2

Website: tailieumontoan.com
ĐÁP ÁN CÁC CÂU PHÂN LOẠI THPT CÁC TỈNH

Câu 1:

[TS10 TP Hà Nội, 2019-2020]
Cho biểu thức P  a 4  b4  ab , với a, b là các số thực thỏa mãn
a 2  ab  b2  3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P

Lời giải
Ta có:



P  a 4  b4  ab  a 2  b2



2

 2a 2 b2  ab   3  ab   2a 2 b2  ab
2

2


7  85
   ab   
2

4


Ta có: a 2  b3  2ab  3  ab  3  ab  a  b   0  ab  3
2

3  ab  a2  b2  2ab  ab  1
2

7
7
7
1
7 9
1 
7  81
Vì: 3   ab   1    ab      a   
2
2
2
2
2 2
4 
2
4
2

2

81


7
1

7  85
     a      1    a   
 21
4
2
4
2
4


 1  P  21

GTLN của P là 21 khi a  3, b   3 hoặc a   3, b  3
GTNN của P là 1 khi a = b = 1.
Câu 2:

[TS10 Tỉnh Bắc Ninh, 2019-2020]
Cho hai số thực không âm a, b thỏa mã: a 2  b2  2. Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức M 

a 3  b3  4
ab  1

Lời giải
Tìm GTNN:






Ta có: a 3  b3  4  a 3  b3  1  3

AM  GM



3ab  3.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.

a 3  b3  4 3  ab  1

3
Vì a, b > 0 nên M 
ab  1
ab  1
Do đó gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức M l| 3 đạt được khi a = b = 1.
Tìm GTLN:
Đặt S  a  b,P  ab

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ôn thi vào lớp 10

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC



3

Website: tailieumontoan.com
Vì a 2  b2  2   a  b   2ab  2  S 2  2P  2  P 
2

S2  2
.
2

Ta có:  a  b   a 2  2ab  b2  2  2ab  2  a  b  2
2

Do đó S  2

 S2  2 
S  3. 
2
 .S  4
a  b   3ab  a  b   4 S 2  3PS  4
2 


M


ab  1
P1
S2  2

1
2
2



S 2  6S  8 8 6
8 6
 2  S  
 2  4  2.
2
2
S
S S
2

2
2
a  b
  a  b   0; 2 ;
Dấu “=” xảy ra khi 
 ab  0







2; 0




Vậy giá trị lớn nhất của M là 4  2 2 khi 0; 2 ;
Câu 3:



2; 0



[TS10 Tỉnh Nghệ An, 2019-2020]
5x2  27x  25  5 x  1  x2  4

Giải phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ: x  2

5x 2  27x  25  5 x  1  x 2  4





 5x 2  27x  25  25  x  1  x 2  4  10

x

2




 4  x  1

 x  4   x  1  0
 2 x  x  2  5 x  x  2 x  2  3 x  2  0
 2x 2  x  2  5
2

Đặt

2

2

x2  x  2  a  0; x  2  b  2

Phương trình trở thành:
 ab
2a 2  5ab  b2  0   2a  3b  a  b   0  
 2a  3b

 x  1  5  TM 
Với a  b  x  x  2  x  2  x  2x  4  
 y  1  5 L

2

2



1  3 65
 TM 
x 
2
2
8

Với 2a  3b  4 x  x  2  9  x  2   4x  13x  26  0 

13  3 65
L
x
8




Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp



PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ôn thi vào lớp 10


4


Website: tailieumontoan.com
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x  1  5; x 
Câu 4:

1  3 65
8

[TS10 Tỉnh Hải Phòng, 2019-2020]

1 1 1
    9
x
y z


a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh  x  y  z  

b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a  b  c  6. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức

A

ab
bc
ca



a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b
Lời giải


a)

Ta có

1

 x  y  z

x



x
y



x



y



x
z




y


y
x

 x  y
xy



x



y
z

1
 9
y z

1



z

 y

 z



z



z

x

 2  
2



 y  z
yz

y
y

2



6

 z x


  2  0

 x z

 2  

 z  x

2

zx

1

Vậy  x  y  z  

x

b)



1
 9
y z

1

Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có


ab
a  3b  2c


 0 x, y, z  0



ab
9



9

 a  c    b  c   2b

1  ab
ab
a
 

 
a  3b  2c 9  a  c b  c 2 
ab



ab  1


1
1 

 

9  a  c b  c 2b 

(1)

Chứng minh tương tự ta có:

bc
1  bc
bc b 
 

 
b  3c  2a 9  a  b a  c 2 
ca
1  ac
ac
c
 

 
c  3a  2b 9  b  c a  b 2 

(2)
(3)


Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1); (2) và (3) ta có

1  ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c 
A 




9 ab
bc
ca
2


Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ôn thi vào lớp 10


5

Website: tailieumontoan.com

1  c a  b

 A


a b  c 

b c  a 





9 ab
bc
ca

a b  c




2

1 3  a  b  c  1 3.6

 
 1.
9
2
9 2
Dấu “=” xảy ra  a  b  c  2.
 A

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 đạt được khi a  b  c  2.

Câu 5:

[TS10 Tỉnh Thanh Hóa, 2019-2020]
Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
 4
 4
1
4
4
a  b  ab b  c  bc c  a 4  ca
Lời giải
4

4
4
2
2
Ta có: a  b  ab(a  b )a; b  R

Thật vậy:

a 4  b4  ab(a 2  b 2 )
 a 4  b4  a 3 b  ab 3
 (a  b)(a 3  b 3 )  0

 (a  b)2 (a 2  ab  b2 )  0 (luôn đúng a; b  R )
=> a 4  b4  ab  ab(a 2  b2 )  ab  a 4  b4  ab  ab(a 2  b2 )  abc ( vì a;b;c > 0

và abc = 1)
Do đó:
ab
ab
1
1  1  c2
2  c2




2
a 4  b4  ab ab(a 2  b2 )  ab a 2  b2  1 a 2  b2  1 1  1  c 2
a  b  c 







Tương tự:
bc
1  a2

(2);
b4  c 4  bc  a  b  c 2

ca
1  b2


(3)
c 4  a 4  ca  a  b  c 2

Mặt khác:
2  ab  bc  ca   2.3 2 a 2 b2c 2  6

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
2
2
2
a
b
c
a 2  b2  c 2  6 a  b  c  2  ab  bc  ca 




1
2
2
b4  c 4  a a 4  c 4  b a 4  b4  c
a

b

c
a


b

c





Vậy b|i to{n được chứng minh
Dấu “=” xảy ra kh a = b = c = 1
Câu 6:

[TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020]

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ôn thi vào lớp 10


6

Website: tailieumontoan.com
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1
2019

2
2

ab  bc  ca
a b c
Lời giải
P

2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a  b  c  3 abc;

1 1 1
1
  3
3
a b c
abc

 a  b  c   a1  b1  1c   9  * 

Suy ra





Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c
b) Ta có

ab  bc  ca  a  b  c
2


2

2

a  b  c 
 ab  bc  ca 

2



3

1
3

2017
 6051
ab  bc  ca

Suy ra

Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có


1
1
1
 2



a  b2  c 2  2ab  2bc  2ca  9
 2

2
2
 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca 





1
2
9


9
2
2
ab  bc  ca  a  b  c 2
a b c

Suy ra

2

Do đó ta được P 

1

2019

 6060 .
2
2
ab  bc  ca
a b c
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6060
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c 
Câu 7:

1
.
3

[TS10 Tỉnh Bắc Giang, 2019-2020]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2  y2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P   3  x  3  y 
Lời giải
Ta có:

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC

Chun đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ôn thi vào lớp 10



7

Website: tailieumontoan.com
P   3  x  3  y   9  3  x  y   xy 



17   x 2  y 2   6  x  y   2 xy
2

 x  y  3
2

18  6  x  y   2 xy
2

8   x  y  6 x  y  9

2
2

2

 4.

Từ x 2  y 2  1chỉ ra được  x  y   2  2  x  y  2;
2


Suy ra  2  3  x  y  3  2  3  0.

 x  y  3
P

2

2


4

2 3



2

2

4

19  6 2

2

19  6 2
2

khi x  y 

2
2
[TS10 Tỉnh Vũng T|u, 2019-2020]

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P là
Câu 8:

Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  3
Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1
5

5xy x  2y  5

Lời giải

1
5
1
5
1
5




=

5 xy x  2 y  5 5 xy ( x  y )  y  5 5 xy y  8
1
xy
5
y  8 xy  y  8
P
 


5 xy 20 y  8 20
20
P

xy  y  8 y ( x  1)  8
Ta lại có:


20
20

 x  y  1
4
20

2

8




3
5

Khi đó:

 1
xy   5
y  8  xy  y  8
P
 


5
xy
20
y

8
20
20

 

1
3
3
 P  1  P 
5
5
5

x  1
3
Vậy PMin   
5
y  2
Câu 9:

[TS10 Tỉnh Bình Định, 2019-2020]

Cho x, y

P

x  y
là hai số thực thỏa 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 xy  1

x2  y 2
.
x y

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

Website: tailieumontoan.com

Lời giải
Với x  y, xy  1 , ta có

x 2  y 2 ( x  y)2  2 xy
2
P

 x y
x y
x y
x y
Vì x  y  x  y  0;

2
 0 và xy  1 .
x y

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x  y;

x y

2
, ta có
x y

2
2( x  y)
2
2 2 2 2
x y

x y

Suy ra min P  2 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra  x  y 

2
 ( x  y)2  2  x  y  2  x  y  2 .
x y


6 2
y 
2
Mà xy  1  ( y  2) y  1  y 2  2 y  1  y 2  2 y  1  0  

 6 2
y 
2



2 6
2 6
x 
x 


2
2
Vậy min P  2 2 tại 

hoặc 
y   2  6
y   2  6 .


2
2
Câu 10: [TS10 Tỉnh Đắk Lắk, 2019-2020]
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  2y  3z  2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S 

xy
3yz
3xz


.
xy  3z
3yz  x
3xz  4y

Lời giải
Đặt a  x;b  2y;c  3z , ta được: a, b,c  0; a  b  c  2 .
Khi đó: S 

Xét

ab
bc
ac



.
ab  2c
bc  2a
ac  2b

ab
ab


ab  2c
ab   a  b  c  c

ab
1 a
b 
 

 a  c  b  c  2  a  c b  c 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tương tự ta có:

a
b

.
ac bc


bc
1 b
c 
ac
1 a
c 
 

 

;
.
bc  2a 2  b  a c  a  ac  2b 2  a  b c  b 

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9

Website: tailieumontoan.com
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b
c
a
c



;
.
ba ca ab cb

1a b bc a c 3
Cộng c{c vế ta được: S  


 .
2ab bc ac 2
2
3
Vậy gi{ trị lớn nhất của S bằng
khi v| chỉ khi a  b  c  hay gi{ trị lớn nhất của S
3
2
2
1
2
3
bằng
khi v| chỉ khi x  ; y  ; z  .
3
3
9
2

Câu 11: [TS10 Tỉnh Đắk Nông, 2019-2020]
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 


1
. Tìm giá trị nhỏ nhất
abc

của biểu thức P   a  b  a  c  .
Lời giải
1
 abc  a  b  c   1 .
Ta có: a  b  c 
abc
Theo bất đẳng thức cơsi ta có:

P   a  b  a  c   a2  ab  ac  bc  2 a  a  b  c  .bc  2

a  a  b  c   bc
a  a  b  c   1


Đẳng thức xảy ra khi: 

bc  1
bc  1


Ta thấy hệ có vô số nghiệm dương chẳng hạn b  c  1, a  2  1 .
Vậy Pmin  2 .

Câu 12: [TS10 Tỉnh Đồng Nai, 2019-2020]
Cho ba số thực a, b , c . Chứng minh rằng:


a

2

 bc    b2  ca    c 2  ab   3  a 2  bc b2  ca  c 2  ab 
3

3

3

Lời giải
Phương ph{p:
-

Đặt x
x3

y3

a2
z3

bc , y

b2

ca, z


c2

ab đưa bất đẳng thức cần chứng minh về

3xyz.



-

Chứng minh đẳng thức x3  y3  z 3  3xyz   x  y  z  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx

-

Từ đó đ{nh g{i hiệu x 3
Đặt x

a2

bc , y

b2

y3

z3

3xyz và kết luận.

ca, z


c2

ab

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x 3

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

y3

z3



3xyz.

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


10

Website: tailieumontoan.com
Ta có:

x3  y 3  z 3  3xyz   x3  y 3   3xyz  z 3
  x  y   3xy  x  y   3xyz  z 3
3

  x  y   z 3  3xy  x  y  z 

3

2
  x  y  z   x  y    x  y  z  z 2   3xy  x  y  z 


2
2
  x  y  z   x  2 xy  y  xz  yz  z 2  3xy 

  x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 
Dễ thấy:
x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 


1 2
x  2 xy  y 2  y 2  2 yz  z 2  z 2  2 zx  x 2 

2

1
2
2
2
 x  y    y  z    z  x    0, x, y, z

2

Do đó ta đi xét dấu của x
Ta có: x


y

a2

z

bc

 a 2  b2  c 2  ab  bc  ca 

y

z

b2

ca

c2

ab

1
2
2
2
a  b    b  c    c  a    0, a, b, c



2

Suy ra

x  y  z  0   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   0

x

y
x3

a

2

z
y3

0

x

z3

y

z x2

y2


z2

xy

yz

zx

0

3xyz hay

 bc    b2  ca    c 2  ab   3  a 2  bc b2  ca  c 2  ab  (đpcm)
3

3

Dấu “ =” xảy ra khi a

3

b

c

Câu 13: [TS10 Tỉnh Hà Nam, 2019-2020]
Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thỏa mãn điều kiện abc  1
Chứng minh

1

1
1


 1.
2a 2b 2c

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

1
1
1


1
2a 2b 2c
PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11

Website: tailieumontoan.com

  b  2 c  2   a  2 c  2   a  2  b  2    a  2 b  2  c  2 
 ab  bc  ca  4  a  b  c   12  abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   8
 ab  bc  ca  4  a  b  c   12  1  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   8
 ab  bc  ca  3


Thật vậy {p dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có
 ab  bc  ca  3 3  abc   3 .
2

Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1.
Ho|n tất chứng minh.
Câu 14: [TS10 Tỉnh H| Tĩnh, 2019-2020]
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a  b  3ab  1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

6ab
 a 2  b2 .
ab

Lời giải
Ta có: (a  b)2  0  a2  b2  2ab  (a  b)2  4ab; a 2  b2 
Từ giả thiết a  b  3ab  1  a  b  1  3ab  1 

(a  b) 2
2

3
2
 a  b
4

 3  a  b   4  a  b   4  0   a  b  2 3  a  b   2  0  a  b 
2

2

(vì a, b  0 )
3

3ab 1  (a  b)
1
3
1


1  1 
ab
a b
a b
2
2

a b
2

P

2

 a  b


2

2




2
2
   a 2  b2   
9
9

6ab
3ab
2 7
 a 2  b2  2
  a 2  b2   1  
ab
a b
9 9

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
Câu 15:

a  b
1
7
ab .
khi 
3
9
a  b  3ab  1

[TS10 Tỉnh Hải Dương, 2019-2020]


Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  2019 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  2a 2  ab  2b2  2b2  bc  2c 2  2c 2  ca  2a 2
Lời giải
Ta có:
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12

Website: tailieumontoan.com

5
3
5
2
2
2
a  b  a  b  a  b
4
4
4
5
 2a 2  ab  2b 2 
a  b
2

2a 2  ab  2b 2 

Tương tự:

5
5
 b  c  ; 2c 2  ca  2a 2   c  a 
2
2
5
5
5
P
 a  b   b  c   c  a   5  a  b  c 
2
2
2
 P  2019 5
2019
Dấu “=” xảy ra  a  b  c 
 673
3
Vậy min P  2019 5  a  b  c  673
2b2  bc  2c 2 

Câu 16:

[TS10 Tỉnh Hậu Giang, 2019-2020]
Với x  0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 


x 2  3x  2019
x2

Lời giải
Điều kiện x  0

x 2  3x  2019
3 2019
 1  2
Ta có A 
2
x
x
x
1
Đặt t   t  0  ta được:
x
1 

A  1  3t  2019t 2  2019  t 2 
t  1
673 

2
2
 2
1
 1  
 1 
 2019   t  2t


   2019 
 1
1346  1346  
 1346 

2

1  2689 2689

với mọi t thuộc R
 2019  t 

 
 1346  2692 2692
2689
1
Dấu “=” xảy ra khi t 
khi
 tm  . Vậy min A 
2692
1346
1
t
 x  1346  tm 
1346
Câu 17:

[TS10 Tỉnh Hịa Bình, 2019-2020]


Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab
Chứng minh rằng:

a



b

4b  1 4a  1
2

2



1
2

Lời giải
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13

Website: tailieumontoan.com
Từ a + b = 4ab  4ab  2 ab  ab 


1
4

a 2 b2  a  b 
Chứng minh được BĐT: Với x, y >0 ta có
(*)
 
x
y
x y
Áp dụng (*) ta có
2

 a  b
a2
b2




2
2
2
2
4b  1 4a  1 4ab  a 4a b  b 4ab(a  b)  (a  b)
ab
4ab
1
1
=


 1

4ab  1 4ab  1
4ab  1 2
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b 
2
a

2

b

Câu 18:

[TS10 Tỉnh Hưng Yên, 2019-2020]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2  y 2  z 2  3xyz

x2
y2
z2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  4


x  yz y 4  xz z 4  xy
Lời giải

x 2  y 2  z 2  3xyz 


x
y
z
 
3
yz xz xy

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương

x y
x
y
x y 2
; ta có:
 2
. 
yz xz
yz xz
yz x z

y
z 2 z
x 2
  ;  
xz xy x xy yz y
 x
y  y
z   z
x  2 2 2

         
 yz xz   xz xy   xy yz  z x y
x
y
z 1 1 1
1 1 1
         3
yz zx xy x y z
x y z
x2
1
1
1 1 1 1 1

 .2.
.
 (  )
Lại có: x 4  yz  2 x 4 yz  2 x 2 yz  4
x  yz 2 yz 4
y z 4 y z
Tương tự ta cũng có:

Tương tự

y2
1 1 1
z2
1 1 1

(


);
 (  )
4
4
y  xz 4 x z z  xy 4 x y

Suy ra
x2
y2
z2
1 2 2 2 1 1 1 1 3


 (   ) (   )
4
4
4
x  yz y  xz z  xy 4 x y z
2 x y z
2
3
 P 
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1.
P

Câu 19:

[TS10 Tỉnh Kon Tum, 2019-2020]


Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


14

Website: tailieumontoan.com
Chứng minh

1

1

2

3

1

...

38 .

400

Lời giải

1


1

2

3

1

...

1

2

400

2

1

2
2
Vậy
Câu 20:

1

3


1

400

1

1

2

3

2

1

2

1

2

...

3

2

3


1

2
Ta có : 2

1

...

1
1

3

2

1
400

...

400
1

400

399

1


...

2

3

...

400

400

399

399

38
1
400

38

[TS10 Tỉnh Lai Châu, 2019-2020]

Cho c{c số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

ab
bc
ca
1



 (a  b  c )
a  b  2c b  c  2a c  a  2b 4
Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức

1
11 1
    với x, y > 0.
x y 4 x y 

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

1
11 1
1
x y
   

 ( x  y)2  4 xy  x 2  2 xy  y 2  4 xy  0
x y 4 x y 
x  y 4 xy

 x2  2 xy  y 2  0  ( x  y)2  0 (ln đúng)
Do đó:

1
11 1
    với x, y > 0.

x y 4 x y 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

1
1
1 1
1
ab
ab  1
1 

 (

)
 


a  b  2c (a  c)  (b  c) 4 a  c b  c
a  b  2c 4  a  c b  c 
 bc
bc  1
1 
 b  c  2a  4  b  a  c  a 



Tương tự ta có: 
ca  1
1 

 ca
 

 c  a  2b 4  c  b a  b 
Cộng vế với vế c{c bất đẳng thức với nhau ta được:

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15

Website: tailieumontoan.com

ab
bc
ca
ab  1
1  bc  1
1  ca  1
1 


 



 
 


a  b  2c b  c  2a c  a  2b 4  a  c b  c  4  b  a c  a  4  c  b a  b 


1  ab
ab
bc
bc
ca
ca 






4  a  c b  c b  a c  a c  b a  b 



1  ab  bc ab  ca bc  ca  1  b(a  c) a(b  c) c(b  a)  1





 (a  b  c )
4  a  c
cb
b  a  4  a  c

cb
b  a  4

1
Do đó VT  VP (đpcm).
4
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu 21:

[TS10 Tỉnh Lạng Sơn, 2019-2020]

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
a  2b  c  4(1  a)(1  b)(1  c)
Lời giải

Ta có a  2b  c  4(1  a)(1  b)(1  c)  a  2b  c  4(b  c)(a  c)(a  b)
Áp dụng bất đẳng thức cơ si ta có
a  b  b  c  2 (a  b)(b  c)  (a  2b  c)2  4(a  b)(b  c)  (a  2b  c)2 (a  c)  4(a  b)(b  c)(a 
Áp dụng bất đẳng thức cô si
a  2b  c  a  c
2(a  b  c)
 (a  2b  c)(a  c) 
 (a  2b  c)(a  c)  1  (a  2b  c)(a  c)
2
2
 1  (a  2b  c)(a  c)  a  2b  c  (a  2b  c)2 (a  c)
 a  2b  c  4(a  b)(a  c)(b  c)
Câu 22:
[TS10 Tỉnh Nam Định, 2019-2020]

Xét c{c số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.
1
Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P  (x  y  z) 2  4(x 2  y 2  z 2  xy yz  zx)
2
Lời giải
Ta có:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
 [(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
 (x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
 (x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2
 (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2
 (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2
 x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0
Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z
 x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0  x + y + z
Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

t
khi đó ta có
2
PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16

Website: tailieumontoan.com

 8
1

t2 8  t2
P  (x  y  z) 2  4(x 2  y 2  z 2  xy yz  zx)      2    2
2
2 t 2
 t

t2
t2
22
.2  2t (dấu bằng xảy ra  t = 2)
2
2
8
8
2t   2 2t.  8 (dấu bằng xảy ra  t = 2)
t
t
 P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6
Áp dụng BĐT Cơ si ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.
Câu 23:

[TS10 Tỉnh Ninh Bình, 2019-2020]

1. Tìm tất cả c{c số nguyên tố p sao cho tổng c{c ước nguyên dương của p 2 là
một số chính phương.
2. Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x  y  z  2019 . Tìm gi{ trị nhỏ

x2

y2
z2


nhất của biểu thức T 
.
x  yz y  zx z  xy
Lời giải
1. Ta có p là số nguyên tố ( p  * )  p 2 là số có c{c ước dương l| 1; p; p 2
Theo đề bài ta có tổng c{c ước nguyên dương của p là một số chính phương

 1  p  p2  k 2

(k 

*

)

 4k 2  4  4 p  4 p 2
 4k 2   2 p  1  3
2

 4k 2   2 p  1  3
2

  2k  2 p  1 2k  2 p  1  3

(*)


Ta có k , p   2k  2 p  1  0; 2k  2 p  1  2k  2 p  1
 2k  2 p  1  1
 2k  2 p  2
k  1 (thỏa mãn)
(*)  


2k  2 p  1  3 2k  2 p  2  p  0 ( không thỏa mãn)
Vậy khơng có số nguyên tố p nào thỏa mãn đề bài
*

a 2 b2 c2  a  b  c 
  
Ta chứng minh bất đẳng thức
với a,b,c, x, y,z  0
x
y z
xyz
2

2.

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số

  c
 a
  b

; x ,
; y ,

; z



 x
  y

  z
ta có

 a  2  b  2  c  2 
 a 2 b2 c2 


  
     x  y  z   



y z
 x   y   z   
x



 x    y    z  
2

2


2

2

 a

b
c
2

. x
. y
. z   a  b  c
 x

y
z


Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC


17

Website: tailieumontoan.com

a 2 b2 c2  a  b  c 
   

x
y z
xyz
a b c
Dấu “=” xảy khi khi  
x y z
2

(*)

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có

yz 

yz
zx
xy
; zx 
; xy 
2
2
2

x2
y2
z2
T


yz

zx
xy
x
y
z
2
2
2
2
2
2x
2y
2z 2



2x  y  z x  2y  z x  y  2z


x2
y2
z2
 2



 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

 x  y  z   x  y  z  2019

T2
4 x  y  z
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  673
Vậy gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức T 
Câu 24:

2019
khi x  y  z  673
2

[TS10 Tỉnh Phú Thọ, 2019-2020]

 x2
y2

 x 1 y 1  4

Giải hệ phương trình sau 
 x  2  y  2  y  x.
 x  1 y  1
Lời giải
ĐKXĐ: x  - 1; y  1
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:


 x2  1  1 y 2  1  1



4
x 
 x 1
y

1




 x 11  y 11  y  x
x 


y 1
 x 1


1
1
 y
4
x 1
y 1

1
1 
 y 

  2
x 1 
y 1 

1
1
b
a ; y
y 1
x 1
Hệ phương trình đã cho trở th|nh:
a  b  4
a  1


a  b  2
b  3
Đặt x 

+ Với a = 1 ta có:

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


18

Website: tailieumontoan.com


1
x( x  1)  1 x  1
1

x 1
x 1
x 1
2
 x  x  1  x  1  x  0 (t / m)
x

+ Với b = 3 ta có:

y

1
y ( y  1)  1 3.( y  1)
3

y 1
y 1
y 1

 y 2  y  1  3 y  3  y 2  4 y  4  0  y  2 (t / m)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =(0; 2)
Câu 25: [TS10 Tỉnh Quảng Nam, 2019-2020]
Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  3; y  3.


1 

1
Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức T  21 x    3  y  
y 
x

Lời giải

T  21x 

21
3 x 62
3 21 7
2
 3y    x    y  y
y
x 3 3
x y 3
3

2
 x 3   21 7  62
       y   x  y  2  14  62  2  80
3
3 x  y 3  3

x  3
Dấu “” xảy ra  
y  3
Vậy gi{ trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3.
Câu 26:


[TS10 Tỉnh Quảng Ngãi, 2019-2020]

Cho hình vng ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao
của hai nửa đường trịn đường kính AB và AD. S 2 là diện tích phần cịn lại của hình
vng nằm ngồi hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính

S1
S2

Lời giải.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19

Website: tailieumontoan.com
B

C

S3

S2

S4


S1

D

A

Gọi a l| cạnh hình vng ABCD. Ta cm được:
2

a
  ..90 1 a 2 a 2  1
2
 


S3  S 4   
      
360
2 2
4 4 2
a2   1  a2   1  a2   1 
S1  S3  S4            
4  4 2 4  4 2 2  4 2
1 2 a2   1  a2  3  
S2  a        
2
2  4 2 2 2 4
a2   1 
  
S1

2  4 2 2


Do đó
S2 a 2  3   6  
  
2 2 4
Câu 27:

[TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020]

Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn
1
1

thức P  2
2
2
xy  yz  zx
x y z

. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu

Lời giải.
Ta có xy  yz  zx 

x  y  z 3
3




2017
1
 6051
nên
xy  yz  zx
3

1 1 1
Áp dụng BĐT x  y  z      9 , ta có:
x y z


1
1
1
  9
 y 2  z 2 )  ( xy  yz  zx )  ( xy  yz  zx )  2


2
2
xy

yz

zx
xy

yz


zx
x

y

z


Hay


1
1
1
9
 ( x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx )  2


2
2
xy  yz  zx xy  yz  zx 
x y z

( x

2




1
2

9
2
2
xy  yz  zx
x y z
2

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


20

Website: tailieumontoan.com

Từ đó ta có: P 

1
2
2017


 9  6051  6060
2
2
xy  yz  zx xy  yz  zx

x y z
2

 P  6060 Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x  y  z 
Câu 28:

1
3

[TS10 Tỉnh Sơn La, 2019-2020]

3x  x

Giải phương trình

3x

Lời giải.

3x  x

3x

Điều kiện 0  x  9
Bình phương hai vế phương trình đã cho, ta được:
3  x  x 2 .( 3  x)
 x3  3.x 2  x  3
2

3


1
 1   1 
 1 
 x  3.x .
 3.x. 
 
  3 

3
 3  3
 3
3

3

2

3

1 
10 10 3

x

 
9
3 3 3

 x


1
10 3
3
9
3

x3

10 3
3

(thỏa mãn điều kiện)
9
3

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x 
Câu 29:

3

10 3
3

9
3

[TS10 Tỉnh Vĩnh Long, 2019-2020]

Cho x, y là các số thực dương thỏa x  y  1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 x 2  y 2  x 

1
 1.
x

Lời giải.
Ta có: x  y  1  y  1  x thay v|o A ta được:
1
1
 1  2 x 2  (1  x)2  x   1
x
x
1
1
 2 x 2   x 2  2 x  1  x   1  x 2  2 x  x 
x
x
A  2x2  y 2  x 

2

1 
1 1 
1 
1 1

  x2  x     4 x      x     4 x   
4 
x 4 

2 
x 4


Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


21

Website: tailieumontoan.com
2

1

Dễ thấy  x    0, x
2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có 4 x 

1
1
 2 4 x.  4
x
x

2

1 

1 1
1 15

Suy ra  x     4 x     0  4  
2 
x 4
4 4

1
Dấu "=" xảy ra khi x 
2
15
1
Vậy Amin 
khi x  .
4
2
Câu 30:

[TS10 Tỉnh Thái Nguyên, 2019-2020]

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ac  6 . Chứng
a 3 b3 c 3
   3.
minh rằng:
b c a
Lời giải
Đặt P 

a 3 b3 c 3

  .
b c a

Có a , b , c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:
 a3
2
  ab  2a
b
a3 b3 c 3
 b3
2

P

   2 a2  b2  c2   ab  bc  ac  , mà
.

bc

2
b

b
c a
c

3
c
2
  ac  2c

a









a  b  c  ab  bc  ac  6 .





 P  2 a2  b2  c 2   a  b  c   6 .

Có  a  b    b  c    a  c   0  2 a2  b2  c2  2  ab  bc  ca 
2

2





2

 3 a2  b2  c 2   a  b  c  .

Suy ra P 

2

2
2
a  b  c  a  b  c  6 .

3

Có ab  bc  ca  a2  b2  c2  3  ab  bc  ac    a  b  c  .
2

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC


22

Website: tailieumontoan.com
Do đó 6  a  b  c  ab  bc  ac  a  b  c 



1
2
a  b  c
3


2
2
1
a  b  c  a  b  c  6  0 .  a  b  c  3 , a  b  c  9 .

3

2
Suy ra P  .9  3  6  3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
3
Vậy
Câu 31:

a 3 b3 c 3
   3.
b c a
[TS10 Tỉnh Vĩnh Phúc, 2019-2020]

Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

2  6a  3b  6 2bc
16

2
2a  b  2 2bc
2b2  2  a  c   3
Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

a


2c

2 2bc

2

VT

2a

b

2

3

2 2bc

2a

b

b

2c

3

a


1
b

c

3

Mặt khác theo BĐT Bu-nhi-a-cốp –xki thì:
2b2  2  a  c  
2

1  1 b2   a  c 

2

16
  1.b  1.  a  c  2  b   a  c   VP 



abc3

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

1
16
2
3
  a  b  c  1  0 1

abc
a bc3
Ta có (1) đúng hiển nhiên do đó bất đẳng thức được chứng minh.

a

b
b

Dấu “=” bằng xảy ra khi:

b

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

c 1
2c
a c

a

c
b

1
2

1
4


PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


23

Website: tailieumontoan.com
ĐÁP ÁN CÁC CÂU PHÂN LOẠI CHYÊN
Câu 32: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]
2
2
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 4x  4y  17xy  5x  5y  1
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  17x  17y  16xy

Lời giải
Ta có: 4x2  4y2  17xy  5x  5y  1  4  x  y   9xy  5  x  y   1
2

Đặt t  x  y, t  0 , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

x  y
xy 

2

4




9
2 2 2
2 2 2
t2
hay x  y 
.
. Do đó: 4t 2  t 2  5t  1  t 
4
5
5
4

P  17x2  17y 2  16xy  17  x  y   18xy
2

Ta có:

 17  x  y 

2

 x  y
 18
4

2

2

2

25
25  2 2  2 
 x  y  
  6  4 2
4
4 
5


2 1
5

Dấu “=” xảy ra khi x  y 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6  4 2
Câu 33: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020]
Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  xy  x  2  y  6   13x2  4y2  26x  24y  46

Lời giải
Ta có:

P  xy  x  2  y  6   13x 2  4y 2  26x  24y  46










 



 x 2  2x y 2  6y  13 x 2  2x  4 y 2  6y  46
2
2
2
2
  x  1  1  y  3   9   13  x  1  1  4  y  3   9   46








Đặt a  x  1, b  y  3 , khi đó:










 



P  a 2  1 b2  9  13 a 2  1  4 b2  9  46
 a 2 b2  9a 2  b2  9  13a 2  13  4b2  36  46
 4a 2  3b2  a 2 b2  6
6
a  0
x 1  0
Dấu “=” xảy ra khi 

 x  1, y  3
b  0
y  3  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


24

Website: tailieumontoan.com
Câu 34: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020]
Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  4
1
1

1
1) Chứng minh rằng:


1
a2 b2 c2
1
1
1
2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P 


.
2
2
2
2
2
2
2 a b 4
2 b c 4
2 c a 4














Lời giải
1) Ta có:

1
1
1


1
a2 b2 c2
  b  2  c  2    a  2  c  2    b  2  a  2    a  2  b  2  c  2 

 ab  bc  ca  4  a  b  c   12  abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   8
 4  ab  bc  ca.
Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tương đương,
do đó đẳng thức đã cho được chứng minh.
2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:





2 x2  y 2   x  y  (*)
2


1
11 1
    (**)
xy 4x y

Thật vậy:

*   x  y

* *  

2

 0 (luôn đúng)

2
2
xy
1

  x  y   4xy   x  y   0 (luôn đúng)
4xy x  y

Các bất đẳng thức (*), (**) xảy ra dấu “=” khi x = y.
Lần lượt áp dụng (*) và (**) ta có:



1




2 a 2  b2  4



1
1
1 1
1 

 

a  b  4  a  2    b  2  4  a  2 b  2 



1 1
1 

;

4  b  2 c  2 

Tương tự:



1




2 b2  c 2  4



1



2 c2  a2  4



1 1
1 

;

4  c  2 a  2 

Cộng theo vế ta được:

1 1
1
1  1
1
P 



 .1  .

2a2 b2 c2 2
2
D}u “=” xảy ra khi a = b = c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

1
2
PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


25

Website: tailieumontoan.com
Câu 35: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020]
Cho K  ab  4ac  4bc với a,b,c  0 và a + b + 2c = 1.
1
2
2) Tìm giá trị lớn nhất của K.

1) Chứng minh rằng: K 

Lời giải
1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2

2


 b  2c 
 a  b  2c 
1
1
4bc  2 
 2
  4bc  


2
2
2
 2 



Mặt khác: a, b,c  0  K  ab  4ac  4bc  4bc  
Dấu “=” xảy ra khi a  0, b 

1
2

1
1
,c  .
2
4

Cách khác:
Ta có:


K  ab  4c  a  b   ab  2 1  a  b  a  b 



 ab  2  a  b   2 a 2  b 2

 2b2   a  2  b  2a  2a 2



Do đó: 2b2   a  2  b  2a  2a 2  K  0  * 
Để tồn tại K thì phương trình (*) Phải có 2 nghiệm:





   0   a  2   4.2. 2a  2a 2  K  0
2

 8K  20a  17a 2  4.
Vì a, b,c  0 và a  b  2c  1  0  a  1 . Do đó:

2a  17a 2  a  20  17a   a  20  17.1  3a  0
Do đó 8K  4  K  

1
2


Dấu “=” xảy ra khi a  0, b 

1
1
,c  .
2
4

2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2

 a  b  2c 
1
a  b  2c   
 .

2
4



Mặt khác:
a, b,c  0  K  ab  4ac  4bc  ab  4ac  2ab  4ac  2a  b  2c 

 a  b  2c 

2

2


1
 .
2

Dấu “=” xảy ra khi:
a  b  2c,a  b  2c  1, bc  0,ab  0  a 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

1
1
, b  0,c 
2
4
PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC


26

Website: tailieumontoan.com
Vậy giá trị lớn nhất của K là

1
2

Câu 36: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020]

1
 0  a, b,c 
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 
2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


2a  3b  4c  3

thức P 

2
9
8


a  3b  4c  2  b  4a  8c  3  c 2a  3b  1 

Lời giải
Ta có:

P

2
9
8


a  3b  4c  2  b  4a  8c  3  c  2a  3b  1



2
9
8



a  3  2a  2  b  6  6b  3  c  3  4c  1



2
3
4


a  1  2a  b  1  2b  c 1  2c 



2a
3b 2
4c


2
2
a  1  2a  b  1  2b  c 2  1  2c 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2

 a  a  1  2a 
1
a 1  2a   



3
27


2

Tương tự: b2  1  2b  

1
1
; c 2  1  2c  
27
27

Suy ra: P  27  2a  3b  4c   81
Dấu “=” xảy ra khi a  b  c 

1
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81.
Câu 37: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020]
Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng:
a
4b  1
2




b
1

4a  1 2
2

Lời giải
Ta có:
a  b  4ab   a  b    a  b  a  b  1  0  a  b 1 a  b  0 
2

Lại có:

a
4b2  1

a

4ab2
4ab2

a

 a  ab
4b
4b2  1

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC