Nhà trường tổ chức thành công hội nghị công chức, viên chức năm học : 2018-2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.28 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
(Ban cơ bản)

Vấn đề 1: Điều kiện của phương trình f(x)=g(x) .

Điều kiện của phương trình là điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa.
Chú ý: 1) Phương trình dạng: f 1

(x)=

√

g(x)

Đặt điều kiện:
¿
f(x)≠0

g(x)≥0
¿{

2) Phương trình dạng: f 1
(x)=

√

g(x)
Đặt điều kiện:

¿
f (x)≠0
g(x)>0

¿{
¿

Ví dụ 1:Tìm điều kiện của phương trình sau
1) 2x

x2−4=

√

x −3 2)

x+4

√

x −1=

√

2− x 3)

√

2x+1=
1

x 4)
x

√

x −1=

√

x+3
Giải:

1) Điều kiện:

¿
x2−4≠0

x −3≥0
¿{

⇔
x ≠2
x ≠ −2

x ≥3
¿{ {

⇔x ≥3

2) Điều kiện:

¿
2− x ≥0
x −1>0

¿{
¿

⇔
x ≤2
x>1
¿{

⇔1<x ≤2

3) Điều kiện:

¿
x ≠0

2x+1≥0

¿{
¿

⇔
x ≠0
x ≥ −1

2
¿{

4) Điều kiện:

¿
x −1>0
x+3>0

¿{
¿

⇔
x>1
x>−3

¿{

⇔x>1

Bài tập tương tự: Tìm điều kiện của phương trình sau

√

3x −2= 1

2x+1 2) 3x 7 x 1 2 3)

√

2x+7=x −4

4) x −x+11= 2

√

3− x 5) 1− x
2

= x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cho hai phương trình f1(x)=g1(x) (1) và f2(x)=g2(x) (2)
Gọi S1 và S2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2).

* Để chứng minh hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau ta chứng minh S1 = S2 . Khi đó

ta viết: (1)  (2).

* Để chứng minh phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) ta chứng minh
S1  S2 . Khi đó ta viết: (1)  (2).

Ví dụ 1:

Chứng minh hai phương trình sau là tương đương:
x4

+1=x2+1 (1) và x(x −1)(x+1)=0 (2)
Giải:

(1)  x2

(x2−1)=0

⇔
x=0

¿
x=1

¿
x=−1

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là: S1={0;−1;1} .

(2)
⇔
x=0

¿
x=1

¿
x=−1

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={0;−1;1} .
Ta có: S1 = S2 . Vậy: (1)  (2).

Ví dụ 2: Cho hai phương trình

√

2x2−1=x (1) và 2x2−1

=x2 (2)
Hãy chứng minh (2) là hệ quả của (1).

Giải:

(1)

¿
x ≥0
2x2−1=x2

¿{
¿

⇔
x ≥0
x2=1

¿{

⇔
x ≥0
x=1(n)

¿
x=−1(l)

¿
¿⇔x=1

¿
¿
¿
¿

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(2)
x2

=1⇔
x=1

¿
x=−1

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={−1;1} .
Ta có: S1  S2 . Vậy: (1)  (2).

Bài tập tương tự:

1) Chứng minh hai phương trình sau là tương đương:
x2

+x=0 và x+1¿
2

=0
x2

+¿
2) Cho hai phương trình 2x2− x=0 (1) và 4x2

=x (2)
Hãy chứng minh (2) là hệ quả của (1).

Vấn đề 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu QP1(x)
1(x)

+P2(x)
Q2(x)=0 .

Để giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để mẫu số khác 0.

Bước 2: Quy đồng mẫu số, khử mẫu số đưa về giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1) x2(x −1)

x −1 =1 (1) 2)

x+3
x(x −1)+

3
x=

2− x
x −1 (2)
3) 3x −x+24− 1

x+2=
4

x2−4+3 (3) 4) x+1+
2
x+3=

x+5
x+3 (4)
Giải:

1) x2(x −1)

x −1 =1 (1)

Điều kiện: x ≠1

Với điều kiện trên, ta có: (1)

⇔x2=1⇔
x=1(l)ọ

¿
x=−1(n)

¿
¿
¿
¿
¿

⇔x=−1

Vậy phương trình (1) có nghiệm x=−1 .
2) x(x −x+31

)+
3
x=

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Điều kiện:
¿
x ≠0
x ≠1
¿{

Với điều kiện trên, ta có: (2)

⇔x+3+3(x −1)=(2− x)x⇔x(x+2)=0⇔
x=0(l)

¿
x=−2(n)

¿
⇔x=−2

¿
¿
¿
Vậy phương trình (2) có nghiệm x=−2 .

3) 3x −x+24−x1+2= 4

x2−4+3 (3)
Điều kiện:

x ≠2
x ≠ −2

¿{
¿

Với điều kiện trên, ta có:

(3) ⇔(3x+4)(x+2)−(x −2)=4+3(x2−4)⇔9x+18=0⇔x=−2 (loại do vi phạm điều kiện).
Vậy phương trình (3) vơ nghiệm.

4) x+1+ 2
x+3=

x+5
x+3 (4)
Điều kiện: x ≠ −3

Với điều kiện trên, ta có:

(4)

⇔(x+1)(x+3)+2=x+5⇔x(x+3)=0⇔
x=0(n)

¿
x=−3(l)

¿
¿

¿
¿
¿

⇔x=0

Vậy phương trình (4) có nghiệm x=0 .
Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:
1) x −42+x=3x −2

x −2 2)

x+1
2x −2+

3x

2x −3=4 3)

2x −5
x+1 =

3x −1
x −1 −1
4) 2xx++15−

2x

x −1−1=0 5) 2 3 0

1
2
1
1










x
x
x

x

6) 2x −x+11+
3x+2

x =9
7) 2xx −4

+1 +
x+3

2x −1=3 8) x+
1
x −1=

2x −1

x −1 9) x+

1
x −2=

2x −3
x −2
10) 2x+3+ 4

x −1=
x2+3

x −1 11)
x −2

x+2−
1
x=

x(x −2) 13) 1+
1

x −3=

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vấn đề 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu căn.

Để giải một phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong dấu căn bậc chẵn không âm.

Bước 2: Lũy thừa hai vế để khử dấu căn.
Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện.

Bước 5: Kết luận.

Chú ý: 1) Tính chất cơ bản:

√

A=B⇔
B≥0
A=B2

¿{

A.B=0⇔
A=0

¿
B=0

¿
¿
¿
¿

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1)

√

x −3=

√

9−2x (1)

Giải:

Điều kiện:

¿
x −3≥0
9−2x ≥0

¿{
¿

⇔
x ≥3
x ≤9
2
⇔3≤ x ≤9

2
¿{

Với điều kiện trên, ta có: (1) ⇔x −3=9−2x⇔3x=12⇔x=4 (nhận do thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=4 .

2)

√

x2

+2x −1=x −1 (2)
Giải: Áp dụng tính chất cơ bản

(2)

⇔
x −1≥0

x −1¿2
¿
⇔

¿
¿x ≥1

x2+2x −1=x2−2x+1
¿

⇔
¿
¿
¿x ≥1
x2+2x −1=¿

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải: Áp dụng tính chất cơ bản

(3) ⇔

√

x2−3x −1=2x −7

⇔
2x −7≥0

2x −7¿2
¿
⇔

¿
¿
¿x ≥7

2
x2−3x −1

=¿
⇔
x ≥7

2
3x2−25x+50=0

⇔
¿x ≥7

2
x=5(n)

¿
x=10

3 (l)
¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (3) có nghiệm x=5 .

4) x

√

x −5=
3

√

x −5 (4)
Giải:Điều kiện: x>5

Với điều kiện trên, ta có: (4) ⇔x=6 (nhận do thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình (4) có nghiệm x=6 .

5)

(

x2−3x

)

√

x −3=0 (5)
Giải:Điều kiện: x ≥3

Với điều kiện trên, ta có: (5)

⇔
x2−3x+2=0

¿
x −3=0

¿
¿
¿
¿
¿

x2−3x

+2=0⇔
x=1(l)

¿
x=2(l)

¿
¿
¿
¿
¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

* x −3=0⇔x=3 (nhận do thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình (5) có nghiệm x=3 .

Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:

1) x −

√

2x+16=4 2)

√

2x2+5x+1=x+3 3)

√

x2−7x+4=x −2
4)

√

x2−4x+2

√

1− x 5)

√

2x2

+5x+11=x −2 6)

√

x+1=5− x
7) 9x+

√

3x −2=10 8)

√

3x2+x+5=2+x 9)

√

x2−2x+4=

√

2− x

10)

√

2x2−4x −2=x −1 11)

√

3x2−9x+1=

√

x −2 12) x+

√

2x2−2x+3=3
13)

√

3x2−9x+1=x −2 14)

√

6x2−12x+7

=1− x 15)

√

− x2+3x+2=3x −4
16)

√

− x2+x+4=x+1 17)

√

2x2+4x −1=x+1 18)

(

− x2+4x+5

)

√

x −3=0
19)

√

2x2

+x+6=x+2 20)

√

4x+7=2x −3 21)

√

2x2+x+8=x+4
22)

√

− x2+2x+4=3x −4 23)

√

4x −7=2x −5 24) x

√

x −1=

√

x −1
25) x

−4x −2

√

x −2 =

√

x −2 26)

√

x
2−4

=x −1 27)

√

2x+1=3x −1
Vấn đề 5: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Một số dạng thường gặp:

1) Phương trình dạng: |A|=|B| (*)

Phương trình (*)

⇔A2=B2⇔
A=B

¿
A=− B

¿
¿
¿
¿

2) Phương trình dạng: |A|=B (**)

Phương trình (**)
⇔
B ≥0
A2

=B2
¿{

⇔
B ≥0
A=B

¿
A=− B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Phương trình (**)
⇔
¿A ≥0

A=B
¿
¿
¿
A<0

¿
A=− B

¿
¿
¿

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1) |2x −1|=3x −4 (1)

Giải:

(1)

⇔
3x −4≥0

3x −4¿2
¿
¿
2x −1¿2=¿

⇔
x ≥4

3
2x −1=3x −4

2x −1=−3x+4
¿

¿
¿
¿
¿
¿

⇔
x ≥4

3
x=3(n)

¿
x=1(l)

¿
¿
¿
¿
¿
¿

⇔x=3

Vậy phương trình (1) có nghiệm x=3 .

2) |x −2|=x2− x −6 (2)

Giải:

(2)

⇔
¿x −2≥0
x −2=x2− x −6

¿
¿
¿
x −2<0

¿
¿

x −2=− x2+x+6
¿

¿
¿

⇔
¿x ≥2
x2−2x −4

=0
¿

¿
¿
x<2

¿
¿
x2=4

¿
¿
¿

⇔
¿x ≥2
x=1−

√

5(l)

¿
x=1+

√

5(n)

¿
¿
¿
¿
¿
x<2

¿
x=2(l)

x=−2(n)

¿
¿
¿
¿{

¿
¿
¿
¿

⇔
x=1+

√

¿
x=−2

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: x=1+

√

5 ; x=−2 .
3) |2x −1|=|3− x| (3)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(3)

⇔

2x −1=3− x

¿
2x −1=−3+x

¿
¿
¿
¿
¿

⇔
x=4

3
¿
x=−2

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm: x=4

3 ; x=−2 .
4)

|

− x2+4x+7

|

3x2+6x+1

|

(4)

Giải:

(4)

⇔

− x2+4x+7=3x2+6x+1
¿

− x2

+4x+7=−3x2−6x −1
¿

¿
¿
¿
¿

⇔
4x2+2x −6=0

¿
2x2

+10x+8=0
¿

¿
¿
¿

4x2+2x −6=0⇔
x=1

¿
x=−3

2
¿
¿
¿
¿
¿

2x2+10x+8=0⇔
x=−1

¿
x=−4

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm: x=1 ; x=−3

2 ; x=−1 ; x=−4 .
5)

2 1

2
x

x
x



 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Với điều kiện trên, ta có: (5)

⇔
¿x −2>0
x2−1=x2−2x

¿
¿
¿
x −2<0

¿
x −2=− x2

+2x
¿

¿
¿

⇔
¿x>2

x=1
2
¿
¿
¿
x<2

¿
¿
x2− x −2

=0
¿
¿
¿

⇔
¿x>2

x=1

2(l)
¿
¿
¿
x<2

¿
x=−1(n)

¿
x=2(l)

¿
¿
¿
¿
¿{

¿
¿

⇔x=−1

6) 3x2

+5|x −3|+7=0 (6)
Giải:

(6)

⇔
¿x −3≥0
3x2+5(x −3)+7=0

¿
¿
¿
x −3<0

¿
¿
3x2−5(x −3

)+7=0
¿

¿
¿

⇔
¿x ≥3
3x2

+5x −8=0
¿
¿
¿
x<3

¿
¿

3x2−5x+22=0(vn)
¿

¿
¿

⇔
x ≥3
x=1(l)

¿
x=−8

5(l)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình (6) vơ nghiệm.

Bài tập tương tự:Giải các phương trình sau:
1)

|

x2−3x

|

=x+1 2) |2x+3|−5=x 3)

|

x2+2x+3

|

=7− x

|

x2+4x+5

|

=3x+5 5) |2x+1|=|x −3| 6)

|

x2−5x+6

|

=2x −3

7) 2x2  5x5 x2 6x 5 8) |2x −1|=x+1 9)

|

x2+4x+3

|

=x2+3
10)

|

x2−4x+2

|

=x −2 11)

|

x2−1

|

+4x=1 12)

|

2x2−5x+4

|

=2x −1
13)

|

3x2− x+2

|

=2x+8 14)

|

x2+1

|

x2+3x −2

|

15)

|

− x2−4x+2

|

=3x+4

16)

|

− x2+4x −5

|

=8−2x 17)

|

2x2+3x+2

|

=4x+5 18) |x −3|=2x+1

19) |3x −2|=2x+3 20) 2|x −1|=x+2 21)

|x −2|=2x −1

22) |4x −9|=3−2x 23) |2x+1|=|3x+5| 24)

</div>

Nhà trường tổ chức thành công hội nghị công chức, viên chức năm học : 2018-2019

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

(

)

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

(

)

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|