Bài tập Hình học vi phân _ Giải tích 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (401.19 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm

1 BÀI TẬP CHƯƠNG 5. HÌNH HỌC VI PHÂN

Dạng 1: Tính độ cong

 Trường hợp 1:

 

AB : y y x

 

Độ cong:

 

2 2

1
xx

x

y
C

y



  

 

 

 Trường hợp 2:

 

: x x t

AB

y y t









Độ cong:

   

'' ' '' '

2 2 2

' '

. .
tt t tt t

t t

y x x y

C

x y




  

 

 

 Trường hợp 3:

 

AB :rr

 



Độ cong:

 

'' ' 2

2 2

2 '

. 2.

r r r r

C

r r

 



 



  

 

 

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong

 

x x t
C y y t
z z t







 


tại điểm

t t0

+ Phương trình tiếp tuyến:

 

' ' '

0 0 0

x x y y z z

x t y t z t

    

+ Phương trình pháp diện:

 



 



 



' ' '

0 0 0 0 0 0 0

x t xx y t yy z t zz 

Dạng 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong

F x y z 



, ,



tại

điểm

M0



x y z0; 0; 0



+ Phương trình pháp tuyến:

 

' ' '

0 0 0

x y z

x x y y z z

F M F M F M

  

 

+ Phương trình tiếp diện:

 



 



 



' ' '

0 0 0 0 0 0 0

x y z

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm

2 BÀI TẬP

Bài 1: Tính độ cong của đường:

.cos

.sin
t
t

x e t

y e t

 








, tại điểm ứng với

t

bất kỳ.

Cơng thức tính độ cong:

   

'' ' '' '

2 2 2

' '

. .

tt t tt t

t t

y x x y

C

x y




  

 

 

























.cos .sin cos sin
.sin .cos sin cos

cos sin sin cos 2 .sin
sin cos cos sin 2 cos

t t t

t

t t t

t

t t t

tt

t t t

tt

x e t e t e t t

y e t e t e t t

x e t t e t t e t

y e t t e t t e t

    




   



       


 

    



   





















'' ' '' ' 2

3 3 3

2 2 2 2 2 2

' '

. . 2 cos . cos sin 2 .sin . sin cos 2. 1

2 2 2

cos sin sin cos

t t t t t

tt t tt t

t t

y x x y e t e t t e t e t t e

C

e e

x y e t t e t t

   

   

       

   

   

Bài 2: Tính độ cong của

3 2

yx  x

tại

M

 

2; 0

Cơng thức tính độ cong:

 

2 2

1
xx

x

y
C

y



  

 

 

 

' 2 '

'' ''

3 3 9

6 12

y x y M

    




  



3 3

2 2

12 12

82
1 9

C  

  

 

Bài 3: Tính độ cong của

ra



1 cos 



; a0

Cơng thức tính độ cong:

 

'' ' 2

2 2

2 '

. 2.

r r r r

C

r r

 



 



  

 

 

sin
cos

r a




  



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm

3

 













2 2

'' ' 2 2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 2 2 2

2 '

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

. 2. .cos 1 cos 2 sin 1 cos

1 cos sin
cos cos 2 sin 2 cos cos

2 cos cos sin

r r r r a a a

C

a a

r r

a a a a a a

a a a a

 



   

 

    

  

      

 

      

 

 

 

     



    

 





















2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 cos 2 sin 3 cos

2 cos

2 3 cos 3 1 cos 3 1 cos 3

2 2 1 cos

2 2 cos 2 1 cos 2 1 cos

a a a a

a a a

a a a a a

a

a a a a

  



  



  

   



   

 

     

   



        

     

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

x2sin ;t y2cos ;t zt

tại

A



0;2;





.

Ứng với điểm

A



0;2;





, ta có:

t















'
'

' '

2 cos

2sin 0

1 1

t
t

t t

x t

x t

y t y t

z z t



   

 



 

    

 

    



 

Phương trình tiếp tuyến:

 

' ' '

0 0 0

x x y y z z

x t y t z t

     0 2 0 2

2 0

2 0 1

x t

x y z

y t

z t



  


   

      

   



Phương trình pháp diện:

2



x 0





y 2

 

1 z





     0 2x z



Bài 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong

 

2 2 2

S z x y

tại

điểm

M



3; 4; 5



.

Đặt





2 2 2

, ,

F x y z z x y

 

' '

2 6

2 8

2 10

x x

y y

z z

F x F M

F y F M

F z F M

     

     



   



Phương trình pháp tuyến:

 

' ' '

0 0 0

3 4 5

6 8 10

x y z

x x y y z z x y z

F M F M F M

     

    

 

</div>

Bài tập Hình học vi phân _ Giải tích 2

<i>Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm </i>

1

<b>BÀI TẬP CHƯƠNG 5. HÌNH HỌC VI PHÂN </b>

<b>Dạng 1: Tính độ cong </b>

 Trường hợp 1:

 

 

Độ cong:

 

 Trường hợp 2:

 

 

 

Độ cong:

<sub>   </sub>

 Trường hợp 3:

 

 



Độ cong:

 

 

<b>Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong </b>

 

 

 

 

<b>tại điểm </b>

<i>+ Phương trình tiếp tuyến: </i>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<i>+ Phương trình pháp diện: </i>

 



 



 



<b>Dạng 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong </b>





<b> tại </b>

<b>điểm </b>





<i>+ Phương trình pháp tuyến: </i>

 

 

 

<i>+ Phương trình tiếp diện: </i>

 



 



 



<i>Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm </i>

2

<b>BÀI TẬP </b>

<b>Bài 1: Tính độ cong của đường:</b>

, tại điểm ứng với

bất kỳ.

Cơng thức tính độ cong:

   

























   

