- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
ĐẠO hàm (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (468.53 KB, 12 trang )
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------
TỐN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
BÀI 5: ĐẠO HÀM
NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- ĐỊNH NGHĨA ĐẠO
HÀM
2- DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐẠO HÀM:
HÀM KHÔNG SƠ CẤP (HÀM GHÉP) –
ĐẠO
HÀM 1HÀM
PHÍA
3ĐẠO
HÀM
ẨN
4- ĐẠO
HÀM LƯNG GIÁC
NGƯC
5ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ
6
–
ĐẠO
CẤP CAO
HÀM
ĐẠO HÀM
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f x f x0
f ( x0 x) f ( x0 )
f
f ' ( x0 ) lim
lim
lim
x x0
x
0
x x0
x x 0
x
Ý
nghóa
học:
Hệ
góc
hình
số
tiếp
tuyến của đồ
thị (C) y = f(x)
tại tiếp
Hàm
cóđiểm
đạo
M(x0, f(x
hàm
tại
0)) x0
Liên
x0 .
tục
tại
Ngược
lại:
HÀM GHÉP, TRỊ TUYỆT: ĐẠO HÀM MỘT
PHÍA
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
0
0
x 0
hàm f ' ( x ) lim f ( x x) f ( x ) (i.ex 0)
x
phải:
Đạo haøm f ' ( x ) lim f ( x0 x) f ( x0 ) (i.ex 0)
0
x 0
x
trái:
Đạo
Hàm y = f(x) có đạo
hàm hữu hạn tại x0
f’(x0+) = f’(x0)
VD: Tính đạo hàm
tại x0 = 1 x 2 , x 1
f x
2 x 1, x 1
VD: f x x , x 0
0
KHI NÀO DÙNG ĐẠO HÀM 1 PHÍA?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm hàm sơ cấp (xác định qua 1
biểu thức): bảng đạo hàm cơ bản +
đạo
hiệu, tích,
thương,
Đạo hàm
hàm tổng,
hàm không
sơ cấp
( 2hợp
biểu
thức): định nghóa & dùng đạo hàm
trái, đạo hàm phải
VD: Tìm a, b ñeå
ax 2 bx 1, x 0
f x
hàm số sau có
a sin x b cos x, x 0
đạo hàm tại x0 =
Chú ý: Nên kiểm tra trước
0
điều kiện liên tục
x 2 sin 1 , x 0
VD: Tính đạo hàm tại x0 = 0 f ( x)
x
0
, x 0
của hàm
TÍNH ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp
cơ bản: tự xem lại
Đạo hàm
Đạo hàm hàm hợp
(C)’ = 0
(x)’ = x–1
(u)’ = u–1.u’
(1/x)’ = –1/x2
(1/u)’ =
x ' 1 2
x
(sinx)’ = cosx
u '
(sinu)’ =
(cosx)’ = –sinx
(cosu)’ =
(tgx)’ = 1/cos2x = 1 +
tg2x
(tgu)’ =
(cotgx)’ = –1/sin2x =
(cotgu)’ =
(ex)’ = ex, (ax)’ = axlna
(eu)’ =
(lnx)’ = 1/x, (log x) = 1/
(lnu)’ =
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích,
thương: tự xem lại
u v ' u 'v'
Cu ' Cu '
uv ' u ' v v' u
'
uvw ' u ' vw uv' w uvw'
u u ' v v' u
v2
v
Đạo hàm hàm hợp: Quy
tắc dây xích!
y f u , u u ( x) : y f u ( x) y ' x y 'u u ' x : Xuaát hie
änu'!
VD: Cho y = f(x2). Tính các đạo
x2
hàm y’,
y’’
y = f(x)g(x) log (cơ số e) y 1 1 y ' ?
x
hoá 2 vế. VD:
ĐẠO HÀM HÀM ẨN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm ẩn : F(x,y) = 0 x [a, b] y =
y(x)
x [a,
b]y = y(x) xác định từ phương
VD : Hàm
ẩn
trình y = 1 + xey
Tính
y’:
Đạo
hàm
trực tiếp 2 vế theo
x, chú ý y = y(x)
rồi
giải
phương
y
e
VD
y'x
trìnhđang
ẩn y’
y
1
xe
xét :
VD : Đạo hàm y’(0)
của
hàm
3
2 y ẩn
x ln y x e 0 y ' ( x)
y 0
y ' (0)
ĐẠO HÀM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC –
HYPERBOLIC
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y = f(x) hàm
ngược x = g(y).
Tại y0 = f(x0):
Gnhớ
: arcsin x '
1
g ' y0
f ' x0
f
1
y 1
f ' x
'
1
1
1
; arccos x '
; arctgx '
2
2
1 x2
1 x
1 x
(arcsinx)’ =
1 1 x2
(arccosx)’ =
1 1 x2
(arctgx)’ =
1 1 x 2
(arccotgx)’ =
1 1 x 2
(shx)’ = chx
(arcsinu)’ =
u' 1 u 2
(arccosu)’ =
u' 1 u 2
(arctgu)’ =
u ' 1 u 2
(arccotgu)’ =
u ' 1 u 2
(shu)’ = u’ . chu
(chx)’ = shx
(chu)’ = u’ . shu
(thx)’ = 1/ch2x = 1 – th2x
(thu)’ =u ' cosh 2 u
(cothu)’ = u ' sinh 2 u
(cothx)’ = –1/sh2x = 1 –
2
ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm theo tham số : x = x(t), y =
y(t)
y = y(x)
VD :Hàm
biểu diễn đường cycloid x = a(t –
sint), y = a(1 – cost)
P/pháp:
Đưa
về
đ/hàm theo t!
y'x t
y ' (t )
y'x
; y ' ' x y ' x ' x
x' (t )
x't
sin t
y'x
1 cos t
cycloid
VD : Tham số hoá
Đường
đường
elip
&
viết
p/trình
x a sin ttiếp tuyến:
y 't b cos t '
y
'
x
x't a sin t '
y b cos t
ĐẠO HÀM CẤP CAO
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(n)
Đhàm cấp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ĐH cấp n: y
(x) = [y(n-1)
n (x)]’
d y
Ký
n
dx
hiệu:
x n
e
Moät
x n
a
e
(n)
sin x n
2
ax b
(n)
ln ax b
đạo
a x ln n a
sin ax b
( n)
a sin ax b n
2
n
a n 1 n 1 ax b n
(n)
hàm
cấp cao cơ bản:
x
sin x
soá
( 1) n 1 a n n 1!
ax b n
KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phân tích hàm về dạng “tổng”
các hàm đơn giản
VD: f ( x) 1
x2 1
Lebnitz: uv
n
VD: f ( x) sin 2 x
n
Cnk u ( k ) v ( n k ) Cn0uv n Cn1u ' v n 1 Cnnu n v
k 0
VD:
f(x)
=
x2ex
Tổng quát: f(x) = u.v, u – đa thức bậc m
Các đạo hàm u(k) = 0 k > m Tổng
u(k)v(n
– k)
giản!
chỉ gồm vài thừa số: tính đơn
