<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Tài liệu ôn thi vào thpt 2010</b>

<b>a. ễn tp I S</b>

<b>Ôn lại kiến thức lớp 8</b>

Cỏc hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phơng của một tổng
( a + b )2_{= a}2_{+ 2ab + b}2

2. Bình phơng của một hiệu
( a - b )2_{= a}2_{- 2ab + b}2

3. Hiệu hai bình phơng
a2_{- b}2_{= ( a + b )( a – b )}

4. LËp ph¬ng cđa mét tỉng
( a + b )3_{= a}3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3

5. LËp ph¬ng cđa mét hiƯu
( a - b )3_{= a}3_{- 3a}2_{b + 3ab}2_{- b}3

6. Tỉng hai lËp ph¬ng

a3_{+ b}3_{= ( a + b )( a}2_{– ab + b}2₎

7. HiƯu hai lËp ph¬ng

a3_{- b}3_{= ( a - b )( a}2_{+ ab + b}2₎

Nhân hai đa thức: Nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
tổng hạng tử của đa thức kia

( a + b )( c + d ) = ab + ad + bc + bd

<i>Lu ý: Khi nhân các hạng tử ta nhân cả dấu hai hạng tử cùng dấu ta đặt dấu trừ </i>
<i>tr-ớc kết quả, hai hạng tử khác dấu ta đặt dấu cộng trtr-ớc kết quả, </i>

 C¸c phơng pháp phân tích đa thúc thành nhân tử
1. Đặt nh©n tư chung

2. Dùng hằng đẳng thức
3. Nhóm các hng t

4. Phối hợp nhiều phơng pháp
5. Tách thêm bớt một hạng tử

<b>Phần I: Căn Bậc hai</b>

I. Kiến thức cần nắm
1. Các khái niệm

* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2_{= a}

Số dơng a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là <i>a</i>và - <i>a</i>
* Căn bậc hai số học của một số dơng a là số dơng x sao cho x2_{= a}

Số x là căn bậc hai số häc cña a ( a _{0 ) viÕt x =} <i>a</i> 2

0

<i>x</i>

<i>x</i> <i>a</i>



 




2. C¸c tÝnh chÊt

* √<i>A</i> xác định với mọi A ≥ 0
* Với a, b là các số dơng, ta có
- Nếu a < b thì <i>a</i> < <i>b</i>

- NÕu <i>a</i> < <i>b</i> th× a < b
Hệ quả áp dụng

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

NÕu : m > 1 th× m > _√<i>m</i>

NÕu: 0< m < 1 th× m < _√<i>m</i>

3. Các công thức biến đổi căn bậc hai :
* Hằng đẳng thức

<i>A</i>2 = |<i>A</i>|

* Khai căn một tích - nhân hai căn bậc hai
√AB = √<i>A</i> . √<i>B</i> (Víi A≥ 0 và B 0)
* Khai căn một thong - chia căn thức bậc hai

√

<i>A</i>

<i>B</i> =
√<i>A</i>

√<i>B</i> (Víi A≥ 0 vµ B > 0)

* Đa thừa số ra ngoài dấu căn

_√

<i>A</i>2<i>_B</i> ₌ _|<i>_A</i>_|

√<i>B</i> ( B 0)
* Đa thùa số vào trong dấu căn

A _√<i>B</i>=

√

<i>A</i>2<i>B</i> (Víi A≥ 0 vµ B ≥ 0)

 A _√<i>B</i>=<i>−</i>

√

<i>A</i>2<i>B</i> (Víi A< 0 vµ B ≥ 0)

* Khư mÉu biĨu thức lấy căn

<i>A</i>

<i>B</i>=

1

|<i>B</i>|AB (Víi AB ≥ 0 vµ B 0)

* Trục căn thức ở mẫu
<i>A</i>

√<i>B</i>=

<i>A</i>√<i>B</i>

<i>B</i> (Víi B> 0)

<i>C</i>

√<i>A ± B</i>=

<i>C</i>(√<i>A∓B</i>)

<i>A − B</i>2 ( Víi A≥ 0 vµ A B
2₎

<i>C</i>
√<i>A ±</i>√<i>B</i>=

<i>C(</i>√<i>A∓</i>√<i>B)</i>

<i>A − B</i> (Víi A ≥ 0 ,B≥ 0 vµ A B)
3. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

* Điều kiện xác định của biểu thức chứa căn bậc hai
 Các căn thúc có nghĩa

 MÉu cđa các phân thức khác không

* Rỳt gn biu thc cha căn bậc hai ta vận dụng tổng hợp các phép tính và các phép
biến đổi căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

II. C¸c dạng bài tập

<b>Bài 1. Tính giá trị các biểu thức </b>

3 8 3 8

<i>A</i>   

1 _- 1

10 -3 10 3

<i>B</i>

 _.

13 20 4 9 4 2

<i>C</i>   
7 4 3 7 4 3

<i>D</i>   

H = 1

√5+_√2+

1

√5<i>−</i>√2

I 4 9 4 2

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

<i>K</i>    

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>









2

1 1 15

6 5 120

2 4 2

3 2 3 2 2

3 3 2 2

3 2 1

<i>E</i>
<i>F</i>
   


    


G =

4
3258218
2

L =



 







5 3 50 5 24
75 5 2

 



2 5 24
M
12
 

<b>N = </b>
4
12
3 5



<b>Bµi 2</b>

<b>.</b>

<b>Chứng minh đẳng thức: </b>

a.

2 3 1

5 3  6 3  6 5 _.

b. 9 4 2 2 2 1 .

c.



13<i></i>160<i></i>



53+490=<i></i>45

<b>Bài 3. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :</b>
<i>A</i>= √2+1

2√3+_√2 ; <i>B</i>=

1

√2+

_√

2<i>−</i>_√2 ; <i>C</i>=

1

√3<i>−</i>√2+1

<b>Bµi 4. </b>Cho biĨu thøc:

<i>A</i>=

(

<i>a</i>+√<i>a</i>

√<i>a</i>+1+1

)

<i>⋅</i>

(

<i>a −</i>√<i>a</i>

√<i>a −</i>1<i>−</i>1

)

<i>;a ≥</i>0<i>, a ≠</i>1 .
1. Rót gän biĨu thøc A.

2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
<b>Bài 5</b>. Cho biểu thức:

<i>Q</i>=

(

√<i>x</i>+2

<i>x</i>+2_√<i>x</i>+1<i>−</i>

√<i>x −</i>2

<i>x −</i>1

)

<i>⋅</i>

√<i>x</i>+1

√<i>x</i> <i>; x</i>>0<i>, x ≠</i>1 .

a. Chøng minh <i>Q</i>= 2

<i>x −</i>1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
<b>Bài 6.</b> Cho biểu thức

x 1 2 x

P 1 : 1

x 1 x 1 x x x x 1

   

_  _{ }  _

    

   

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P x _{nhận giá trị nguyên.}

<b>Bµi 7</b>. Cho biểu thức







a 3 a 2 a a 1 1

P :

a 1 a 1 a 1

a 2 a 1

 
    
 
  _  _

        
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Tìm a để

1 a 1

1

P 8



 

<b>Bµi 8</b>

. Cho biĨu thøc A =

2 ₂

2

1 1 1

. 1
2
1 1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>


 
  
 
 
 

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

2) Rút gọn biu thc A.

3) Giải phơng trình theo x khi A = 2.

<b>Bµi 9. </b> Cho biĨu thøc :

P= <i>a</i>

2

+√a

<i>a−</i>√<i>a</i>+1<i>−</i>

2<i>a</i>+√a

√<i>a</i> +1
<b>a)</b> Rót gän P

<b>b)</b> Biết a>1 Hãy so sánh <b>P </b>với<b> P </b>
<b>c)</b> Tỡm a P=2

<b>d)</b> Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P
<b>Bµi 10.</b> Cho biĨu thøc

P=

(

√<i>a</i>+1

√ab+1+

√ab+√<i>a</i>
√ab<i>−</i>1 <i>−</i>1

)

:

(

√<i>a</i>+1

√ab+1<i>−</i>

√ab+√<i>a</i>
√ab<i>−</i>1 +1

)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a= 2<i>−</i>√3 vµ b= √3<i>−</i>1
1+√3
<b>Bµi 11</b>. Cho biĨu thøc : <i>A</i>= √<i>x</i>+1

<i>x</i>√<i>x</i>+<i>x</i>+√<i>x</i>:

1

<i>x</i>2<i>−</i>√<i>x</i>

1) Rót gän biĨu thøc A .

2) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
<b>Bài 12.</b> Cho biểu thức

2 3 2 2 4

4

2 2 2 2

<b>(</b> <i>x</i> <b>) : (</b> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <b>)</b>

<i>P</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

   



   

a) Rót gän P
b) Cho 2

3
11
4
<i>x</i>

<i>x</i>

. HÃy tính giá trị của P.
<b>Bài 13. </b>Cho biÓu thøc : A =

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

   

 

      

1) Rót gän biĨu thøc A .

2) Chøng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .

<b>Phần ii: phơng trình </b><b> bất phơng trình </b><b> hệ phơng trình</b>

I. Kiến thức cần nắm

1. <b>Ph ơng trình bậc nhất : Dạng ax+b =0.(1)</b>

-Nếu a 0 thì (1) là phơng trình bậc nhất một ẩn, cã nghiÖm duy nhÊt x= <i>− b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

-NÕu a = 0 

<i>b ≠</i>0<i>⇒</i>(1)cã d¹ng 0x=<i>b </i>0 nên vô nghiệm .

<i>b</i>=0<i></i>(1)có dạng 0x=0 nên vô số nghiệm .

2. <b>Bất phơng trình bậc nhất: ax + b > 0</b>  _{ax > - b}

- NÕu a > 0 bất phơng trình có nghiệm x > <i>− b</i>

<i>a</i> ( Chia c¶ hai vÕ bpt cho số a > 0 bpt

giữ nguyên dấu )

- Nếu a < 0 bất phơng trình có nghiệm x < <i>− b</i>

<i>a</i> ( Chia c¶ hai vÕ bpt cho sè a < 0 dÊu

của bpt đổi chiu )

3. <b>Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :</b>
a)Dạng tổng quát :

ax+by=<i>c</i>

<i>a ' x</i>+<i>b ' y</i>=<i>c '</i>

{

(I) (Trong đó

<i>a ≠</i>0

¿
<i>b ≠</i>0

¿
¿
¿
¿

)

*(I) cã nghiÖm duy nhÊt khi <i>a</i>

<i>a'≠</i>

<i>b</i>
<i>b '</i> .

*(I) cã v« sè nghiƯm khi <i>a</i>

<i>a'</i>=
<i>b</i>
<i>b '</i>=

<i>c</i>
<i>c '</i>

*(I) v« nghiƯm khi <i>a</i>

<i>a'</i>=
<i>b</i>
<i>b '≠</i>

<i>c</i>
<i>c '</i> .

b) Phơng pháp giải hệ phơng trình :

+ Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.

+ Gii h phng trỡnh bng phng phỏp cng i s.

<b>4. Phơng trình bậc hai</b> : D¹ng ax2_{+bx +c = 0 (a  0). (1)}
<b>a)C«ng thøc nghiƯm tỉng qu¸t :</b>

<b>BiƯt thøc = b</b> <b>2</b><b>_4ac.</b>

-Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt : x1 = <i>− b</i>+√<i>Δ</i>

2<i>a</i> ; x2 =

<i>− b −</i>√<i>Δ</i>

2<i>a</i> .

-NÕu  = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x1 = x2 =
<i>b</i>

2<i>a</i>

-Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm .
<b>b)Công thức nghiệm thu gän :</b>

* Khi cã hÖ sè b = 2b’ . ta sư dơng c«ng thøc nghiƯm thu gän :
<b>BiƯt thøc </b><b> = b</b>’ ’<b>2</b><b>_ac.</b>

-Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt : x1 =

<i>− b '</i>+√<i>Δ'</i>

<i>a</i> ; x2 =

<i>− b ' −</i>√<i>Δ'</i>

<i>a</i> .

-NÕu ’ = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÕp x1 = x2 =
<i>b'</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

+NÕu (1) cã a+b+c = 0 th× (1) cã 2 nghiÖm :
x1 = 1 ; x2 = <i>c</i>

<i>a</i>

+NÕu (1) cã a – b +c = 0 th× (1) cã hai nghiÖm :
x1 = - 1; x2 = <i>− c</i>

<i>a</i>
<b>d)HƯ thøc ViÐt:</b>

NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) th×

¿
<i>x</i>₁+<i>x</i>₂=<i>−b</i>

<i>a</i>
<i>x</i>₁<i>x</i>₂=<i>c</i>

<i>a</i>
¿{

¿
<b>d) Mét sè chó ý :</b>

* (1) cã nghiƯm khi :  ≥ 0.

* (1)Lu«n cã hai nghiƯm tr¸i dÊu khi ac < 0.

*(1) Cã hai nghiƯm d¬ng khi :

¿
<i>Δ≥</i>0

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂=<i>−b</i>

<i>a</i>>0
<i>x</i>₁.<i>x</i>₂=<i>c</i>

<i>a</i>>0
¿{ {

¿

*(1) Cã hai nghiƯm âm khi :

<i></i>0

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂=<i>b</i>

<i>a</i><0
<i>x</i>₁.<i>x</i>₂=<i>c</i>

<i>a</i>>0
{ {

II. Một số dạng bài tập

<b>Bài 1. Giải phơng trình và hệ phơng trình</b>
a.
2 3
5 4
<i>x y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
 


 


b. 









0

1
3
3
<i>xy</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

c. 







0
1
3
3
<i>xy</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

d. x2 – 10 x + 21 = 0

e. x4 – 6x2_{- 16 = 0}

f. 5x2 + 6 = 7x – 2.

g. <i>x</i>4 6<i>x</i>2  8 0
h.

2 2

5 3 5 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a.

{

1

<i>x −</i>1+
1

<i>y −</i>2=2
2

<i>y −</i>2<i>−</i>
3

<i>x −</i>1=1

b.

¿

2

<i>x −</i>1+
1

<i>y</i>+1=7

5

<i>x −</i>1<i>−</i>
2

<i>y −</i>1=4

¿{

¿

c.

¿
<i>x</i>2<i>− y</i>2=16

<i>x</i>+<i>y</i>=8

¿{

¿

i.









3 1 2 1

1 2 3 1

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 _ _ _


  


d.
¿
1
<i>x−</i>
1

<i>y −</i>2=<i>−</i>1
4

<i>x</i>+

3

<i>y −</i>2=5

¿{

¿

e.

¿
<i>x</i>+<i>y</i>+xy=5

<i>x</i>2

+<i>y</i>2+xy=7

¿{

¿

g.

2 2 ₆₈
6
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
  

 

h.
1 1
3
2 3
1

<i>x y</i> <i>x y</i>

<i>x y</i> <i>x y</i>


 
  


 _ _
  


<b>Bµi 3. Giải phơng trình</b>
a. 1

<i>x</i>+3+

1

<i>x </i>1=
1

<i>x</i>

b. 2<i>x −</i>2

<i>x</i>2<i>−</i>36<i>−</i>

<i>x −</i>2

<i>x</i>2<i>−</i>6<i>x</i>=
<i>x −</i>1

<i>x</i>2+6<i>x</i>

c. 2<i>x</i>+1

<i>x</i> +

4<i>x</i>

2<i>x</i>+1=5

d.

(

<i>x −</i>1
<i>x</i>

)

2

<i>−</i>3

(

<i>x −</i>1
<i>x</i>

)

+

8
9=0



2



2



2



1 4 1 5

<i>x</i>   <i>x</i>  

e. 2 2 2

5 5 25

5 2 10 2 50

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

  

g. 2<i>x</i>+1

<i>x</i> +

4<i>x</i>

2<i>x</i>+1=5

h. 2 2 2

5 5 25

5 2 10 2 50

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

  

<b>Bài 4. Giải phơng trình</b> chứa căn bậc hai và dấu giá trị tuyệt đối
a. <i>x</i>2<i>−</i>2|<i>x</i>|<i>−</i>3=0

b. |2<i>x</i>+3|=3<i>− x</i>

c. 3214<i>xx</i>
d.

¿

|<i>x −</i>1|+<i>y</i>=0

<i>x</i>+3y<i>−</i>3=0

¿{
¿
e.
1 2
2 2

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
   


 



f. ₃

_√

<i>_x</i>2<i>₋</i>₁<i>_{− x}</i>2<i>₋</i>₁

=0

g. <i>x</i> 2 2 <i>x</i> 2 1
h. 1 – x - 3 <i>x</i>= 0
i. _√<i>x</i>=<i>x −</i>2

k. 3<i>x</i>2 4 3<i>x</i> 4 0
l. 2x - 5 = 3 _√<i>x</i>+2

m. x3_{+ 3x}2_{– 2x – 6 = 0}

n. 5x4_{+ 2x}2_{-16 = 10 – x}2

p. (x2 _{– 4x + 2)}2 _{+ x}2 _{- 4x - 4 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bµi 5. </b> Cho hệ phơng trình :

<i></i>2 mx+<i>y</i>=5

mx+3<i>y</i>=1

{

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1 .

b) Gii và biện luận hệ phơng trình theo tham số m .
c) Tìm m để x – y = 2 .

<b>Bài 6.</b> Cho hệ phơng trình:

24
12
1
12
1

3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>y</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

1. Giải hệ phơng trình.

2. Tỡm m h phng trỡnh có một nghiệm sao cho x<y.
<b>Bài 7. </b> Cho hệ phng trỡnh :

{

<i></i>2 mx+<i>y</i>=5

mx+3<i>y</i>=1

a) Giải hệ phơng trình với m = 1

b) Giải biện luận hệ phơng tr×nh theo tham sè m .

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x2_{+ y}2 _{= 1 .}
<b>Bài 8. </b>Cho hệ phơng trình .

¿

mx<i>− y</i>=3

3<i>x</i>+my=5

{

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1 .

b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ; <i>x</i>+<i>y −</i>7(<i>m−</i>1)

<i>m</i>2

+3 =1

<b>Bµi 9. </b> Cho hệ phương trình





mx my 3

1 m x y 0

 




  



a)Giải hệ với m = 2.

b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0).

<b>Bài 10. </b>Cho hệ phơng trình :

<i>x</i>+my=3

mx+4<i>y</i>=6

{

a) Giải hệ khi m = 3

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 1 , y > 0 .

<b>Bài 11. </b>Cho phơng tr×nh bËc hai : <i>x</i>2 3<i>x</i> 5 0 và gọi hai nghiệm của phơng trình
là x1 và x2 . Không giải phơng trình , tính giá trị của các biểu thức sau :

a) 12 22

1 1

<i>x</i> <i>x</i> _b) 2 2

1 2
<i>x</i> <i>x</i>

c) 13 32

1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bµi 12</b>.

1. Cho phương trình mx2_{– 2(m-1)x + m = 0 (1)}

a) Giải phương trình khi m = - 1.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Gọi hai nghiệm của (1) là x1 , x2. Hãy lập phương trình nhận

1 2

2 1

x x
;

x x _làm

nghiệm

2.Chứng minh rằng nếu a b 2  _{thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có}

nghiệm: x2_{+ 2ax + b = 0; x}2_{+ 2bx + a = 0.}

<b>Bµi 13. </b>Cho phương trình (m + 2)x2 – 2(m – 1) + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiẹm
khơng phụ thuộc vào m.

<b>Bµi 14. </b> Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có 2 nghiệm là:

<i>x</i>₁= 4

3+5<i>; x</i>2=
4
3<i></i>5

<b>Bài 15. </b>Cho phơng trình : x2 ( m+2)x + m2 – 1 = 0 ₍₁₎

a) Gäi x1, x2 lµ hai nghiệm của phơng trình .Tìm m thoả mÃn x1 – x2 = 2 .

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau .
<b>Bài 16. </b> Cho phơng trình : 2x2_{+ ( 2m - 1)x + m - 1 = 0}

1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 .

2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m .

3) Với giá trị nào của m thì x1 và x2 cùng dơng .
<b>Bài 17. 1. </b>Giải và biện luận phơng trình :

(m2_{+ m +1)x}2 – 3m = ( m +2)x +3

2. Cho phơng trình x2 x 1 = 0 cã hai nghiƯm lµ x

1 , x2 . HÃy lập phơng trình

bậc hai có hai nghiệm là : <i>x</i>1

1<i>− x</i>2

<i>;</i> <i>x</i>2

1<i>− x</i>2

<b>Bµi 18. </b>Cho phơng trình x2 2 (m + 1 )x + m2 _{- 2m + 3 = 0} _(1).

a) Giải phơng trình với m = 1 .

b) Xỏc định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia .
<b>Bài 19. </b>Cho phơng trình : x2 – mx + m – 1 = 0 .

1) Gäi hai nghiƯm cđa ph¬ng trình là x1 , x2 . Tính giá trị cđa biĨu thøc .
<i>M</i>= <i>x</i>1

2

+<i>x</i>22<i>−</i>1

<i>x</i>₁2<i>x</i>₂+<i>x</i>₁<i>x</i>₂2 . Từ đó tìm m để M > 0 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

{

mx<i>−</i>ny=5
2<i>x</i>+<i>y</i>=<i>n</i>

a) Gi¶i hƯ khi m = n = 1 .

b) Tìm m , n để hệ ó cho cú nghim

{

<i>x</i>=<i></i>3

<i>y</i>=3+1

2. Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm của phơng trình là :

<i>x</i>₁=2<i></i>3

2 <i>x</i>2=

2+_√3

2

<b>Bµi 21. </b>Cho phơng trình x2 ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0.

a) Chøng minh r»ng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m .

b) Gọi x1, x2, là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m sao cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2 –

x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất ấy .

c) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m .
<b> Phần III: Ôn về hàm số và đồ thị </b>

<b>A,KiÕn thøc cÇn nhí:</b>

I. Hàm số bậc nhất:

1. Định nghĩa hàm số bậc nhất:

Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức:
y = ax + b

trong đó a và b là các số thực xác định và a 0

2. Tính chất hàm số bậc nhất:

a. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R
b. Trên số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0
và nghịch biến khi a < 0
3. Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )

là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường
thẳng y = ax nếu b0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.

4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 ) :

Cách 1 : Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị.
Chẳng hạn : A(1; a+b) va B(-1; b- a)

Cách 2 : Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ
Chẳng hạn : A(0 ; b) và B(- <i>a</i>

<i>b</i>

; 0).
5. Đường thẳng cắt nhau:

Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) cắt nhau khi và chỉ khi a
 a,

Chú ý : Khi a  a, và b = b, thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có

tung độ chính là b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) song song với nhau khi

và chỉ khi: a = a,_{; b = b},_{và trùng nhau khi và chỉ khi: a = a},_{, b = b},

7. Đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) vng góc với nhau khi

và chỉ khi a.a/_{= -1}

8. Hệ số góc của đường thẳng:

- Khi hệ số a dương thì góc  _{tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a}0 ) với tia Ox là

góc nhọn , a càng lớn thì góc  _{càng lớn nhưng nhỏ hơn 90}0

- Khi hệ số a âm thì góc  _{tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a}0 ) với tia Ox là góc

tù , a càng lớn thì góc  _{càng lớn nhưng nhỏ hơn 180}0

*Vì có sự liên hệ giữa hệ số a của x và góc tạo bởi đường thẳng y = ax +b (a 0 ) với

tia Ox nên người ta gọi:

a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0 )
II. Hµm sè y = ax2_{(a  0)}

- a > 0 : nghịch biến khi x < 0 , đồng biến khi x > 0
- a < 0: đồng biến khi x < 0 , nghịch biến khi x > 0
* Đồ thị là Parabol đối xứng nhau qua 0y

- Nếu a > 0 Parabol nằm trên trục hoành
- Nếu a < 0 Parabol nằm dới trục hoành
- Vẽ đồ thị hàm số y = a.x2

B1: Lập bảng giá trị x, y tơng ứng

B2: Lit kê các điểm thuộc đồ thị hàm số

B3: Biểu diễn các điểm thuộc đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ rồi nối chúng lại theo
một đờng cong

3,Sự tơng giao giữa các đồ thị các hàm số:
(d) : y = ax + b (a  0)
(P) : y = ax2_{(a 0)}

+ d (P) tại hai điểm ph©n biƯt
 hƯ PT

¿
<i>y</i>=ax2

<i>y</i>=ax+<i>b</i>

¿{

¿

cã 2 nghiƯm hay pt : ax2_{= ax + b cã 2 nghiÖm ph©n biƯt.}

+d tiÕp xóc (P) khi hƯ PT

¿
<i>y</i>=ax2

<i>y</i>=ax+<i>b</i>

¿{

¿

cã 1 nghiÖm hay pt : ax2_{= ax + b có nghiệm kép}

+d không cắt P khi hÖ PT

¿
<i>y</i>=ax2

<i>y</i>=ax+<i>b</i>

¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

* Toạ độ giao điểm của (P) và d ( nếu có ) là nghiệm của hệ

¿
<i>y</i>=ax+<i>b</i>

<i>y</i>=ax2

¿{

¿

* Hoành độ giao điểm điểm của (P) và d ( nếu có ) là nghiệm pt : ax2_{= ax + b}

<b>Bài 1. </b> Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) .
a) Điểm A có thuộc (D) hay khơng ?

b) Tìm a trong hàm số y = ax2_{có đồ thị (P) đi qua A .}

c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vng góc với (D) .
<b>Bài 2</b>. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là - 3 .
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5
<b>Bài 3. </b>Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)
a. Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) .

b. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m <b> </b>
<b>Bài 4. </b>Cho hàm số : y = 1

2 <i>x</i>

2

a. Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.

b. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc
với đồ thị hàm số trên .

<b>Bµi 5. </b>Cho hµm sè : y = - 1
2 <i>x</i>

2

a. T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 1

8 ; 0 ; 2 .

b. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hồnh độ lần
lợt là -2 và 1 .

<b>Bµi 6. </b>Cho hµm sè : <i>y</i>=<i>x</i>

2

4 vµ y = - x – 1

a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .

<b>a.</b>

Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – 1 và cắt đồ
thị hàm số <i>y</i>=<i>x</i>

2

4 tại điểm có tung độ là 4 .
<b>Bài 7. </b>

a) Tìm các giá trị của a , b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm
A( 2 ; - 1 ) và B ( 1

2<i>;</i>2¿

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3 ; y = 3x –7 và đồ
thị của hàm số xác định ở câu ( a ) đồng quy .

<b>Bµi 8</b>. Cho Parabol (P) : y = 1
2 <i>x</i>

2

và đờng thẳng (D) : y = px + q .

Xác định p và q để đờng thẳng (D) đi qua điểm A ( - 1 ; 0 ) và tiếp xúc với (P) .
Tìm toạ độ tiếp điểm .

<b>Bài 9. </b> Trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) : <i>y</i>=1

4 <i>x</i>

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

a) VÏ (P) .

b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) .

c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định .
.

<b>Bài 10. </b>Cho hàm số y = x2 _{có đồ thị là đờng cong Parabol (P) .}

<b>a)</b> Chứng minh rằng điểm A( - _√2<i>;</i>2¿ nằm trên đờng cong (P) .

<b>b)</b> Tìm m để để đồ thị (d ) của hàm số y = ( m – 1 )x + m ( m R , m 1 ) cắt
đờng cong(P) tại một điểm.

<b>c)</b> Chứng minh rằng với mọi m khác 1 đồ thị (d ) của hàm số y = (m-1)x + m
ln đi qua một điểm cố định .

<b>Bµi 11. </b>Cho hµm sè : y = ( 2m – 3)x2_.

1) Khi x < 0 tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .

2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1 , -1 ) . Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc .
<b>Bài 12. </b>Cho Parabol y=x2_{và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m}2_+4.

a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng

b. Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) ln cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của
chúng đạt giá trị nhỏ nht?

<b>Bài 13. </b>Trên parabol <i>y</i>=1

2<i>x</i>

2

ly hai im A và B. Biết hoành độ của điểm A là xA=-2

và tung độ của điểm B là yB=8. Viết phơng trình đờng thẳng AB.
<b>Bài 14. </b>Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

(P): y=x2_{/2 ; (d): y=mx-m+2 (m lµ tham sè).}

1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hồnh độ bằng x=4.

2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm
phân biệt.

3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).

Chøng minh r»ng <i>y</i>1+<i>y</i>2<i>≥</i>(2√2<i>−</i>1)(<i>x</i>1+<i>x</i>2) .

<b>Bài 15. </b>Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x2

(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a lµ tham sè)

1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).

2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để x12+x22=6
<b>Bài 16:</b> Cho (P):

2
2

<i>x</i>
<i>y</i>

và đờng thẳng (D): <i>y</i>2<i>x</i>.
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ.

b) Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (P) bằng phép toán.

c) Viết phơng trình đờng thẳng (D') biết (D') // (D) và (D') tiếp xúc với (P).
<b>Bài 17: </b>

a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2_(P)

b) Tìm hệ số góc của đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 sao
cho đờng thẳng ấy :

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 TiÕp xóc víi (P)
 Không cắt (P)

<b>D Phần IV: Giải BT bằng cách lập PT hoặc hệ PT </b>

<b>I) Kiến thức cơ bản cần nhớ:</b>

Các bớc giải bài toán bằng cách lập PT (hệ PT):
B

ớc 1 : Lập phơng trình:

*Chn n, tìm ĐK cho ẩn , Đơn vị của ẩn.
*Biểu thị các đại lợng cha biết khác qua ẩn.

*Dựa vào mối quan hệ của đề bài để lập phơng trình hoặc h PT.
B

ớc 2: Giải PT hoặc hƯ PT.
B

íc 3: KiĨm nghiƯm kÕt quả và trả lời.
B i1:

Mt ụ tụ i t A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 3
2

vận
tốc của ô tô thứ nhất. sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB
mất bao lâu?

Bài 2:

Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn đường AC,
có một ơ tơ vận tải cũng đi đến C. Sau 5 giờ hai ô tô gặp nhau tại C. Hỏi ô tô du lịch đi

từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ô tô vận tải bằng 5

3

vận tốc của ô tô du
lịch?

Bài3:

Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A đến
B, canô đi hết 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc của canơ kém vận tốc ơ tơ 17
km/h. Tính vận tốc của canô?

Bài4:

Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1giờ30phút, một
người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết
rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần vận tốc xe đạp?

Bài5:

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó
nhỉ 20phút rồi quay trở về Avới vận tốc trung bình 25km/h. Tính qng đường AB, biết
rằng thời gian cả đi lẫn về là 5giờ30phút.

Bài6:

Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/ h. Lúc đầu ơ tơ
đi với vận tốc đó, khi cịn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe
tăng thêm vận tốc 10 km/ h trên quãng đường cịn lại, do đó ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1

giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày
được 50 ha. vì vậy,đội khơng những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày
thêm được 42 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạchđã định?
Bài 8:

Hai tổ cơng nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hồn thành xong một công việc đã định. Họ
làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ 2 làm
nốt phần cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao
lâu sẽ hồn thành cơng việc?

Bài 9:

Trong tháng đầu, hai tổ cơng nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai,
tổ một sản xuất vượt 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản
xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhấnản xuất được
bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 10:

Một đội cơng nhân hồn thành một công việc với mức 420 công thợ. Hãy tinh số công
nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hồn thành cơng việc
sẽ giảm đi 7 ngày.

Bài 11:

Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 5
4
4

giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi
một chảy được bằng 2

1
1

lượng nước chảy được cua vòi 2. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì
trong bao lâu đầy bể?

Bài 12:

Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì
mỗi giờ phải bơm được 10m3._{. Sau khi bơm được}₃

1

dung tích bể chứa, người cơng
nhân vận hành cho máy bơm với công xuất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15m3_{. Do đó, bể}

được bơm đầy trước 48phút so với thời gian quy định. Tính dung tích của bể chứa?
Bài 13:

Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Dân số tỉnh A năm nay tăng
1.2%, còn tỉnh B tăng 1.1%. Tổng số dan của hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính
số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay.

Bài 14:

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Bài 15:

Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc
35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn một
giờ. Tính qng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu?

Bài16:

Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều

nhau.Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biét rằng vận tốc của canô đi xi dịng thì lớn
hơn vận tốc của canơ đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/ h.

Bài 17:

Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất

làm3giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm
công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hồn thành công việc?

Bài 18:

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày.
Họ cùng làm vởi nhau được 8 ngày thì đội một được điều động làm việc khác , còn đội
hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng xuất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần
cơng việc cịn lại trong 3 ngày rưỡi.Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu
ngày sẽ làm xong cơng việc nói trên (với năng xuất bình thường) ?

Bài 19:

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vịi thứ nhất

chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì đầy 15

2

bể. Hỏi nếu mỗi vịi chảy một
mình thì phải bao lâu mới đầy bể?

Bài20:

Hai vậi chuyển động trên một đường trịn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc
từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20giây lại gặp nhau.
Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của
mỗi vật.

Bài 21:

Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5giờ20phút, một canô chạy từ bến
A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô
chạy nhanh hơn thuyền 12km1giờ ?

Bài 22:

Quãng đường AB dài 270km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đếnB. Ơ tơ thứ
nhất chỵ nhanh hơn ơ tơ thứ hai 12km/h, nên đến trước ô tô thứ hai 40phút. Tính vận
tốc của mỗi xe.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ
hơn nó 20 kg/m3_{để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m}3_{. Tìm khối}

lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Bài 24:

Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6
lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó, sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại
với số đã cho.

Bài 25:

Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8giờ20phút. Tính vận
tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h .

Bài 26:

Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lượng là 124g và có thể tích là15cm3_{. Tính}

xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì
có thể tích là 10cm3_{và 7g kẽm thì có thể tích là 1cm}3_.

Bài 27:

Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc
20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên dường đi, canơ II dừng lại 40phút, sau
đó tiếp tục chạy vơí vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô
đến b cùng một lúc.

Bài 28:

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm một lối đi quanh vườn
(thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong
vườn để trồng trọt là 4256 m3_.

<b>b.</b>

<b>Ôn tập hình học</b>

<b>PHầN i. ÔN TậP Lý THUYếT về tam giác</b>
<b>i. Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác</b>

Trờng hợp 1: Cạnh Cạnh Cạnh
Trờng hợp 2: Cạnh Góc Cạnh
Trờng hợp 3: Góc Cạnh Góc

* Đối với tam giác vuông luôn có một cặp góc bằng nhau
Trờng hợp 1: Hai cặp cạnh góc vuông

Trng hp 2: Cnh gúc vuụng v góc nhọn kề cạnh góc vng đó
Trờng hợp 3: Cạnh huyn - cnh gúc vuụng

Trờng hợp 4: Cạnh huyền Gãc nhän

<b>II. Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác</b>
Trờng hợp 1: Cạnh – Cạnh – Cạnh

Trêng hỵp 2: Cạnh Góc Cạnh
Trờng hợp 3: Góc Gãc

<b>III. Các đờng đồng quy trong tam giác</b>

1. Đờng cao của tam giác là đoạn thẳng vng góc hạ từ đỉnh xuống cạnh đối diện
Ba đờng cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm ba đờng cao gọi là trực
tâm của tam giác

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

giác cắt nhau tại M, M gọi là trực tâm của
tam giác

2. ng trung tuyn ca tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh
đối diện

Ba đờng trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của ba dờng trung
tuyến gọi là trọng tâm của tam giác. Giao điểm này cách mỗi đỉnh tam giác một khoảng
cách bằng 2/ 3 đờng trung tuyến đi qua đỉnh đó

Ba đờng trung tuyến AM, BN, CL cắt nhau tại I
ta có AI =

2

3_{. AM, BI =}
2
3_{. BN}
CI =

2
3_{. CL}

3. Đờng phân giác của tam giác là phân giác của các góc trong tam gi¸c

Ba đờng phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của ba đờng phân
giác trong tam giác là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác

Ba đờng phân giác AI, BK, CL cắt nhau tại M thì
M cách đều ba cạnh của tam giác, M là tâm đờng

tròn nội tiếp tam giác

4. Đờng trung trực của tam giác là đờng trung trực của mỗi cạnh tam giác

Ba đờng trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của ba đờng trung
trực trong tam giác là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác

Ba đờng trung trực AH, BK, CL của tam giác cắt
nhau tại M, điểm M cách đều ba cạnh của tam
giác , M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
<b>IV. Đờng trung bình của tam giác</b>: Là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cnh tam
giỏc

* Tính chất: Đờng trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba của tam
giác

<b>V</b>. <b>Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau</b>
* Tính chất

+ Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau

+ Hai gúc k cnh đáy của tam giác cân bằng nhau

+ Trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đờng cao, đờng phân giác,đờng trung trực
* C/m tam giác cân

+ Hai c¹nh b»ng nhau
+ Hai gãc b»ng nhau

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>VI. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau </b>

* Tính chất

+ Ba gãc b»ng nhau mỗi góc bằng 600

+ ba cạnh bằng nhau

+ ng trung tuyến đồng thời là đờng cao, đờng phân giác, đờng trung trực
* C/m tam giác đều

+ Ba c¹nh b»ng nhau
+ Ba gãc b»ng nhau

+ Tam gi¸c cân có một góc bằng 600

<b>VII. Tam giác vuông là tam giác có một goc vuông </b>
* Tính chất

+ Hai góc nhọn trong tam giác cân có tổng b»ng 900

+ Trung tun øng víi c¹nh hun b»ng nưa cạnh huyền
* C/m tam giác vuông

+ Tam giác cã mét gãc b»ng 900

+ Trung tuyến ứng với một cnh bng na cnh ú

<b>PHầN iI. ÔN TậP Lý THUỸT vỊ tø gi¸c</b>
<b>I. Tỉng c¸c gãc cđa mét tø gi¸c b»ng 3600</b>

<b>II. Hình thang</b>: là tứ giác có hai cạnh đối song song

* Trong hình thang hai góc kề cạnh bên bù nhau
* Hình thang vng là hình thang có một góc vng

* Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai đờng chéo bằng nhau

Chứng minh một tứ giác là hình thang cân ta dựa vào định nghĩa hoặc chứng minh hình
thang có hai đờng chéo bằng nhau

* Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình
thang

ng trung bình của hình thang song song và bằng nửa tổng hai cạnh đáy
* Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao

<b>III. Hình bình hành</b>: Là tứ giác có các cạnh đối song song

* Tính chất: + Các cạnh đối của hình bình hành song song và bằng nhau
+ Các góc đối của hình bình hành bằng nhau

+ Hai đờng chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng
* Chứng minh một tứ giác là hình bình hành

+ Dựa vào định nghĩa hình bình hành

+ C/m có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
+ C/m hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng
+ C/m có các góc đối bằng nhau hoặc các góc kề bù nhau

* Diện tích hình bình hành bằng đáy nhân với chiều cao tơng ứng

<b>IV. Hình chữ nhật</b>: Là tứ giác có bốn góc vng

* Tính chất có các tính chất của hình bình hành và có hai đờng chéo bằng nhau
* C/m tứ giác là hình ch nht

+ Hình bình hành có một góc vuông

+ Hình bình hành có hai địng chéo bằng nhau
+ Hình thang cân có một góc vng

+ Tø gi¸c cã 3 góc vuông

* Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai cạnh
<b>V. Hình thoi</b>: Là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

* C/m tứ giác là hình thoi

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
+ Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

* Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đờng chéo hoặc bằng ỏy nhõn vi chiu cao
t-ng ng

<b>VI. Hình vuông</b>: Là tứ giác có có bốn cạnh bằng nhau bốn góc bằng nhau
* Tính chất có tất cả các tính chất của hình thoi và hình chữ nhật

* C/m tứ giác là hình vuông

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kỊ b»ng nhau

+ Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc với nhau
+ Hình thoi có một góc vuông

<b>Phần iiI. ôn tập về hệ thức lợng trong tam giác vuông</b>
<b>I. Hệ thức lợng về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông</b>

Tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ứng với cạnh huyền BC

1. AB2_{+ AC}2_{= BC}2_{( Định lí pytago )}

2. AB2_{= BH. BC, AC}2_{= CH.BC}

3. AH2_{= BH.CH}

4. AH.BC = AB.AC

5. 2 2 2

1 1 1

<i>AH</i> <i>AB</i>  <i>AC</i>

II. Tỉ số lợng giác

Tam giác ABC vuông tại A, gãc B b»ng  ta cã,
sin =

<i>AC</i>

<i>BC</i> _cos ₌

<i>AB</i>
<i>BC</i>

tg =

<i>AC</i>

<i>AB</i> _cotg₌

<i>AB</i>
<i>AC</i> 

* NÕu  vµ là hai góc phụ nhau thì ( +  = 900₎

sin = cos
cos = sin
tg = cotg
cotg = tg

* Víi  lµ gãc nhän ta cã
sin2 _{+ cos}2 _{= 1}

tg .cotg = 1

III. HÖ thøc lợng về cạnh và góc trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại A ta có
AB = BC. sin C = BC. cosB

AC = BC. sinB = BC. cos C
AB = AC. tg C = AC. cotgB
AC = AB. tgB = AB. cotgC

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>I. Định nghĩa:</b>

Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 khơng đổi gọi là
đ-ờng trịn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)

<b>II. Sự xác định đờng trịn </b>

+ Một điểm ln nhìn AB dới một góc vng thuộc đờng trịn đờng kính AB

+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một đờng tròn. Tâm đờng tròn là giao điểm
của ba đờng trung trực của ba đoạn thẳng ấy

<b>III. Tiếp tuyến của đờng tròn :</b>
a. Định nghĩa :

Đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng trịn nếu nó chỉ có một điểm chung với
đờng trịn đó .

b, TÝnh chÊt :

+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng trịn thì nó vng
góc với bán kính đi qua tiếp điểm .

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng trịn cắt nhau tại một điểm thì
Giao điểm này cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng trịn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
Tia kẻ từ tâm đờng tròn đến giao điểm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đI
qua các tiếp điểm

c. C¸ch chøng minh :

Cách 1 : Chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng trịn đó .

Cách 2 : Chứng minh đờng thẳng cắt đờng trịn tại một điểm và vng góc với bán kính
tại điểm đó

<b>IV. Vị trí tơng đối:</b>

<i>* Của một điểm với một đờng tròn :</i>
Xét (0 ; R ) và điểm M bất kì

Vị trí tơng đối Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R
M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc

( O ; R) OM = R

M nằm trong ( O ; R ) OM < R
<i>* Của một đờng thẳng với một đờng trịn :</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) 2 d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) 1 d = R

a vµ ( O ; R ) kh«ng

giao nhau 0 d > R

<i>* Của hai đờng tròn :</i>

XÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt nhau 2 R – r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc

nhau :

+ tiÕp xóc ngoµi :
+ tiÕp xóc trong :

1

d = R + r
d = R – r
Haiđờng trịn khơng

giao nhau :

+hai đờng trịn ở ngồi
nhau :

+đờng trịn lớn đựng
đ-ờng trịn nhỏ :

0

d > R + r
d < R -r
<b>V . Quan h gia ng kớnh v dõy cung :</b>

* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai
phần bằng nhau .

* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông
góc với dây cung ấy.

<b>VI . Quan h gia dây cung và khoảng cách đến tâm</b> :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều
tâm .

* Định lí 2 : Trong hai dây cung khơng bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn
khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .

<b>VII</b>. <b>Góc trong đờng trịn:</b>
1. Các loại góc trong đờng trịn:
- Góc ở tâm

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngồi đờng trịn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến v dõy cung

2. Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lín h¬n.
<b>VIII. Tứ giác nội tiếp</b>

1. Khái niệm:

<b>O</b>
<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>D</b>

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn
(Gọi tắt là tứ giác nột tiếp)

2. Định lí

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800_{thì tứ giác đó nội tiếp đường}

tròn.

3. Dấu hiệu nhận biết (các cách C/m ) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800_.

- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm
đường trịn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một góc  _.

<b>PhÇn v. chøng minh ba điểm thẳng hàng </b>

<b> hai ng thng song </b><b> hai đờng thẳng vng góc </b>
<b> ba đờng thẳng đồng quy</b>

<b>I. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.</b>
* Chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng:
1. Các đờng thẳng MA, MB trùng nhau:

a) Do cùng song song hoặc cùng vng góc với một đờng thẳng thẳng thứ ba.

b) Do đối xứng với một đờng thẳng thứ ba qua một điểm hay qua một đờng thẳng. Hoặc
do M, A, B lần lợt là ảnh của 3 điểm thẳng hàng M1, A1, B1 trong một phép quay.

2. Các tia MA, MB là 2 tia đối:

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

b) Do một số điều kiện đặc biệt. Chẳng hạn đờng tròn (M) nhận AB làm một đờng kính; M
là tâm hình bình hành có một đờng chéo là AB; hai đờng trịn (A), (B) tiếp xúc nhau ngồi
tại M.

3. C¸c tia MA, MB trùng nhau:

a) Do cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bê chøa tia Mx sao cho xMA = xMB.

b) Do một số điều kiện đặc biệt: 2 đờng tròn (A), (B) tiếp xúc trong nhau tại M; các tia
MA, MB là phân giác của cùng một góc, MA là trung tuyến của một tam giác có trọng
tâm là B; …

<b>II. Chứng minh hai đờng thẳng song song </b>–<b> hai đờng thẳng vng góc</b>
1. Chứng minh hai đờng thẳng song song

* Chứng minh cặp góc ở vị trí so le trong, cặp góc đồng vị bằng nhau. Cặp góc trong
cùng phía ngồi cùng phía bù nhau

* Chứng minh hai đờng thẳng cùng vng góc hoặc cùng song song với đờng thẳng thứ
ba

* Hai đờng thẳng chứa hai cạnh đối của hình bình hành
2. Chứng minh hai đờng thẳng vng góc

* Hai đờng thẳng cắt nhau tạo ra góc có số đo bằng 900

* Một đờng thẳng song song một dờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba

<b>III. Chứng minh ba đờng thẳng AB, CD, EF đồng quy.</b>

Cã thÓ chøng minh:

1. AB, CD, EF là 3 đờng cao, 3 đờng trung tuyến, 3 đờng trung trực, 3 đờng phân giác
trong, một đờng phân giác trong và 2 đờng phân giác ngoài … của một tam giác.

2. AB, CD cắt nhau tại một điểm thẳng hàng với E, F.
3. AB, CD cắt nhau và đối xứng với nhau qua EF.

4. Có 3 đờng tròn (O1), (O2) và (O3) sao cho AB, CD, EF là dây chung (hoặc tiếp tuyến

chung trong) của các cặp đờng tròn tơng ứng: (O1) với (O2), (O2) với (O3), (O3) với (O1).

Bài 1: Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đường tròn đường kính MC.

Kẻ BM cắt đường trịn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. C/m :
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) <i>ABD</i>· =<i>ACD</i>·

c) CA là phân giác của <i>SCB</i>·

<i><b>Bài 2:</b></i> Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD. Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vng góc với AD. C/m :

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của éBCF.

c) Gọi M là trung điểm của DE. C/m tứ giác BCMF nội tiếp

<i><b>Bài 3:</b></i>Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD
cắt nhau tại E . Hình chiếu vng góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường
tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . C/m :

a. CEFD là tứ giác nội tiếp .

b. Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c. BE . DN = EN . BD

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đường tròn .
c) AC song song với FG .

d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .

<i><b>Bài 5:</b></i> Cho tam giác vuông ABC ( <i>A</i> 900_{; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn}

AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và
MB với đơng trịn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường trịn
đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. C/m :

a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường trịn.
b. CM là phân giác của góc <i>BCS</i>_.

c.

<i>TA</i> <i>TC</i>
<i>TD</i> <i>TB</i>_.

<i><b>Bài 6:</b></i>Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Qua A dựng hai tiếp tuyến
AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đường
trịn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.

a/ C/m 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đường tròn.
b/ C/m LA là phân giác của <i>MLN</i>·

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. C/m MA2_{= AI.AL}

d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). C/m KN // AQ.
e/ C/m KLN cân.

<i><b>Bài 7:</b></i>Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H
không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường
thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

a. C/m góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.

b. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại
K. C/m AHEK là tứ giác nội tiếp.

c. Xác định vị trí điểm H để AB= R .

<i><b>Bài 8:</b></i> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. C/m :

a. Các tứ giác AEHF, nội tiếp .

b.Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

c. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

d. H và M đối xứng nhau qua BC.

e. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

<i><b>Bài 9:</b></i> Cho DABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi
E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ
tự là trung điểm của BC, AB. C/m :

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<i><b>Bài 10:</b></i> Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà trung
điểm của DE.

a. C/m A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
b. C/m : HA là tia phân giác <i>BHC</i> .

c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m : AB2_{= AI.AH}

c. BH cắt (O) tại K. C/m : AE // CK.

<i><b>Bài 11:</b></i>Từ một điểm S ở ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến
SCD của đường trịn đó.

a.Gọi E là trung điểm của dây CD. C/m 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đường trịn
b.Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao?

c. Chứmg minh rằng: . . 2.

<i>AB CD</i>

<i>AC BD</i><i>BC DA</i>

<i><b>Bài 12:</b></i>Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C
và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
a. C/m AC. AE không đổi.

b. C/m é ABD = é DFB.

c.C/m CEFD là tứ giác nội tiếp.

<i><b>Bài 13:</b></i>Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d
kẻ hai tia Ax, By cùng vng góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vng góc với CI tại C
cắt By tại K. Đường trịn đường kính IC cắt IK tại P.

a) C/m tứ giác CBPK nội tiếp đợc đường tròn .
b) C/m AI.BK = AC.CB

c) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vng
ABKI lớn nhất.

<i><b>Bài 14: </b></i> Cho DABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường trịn đường kính AH,
đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.

a) C/m AEHF là hình chữ nhật.
b) C/m :BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) C/m : AB.AE = AC.AF

d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và
diện tích của tam giác BMC.

<i><b>Bài 15: </b></i>Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

a. C/m tứ giác CEHD nội tiếp .

b. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
c. C/m ED = 2

1

BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i><b>Bài 16:</b></i>Từ điểm M ngoài đường trũn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trờn cung nhỏ
AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và

DE; K là giao điểm của BC và DF. C/m :
a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được.
b) CD2_{= CE.CF}

c) IK CD

<i><b>Bài 17 </b></i>Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung
nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.

a) C/m <i>DMC</i>_đều.

b) C/m MB + MC = MA.

c) C/m tứ giác ADOC nội tiếp đợc.

d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào ?

<i><b>Bài 18:</b></i> Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên
đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm
của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao
điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

a. C/m tứ giác AMBO nội tiếp.

b. C/m năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
c. C/m OI.OM = R2_{; OI. IM = IA}2_.

d. C/m OAHB là hình thoi.

e. C/m ba điểm O, H, M thẳng hàng.

f. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.

<i><b>Bài 19:</b></i>Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi
qua B và C (BC khơng là đường kính của (O). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O)
(E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm
của FI với (O) là D. C/m :

a. AE2_{= AB.AC}

b. Tứ giác AEOF

c. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn.
d. ED song song với Ac.

e. Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường
thẳng cố định.

<i><b>Bài 20:</b></i>Cho DABC có các góc đều nhọn và <i>A</i>µ =450. Vẽ đường cao BD và CE của
DABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE.

a. C/m tứ giác ADHE nội tiếp.
b. Tính tỉ số

<i>DE</i>
<i>BC</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<i><b>Bài 21:</b></i>Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC.
Đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường trịn
đường kính BC ở điểm thứ hai E

a/ C/m : 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường trịn. Hãy xác định tâm và bán
kính đường trịn ấy.

b/ C/m : EM vng góc với BC

c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. C/m AM.AF = AN.AE

<i><b>Bài 22 </b></i>Cho tam giác vuông ABC ( <i>A</i> 900_{); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng}

với các điểm A và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đường
thẳng BD cắt đường trịn đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D). C/m :

a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.

b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn.

c. AC là tia phân giác của góc EAF.

<i><b>Bài 23:</b></i>Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O).
Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD

a/ C/m : Tứ giác AEDI nội tiếp
b/ C/m AB//EI

c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. C/m :
* I là trung điểm của RS

* <i>AB</i> <i>CD</i> <i>RS</i>

2
1

1




<i><b>Bài 24:</b></i>Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AOB và COD vng góc với nhau.
Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với
đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey

a/ C/m I; E; O; F cùng nằm trên một đường tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?

c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào?

<i><b>Bài 25:</b></i> Cho nửa đường trịn đường kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đường tròn
(A khác B và C). Từ A hạ AH vng góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa
điểm A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường trịn đường kính
HC cắt AC tại F.

a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. C/m BEFC là tứ giác nội tiếp.

c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện
tích lớn nhất đó theo R.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

a. C/m : PT2_{= PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một}

đường trịn cố định.

b. Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN.
c. C/m : Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.

d. C/m : Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ ln đi qua điểm cố định.
e. Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT’ = 600.

<i><b>Bài 27:</b></i>Cho DABC vng ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đường trịn
đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo
dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai S. C/m :

a. Tứ giác ABTM nội tiếp

b. Khi M chuyển động trên AC thì <i>ADM</i>· có số đo khơng đổi.
c. AB//ST.

<i><b>Bài 28:</b></i>Cho hai đường trịn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đường vuông góc
với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC
của đường tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng MB với đường tròn (O') là
N và giao điểm của hai đường thẳng CM, DN là P.

a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?
b. C/m ACPD nội tiếp đợc đường tròn.

c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O') là Q, C/m BQ // CP.

<i><b>Bài 29:</b></i>Cho ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường trũn (O)

đường kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D.
a) C/m tứ giỏc ABCD nội tiếp.

b) AB cắt CD tại M. C/m 3 điểm H; I; M thẳng hàng
c) AD cắt (O) tại K. C/m CA là tia phân giác của <i>KCB</i>

<i><b>Bài 30:</b></i>Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn
MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E.

a. C/m tứ giác IECB nội tiếp .

b. C/m tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
c. C/m AM2_{= AE.AC.}

d. C/m AE. AC - AI.IB = AI2_.

e. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác CME l nh nht.

Mt s tng hp

<b>Đề số 1</b>
<b>Câu 1 ( 3 ®iĨm ) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

1

√<i>x −</i>1+
1

√<i>x</i>+1¿

2_.<i>x</i>2<i>−</i>1

2 <i>−</i>

√

1<i>− x</i>

2

<i>A</i>=¿

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
2) Rút gọn biểu thức A .

3) Gi¶i phơng trình theo x khi A = -2 .

<b>Câu 2 ( 1 điểm ) </b>

Giải phơng trình :

1
2

3
1

5<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Câu 3 ( 3 điểm ) </b>

Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) .
d) Điểm A có thuộc (D) hay khơng ?

e) Tìm a trong hàm số y = ax2_{có đồ thị (P) đi qua A .}

f) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vng góc với (D) .
<b>Câu 4 ( 3 điểm ) </b>

Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên
đoạn CD ( E khác D ) , đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F , đờng thẳng vng góc
với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K .

1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông
cân .

2) Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua A , C, F ,
K .

3) Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đờng
trịn .

<b>§Ị sè 2</b>
<b> Câu 1 ( 2 điểm ) </b>

Cho hàm số : y = 1
2<i>x</i>

2

c. Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.

d. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc
với đồ thị hàm số trên .

<b>C©u 2 ( 3 điểm ) </b>

Cho phơng trình : x2 mx + m – 1 = 0 .

3) Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình là x1 , x2 . Tính giá trÞ cđa biĨu thøc .

<i>M</i>= <i>x</i>1

2

+<i>x</i>2

2

<i>−</i>1

<i>x</i>₁2<i>x</i>₂+<i>x</i>₁<i>x</i>₂2 . Từ đó tìm m để M > 0 .
4) Tìm giá trị của m để biểu thức P = <i>x</i>1

2

+<i>x</i>₂2<i>−</i>1 t giỏ tr nh nht .

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Giải phơng trình :
a) <i>x </i>4=4<i> x</i>

b) |2<i>x</i>+3|=3<i> x</i>

<b>Câu 4 ( 3 ®iĨm ) </b>

Cho hai đờng trịn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ

cát tuyến cắt hai đờng tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đờng thẳng EC , DF cắt nhau

t¹i P .

1) Chøng minh r»ng : BE = BF .

2) Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lợt tại C,D .

Chng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vng góc với EF .
3) Tính diện tích phần giao nhau của hai đờng tròn khi AB = R .

<b>Đề số 3</b>
<b>Câu 1 ( 3 điểm ) </b>

1) Giải bất phơng trình : |<i>x</i>+2|<|<i>x </i>4|

2) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x thoả mÃn .
2<i>x</i>+1

3 >
3<i>x </i>1

2 +1

<b>Câu 2 ( 2 điểm ) </b>

Cho phơng tr×nh : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0

a) Giải phơng trình khi m = 1 .

b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng .
<b>Câu3 ( 2 điểm ) </b>

Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)
a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) .

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m .
<b>Câu 4 ( 3 im ) </b>

Cho góc vuông xOy , trên Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB .

M là một điểm bÊt kú trªn AB .

Dựng đờng trịn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đờng trịn tâm O2 đi

qua M vµ tiÕp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại ®iÓm thø hai N .

1) Chøng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc
ANB .

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Đề số 4 .</b>
<b>Câu 1 ( 3 điểm ) </b>

Cho biểu thức : <i>A</i>=(2√x+<i>x</i>

<i>x</i>√<i>x −</i>1<i>−</i>
1

√<i>x −</i>1):

(

√x+2

<i>x</i>+√<i>x</i>+1

)

a) Rót gän biĨu thøc .

b) Tính giá trị của <i>A</i> khi <i>x</i>=4+23

<b>Câu 2 ( 2 điểm ) </b>

Giải phơng trình : 2<i>x </i>2

<i>x</i>2<i></i>36<i></i>

<i>x </i>2

<i>x</i>2<i></i>6<i>x</i>=
<i>x </i>1

<i>x</i>2+6<i>x</i>

<b>Câu 3 ( 2 điểm ) </b>

Cho hµm sè : y = - 1
2 <i>x</i>

2

a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 1

8 ; 0 ; 2 .

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hồnh
độ lần lợt là -2 v 1 .

<b>Câu 4 ( 3 điểm ) </b>

Cho hình vng ABCD , trên cạnh BC lấy 1 điểm M . Đờng trịn đờng kính AM
cắt đờng trịn đờng kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E .

1) Chøng minh E, N , C thẳng hàng .

2) Gọi F là giao điểm cđa BN vµ DC . Chøng minh <i>Δ</i>BCF=<i>Δ</i>CDE

3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC .

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Cho hệ phơng trình :

<i></i>2 mx+<i>y</i>=5

mx+3<i>y</i>=1

{

d) Giải hệ phơng trình khi m = 1 .

e) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m .
f) Tìm m để x – y = 2 .

<b>Câu 2 ( 3 điểm ) </b>

<b>1)</b> Giải hệ phơng trình :

<i>x</i>2+<i>y</i>2=1

<i>x</i>2<i>_x</i>

=<i>y</i>2<i> y</i>

{

<b>2)</b> Cho phơng trình bËc hai : ax2_{+ bx + c = 0 . Gọi hai nghiệm của phơng trình là}

x1 , x2 . Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1+ 3x2 và 3x1 + 2x2 .
<b>Câu 3 ( 2 ®iĨm ) </b>

Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm
chuyển động trên đờng tròn . Từ B hạ đờng thẳng vng góc với AM cắt CM ở D .

Chøng minh tam gi¸c BMD cân
<b>Câu 4 ( 2 điểm ) </b>

3) Tính : 1

5+2+
1

5<i></i>2
4) Giải bất phơng trình :

( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) .

<b>Đề số 6</b>

<b>Câu 1 ( 2 điểm )</b>

Giải hệ phơng trình :

2

<i>x </i>1+
1

<i>y</i>+1=7

5

<i>x </i>1<i></i>
2

<i>y </i>1=4

{

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Cho biĨu thøc : <i>A</i>= √<i>x</i>+1

<i>x</i>√<i>x</i>+<i>x</i>+_√<i>x</i>:

1

<i>x</i>2<i>−</i>√<i>x</i>

a) Rót gän biÓu thøc A .

b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
<b>Câu 3 ( 2 điểm ) </b>

Tìm điều kiện của tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung .
x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 và x2_{+ (2m + 3 )x +2 =0 .}

<b>C©u 4 ( 3 ®iĨm ) </b>

Cho đờng trịn tâm O và đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm A,B . Từ một điểm M
trên d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F là tiếp điểm ) .

1) Chứng minh góc EMO = góc OFE và đờng trịn đi qua 3 điểm M, E, F đi qua
2 điểm cố định khi m thay đổi trên d .

2) Xác định vị trí của M trên d để tứ giác OEMF là hỡnh vuụng .

<b>Đề số 7 </b>

<b>Câu 1 ( 2 điểm ) </b>

Cho phơng trình (m2_{+ m + 1 )x}2_{- ( m}2 + 8m + 3 )x – 1 = 0

a) Chøng minh x1x2 < 0 .

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất cđa

biĨu thøc :

S = x1 + x2 .
<b>C©u 2 ( 2 điểm ) </b>

Cho phơng trình : 3x2_{+ 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình là x}
1 , x2

không giải phơng trình lập phơng trình bậc hai mµ cã hai nghiƯm lµ : <i>x</i>1

<i>x</i>2<i></i>1

và
<i>x</i>₂

<i>x</i>1<i></i>1

.

Câu 3 ( 3 điểm )

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

2) Giải hệ phơng trình :

<i>x</i>2<i> y</i>2=16

<i>x</i>+<i>y</i>=8

{

3) Giải phơng trình : x4 10x3 2(m – 11 )x2_{+ 2 ( 5m +6)x +2m = 0}
<b>Câu 4 ( 3 điểm ) </b>

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của
góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng
thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N .

1) Chøng minh tam gi¸c AIE và tam giác BID là tam giác cân .
2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
3) Tứ giác CMIN là hình gì ?

<b>Đề số 8 </b>

<b>Câu1 ( 2 ®iĨm ) </b>

Tìm m để phơng trình ( x2_{+ x + m) ( x}2_{+ mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt .}
<b>Câu 2 ( 3 im ) </b>

Cho hệ phơng trình :

<i>x</i>+my=3

mx+4<i>y</i>=6

{

c) Gi¶i hƯ khi m = 3

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 1 , y > 0 .
<b>Câu 3 ( 1 điểm ) </b>

Cho x , y là hai số dơng thoả mÃn x5_+y5_{= x}3_{+ y}3_{. Chøng minh x}2_{+ y}2 _{1 +}

xy

<b>Câu 4 ( 3 điểm ) </b>

<b>1)</b> Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) . Chứng minh
AB.CD + BC.AD = AC.BD

<b>2)</b> Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) đờng kính AD . Đờng
cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đờng tròn (O) tại E .
a) Chứng minh : DE//BC .

b) Chøng minh : AB.AC = AK.AD .

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>Đề số 9 </b>

<b>Câu 1 ( 2 điểm ) </b>

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :

<i>A</i>= √2+1

2√3+_√2 ; <i>B</i>=

1

√2+

_√

2<i>−</i>_√2 ; <i>C</i>=

1

√3<i>−</i>√2+1

<b>C©u 2 ( 3 điểm ) </b>

Cho phơng trình : x2 ( m+2)x + m2 – 1 = 0 ₍₁₎

c) Gäi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m thoả mÃn x1 – x2 = 2 .

d) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau .
<b>Câu 3 ( 2 điểm )</b>

Cho <i>a</i>= 1

2<i></i>3<i>;b</i>=
1
2+3

Lập một phơng trình bËc hai cã c¸c hƯ sè b»ng sè vµ cã các nghiệm là x1<b> =</b>
<i>a</i>

<i>b</i>+1<i>; x</i>2=

<i>b</i>
<i>a</i>+1

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt

đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD .

1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông .

2) Gọi M là giao diểm của CO1 vµ DO2 . Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn

một đờng trịn

3) E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E.
4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất .

<b>§Ị sè 10</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

1)Vẽ đồ thị của hàm số : y = <i>x</i>

2

2

2)Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 )
<b>3)</b> Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .
<b>Câu 2 ( 3 im ) </b>

<b>a)</b> Giải phơng trình :

<i>x</i>+2<i>x </i>1+



<i>x </i>2<i>x </i>1=2

b)Tính giá trị của biểu thức

<i>S</i>=<i>x</i>

1+<i>y</i>2+<i>y</i>

1+<i>x</i>2 với xy+

(1+<i>x</i>2)(1+<i>y</i>2)=<i>a</i>

<b>Câu 3 ( 3 điểm ) </b>

Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt
nhau tại D . Một đuờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt tại E và F .

1) Chøng minh B , C , D thẳng hàng .

2) Chng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn .

3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất .
<b>Câu 4 ( 1 điểm ) </b>

Cho F(x) = _√2<i>− x</i>+√1+<i>x</i>

a) Tìm các giá trị của x để F(x) xác định .
b) Tìm x để F(x) t giỏ tr ln nht .

<b>Đề số 11 </b>

<b>Câu 1 ( 3 ®iĨm ) </b>

1) Vẽ đồ thị hàm số <i>y</i>=<i>x</i>

2

2

2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 )
3) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .

<b>C©u 2 ( 3 điểm ) </b>

1) Giải phơng trình :

<i>x</i>+2<i>x </i>1+

<i>x </i>2<i>x </i>1=2

2) Giải phơng trình :
2<i>x</i>+1

<i>x</i> +

4<i>x</i>

2<i>x</i>+1=5

<b>Câu 3 ( 3 ®iĨm ) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

1) Chứng minh các tam giác DAM , ABN , MCN , là các tam giác cân .
2) Chứng minh B , C , D , O nằm trên một đờng tròn .

<b>Câu 4 ( 1 điểm ) </b>

Cho x + y = 3 vµ y 2 . Chøng minh x2_{+ y}2 ₅

<b>Đề số 12 </b>

<b>Câu 1 ( 3 điểm ) </b>

1) Giải phơng trình : 2<i>x</i>+5+<i>x −</i>1=8

2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình x2 +ax +a –2 = 0 là

bÐ nhất .
<b>Câu 2 ( 2 điểm ) </b>

Trong mt phng toạ độ cho điểm A ( 3 ; 0) và đờng thẳng x – 2y = - 2 .

a) Vẽ đồ thị của đờng thẳng . Gọi giao điểm của đờng thẳng với trục tung và trục
hoành là B và E .

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vng góc với đờng thẳng x – 2y = -2 .
c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đờng thẳng đó . Chứng minh rằng EO. EA =

EB . EC vµ tÝnh diện tích của tứ giác OACB .
Câu 3 ( 2 điểm )

Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình :

x2 (m+1)x +m2 2m +2 = 0 ₍₁₎

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để <i>x</i>12+<i>x</i>22 đạt giá trị bé nhất , lớn nhất .

<b>C©u 4 ( 3 ®iĨm ) </b>

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm của AB
, BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vng góc của của B , C trên
đờng kính AD .

a) Chøng minh r»ng MN vuông góc với HE .

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>Đề số 13 </b>

<b>Câu 1 ( 2 điểm ) </b>

So sánh hai số : <i>a</i>= 9

11<i></i>2<i>;b</i>=
6
3<i></i>3
<b>Câu 2 ( 2 điểm ) </b>

Cho hệ phơng trình :

2<i>x</i>+<i>y</i>=3<i>a </i>5

<i>x y</i>=2

{

Gi nghim của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2_{+ y}2_{đạt giá tr nh nht .}

Câu 3 ( 2 điểm )

Giả hệ phơng trình :

<i>x</i>+<i>y</i>+xy=5

<i>x</i>2+<i>y</i>2+xy=7

{

<b>Câu 4 ( 3 điểm ) </b>

1) Cho tứ giác lồi ABCD các cặp cạnh đối AB , CD cắt nhau tại P và BC , AD cắt
nhau tại Q . Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ ,
ADP cắt nhau tại một điểm .

3) Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp . Chứng minh
AB . AD+CB.CD

BA . BC+DC . DA=

AC
BD
C©u 4 ( 1 điểm )

Cho hai số dơng x , y có tổng bằng 1 . Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa :

<i>S</i>= 1

<i>x</i>2

+<i>y</i>2+

3
4 xy

<b>§Ị sè 14 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Tính giá trị của biểu thức :

<i>P</i>= 2+3

2+

2+3+

2<i></i>3

2<i></i>



2<i></i>3
<b>Câu 2 ( 3 điểm ) </b>

1) Giải và biện luận phơng tr×nh :
(m2_{+ m +1)x}2 – 3m = ( m +2)x +3

2) Cho phơng trình x2 x – 1 = 0 cã hai nghiƯm lµ x

1 , x2 . HÃy lập phơng trình

bậc hai có hai nghiệm là : <i>x</i>1

1<i> x</i>2

<i>;</i> <i>x</i>2

1<i> x</i>2
<b>Câu 3 ( 2 ®iĨm ) </b>

Tìm các giá trị ngun của x để biểu thức : <i>P</i>=2<i>x −</i>3

<i>x</i>+2 lµ nguyên .

<b>Câu 4 ( 3 điểm ) </b>

Cho ng trũn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng trịn ) . Từ điểm chính
giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E , EN cắt
đờng thẳng AB tại F .

1) Chøng minh tø giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
2) Chứng minh gãc CAE b»ng gãc MEB .

3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB

Đề số 15
<b>Câu 1 ( 2 điểm ) </b>

Giải hệ phơng trình :

<i>x</i>2<i></i>5 xy<i></i>2<i>y</i>2=3

<i>y</i>2

+4 xy+4=0

{

<b>Câu 2 ( 2 điểm ) </b>

Cho hàm số : <i>y</i>=<i>x</i>

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .

b) Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – 1 và cắt
đồ thị hàm số <i>y</i>=<i>x</i>

2

4 tại điểm có tung độ là 4 .
<b>Câu 2 ( 2 điểm ) </b>

Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + q = 0

a) Với giá trị nào của q thì phơng trình có nghiƯm .

b) Tìm q để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình là 16 .

<b>Câu 3 ( 2 điểm ) </b>

<b>1)</b> Tìm số nguyên nhỏ nhất x thoả mÃn phơng trình :

|<i>x </i>3|+|<i>x</i>+1|=4

<b>2)</b> Giải phơng trình :
3



<i>x</i>2<i></i>1<i> x</i>2<i></i>1=0

<b>Câu 4 ( 2 ®iĨm ) </b>

<b>Cho </b>tam giác vng ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đờng cao kẻ từ đỉnh
A . Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại
M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đờng cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đờng
thẳng BM ở D . Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N .

a) Chøng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD .
b) Chøng minh EF // BC .

</div>

<!--links-->