BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
------------------------------------------------------------------------------------

TỐN 1 HK1

BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ


NỘI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN

HÀM
SỐ NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI
2- ĐỊNH
HẠN HÀM SỐ
3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI
HẠN HÀM SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI
HẠN
5- GIỚI HẠN ĐẶC
BIỆT
6-

QUY

TẮC

LÔPITAN
7- GIỚI HẠN

KẸP
8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY.
KHÔNG GIỚI HẠN


Ý TƯỞNG GIỚI HẠN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x0  D  f  x0  : xác
định
Hàm y = f(x),

x0  D & f  x0  : không
xác
định

MXĐ
x0  DGiá trị

VD: f(x) = lnx & x0

f(x0)?

=
–1D, f  x  :"gần
x0 
như"xác
định
0
VD: f(x) = sinx/x & x0 =

0 D

� 0.1000
�
�
� 0.01000
�
sin
x
Gtr f  x  
quanh �
�0.001000
�
x
�
ị
0:
�0.0001000
�
�
0.00001000
�

0.8415� Tương
�
�
0.9588� tự: x
, x0 0
�
�

1 x  1
0.9816�
� 1
�
, x0 
0.9896�
� x
�
0.9935� e x , x  
0


MINH HỌA HÌNH HỌC
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

thị f  x  sin x
x
hàm:
Chú
ý
lân
Đồ

cận x0 = 0:
f(0)
không
xác

định,


nhưng giá trị
f(x)

lại

“rất

gần” 1 khi x
“rất gần” 0 
Đồ thị liên
Cần
xác định giá trị hữu lim f  x 
tục.công
Có cụ
thể
x  x0


GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN
GIẢN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (có thể khơng
xác định tại x0!). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x  x0  Giá trị
f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x0. Ký hiệu:

lim f ( x ) L

x  x0


x 1
lim f  x  , vớif  x   2
x 1
x 1
Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1
VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn

x<1

f(x)

0.5

0.666667

0.9

0.526316

0.99

0.502513

0.99
9

0.500250

x>1


f(x)

1.5

0.400000

1.1

0.476190

1.01

0.497512

phỏng đốn:

1.00
1

0.499750

lim

Từ bảng giá
trị,

x 1

có


thể

x 1
0.5
2
x 1


GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG
GIỚI HẠN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x  1
 f  x   x  1 khi x 1

g  x  
x2  1
 2 khi x 1

y=f(x)

y=g(x)

Giá trị f tại x0 (có hay khơng có) khơng ảnh hưởng đến

lim f  x 

x  x0



ĐOÁN – KHÔNG CHẮC CHẮN 100%!
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ: lim sin 
x 0
x

Gợi ý: Tính f 1 , f  1 ,
 2

1

f  , f  0.1 , f  0.01
 3

1
1



f 1  f    f    f  0.1  f  0.01 0  lim sin 0 : SAI!
x 0
x
 2
 3
Tuy nhiên từ đồ thị hàm y sin  cũng như giá trị hàm tại
x
2
 
x

   2k , k  Z
4k  1
x 2

 sin 1!
x
Có vơ số giá trị x gần 0 tùy ý,
tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL:
Giới hạn đang xét không !


ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngơn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g 
| f – g |     > 0. x “đủ gần” x0:   > 0 và xét | x – x0 | < 
ĐN: lim f  x  L    0,   0 : x  x    f ( x)  L  
0
x  x0

Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để
chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn!
Minh họa hình học:
x0   x0 x0   x
f  x

L
L 

L 


x

f

 x0

 L
f(x
)


VÍ DỤ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

VD: Cho lim 2 x  2 4  * Tìm  như trong đnghĩa khi  = 0.01
x 1
x 1
2
2
x
 2
Giải: f  x  
, x0 1, L 4   x  1: f  x   L 2 x  1
x 1
 = 0.01: f  x   L    x  1  0.005  Choïn 0.005
VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương tự:

lim x 2  x  2  4,  0.1
x 2


Giải: | f(x) – 4 | < 0.1  3.9 < f(x) < 4.1. Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1
1.97  x  2.03
Vaäyx  2  0.03
  0.03


GIỚI HẠN VÔ CÙNG – GIỚI HẠN TẠI VÔ
CÙNG
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi f(x)    (tức L =  ) hoặc x    (tức x0 =  ):
Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0|  Cần điều chỉnh!

Chú ý: Đại lượng A    A > M M & B  –  B < m m
lim f ( x)   M   0  x : Neáu
x  x0    f ( x)  M

x  x0

Tương tự cho trường hợp f(x)  –: Chỉ cần viết lại f(x) < m!
lim f ( x) L     0  M  x : Neáu
x  M  f ( x)  L  
x 

lim f ( x)    M  A  x : Neáu
x  A  f  x  M
x 

lim f(x) = L khi x  – & lim f(x) =   khi x   : tương tự



GIỚI HẠN MỘT PHÍA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G. hạn trái: x  x0  x  x0 & x < x0 (tức x  x0 từ bên trái)
lim f ( x)  f  x0  :

x  x0 

lim

x  x0 & x  x0

f ( x)

Minh họa:

x  x0 x0

x  x0 & x  x0
VD: Giới hạn trái x  0  x < 0: lim x  lim  x  1
x 0 x
x 0 x
G. hạn phải: x  x0+  x  x0 & x > x0 (tức x  x0 từ bên phải)
lim f ( x)  f  x0  :

x  x0 

lim


x  x0 & x  x0

f ( x)

Minh họa:

x0 x0  x
x  x0 & x  x0

Mệnh đề:  lim f ( x)   f  x  , f  x  & f  x   f  x 
0
0
0
0
x  x0

VD: Không tồn tại lim x vì lim x  1  lim x 1
x 0 x
x 0 x
x 0 x


GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương)
giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn
khi x  a. Khi đó


1. lim [ f ( x)  g ( x)] lim f ( x)  lim g ( x)
x a

x a

x a

2. lim [ f ( x)  g ( x)] lim f ( x)  lim g ( x)
x a

x a

x a

3. lim [cf ( x)] c lim f ( x)
x a

x a

4. lim [ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x)
x a

x a

f ( x)
f ( x) lim
5. lim
 x a
x a g ( x)
lim g ( x)

x a

x a

if

lim g ( x) 0
x a


VÍ DỤ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho đồ thị 2 hàm số

y=f(x)

y = f(x) và y = g(x)
a/ Các giới hạn sau liệu có
tồn tại hay không:
lim f  x  , lim g  x 

x  2

y=g(x
)

x 1

b/ Tính giá trị các giới hạn

sau nếu chúng tồn tại
1 / lim  f  x   5 g  x  
x  2

2 / lim f  x  g  x  
x 1

3 / lim
x 2

f  x
g x

Giải: a/ lim f  x  1; Khoâng
 lim g  x  b/ 1/ –4. 2/ – 3/: Không 
x  2

x 1


GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho n  N và hằng số a, c. Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a:
n



6. lim  f  x    lim f  x 
x a


7. lim c c
x a

x a



n

vaø 8. lim x a
x a

9. lim x n a n
x a

10. lim n x n a
x a

(neáu
n : chẵn,
a phải
 0)

11.lim n f  x  n lim f  x 
x a

x a

(nếu

n : chẵn,
lim f  x  phaûi
 0)
x a

Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1
công thức chứa các hàm cơ bản & a  Df 

lim f  x   f  a 
x a

Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)


VÍ DỤ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

   0
lim x 
x 
0   0 
0, x  
x
0  a  1 : lim a 
x  
, x  

Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x  :
, x  
a  1 : lim a 

x  
0 , x  
x



3
2
2
x

1
x

3
x
2
VD: Tìm các giới hạn a / lim
b / lim 2
x 1 x 2  2
x 1 x  3x  2
Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):

1
3
b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!):

x 3  3x 2  2

x  1  x 2  2 x  2 

x2  2x  2
lim 2
lim
lim
3
x 1 x  3x  2
x 1
x

1
 x  1 x  2
x 2
1 0 1
1 2 x  1
1 2x
 ; x   : L lim
1
VD : lim
: x   : L 
x
x


x   2  2 x
20 2
21 2  1


GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY
(PHỔ THÔNG)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngôn

ngữ

  t n  :  t n  x0  f  t n   a



“dãy”:
Không có giới hạn tại x0 (Thuận tiện
chứng minh không  lim):
 t n  : lim t n  x0 &  lim f  t n 
n 

n 

 yn  ,  z n  : yn , z n  x0 & lim f  yn  lim f  z n 
n 

n 

khoâng a / lim sin x b / lim sin 
x 
x 0
x
có
giới
hạn:

a/
2 y n   & z   2n   b/ 2 dãy
n
n
2
dãy:
Nhận xét: Tương tự dùng dãy ???
con chứng
VD:

Chứng

minh

minh dãy
phân
kỳ với ví dụ sau.
Đừng
nhầm
lẫn
lim sin n
n 


GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ
ĐỊNH
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

sin x
lim

1
x 0 x

Lượng
giác

ex  1
lim
1
x 0 x

Mũ,
ln:
Dạng

1

:



Sử

dụng số e
VD: lim 2 x  2 


x   2 x  2 
Kỹ
thuật:


3 x 2

tgx
lim
1
x 0 x

ax  1
ln 1  x 
lim
ln a lim
1
x 0
x 0
x
x
x

1

lim 1    lim 1  x 1 x e
x 
x 0
x

Cách 1: Dùng số e. Cách
2: Lấy ln 2 vế

lim u 1

v

x  x0

1  cos x 1
lim

2
x 0
2
x



  lim  1    

1  v

x  x0

e

lim v

x  x0

e

lim v  u  1


x  x0


QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0

Dạng vô định: 0/0, /,  – , 0., 1

, 0 

Biến
đổi
về x/định
Phương
pháp:
Nguyên tắc Lôpitan, vô
cùng
bétắc
tương
đương Tính giới hạn (tồn
Nguyên
Lôpitan:
tại) dạng 0/0, /
f ( x)
f ' ( x)
f " x
f ( n) ( x)
lim
 lim

 lim
  lim ( n )
x  x0 g ( x )
x x0 g ' ( x )
x  x0 g "  x 
x  x0 g
( x)
x
x  sin x
ax
VD : a/ lim 3
b/ lim
c/ lim   a  1,   0 
3
x 0 1  x 
x

0
x  x
1 x
x
1
1

lim  2  2 
x  0  sin x
x 
hoá biểu thức
Tính
Không dùng được Lôpitan khi VD : lim x  sin x

x   x  sin x
giới hạn không .
Chú ý : Đơn giản

VD:


GIỚI HẠN KẸP
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giới hạn
kẹp

Hệ
quả:

 f  x   g  x  h x   x  x0  
 lim g ( x) a
 lim f  x   lim h x  a
x  x0
 x  x0
x  x0
 0  f  x  h x   x  x0  
 lim f ( x) 0
 lim h x  0
x  x0
 x  x0

caùc a/ lim sin  b/ lim x sin  c/ lim x sin 
x 0

x 0
x 
x
x
x
giới hạn:
Giải: a/ Không  b/ Kẹp c/ b/ 0  x sin   x  0
x
Đặc biệt:
x
sin   x 
sin  t 
1
VD:
Chứnglim 1   e
c/ lim
lim



x


t

0
x  
1x
t
x


minh
VD:

Tìm