Tải bản đầy đủ (.pdf) (3 trang)

Bài tập Hình học vi phân _ Giải tích 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (401.19 KB, 3 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm </i>



1



<b>BÀI TẬP CHƯƠNG 5. HÌNH HỌC VI PHÂN </b>


<b>Dạng 1: Tính độ cong </b>



 Trường hợp 1:

 

<i>AB</i> : <i>y</i> <i>y x</i>

 

Độ cong:



 



''


3


2 <sub>2</sub>


'


1
<i>xx</i>


<i>x</i>


<i>y</i>
<i>C</i>


<i>y</i>





 <sub></sub> 


 


 


 Trường hợp 2:

 

 


 



: <i>x</i> <i>x t</i>


<i>AB</i>


<i>y</i> <i>y t</i>










Độ cong:

<sub>   </sub>



'' ' '' '


3


2 2 <sub>2</sub>


' '



. .
<i>tt</i> <i>t</i> <i>tt</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>y x</i> <i>x y</i>


<i>C</i>


<i>x</i> <i>y</i>





 <sub></sub> 


 


 


 Trường hợp 3:

 

<i>AB</i> :<i>r</i><i>r</i>

 

Độ cong:

 



 



2


'' ' 2


3



2 <sub>2</sub>


2 '


. 2.


<i>r r</i> <i>r</i> <i>r</i>


<i>C</i>


<i>r</i> <i>r</i>


 




 




 <sub></sub> 


 


 


<b>Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong </b>

 



 



 


 



:


<i>x</i> <i>x t</i>
<i>C</i> <i>y</i> <i>y t</i>
<i>z</i> <i>z t</i>








 


<b>tại điểm </b>

<i>t</i> <i>t</i><sub>0</sub>


<i>+ Phương trình tiếp tuyến: </i>

<sub> </sub>

0

<sub> </sub>

0

<sub> </sub>

0


' ' '


0 0 0


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>


<i>x t</i> <i>y t</i> <i>z t</i>



 <sub></sub>  <sub></sub> 


<i>+ Phương trình pháp diện: </i>



 

 

 



' ' '


0 0 0 0 0 0 0


<i>x t</i> <i>x</i><i>x</i> <i>y t</i> <i>y</i><i>y</i> <i>z t</i> <i>z</i><i>z</i> 


<b>Dạng 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong </b>

<i>F x y z </i>

, ,

0

<b> tại </b>


<b>điểm </b>

<i>M</i>0

<i>x y z</i>0; 0; 0



<i>+ Phương trình pháp tuyến: </i>



 

0

 

0

 

0


' ' '


0 0 0


<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>


<i>F M</i> <i>F M</i> <i>F M</i>


  



 


<i>+ Phương trình tiếp diện: </i>



 

 

 



' ' '


0 0 0 0 0 0 0


<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm </i>



2


<b>BÀI TẬP </b>



<b>Bài 1: Tính độ cong của đường:</b>

.cos


.sin
<i>t</i>
<i>t</i>


<i>x</i> <i>e</i> <i>t</i>


<i>y</i> <i>e</i> <i>t</i>


 








, tại điểm ứng với

<i>t</i>

bất kỳ.



Cơng thức tính độ cong:



   



'' ' '' '


3


2 2 <sub>2</sub>


' '


. .


<i>tt</i> <i>t</i> <i>tt</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>y x</i> <i>x y</i>


<i>C</i>


<i>x</i> <i>y</i>






 <sub></sub> 


 


 










'


'


''


''


.cos .sin cos sin
.sin .cos sin cos


cos sin sin cos 2 .sin
sin cos cos sin 2 cos



<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>


<i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>


<i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>


<i>tt</i>


<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>


<i>tt</i>


<i>x</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i>


<i>y</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i>


<i>x</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i>


<i>y</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i>


    






   





       



 


    





   









'' ' '' ' <sub>2</sub>


3 3 3


2 2 <sub>2</sub> 2 2 <sub>2</sub>


' '


. . 2 cos . cos sin 2 .sin . sin cos <sub>2.</sub> <sub>1</sub>



2 2 2


cos sin sin cos


<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i><sub>t</sub></i>


<i>tt</i> <i>t</i> <i>tt</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>y x</i> <i>x y</i> <i>e</i> <i>t e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i><sub>e</sub></i>


<i>C</i>


<i>e</i> <i>e</i>


<i>x</i> <i>y</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i>


   


   


 <sub></sub>   <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> 


   



   


<b>Bài 2: Tính độ cong của </b>

3


3 2


<i>y</i><i>x</i>  <i>x</i>

tại

<i>M</i>

 

2; 0


Cơng thức tính độ cong:



 



''


3


2 <sub>2</sub>


'


1
<i>xx</i>


<i>x</i>


<i>y</i>
<i>C</i>


<i>y</i>





 <sub></sub> 


 


 


 


 



' 2 '


'' ''


3 3 9


6 12


<i>y</i> <i>x</i> <i>y M</i>


<i>y</i> <i>x</i> <i>y M</i>


    





  






3 <sub>3</sub>


2 <sub>2</sub>


12 12


82
1 9


<i>C </i> 


  


 


<b>Bài 3: Tính độ cong của </b>

<i>r</i><i>a</i>

1 cos 

; <i>a</i>0


Cơng thức tính độ cong:

 



 



2


'' ' 2


3



2 <sub>2</sub>


2 '


. 2.


<i>r r</i> <i>r</i> <i>r</i>


<i>C</i>


<i>r</i> <i>r</i>


 




 




 <sub></sub> 


 


 


'


''



sin
cos


<i>r</i> <i>a</i>


<i>r</i> <i>a</i>





  



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm </i>



3



 


 







2 <sub>2</sub>


'' ' 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>


3 3



2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>


2 '


2 2 2 2 2 2 2 2 2


3


2 2 2 2 2 2 <sub>2</sub>


. 2. .cos 1 cos 2 sin 1 cos


1 cos sin
cos cos 2 sin 2 cos cos


2 cos cos sin


<i>r r</i> <i>r</i> <i>r</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>C</i>


<i>a</i> <i>a</i>


<i>r</i> <i>r</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>



 




   


 


    


  


  <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>


 


 <sub></sub>   <sub></sub> <sub></sub> 


 


 


 


     




    



 










2 2 2 2 2 2


3


2 2 2 <sub>2</sub>


2 2 2 2 2


3 3 3 1


2 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>


2 cos 2 sin 3 cos


2 cos


2 3 cos 3 1 cos <sub>3</sub> <sub>1 cos</sub> <sub>3</sub>


2 2 1 cos



2 2 cos 2 1 cos 2 1 cos


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i><sub>a</sub></i>


<i>a</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


  




  




  


   




   


 



     


   




        


     


<b>Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: </b>

<i>x</i>2sin ;<i>t y</i>2cos ;<i>t z</i><i>t</i>


tại

<i>A</i>

0;2;

.



Ứng với điểm

<i>A</i>

0;2;

, ta có:

<i>t</i>









'
'


' '


' '


2


2 cos


2sin 0


1 1


<i>t</i>
<i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>t</i>


<i>x t</i>


<i>x</i> <i>t</i>


<i>y</i> <i>t</i> <i>y t</i>


<i>z</i> <i>z t</i>






   


 





 <sub></sub>


    


 


 <sub></sub>  <sub></sub> <sub></sub>




 


Phương trình tiếp tuyến:



 

0

 

0

 

0


' ' '


0 0 0


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>


<i>x t</i> <i>y t</i> <i>z t</i>


 <sub></sub>  <sub></sub>  0 2 0 2


2 0


2 0 1



1


<i>x</i> <i>t</i>


<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>


<i>y</i> <i>t</i>


<i>z</i> <i>t</i>






  


   


   <sub></sub>   


 <sub>  </sub>




Phương trình pháp diện:

2

<i>x</i> 0

0.

<i>y</i> 2

 

1 <i>z</i>

     0 2<i>x</i> <i>z</i>

0


<b>Bài 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong </b>

 

2 2 2



:


<i>S</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>

tại


điểm

<i>M</i>

3; 4; 5

.



Đặt

2 2 2


, ,


<i>F x y z</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>


 


 


 



' '


' '


' '


2 6


2 8


2 10


<i>x</i> <i>x</i>


<i>y</i> <i>y</i>



<i>z</i> <i>z</i>


<i>F</i> <i>x</i> <i>F M</i>


<i>F</i> <i>y</i> <i>F M</i>


<i>F</i> <i>z</i> <i>F M</i>


     


 <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub>




 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>





Phương trình pháp tuyến:



 

0

 

0

 

0


' ' '


0 0 0


3 4 5


6 8 10



<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>


<i>F M</i> <i>F M</i> <i>F M</i>


     


    


 


</div>

<!--links-->

×