +2 = 0}

(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta cã : ∆=……….= ..< 0
=> phơng trình vô nghiệm

<b>Bi 16 : Khơng giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của</b>

c¸c phơng trình sau :

1) 3x2_{+ 5x - 1 = 0} _{3) 5x}2_{- 14x + 1 = 0}
2) 7x2_{-3x + 1= 0} _{4) 2x}2_{- 4x - 3 = 0}
5) 4x2_{- 3x +2 = 0} _{6) x}2_{+5x +1 = 0}

bài mẫu: Cho phơng trình : x2_{- 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có}
hai nghiệm cùng dấu dng ?

<b>Giải : phơng trình : x</b>2_{- 2x + m-3 = 0 (*)}
(a=..; b=.; c=.)

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì:

<i>'>0</i>
<i>x</i>₁+<i>x</i>₂>0

<i>x</i>₁<i>. x</i>₂>0
.

{ {

hay .

¿

.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(1)
.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(2)
.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(3)
.

¿{ {

¿

Giải(1):  4-m > 0 ……….<=>………
Giải(2):  2 > 0 ln đúng

Gi¶i(3): ……. > 0 ……….<=>………

Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:………

VËy m………

<b>Bài 17 : Cho phơng trình : x</b>2_{- 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình}
1) có 2 nghiệm trái dấu

2) cã 2 nghiÖm cïng dÊu
3) Cã Ýt nhÊt 1 nghiƯm d¬ng

4) Cã 2 nghiƯm cïng dÊu d¬ng
5) Cã 2 nghiƯm cïng ©m

<b>Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:</b>

a) x2_{- 2mx + (m-1)}2_{= 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng}
b) 2x2_{- 2(m+1) x + m = 0 Cã 2 nghiƯm ph©n biƯt cïng ©m}
c) x2_{- 2x + 2m -30 = 0 Cã 2 nghiệm trái dấu.}

<b>Bài 19 : Cho phơng trình : 5x</b>2_{- 6x - 8 = 0}

Không giải ph ơng trình hÃy tính giá trị của các biểu thức sau(x1; x2là nghiệm của phơng trình)

1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2

2) A = x12_{+ x2}2_{; B =} 1

<i>x</i>₁+
1

<i>x</i>₂ ; C =
<i>x</i>₁
<i>x</i>2

+<i>x</i>2
<i>x</i>1

; D = x13_{+ x2}3
E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13_{- x2}3

<b>Bài 20 : Cho phơng trình : x</b>2_{- 8x + n = 0 (1) n là tham số}
a) Giải phơng trình với n = 1

b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm

c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn
1) x1 - x2 = 2 ; 3) 2x1 + 3x2 = 36

2) x1 = 3x2 ; 4) x12_{+ x2}2_{= 50}

<b>Bài 21 : Cho phơng trình : 3x</b>2_{- 4x + m = 0}
Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 tha món

a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1

<b>Bài 22 : Cho phơng trình x</b>2_{- 2(m-2)x - 6m = 0 (Èn x)}
a) Giải phơng trình với m = -3

b) Tỡm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm cịn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình. Hãy tính A = x12_{+ x1}2_{theo m}
từ đó tỡm giỏ tr nh nht ca A.

bài mẫu<b>: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm </b>
<b>Ví dụ 1: Cho phơng trình x</b>2_{+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (Èn x)}

a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biƯt víi mäi m

b) Hãy m để biểu thức A= x2_1x2_{+ x}2_{2x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó}
Giải: a) phơng trình: x2_{+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x)}

(a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….)

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

= m2_{-2m(…..)+(….)}2 _{-………+24}
=(…..-……)2 +………

NhËn thÊy: (..-)2 0 với mọi giá trị của m

=> (…..-……)2 +..> 0 với mọi giá trị của m

Hay '> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt víi mäi m

¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã:

¿

.. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. .
.. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. ..
.

¿{
¿

(I)

Lại có: A= x2_1x2_{+ x}2_{2x1 = x1x2}_{(……+……)}
Thay (I)vào A ta đợc :

A= -2(m-3)(…..-……)

=………. = - 4m2_{+ 42m - 90}
-A = 4m2_{- 42m - 90}

= (2m)2_{-2.2m(…..)+(….)}2 _{-………- 90}
=(……-……)2 -………

NhËn thÊy: (..-)2 0 với mọi giá trị của m

<=> (…..-……)2 -………≥…….. với mọi giá trị của m

Hay -4A với mọi giá trị của m A.. với mọi giá trị của m

Dấu "=" xảy ra khi =0 m=

Vậy giá trị

<b>Ví dụ 2: Cho phơng trình x</b>2_{- 2(3m+1)x + 9m}2_{-17= 0 (1) (Èn x)}

Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 là nghiệm của phơng
trình (1) )

<b>Giải: phơng trình x</b>2_{- 2(3m+1)x + 9m}2_{-17= 0 (1) (Èn x)}
(a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….)

Ta cã : ∆'=………
= 6m+18

Để hpơng trình (1)có nghiệm thì ∆'≥ 0 hay………  m ≥ ……
Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………..

mµ m …….=> 6m……….  6m+... Hay A.
Dấu "=" xảy ra khi m =...

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là ...khi m=...

<i>Bạn hÃy tự phân chia các bớc của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của phơng trình bậc hai</i>

<b>Bài 23 : Cho phơng trình x</b>2_{+ (m+1)x + m = 0 (Èn x)}

a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m
b) H·y tÝnh x2_1x2_{+ x}2_{2x1 theo m}

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc :E = x2_1x2_{+ x}2_2x1

d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghim gp ụi nghim kia.

<b>Bài 24 : Cho phơng trình: x</b>2_{+ mx + m - 2 = 0 (1) (Èn x)}

a) Chøng minh r»ng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x2

1 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1)

<b>Bài 25 : Cho phơng trình: x</b>2_{- (k+1)x + k = 0 (1) Èn x tham sè k}
a) Chøng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng tr×nh (1) TÝnh biĨu thøc
A = x2_1x2_{+ x}2_{2x1 +2007 theo m. T×m giá trị nhỏ nhất của A}

<b>Bi 26 Cho phng trình: : x</b>2_{+ 2mx + m}2_{+ 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)}
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghim

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x1+x2

c)Tìm giá trị nhá nhÊt cđa :B=x1+x2+x1.x2+2007

<b>Bài 27 *: Cho phơng trình: x</b>2_{- (m+1)x + m}2_{-2m + 2 = 0 (ẩn x)}
a) Tìm giá trị của m để phơng trình vơ nghiệm

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x2_{1 + x2}2_{t giỏ tr ln nht}

e) Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc B = x1 + x2

<b>Bài 28 : Cho phơng trình : 2x</b>2_{+ 2(m+1)x + m}2_{+ 4m + 3 = 0 (ẩn x)}
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2

b) Tìm giá trị lớn nhất của A =  x1x2 - 2x1 - 2x2

<b>Bµi 29 : Cho phơng trình: x</b>2_{- (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1) (ẩn x)}
a) Với giá trị nào của k thì phơng tr×nh (1) cã 2 nghiƯm

b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hãy tính P = x1 + x2 ; S = x1. x2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k

<b>Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x</b>1 ; x2 độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x2_{- (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x}2_{-2(m-3)x - 2(m-1) = 0}
c) x2_{+ (m-1) x+ m}2_{+ 5m = 0 d) (m-1)x}2_{- 2mx + m + 1 = 0}

<b>Bµi 31 : Cho phơng trình: x</b>2_{- (2m-1)x+ m}2_{- m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè)}

a) Tính  để chứng tỏ phơng trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m

c) Tìm m A 3

<b>Bài 32 : Cho hai phơng tr×nh : x</b>2_{- 7x + 6 = 0}

x2_{+ (m+1)x + 24 = 0}
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung

<b>Bài 33 : Cho hai phơng trình : x</b>2_{+ x + m = 0 vµ x}2_{+ mx + 1 = 0}

a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.

<b>Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung</b>

2x2_{- (3m+2) x + 12 = 0}
4x2_{- (9m-2)x + 36 = 0}

<b>Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng</b>

x2_{+(3m+2n)x - 4 = 0}
x2_{+ (2m-3n)x + 2n = 0}

<b>Bài 36 : Cho hai phơng trình x</b>2_{+ p1x + q1 = 0 vµ x}2_{+ p2x + q2 = 0}

BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) . CMR: Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng trình có nghiệm.

<b>Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng tr×nh </b>

ax2_{+ bx + c = 0 (1)}
vµ a1x2_{+ b1x + c1 = 0 (2)}
Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung th× (ac1 - a1c)2_{= (ab1 - a1b) (bc1-b1c)}

<b>Mét sè bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai</b>

<b>Bài 38: Cho phơng trình: x</b>2_{- 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)}

<b>a)Giải phơng trình khi m=1</b>

b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc M= x12 _+x22

<b> Bµi 39: Cho phơng trình: x</b>2_{- (k+1) x +k = 0 (1)}

<b>a)Giải phơng trình khi k = 2004</b>

b)CMR phơng trình luôn cã nghiƯm

c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình .Tính B= x12_{+ x2}2_{- 16 x1.x2 theo k.}
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.

d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12_{+ x2}2₌₅
e)Tìm k để phng trỡnh cú nghim kộp .Tỡm nghim ú

<b>Bài 40:Cho phơng tr×nh: x</b>2_{- (a-1) x - a}2_{+a - 2 = 0 (1)}

1) CMR phơng trình (1)ln ln có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình .Tính S= x12_{+ x2}2_{theo a.}
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.

3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a.
4)Tìm a để nghim x1,x2 tho món 1

<i>x</i>₁ +
1

<i>x</i>₂ nhận giá trị dơng
<b>Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x</b>2_{+ 5 x +m}2_{- 1= 0}

a) Gi¶i phơng trình với m =-1

b)Tỡm m phng trỡnh có 2 nghiệm trái dấu.

c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.

<b>Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x</b>2_{- 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)}
1.Giải phơng tr×nh khi a=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.

4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.

<b>Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x</b>2_{+ p x +q = 0(1)}
a)Không giải phơng trình tÝnh theo p,q biĨu thøc

A=

<i>2 x</i>1+3¿2

¿
<i>2 x</i>₂+3¿2

2¿
2¿
1
¿

theo p ,q

b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là <i>x</i>1+1

<i>x</i>1<i>1</i>

và <i>x</i>2+1

<i>x</i>2<i>1</i>

d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .
e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x2_{+ n x +m = 0 cã nghiƯm chung th×}

(n+p)2_{+(m- p)(mq-np) = 0.}

<b>Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x</b>2_{+ 2m x +2m-1 = 0 (1)}
1)CMR phơng trình (1)ln có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m.
b. Tìm m để x1- x2 =6.

c. Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc A== x12_{x2 + x2}2_x1

3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3

<b>Chun đề : </b>

<b> giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình</b>
<b>dạng tốn chuyển động.</b>

<b>Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến</b>

chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự
định lúc đầu

<b>Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở</b>

vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc
ng-ời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngng-ời.

<b>Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh</b>

hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

<b>Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B tr ớc dự định là 45 phút nên</b>

ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó.

<b>Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ng ời đó có cơng việc bận cần đi</b>

theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời
gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi.

<b>Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30’ một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B và</b>

đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc

xe đạp.

<b>Bµi 7 : Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc 7 giê tõ hai tØnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau hä gỈp</b>

nhau lóc 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi từ B là 3
km/h.

<b>Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30</b>

phót. NÕu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ngời đi bộ) thì ô tô
đuổi kịp ngời đi bộ lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của « t«.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Bµi 9 : Hai tØnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ë C</b>

cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tơ đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở
chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.

<b>Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa qng đờng đầu. Ơ tơ đi với vận tốc</b>

dự định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h
trên nửa qng đờng cịn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng.

<b>Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đ ợc 1 giờ. Ơ</b>

tơ bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ơ tơ lúc
đầu.

<b>Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A đến B</b>

hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về. vận tốc xuống dốc

đi bằng vận tốc xuống dốc về). Tính vận tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc.

<b>Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB</b>

là 4 giờ 20’, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốc lên
dốc là 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc đi bằng vận tốc
xuống dốc lúc về).

<b>Bµi 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi theo</b>

và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hái vËn tèc cđa thun. BiÕt r»ng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12 km một
giờ.

<b>Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời gian</b>

ngợc dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi
dòng và lúc ngợc dòng.

<b>Bi 16 : Mt ca nụ i t A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nơ tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu</b>

ca nơ giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định.

<b>Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca</b>

n«. BiÕt tỉng thêi gian ca n« xu«i và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.

<b>Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km. Một lần khác</b>

ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của
dòng nớc.

<b>Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết vận tốc của</b>

dòng nớc là 2 km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.

<b>Bi 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với</b>

vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nơ II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc sơng, biết hai cơ
nơ n ni cựng mt lỳc.

<b>Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút 2</b>

ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng
là 9 km/h. Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h

<b>Bài 22 : Hai bến sông A, B c¸ch nhau 40 km, cïng mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn</b>

A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trơi

đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nơ, biết vận tốc riêng của ca nơ khơng đổi.

<b>Bµi 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.</b>

Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã tăng vận
tốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu của ơ tô.

<b> Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời gian về</b>
ít hơn thơừi gian đi là 30 phút. Tính vận tc lỳc i.

<b> Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giê 30 phót . BiÕt vËn tèc thùc cđa ca </b>

nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.

<b> Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn </b>
vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc và thời gian
đi quang đờng AB của mỗi ngời.

<b> Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi </b>
vòng con đờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h . Tính vận tốc
lúc đi .Biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b> Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc theo bờ sông </b>
h-ớng đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm cách bến A 8km . Tính vận tốc
của ca nô khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bng 4km/h.

<b>II. Dạng toán chung - riêng </b>

<b>Bi 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với</b>

nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng
gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong
cơng việc trên (với năng suất bình thờng).

<b>Bµi 2 : An và Bình cùng làm chung một công viƯc trong 7 giê 20 phót th× xong. NÕu An lµm trong 5 giê vµ</b>

Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc 3

4 công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm cơng việc đó thỡ

trong mấy giờ xong.

<b>Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và</b>

vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy 2

15 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.

<b>Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu</b>

vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.

<b>Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cïng tu sưa khu vêng thùc nghiƯm cđa nhµ trờng trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu</b>

sửa một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm
một mình thì trong bao lâu hoàn thành công việc.

<b>Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành </b> 2

3 công việc .

Nu mi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong cơng việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao
lâu xong cơng việc.

<b>Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hồn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm</b>

trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% cơng việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao
lâu mới hồn thành công việc.

<b>Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50’. Sau khi làm c 5 gi. Ngi th nht phi</b>

điều đi làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi ngời làm

trong bao lâu thì xong.

<b>Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng cộng số giờ làm</b>

việc là 12h30. Nếu hai ngời làm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm
riêng thì mất bao lâu xong việc.

<b>Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau </b> 44

5 giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1 chảy bằng
11

2 lợng nớc ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.

<b>Bi 11 : Hai ngi th d định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12’ thì xong nhng trong thực tế ngời</b>

1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đơi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc 3

4 c«ng

việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình cơng việc đó trong bao lâu xong cụng vic.

<b>Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê, ngêi</b>

thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% cơng việc. Hỏi mỗi ngời làm cơng việc đó một mình thì trong bao lõu
xong cụng vic.

<b>II. tăng năng xuất :</b>

<b>Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi ng ời còn lại</b>

phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).

<b> Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m</b>3_{đất, đội hai đào đợc 40 m}3_.
Biết mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m3_{. Tính số đất mỗi cơng nhân đội 1 đào đợc.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy</b>

đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà cịn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà
đội phải cày theo kế hoạch đã định.

<b>Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi ngày đã dệt thêm </b>

đ-ợc 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà cịn dệt thêm đđ-ợc 1200 khăn mặt so
vơí kế hoạch . Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu.

<b>Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10</b>

m3_{. Sau khi bơm đợc} 1

3 dung tÝch cđa bĨ chứa, ngời công nhân vận hành cho máy bơm với c«ng st lín

hơn, mỗi giờ bơm đợc 15 m3_{do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích bể}
chứa.

<b>Bµi 6 : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian làm theo năng</b>

suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày
( tăng, giảm so với năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến theo kÕ ho¹ch.

<b>Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt</b>

mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết
máy.

<b>Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vợt</b>

mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong
tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?

<b> Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi ngày đánh bắt </b>
thêm đợc 8 tấn nên chẳng những đã hồn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà cịn đánh bắt vợt mức 20 tấn . Hỏi
số tấn cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?

<b> Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất cả 180 cây. Biết rằng số cây</b>
các bạn nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là 5 cây.Tính
số học sinh nam và n.

<b>IV. Toán hình học :</b>

<b>Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau2m. Tìm các cạnh</b>

góc vuông của tam gi¸c.

<b>Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của </b>

v-ờn) rộng 2m. Diện tích đất cịn lại để trồng trọt là 4256 m2_{. Tính các kích thc ca vn.}

<b>Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh còn lại bằng 15m.</b>

Tính cạnh huyền.

<b>Bi 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vng biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vng là 7 cm.</b>
<b>Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng thêm 3</b>

m thì diện tích sẽ tăng thêm 195 m2_{. Tính các kích thớc ca ming t.}

<b>Bài 6 : Tìm các kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tÝc b»ng 875m</b>2

<b>Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m</b>2_{. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng nếu tăng cạnh}
đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích khơng đổi.

<b>Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều di 10 m . Thỡ din tớch</b>

hình chữ nhật tăng thêm 200m2_{. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.}

<b>Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.</b>

<b>Bài 10 : tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4 m và diện tích tam giác</b>

bằng 48 m2_.

<b>Bi 11. Tớnh độ dài các cạnh của một tam giác vuông , biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp.</b>
<b>Bài12 . Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 34m , đờng cao 13 m.</b>

<b>Bài13. Một tam giác vng có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vng hơn kém nhau 3cm. Tính độ dài các </b>

cạnh của tam giác vuụng ú.

<b> Bài14. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuôngcó cạnh huyền bằng 10. Và một trong các cạnh góc </b>

vuông bằng trung bình cộng của cạnh kia và cạnh huyền.

<b>Bi15. Mt sõn tam giỏc cú din tích 180 m</b>2_{.Tính cạnh đáy của tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và}
giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích khơng đổi.S

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b> I_chøng minh tø gi¸c néi tiÕp</b>

<b>Bài 1 : Chứng minh rằng các tứ giác trong các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc một đờng tròn.</b>

O

P Q

E
F

x
G

H
O

A K

M
N
A

D

C
B
A
D

C
B

A

<b>Bài 2 : Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên ngồi đờng trịn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn </b>

(O). M là một điểm tuỳ ý trên dây BC (M≠B ; M≠ C) đờng thẳng vng góc với OM tại M cắt AB, AC lần lợt ở
D và E. CMR

a. Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp một đờng tròn.
b. M là trung điểm của DE.

<b>Bài 3 : Cho đờng tròn (O) một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó . Trên dây AB lấy hai điểm E và H.</b>

Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt tại C và D. CMR tứ giác EHCD nội tiếp một đờng tròn.

<b>Bài 4 : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng trịn (O). Gọi S là điểm chính giữa của cung nhỏ CD.đờng </b>

thẳng AD cắt BS ở E. đờng thẳng BC cắt AS ở F CMR
a. Tứ giác AFEB nội tiếp một đờng trịn.

b. ED.EA= ES.EB
c. DC song song víi EF.

<b>Bài 5 : Cho ∆ ABC nhọn các đờng phân giác trong của góc </b> <i>_B</i>❑ và góc <i>_C</i>❑ gặp nhau ở S . các đờng phân giác
ngoài <i>_B</i>❑ và <i>_C</i>❑ gặp nhau ở E

a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn.

b> Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE. CMR tứ giác ABMC nội tiếp

<b>Bài 6: cho đờng tròn (0) và một điểm A ở ngồi đờng trịn. Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với </b>

đờng tròn (0) ở B và C gọi M là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn

( M≠B ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB
a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp

b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK
c> chứng minh MI.MK= MH2

<b> Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB .M là một điểm trên đờng trịn(M≠A; M≠ B).</b>

C là một điểm trên cạnh AB (C≠A; C≠0;C≠B) đờng vng góc MC tại M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với
đ-ờng tròn (0) tại E va F chứng minh

a> Tứ giác BCMF nội tiếp một đớng tròn
b> Tam giác ECF vuông tại C

<b>Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB’ và CC’ cắt nhau tại H</b>

a)chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp . Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác BCB’C’.
b)Tia AO cắt đờng tròn (O) ở D, cắt B’C’ ở I. CMR tứ giác B’IDC nội tiếp,

từ đó suy ra AO  B’C’

c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M của BC

<b>Bài 9 : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vng góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. AE cắt </b>

OC ë F, DE c¾t AB ë N.

a. Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng trịn đó
b. Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy

<b>Bài 10 : cho hai đờng tròn (O</b>1) ; (O2) cắt nhau tại E và F ; O1O2 cắt (O1) tại A, C ; cắt (O2) tại B, D (sắp xếp theo
thứ tự A, B, C, D) và cắt EF tại H. P là một điểm trên tia đối của tia EH. CP cắt (O1) tại M ; BP cắt (O2) tại N ;
AM cắt DN tại I chứng minh rằng :

a. Tø gi¸c MPNI néi tiÕp
b. HA. HC = HB. HD
c. Tø gi¸c BNMC néi tiÕp

d. H ; I ; P thẳng hàng và tứ giác ANMD néi tiÕp.

<b>II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng)</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Bài 1 : cho điểm A ở ngồi đờng trịn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn và các cát tuyến AEF ; APQ. </b>

CMR : AT2_{= AE . AF = AP. AQ.}

<b>Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I là giao điểm hai đờng chéo AC và BD.CMR :IA.ID = </b>

IB .IC .

<b>Bµi 3 : </b>

Cho ∆ BAC vuông ở A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.
a. Chứng minh rằng : tứ giác BPQC nội tiếp một đờng tròn

b. Chøng minh r»ng : AP. AB = AQ. AC

c. Gäi O vµ O’ thứ tự là trung điểm của BH và HC. Gọi I là giao điẻm của PQ và AH.
d. CMR : OI2_{= OH. OO’}

<b>Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB và CD vng góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.Gọi </b>

dao ®iĨm cđa AM vµ CD lµ K.
CMR :AM.AK =AD2_{= BD}2_{= 2R}2

<b>Bài 5 : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB . Trên Bx lấy một điểm O sao cho BO = </b> AB

2 . Tia AO cắt đờng tròn

(O ; OB) ở D và E ( D nằm giữa A và O). đờng tròn (A ; AD) cắt AB ở C
a. Tìm vị trí tơng đối của (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE)

b. Chøng minh r»ng : DE2_{= AD. AE}
c. AC2_{= BC. AB.}

<b>Bài 6 : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . AK cắt BC ở I’</b>

và cắt đờng trịn (O) ở P. Kẻ đờng kính PQ. Gọi E và F thứ tự là giao điểm của BK và CK với đờng thẳng AQ.
Chứng minh rằng

a. PC2_{= PI. PA}

b. 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn.

<b>Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, P là giao </b>

điểm của AB và CD, tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và cắt AD thứ tự tại E và Q.
a. Chứng minh rằng : DE // BC

b. Chøng minh : DP. DC = DA. DQ
c. Chøng minh : DE // PQ

d. Gäi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh 1

CE=
1
CQ +

1
CF

<b>III. Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn</b>

<b>Bài 1 : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và hai tia tiếp tuyến Ax, By của nó. Một đờng thẳng d tiếp xúc </b>

với nửa đờng tròn (O) tại C (c ≠ A, B) cắt Ax, By lần lợt tại E, F
a. Chứng minh OE vng góc với OF

b. Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB.

c. Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OEF. Từ đó chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác OEF.

<b>Bài 2 : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tại A vẽ đờng tròn (I) đờng kính OA.</b>

a. Chứng minh hai đờng trịn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.

b. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đờng tròn (I) và đờng tròn (O) lần lợt ở M và C. CMR : MA= MC
c. Đờng thẳng OM cắt d tại B. Chứng minh rằng : BC là tiếp tuyến của (O).

<b>Bài 4 : cho nửa đờng trịn đờng kính AB và C ; D là hai điểm trên đó (C nằm giữa A và D). AC và AD cắt tiếp </b>

tuyến Bx của nửa đờng tròn lần lợt tại E và F.
a. Chứng minh ABD = AEF ; ABC = AEB

b. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp một đờng tròn

c. Gọi I là trung điểm của FB.Chứng minh rằngDI là tiếp tuyến của na ng trũn.

d. Giả sử CD cắt Bx ở G, phân giác của CGE cắt AE và AF thứ tự tại M và N. Chứng minh tam tiác AMN
cân.

<b>Bi 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng trịn (O) và E là điểm chính giữa cung AB. Hai dây EC, ED cắt </b>

AB thø tù t¹i P và Q các dây AD và EC kéo dài cắt nhau ở I. Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau ở K. Chứng
minh rằng

a. Tứ giác CDIK néi tiÕp
b. Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp

c. IK song song với AB

d. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xóc víi EA t¹i A

<b>Bài 6 : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I là trung điểm của AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, cắt CI tại </b>

H

a. Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam gi¸c ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

c. Chứng minh ngợc lại rằng : nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì đờng trịn ngoại tiếp tam giác AHC
tiếp xúc với AB.

<b>Bài 7 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một dây cung thay đổi MN=R</b>

_√

₂ (M nằm ở giữa cung
AN) AM cắt BN ở C ; AN cắt BM ở D.

a. Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đờng trịn tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác CMDN.
b. Chứng minh rằng CD vng góc với AB.

c. Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN
d. Chứng minh rằng CD =AB và CD song song với một đờng thẳng cố định.

<b>Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C. Vẽ hai nửa đờng trịn đờng kính AB và BC ( vẽ cùng một </b>

phía của AC). trên đờng thẳng vng góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC = 900_{.gọi giao điểm của}
DA và DC với 2 nửa đờng trònl à E và F .Chứng minh rằng

a. EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
b. Tứ giác AEFC nội tiếp một đờng trịn

c. Xác định vị trí của điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vng.

<b>Bài 9 : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp trong đờng tròn (O,R) H là giao điểm của các đờng cao </b>

AM ; BN ; CP còn Q là điểm đối xứng của H qua trung điểm E của cạnh BC. Chứng minh các góc
PNB = BNM = CBQ

1. Chứng minh rằng : Q thuộc đờng tròn tâm (O)

2. Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC ở K. Chứng minh rằng xy là
tiếp tuyến của đờng tròn (O) và AK2_{= KB. BC}

3. Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC, tính HI theo R.

<b>IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vng góc</b>

<b>Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) ở D, kẻ đờng kính AOE</b>

a. Chøng minh r»ng : DE song song víi BC.

b. Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
c. Tính bán kính của đờng tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm

<b>Bµi 2 : </b>

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, gọi S là trung điểm của AO, vẽ đờng tròn tâm S đi qua A.
a. Chứng minh rằng các đờng tròn (O) và (S) tiếp xúc với nhau tại A

b. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đờng tròn (S) tại M và đờng tròn (O) tại P
Chứng minh rằng : 1. SM // OP

2. M là trung điểm của AP và OM //BP

<b>Bài 3 : Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) ở</b>

C cắt đờng tròn (O’) ở D (A nằm giữa C và D), vẽ một đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) ở E, cắt đờng tròn
(O’) với F (B nằm giữa E, F). hai đờng thẳng CD và EF khơng cắt nhau ở bên trong hai đờng trịn. Chứng minh
rằng CE // DE.

<b>Bài 4 : Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa </b>

đờng tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng
minh rằng

a. MN // AC

b. CD. MN= CM. BD

<b>Bài 5 :Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) các đờng phân giác trong của các góc B, C ln lt ct ng </b>

tròn tại E, F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt tại H, I.
a) Chứng minh các tam giác FKB và EAK cân

b) Chng minh tứ giác FIKN nội tiếp. Từ đó suy ra IK // AC
c) Có nhận xét gì về tứ giác AIKH ?

<b>Bài 6 : cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.</b>

a. Chøng minh r»ng OT// AB

b. Chứng minh rằng : ba điểm O,C,T thẳng hàng
c. tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R

<b>Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vng góc với nhau tại I. Chứng minh rằng :</b>

a) Khoảng cách từ O ti AB bng na di CD.

b) Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với AD.

<b>Bµi 8: </b>

Cho đờng trịn đờng kính BC. Một điểm P ở ngồi đờng trịn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngồi đờng
trịn. Giao của PB, với PC với đờng tròn lần lợt là M, N, giao của AN với đờng tròn là E. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đờng trịn
b) EM vng góc với BC.

<b>Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một đờng trịn (O), ngồi ra ACB = 45</b>0_{. Các đờng cao AH,}
BH của tam giác cắt đờng tròn lần lợt tại P, Q. Hai đờng thẳng AQ và BP giao nhau tại S.

a) Chứng minh PQ là đờng kính của đờng trịn (O).

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

b) Chøng minh các tam giác ASH và APQ là hình bình hành
c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là bằng nhau

d) Nếu tam giác ABC có góc B tù thì các kết quả trên cịn đúng hay khơng ? chứng minh các điều đó.

<b>Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác trong của các góc B,và C lần lợt cắt đờng </b>

trßn tại E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt tại H; I .CMR:

a) MN//AC.

b) CD.MN = CM.BD

<b>B</b>

<b> ài 11 :Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vng góc với nhau tại I .CMR </b>

a)Khoảng cách từ O tớ AB bng na di CD

b)Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuong góc với AD.

<b>Bi 12: Cho đờng trịn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngồi đờng trịn có hình chiếu trên BC là một điểm trên </b>

A ở ngồi đờng trịn .Giao điểm của PB và PC với đờng tròn lần lợt là M&N .Gọi giao điểm của AN với đờng
tròn là E .CMR:

a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đờng trịn.
b)EN vng góc với BC.

<b>Bài 13:Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O),ngồi ra góc ACB =45</b>0_{. Các đờng cao AH,BH của}
tam giác cắt đờn tròn lần lợt tại P,Q .Hai đờng thẳng AQ ,BP giao nhau tại S. CMR:

a)PQ là đờng kính của đờng trịn(O).
b) ACBS là hỡnh bỡnh hnh

c)Các <i></i> ASH và APQ là b»ng nhau:

d) Nếu <i>Δ</i> ABC có góc B tù thì các kết quả trên cịn đúng hay khơng?Chứng minh điều đó.

<b>II. chøng minh ba điểm thẳng hàng</b>

<b>Bi 1cho hai ng trũn tõm O và O’cắt nhau tại Avà B. từ B kẻ các đờng kính BOC và BO’D </b>

a. chøng minh r»ng: ba điểm C,A,D thẳng hàng. suy ra CD = 2OO

b. gọi M là trung điểm của dây cung chung AB. CMR ba điêmt O,M,O thẳng hàng
c. biết OO= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm . tÝnh AB,AC vµ diƯn tÝch OBO’

<b>Bµi 3: </b>

Cho hai điểm A, B cố định trên đờng tròn (O). Các điểm C, D di động trên đờng tròn sao cho AD//BC và C, D ở
về cùng một phía với dây AB ; M là giao điểm của AC, BD các tiếp tuyến với đờng tròn tại A và D cắt nhau tại I.
Chứng minh

a. Ba điểm I, O, M thẳng hàng

b. Chng minh bn im A, B, M, P cùng thuộc một đờng tròn
c. Bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác MDC là hình số.

<b>Bài 4: Cho M là một điểm di động trên nửa đờng trịn đờng kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. </b>

Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại K.
Các tia AH, BM cắt nhau tại S.

a. Chứng minh tam giác ABS cân.Từ đó chứng minh S nằm trên một đờng tròn cố định.
b. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đờng tròn (B, BA)

c. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) tại N. Chứng minh rằng M, N, A thẳng hàng.

<b>Bµi 5 : </b>

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng trịn ở E. Kẻ đờng kính AOF.
a. Chứng minh tam giác BCEF là hình thang cân

b. Chứng minh BAE = CAF

c. Gọi I là trung điểm của BC. chứng minh H, I, F thẳng hàng.

<b>VI. phng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy</b>

<b>Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O’) cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng vng góc với AB tại B cắt các đờng tròn (O) và</b>

(O’) lần lợt tại C, D. Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự tại E, F. Chứng minh
a) Tứ giác CFED nội tip

b) AB là phân giác góc FBE

c) Cỏc ng thng CF, DE, AB nội tiếp.

<b>Bài 2:Từ một điểm C ở ngồi đờng trịn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vng góc với AB. Các đờng</b>

thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M và N.

a) Chứng minh rằng IN, IM và AB đồng quy tại một điểm D.

b) Chøng minh r»ng c¸c tiÕp tuyến tại M và N đi qua trung điểm E cđa CD

<b>Bài 3: Cho hai đờng trịn (O, R) và (O’ , R’) tiếp xúc ngoài tại A(R>R’). Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O) </b>

và (O’) theo thứ tự tại B và C(B và C khác A). EF là dây cung của đờng trịn (O) vng góc với BC tại trung
điểm I của BC, BC cắt đờng trũn (O) ti D.

<b>VII. toán tổng hợp và toán khác</b>

<b>Bi 1: cho hình vng ABCD có cạnh 4 cm. điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3 cm . vẽ đờng trịn tâm O </b>

có đờng kính BM đờng tròn nay cắt AC ở E ( khác A )
1. tính bán kính đờng trịn (O)

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

3. CMR: tam giác BEM là tam giác vuông cân

4. tiếp tuyến Bx của đờng tròn (O) cắt DC ở K . CMR: M,E,K là ba điểm thẳng hàng

<b>Bài 2: cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và(O’) cắt nhau tại hia điểm Avà B . đờng thẳng vng góc với AB kẻ </b>

qua B cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại các điểm thứ hai C và D Lấy điểm M trên xung nhỏ CB với đờng tròn
tâm (O) . Gọi giao điểm thứ hai của 2 đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O’) là N và giao điểm của hai đờng
thẳng CM và DN l P

a. tam giàc AMN là tam giác gì ? t¹i sao?

b. CMR: tứ giác ACPD nội tiếp . từ dó suy ra P ln thuộc đờng trịn

c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O’) là Q tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao ?

d. Gọi giao điểm của AP và CD là E CMR: khi M di động trên cung nhỏ BC thì tâm đờng trịn ngoại tiềp
tam giác CED luôn thuộc 1 đờng thẳng cố định

<b>Bài 3: cho nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kỡ trờn cung</b>

AK. Trên tia BM lấy điểm N sao cho BN =AM

a. chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam giác BNK

b. tam giac MNK vuông cân và MK là tia phân giác góc AMN

c. khi M chuyển động trên cung AK thì đờng vng góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố
định

<b>Bài 4: cho đờng trịn (O) đờng kính AB. I và K thuộc AB sao cho OI= OK M thuộc (O). MO,MI ,MK cắt (O) </b>

lần lợt tại E,C,D . đờng thẳng CD cắ AB tại F . EI cắt DE tại N. MI cắt EF tại H
a. CMR: FA.FB = FC.FD b. M? thì MI =IH

c. CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d. CMR: EF là tiếp tuyến của tâm (O)

<b>Bi 5.Cho ng trịn tâm O ,dây AB , C nằm ngồi (O) , C thuộc tia AB . P là điểm nằm chính giữa cung lớn </b>

AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB tại D ,tia CP cắt đờng ròn tại I , AB cắt QI tại K.
1. Chứng minh rằng tứ giác PDKI nội tiếp .

2. Chøng minh QB2_{= QK.QI}
3. Chøng minh CI.CP = CK.CD

4. Chứng minh IC là phân giác góc ngồi đỉnh I của tam giác AIB.
5. chứng minh CK.CD = CA.CB.

<b>Bài 6. Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O'; r) (R > r) tại C. AC,BC là hai đờng kính của (O) và (O'). DE là dây của (O)</b>

vng góc với AB tại trung điểm M của AB; đờng thẳng DC cắt (O') tại F .Chứng minh rằng:
1. Tứ giác AEBD là hình gì?

2 . 3 điểm B,E,F thẳng hàng .
3. Tø gi¸c MDBF néi tiÕp .

4. DB cắt (O') tại G . Chứng minh DF,EG,AD đồng quy.
5.DE = 2 MF. và MF là tiếp tuyến (O').

<b>Bµi 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P là điểm chính giữa cung AB không chứa C và D . Hai dây PC ,PD cắt </b>

dây AB tại E,F ; các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài ncắt nhau tại K.
1. So s¸nh hai gãc CID vµ CKD .

2. Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp .
3. Chøng minh IK song song víi AB.

4. Chứng minh AP là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 im A,F,D.

<b>một số bài toán hình học lớp 9</b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt</b>

đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:

1. C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp .

2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.

<b>Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại </b>

tiÕp tam gi¸c AHE.

1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED = 1

2 BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

<b>Bài 3 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuc na </b>

đ-ờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đđ-ờng thẳng AD và BC cắt nhau tại
N.

1. Chứng minh AC + BD = CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

2. Chøng minh COD = 900_.
3. Chøng minh AC. BD = AB

2

4 .

4. Chøng minh OC // BM

5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính CD.
6. Chứng minh MN  AB.

7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

<b>Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng trịn bàng tiếp góc A , O là</b>

trung ®iĨm cđa IK.

1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng trịn (O).

3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

<b>Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bt </b>

kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC
MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2. Chng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R2_{; OI. IM = IA}2_.

4. Chøng minh OAHB lµ hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hµng.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d.

<b>Bài 6 Cho tam giác ABC vng ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH. Gọi HD là là đờng kính </b>

của đờng trịn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.

2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.

<b>Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP ></b>

R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M.

1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng trịn.
2. Chứng minh BM // OP.

3. §êng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

<b>Bi 8 Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng trịn ( M khác A,B). Trên nửa </b>

mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa
đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM ti K.

a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiÕp.

b) Chøng minh r»ng: AI2<b>_{= IM . IB.}</b>

c) Chứng minh BAF là tam giác cân.

d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.

e) Xỏc nh vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.

<b>Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. </b>

Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.

2. Chøng minh  ABD = DFB.

3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiÕp.

<b>Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là</b>

điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đơng vng góc từ S đến
AB.

1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn .

2. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PS’M cân.
3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn .

<b>Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E, F . </b>

BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :

1. Tam giác DEF cã ba gãc nhän.

2. DF // BC.

3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp.
4. BD

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b>Bài 12 Cho đờng trịn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy</b>

điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đờng thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn
ở P. Chứng minh :

1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.

2. Tø gi¸c CMPO là hình bình hành.

3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

4. Khi M di chuyn trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.

<b>Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ </b>

nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng trịn đờng kính HC cắt AC tại F.
1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.

2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3. AE. AB = AF. AC.

4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng trũn .

<b>Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa </b>

đ-ờng tròn có đđ-ờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.

Đờng vng góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với
các nửa đờng tròn (I), (K).

1. Chøng minh EC = MN.

2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng trịn (I), (K).
3. Tính MN.

4. Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn .

<b>Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng trịn (O) có đờng kính MC. đờng </b>

thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .

2. Chøng minh CA là tia phân giác của góc SCB.

3. Gi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.

5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.

<b>Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. </b>

Các đờng trịn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G.
Chứng minh :

1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .

3. AC // FG.

4. Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy.

<b>Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M khơng trùng B. C, H ) ; </b>

từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.

1. Chng minh APMQ l t giỏc nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác đó.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.

3. Chøng minh OH PQ.

<b>Bài 18 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H khụng trựng O, B); trờn </b>

đ-ờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đđ-ờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đđ-ờng tròn (O) tại
C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.

1. Chứng minh MCID là tø gi¸c néi tiÕp .

2. Chứng minh các đờng trịn AD, BC, MH đồng quy tại I.

3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .

<b> Bài 19. Cho đờng trịn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung </b>
điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB. CD cắt đờng trịn đờng kính BC tại I.

1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.

4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.

5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.

<b>Bài 20. Cho đờng trịn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngồi nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kớnh </b>

đi qua điểm C của (O) và (O). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung ®iĨm M cđa AB. Gäi giao
®iĨm thø hai của DC với (O) là F, BD cắt (O) tại G. Chøng minh r»ng:

1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp .

2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng trịn .
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.

4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, AG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.

7. MF lµ tiÕp tun cđa (O’).

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trờn (I) </b>

lấy P bất kì, AP cắt (O) t¹i Q.

1. Chứng minh rằng các đờng trịn (I) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A.

2. Chứng minh IP // OQ.

3. Chøng minh r»ng AP = PQ.

4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

<b>Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vng góc với DE, đờng thẳng </b>

này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .

2. TÝnh gãc CHK.

3. Chøng minh KC. KD = KH.KB

4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào?

<b>Bµi 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE.</b>

1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. ng thng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, Chứng minh FBC là tam giác vuông cân.
3. Cho biết ABC > 450_{; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm}

trên một đờng tròn.

4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

<b>Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 45</b>0_{. Vẽ đờng trịn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA}
và BC tại D và E.

1. Chøng minh AE = EB.

2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I
của BH.

3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

<b>Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và C chúng </b>

cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vng góc MI, MH, MK xuống các cạnh
t-ơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH l Q.

1. Chứng minh tam giác ABC cân.

2. Các tø gi¸c BIMH, CIMH néi tiÕp . 3. Chøng minh MI

2_{= MH.MK.}
4. Chøng minh PQ  MI.

<b>Bài 26. Cho đờng trịn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của </b>

cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao ®iĨm cđa AM vµ CB. Chøng minh :
1. KC

KB=
AC

AB 2. AM là tia phân giác của góc CMD._{3. Tứ gi¸c OHCI néi tiÕp}

4. Chứng minh đờng vng góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M.

<b>Bài 27 Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngồi đờng trịn . các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc</b>

với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK 
CA, MI  AB.

1. tø gi¸c ABOC néi tiÕp.

2. Chøng minh BAO =  BCO.

3. Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK.
4. Chứng minh MI.MK = MH2_.

<b>Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua </b>

BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
2. E, F nằm trên đờng trịn (O).

3. Chøng minh tø gi¸c BCFE là hình thang cân.

4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm cđa tam gi¸c ABC.

<b>Bài 29 BC là một dây cung của đờng tròn (O; R) (BC </b> 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O
luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.

1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
2. Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’.

3. Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’.

4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát.

<b>Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đờng cao AH và bán </b>

kÝnh OA.

1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
2. Gi¶ sư B > C. Chøng minh OAH = B - C.
3. Cho BAC = 600_{vµ OAH = 20}0_{. Tính:}

a) B và C của tam giác ABC.

b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhá BC theo R.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

2. Vẽ đờng kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đờng cao của tam giác ABC Chứng minh BD //
AH và AD // BH.

3. TÝnh AH theo R.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi
tiÕp .

2. Chøng minh  BAC = 900_.
3. TÝnh sè ®o gãc OIO’.

4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A =
4cm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

(O). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao điểm của OM và
AB, F là giao điểm của OM và AC. Chứng minh :

1. Chứng minh các tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp .
2. Tø gi¸c AEMF là hình chữ nhật.

3. ME.MO = MF.MO.

4. OO l tip tuyến của đờng trịn đờng kính BC.
5. BC là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính OO’.

<b>Bài 39 Cho đờng trịn (O) đờng kính BC, dấy AD vng góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân</b>

các đờng vng góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác
HBE, HCF.

1. Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).
2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.

3. Chøng minh AE. AB = AF. AC.

4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).
5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.

<b>Bài 40 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm </b>

M råi kỴ tiÕp tun MP cắt By tại N.

1. Chng minh tam giỏc MON đồng dạng với tam giác APB.
2. Chứng minh AM. BN = R2_.

3. TÝnh tØ sè <i>S</i>MON

<i>S</i>APB

khi AM = <i>R</i>

2 .

4. TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.

<b>Bi 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm D, </b>

E sao cho  DOE = 600_.

1. Chứng minh tích BD. CE khơng đổi.

2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc
BDE

3. Vẽ đờng trịn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đờng tròn này luôn tiếp xúc với DE.

<b>Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp </b>

tuyến tại B và C lần lợt cắt AB, AC ë D vµ E. Chøng minh :
1. BD2_{= AD.CD.}

2. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp .
3. BC song song víi DE.

<b>Bài 43 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng trịn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua </b>

M, BN c¾t (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp .

2. Chøng minh NE  AB.

3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).
4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA).

<b>Bài 44 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đờng tròn (O) tiếp xúc với </b>

đ-ờng tròn (O’) tại A. Dây AD của đđ-ờng tròn (O’) tiếp xúc với đđ-ờng tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối
xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng:

1. AB  KB.

2. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đờng tròn

<b>Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp </b>

tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F.
1. Chứng minh BC // AE.

2. Chøng minh ABCE là hình bình hành.

3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. So sánh BAC và BGO.

<b>Bi 46 Cho ng trũn (O) đờng kính AB , trên đờng trịn ta lấy hai điểm C và D sao cho cung AC = </b>

cung AD . Tiếp tuyến với đờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F
1. Chứng minh hệ thức : AB2_{= AC. AF.}

2. Chứng minh BD tiếp xúc với đờng trịn đờng kính AF.

3. Khi C chạy trên nửa đờng trịn đờng kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng trung điểm I
của đoạn à chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó

<b>Bai 47</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

khơng là đờng kính của (O). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là
trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:

1. AE2_{= AB.AC}
2. Tø gi¸c AEOF

3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn.
4. ED song song với Ac.

5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định.

<b>Bài 48 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn (O) đờng kính BC cắt AB; AC tại E và D. BD </b>

cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyến AM và AN của (O). Chứng minh:
1. Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đợc.

2. CD.CA + BE. BA = BC2_.
3. M; H; N thẳng hàng.

4. Tớnh chu vi ng trũn ngoại tiếp tứ giác ADHE nếu tam giác ABCD là tam giác đều có cạnh
bằng 2a

<b>Bài 49: Cho đờng trịn (O; R) và điểm M nằm ngồi (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC của (O) và tia Mx </b>

nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đờng thẳng song song với Mx, đờng thẳng này cắt (O) tại điểm
thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đờng kính BB’. Qua O kẻ đờng thẳng vng góc với BB’ đờng này
cắt ; BC lần lợt tại K và E . Chứng minh:

1. Tứ giác MOIC nội tiếp.
2. OI vuông góc với Mx.

3. ME có độ dài khơng phụ thuộc vị trí của điểm M.

4. Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đờng nào? Tại sao?

<b>Bµi 50: Cho (O; R) và điểm A (O). Một góc vuông xAy quay quanh A và luôn thoả mÃn Ax; Ay c¾t </b>

(O). giọ các giao điểm thứ hai của Ax; Ay với (O) lần lợt là B; C. Đờng trịn đờng kính AO cắt AB; AC
tại các điểm thứ hai tơng ứng là M; N. Tia OM cắt (O) tại P. Gọi H là trực tâm tam giỏc AOP. Chng
minh:

1. Tứ giác AMON là hình chữ nhËt.
2. MN // BC.

3. Tø gi¸c PHOP néi tiÕp.

4. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.

*******************

</div>

<!--links-->