Chương IV
GIỚI HẠN
Tiết 49 : BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I.Mục tiêu :
Qua bài học HS cần :
1)Về kiến thức :
-Khái niệm giới hạn của dãy số thông qua ví dụ cụ thể, các định nghĩa và một vài giới hạn đặc biệt.
-Biết không chứng minh :
+ Nếu
lim , 0 víi mäi n th× L 0 vµ lim
n n n
u L u u L
= ≥ ≥ =
;
2)Về kỹ năng :
-Biết vận dụng
1 1
lim 0; lim 0; limq 0 víi 1
n
q
n
n
= = = <
- Hiểu và nắm được cách giải các dạng toán cơ bản.
3)Về tư duy và thái độ:
Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,…
Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về
quen.
II.Chuẩn bị của GV và HS:
GV: Giáo án, các dụng cụ học tập,…
HS: Soạn bài trước khi đến lớp, chuẩn bị bảng phụ (nếu cần), …

III. Phương pháp:
.Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm
IV.Tiến trình bài học:
*Ổn định lớp, chia lớp thành 6 nhóm.
*Kiểm tra bài cũ: Kết hợp với hoạt động nhóm.
*Kiểm tra bài cũ: Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
n
1
. Viết các số hạng u
10
, u
20
, u
30
, u
40
, u
50
,u
60
u
70
, u
80,
u
90

, u
100
?
*Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Nội dung
HS các nhóm xem đề và thảo
luận để tìm lời giải sau đó cử
đại diện lên bảng trình bày lời
giải.
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
n 10 20 30
u
n
0,1 0,05 0,033
3
n 40 50 60
u
u
0,02 0,02 0,016
HĐ1: Hình thành khái niệm
giới hạn của dãy số.
HĐTP1:
GV yêu cầu HS các nhóm xem nội
dung ví dụ hoạt động 1 trong SGK
và gọi HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải. Gọi HS nhận xét bổ
sung (nếu cần)
Lập bảng giá trị của u
n

khi n nhận
các giá trị 10, 20, 30, 40, 50, 60,
70, 80, 90. (viết u
n
dưới dạng số
thập phân, lấy bốn chữ số thập
phân)
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN
CỦA DÃY SỐ
1) Định nghĩa:
HĐ1:
Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
n
1
a) Nhận xét xem khoảng cách
từ u
n
tới 0 thay đổi như thế nào
khi trở nên rất lớn.
b) Bắt đầu từ số hạng u
n
nào
đó của dãy số thì khoảng cách
từ u
n
đến 0 nhỏ hơn 0,01?

0,001?
Trang 1
5 7
n 70 80 90
u
n
0,01
4
0,0125 0,011
1
Khi n trở nên rất lớn thì khoảng
cách từ u
n
tới 0 càng rất nhỏ.
01,0
〈
n
u
10001,0
1
〉⇔〈⇔
n
n
Bắt đầu từ số hạng u
100
trở đi thì
khoảng cách từ u
n
đến 0 nhỏ
hơn 0,01

Tương tự
001,0
〈
n
u
1000
〉⇔
n
H/s trả lời có thể thiếu chính
xác
Đọc hiểu Ví dụ 1 (SGK)
Dãy số ở HĐ1 là dãy giảm và bị
chặn, còn dãy số ở VD1 là dãy
không tăng, không giảm và bị
chặn
Dãy số này có giới hạn là 2
GV: Treo bảng phụ hình biểu diễn
(u
n
) trên trục số (như ở SGK)
Cho học sinh thảo luận và trả lời
câu a)

01,0
〈
n
u
?
Ta cũng chứng minh được rằng
n

u
n
1
=
có thể nhỏ hơn một số
dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng
nào đó trở đi, nghĩa là
n
u
có
thể nhỏ hơn bao nhiêu cũng được
miễn là chọn n đủ lớn. Khi đó ta
nói dãy số (u
n
) với u
n
=
n
1
có
giới hạn là 0 khi n dần tới dương
vô cực.
Từ đó cho học sinh nêu đ/n dãy số
có giới hạn là 0.
G/v chốt lại đ/n
Giải thích thêm để học sinh hiểu
VD1. Và nhấn mạnh: “
n
u
có

thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
Có nhận xét gì về tính tăng, giảm
và bị chặn của dãy số ở HĐ1 và ở
VD1?
HĐTP2:
Cho dãy số (u
n
) với
n
u
n
1
2
+=
Dãy số này có giới hạn như thế
nào?
Để giải bài toán này ta nghiên
cứu ĐN2
TLời
a) Khoảng cách từ u
n
tới 0
càng rất nhỏ.
b) Bắt đầu từ số hạng u
100
trở
đi thì khoảng cách từ u
n
đến 0

nhỏ hơn 0,01
Bắt đầu từ số hạng u
1000
trở đi
thì khoảng cách từ u
n
đến 0 nhỏ
hơn 0,001
ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn
là 0 khi n dần tới dương vô cực
nếu
n
u
có thể hơn một số
dương bé tuỳ ý, kể từ một số
hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
0lim
=
+∞→
n
n
u
hay
+∞→→
nkhiu
n

0
ĐỊNH NGHĨA 2:
Ta nói dãy số (v
n
) có giới hạn
là số a (hay v
n
dần tới a) khi
+∞→
n
, nếu
( )
0lim
=−
+∞→
av
n
n
Kí hiệu:
av
n
n
=
+∞→
lim
hay
+∞→→
nkhiav
n
Trang 2

Đọc hiểu Ví dụ 2 (SGK)
Ta có:
*
11
Nn
n
n
u
k
n
∈∀〈=
Do đó dãy số này có giới hạn là
0
Lúc này dãy có giới hạn là c
Vì
*
0 Nncu
n
∈∀=−
GV giải thích thêm sự vận dụng
Đ/n 2 trong c/m của ví dụ 2
Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
k
n
1
,

+
∈
Zk
Dãy số này có giới hạn
ntn?
Nếu u
n
= c (c là hằng số)?
2) Một vài giới hạn đặc biệt
a)
;0
1
lim
=
+∞→
n
n

+
+∞→
∈∀=
Zko
n
k
n
,
1
lim
b)
0lim

=
+∞→
n
n
q
nếu
1
〈
q
c) Nếu u
n
= c (c là hằng số) thì
ccau
n
n
n
===
+∞→+∞→
limlim
CHÚ Ý
Từ nay về sau thay cho
au
n
n
=
+∞→
lim
, ta viết tắt là lim
u
n

= a
HĐ3: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số: “|u
n
| có thể nhỏ hơn một số dương tuỳ ý, kể từ một số hạng nào
đó trở đi”.
Nắm chắc các tính chất về giới hạn hữu hạn.
Ôn tập kiến thức và làm bài tập SGK.
-----------------------------------

------------------------------------
Tiết 50 Bài 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( tiếp theo )
I.Mục tiêu :
Qua bài học , học sinh cần nắm :
1)Kiến thức : Một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn .Tính tổng của cấp nhân lùi vô hạn .
-Biết không chứng minh định lí:
lim( ), lim( . ), lim
n
n n n n
n
u
u v u v
v
 
±
 ÷
 
2)Kỹ năng : Cách tính giới hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn .
3)Tư duy : Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgic . khả năng phân tích , tổng hợp
4)Thái độ : Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học .

II.Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án , phiếu học tập .
2. HS: Chuẫn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
3. Phương tiện dạy học : bảng phụ , phấn màu .
III.Phương pháp : Vấn đáp , gợi mở , hoạt động nhóm .
IV.Tiến trình bài học :
Trang 3
1. Ổn định lớp : Chia lớp thành 6 nhóm.
2. Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa giới hạn dãy số , công thức các giới hạn đặc biệt .
Chứng minh rằng :
2 1 2
lim
3 4 3
n
n
n
→∞
+
=
+

3.Bài mới :
Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Nội dung

HS nắm các định lí .
HS trao đổi nhóm và trình
bày bài giải
a/
2
2

2 1
1
lim
n
n n
n
→+∞
− +
+
=
2
2
1 3
2
lim 2
1
1
n
n n
n
→∞
− +
=
+
b/ Chia cả tử và mẫu cho
n :

2
1 3
lim

1 5
n
n
n
→+∞
+
−
=
2
1
3
3
lim
1
5
5
n
n
n
→+∞
+
−
=
−
+ Dãy số thứ nhất có công
bội

1
2
q

=
+ Dãy số thứ hai có công
bội

1
3
q
= −
+ Cả hai dãy số đều có
công
bội q thoả :
1 1q
−〈 〈
+ HS thảo luận theo nhóm .
+ Tổng cấp nhân
HĐ1 :
GV giới thiệu các định lí
HĐ2 :
GV cho học sinh thảo luận
,trao đổi các ví dụ sgk
GV phát phiếu học tập số 1
GV cho học sinh thực hành
theo nhóm trên cơ sở các ví
dụ sgk
Phương pháp giải :
+ Chia cả tử và mẫu cho n
2
+ Áp dụng các định lí và suy
ra kết quả
Tương tự ta có cách giải thế

nào ở câu b.
HĐ 3:
GV giới thiệu các ví dụ , các
em có nhận xét gì về công
bội q của
Các dãy số này .
Từ đó GV cho HS nắm định
nghĩa
+ GV cho tính
( )
1 2 3
lim ...
n
n
u u u u
→+∞
+ + + +
+ GV cho học nhắc công
thức
II/ Định lí về giới hạn hữu hạn
1. Định lí 1:( Sgk )
2. Ví dụ :Tính các giới hạn sau
a/
2
2
2 1
1
lim
n
n n

n
→+∞
− +
+
b/
2
1 3
lim
1 5
n
n
n
→+∞
+
−
( Phiếu học tập số 1 )
+ Phuơng pháp giải :
III/ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
1. Định nghĩa (sgk )
2. Các ví dụ :
+ Dãy số
1 1 1 1
, , ,..., ,...
2 4 8 2
n

+ Dãy số
1
1 1 1 1
1, , , ,...,( ) ,...

3 9 27 3
n−
− − −
3. Tổng cấp nhân lùi vô hạn :

1
,( 1)
1
u
S q
q
= 〈
−
Trang 4

1
(1 )
1
n
n
u q
S
q
−
=
−

lim 0, 1
n
q q

= 〈
+ Tính được :

1
lim
1
n
u
S S
q
= =
−

+ Các nhóm hoạt động trao
đổi , và trình bày bài giải
Câu a.
1
1 1
,
3 3
u q
= =
Nên
1
1
3
1
2
1
3

S
= =
−
Câu b.
1
1
1,
2
u q
= =−
Nên
1 2
1
3
1
2
S
= =
+
cần áp dụng .
HĐ 4 :
+ GV phát phiếu học tập và
cho học sinh thảo luận theo
nhóm
+ GV hướng dẫn :
Tham khảo ví dụ sgk , cần
xác định u
1
và công bội q
4.Ví dụ : Tính tổng của cấp số nhân lùi vô

hạn .
a/
1
3
n
n
u
=
b/ Tính tổng
1
1 1 1 1
1 ...
2 4 8 2
n
−
 
− + − + + −
 ÷
 
( Phiếu học tập số 2 )
HĐ5.Củng cố và và hướng dẫn học ở nhà:
* Củng cố : - GV dùng bảng phụ hoặc máy chiếu (nếu có ) để tóm tắt bài học .
- Các bài tập trắc nghiệm để tóm tắc bài học ( tự biên soạn ) để kiểm tra học sinh
*Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Làm các bài tập 2 và 3 SGK trang 121.
-----------------------------------

------------------------------------
Tiết 51 Bài 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( tiếp theo )

I.Mục tiêu :
Trang 5
Qua bài học , học sinh cần nắm :
1)Kiến thức : Định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn .Tính
tổng của cấp nhân lùi vô hạn,…
2)Kỹ năng : Vận dụng được lý thuyết vào giải các bài tập cơ bản trong SGK, biết cách tính giới
hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn,…
3)Tư duy : Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgic . khả năng phân tích , tổng hợp
4)Thái độ : Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học , cẩn thận trong tính toán,…
II.Chuẩn bị :
GV: Giáo án , phiếu học tập .
HS: Chuẫn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
Phương tiện dạy học : bảng phụ , phấn màu .
III.Phương pháp : Vấn đáp , gợi mở , hoạt động nhóm .
IV.Tiến trình bài học :
* Ổn định lớp : Chia lớp thành 6 nhóm.
*Kiểm tra bài cũ : Định lí giới hạn hữu hạn , các giới hạn đặc biệt, công thức các giới hạn đặc biệt,
công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn .
Tính :
2
2
2 3 1
lim
3 4
→∞
+ +
+
n
n n
n


*Bài mới :
Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Tóm tắt bài học
HĐ1: Giới hạn vô cực:
HĐTP1:
GV cho HS các nhóm xem nội
dung ví dụ hoạt động 2 trong
SGK và cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải, gọi HS đại
diện nhóm lên bảng trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần).
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời
giải đúng (nếu HS không trình
bày đúng lời giải).
GV : Ta cũng chứng minh được
rằng
10
n
n
u =
có thể lớn hơn một
số dương bất kì, kể từ một số
hạn nào đó trở đi. Khi đó, dãy
số (u
n
) nói trên được gọi là dần
tới dương vô cực, khi
n

→ +∞
)
GV nêu định nghĩa và yêu cầu
HS xem ở SGK.
HĐTP2:
GV cho HS xem ví dụ 6 trong
SGK và GV phân tích để tìm lời
HS các nhóm thảo luận để tìn lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)Khi n tăng lên vô hạn thì u
n
cũng
tăng lên vô hạn.
b)n > 384.10
10
HS chú ý theo dõi để lĩnh hội kiến
thức…
IV.Giới hạn vô cực:
Ví dụ HĐ2: (xem SGK)
1)Định nghĩa: (Xem SGK)
Dãy số (u
n
) có giới hạn
+∞
khi
n

→ +∞
, nếu u
n
có thể lớn hơn
một số dương bất kì, kể từ một
số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
lim hay u khi n +
n n
u
= +∞ → +∞ → ∞
Dãy số (u
n
) được gọi là có giới
hạn
−∞
khi
nÕu lim(-u )
n
n
→ + ∞ = + ∞
Kí hiệu:
lim hay u khi n +
n n
u
= −∞ → −∞ → ∞
Nhận xét: SGK
Trang 6
giải tương tự SGK.
HĐTP3: (Một vài giới hạn đặc

biệt)
GV nêu các giới hạn đặc biệt và
ghi lên bảng…
GV lấy ví dụ minh họa và ra bài
tập áp dụng, cho HS các nhóm
thảo luận để tìm lời giải, gọi HS
đại diện lên bảng trình bày.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần).
GV nhận xét và nêu lời giải
đúng (nếu HS không trình bày
đúng lời giải)
HS chú ý theo dõi trên bảng …
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
2)Vài giới hạn đặc biệt:
a)lim n
k
=
+∞
với k nguyên
dương;
b)lim q
n
=
+∞

nếu q>1.
Ví dụ: Tìm:
( )
2
lim 3 2n n
− +
HĐ2:
HĐTP1:Bài tập ứng dụng
thực tế:
GV gọi HS nêu đề bài tập 1
trong SGK.
GV cho HS các nhóm thảo luận
nhận xét để tìm lời giải và gọi
HS đại diện các nhóm lên bảng
trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần).
GV nhận xét và nêu lời giải
đúng (nếu HS không trình bày
đúng lời giải).
HĐTP2:
GV nêu và chiếu lên bảng nội
dung định lí 2.
GV lấy ví dụ minh họa(bài tập
8b) và cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải, gọi HS đại
diện lên bảng trình bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời

giải đúng (nếu HS không trình
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày lời giải (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS các nhóm trao đổi và đưa ra kết
quả:
ĐS:
1 2 3
1 1 1
) ; ; ;...
2 4 8
B»ng quy n¹p ta chøng minh ®­îc:
1
.
2
n
n
a u u u
u
= = =
=
( ) ( ) ( )
6 6 3 9
1
)lim lim 0
2
1 1 1 1
) .

10 10 10 10
n
n
b u
c g kg kg
 
= =
 ÷
 
= =
HS chú ý và theo dõi trên bảng…
HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
Bài tập 1: (SGK)
3)Định lí:
Định lí 2: (SGK)
a)Nếu lim u
n
= a và lim v
n
=
±∞

thì
lim 0
n

n
u
v
=
.
b)Nếu lim u
n
=a>0, lim v
n
=0 và
v
n
>0 với mọi n thì
lim
n
n
u
v
= +∞
c)Nếu lim u
n
=
+∞
và
lim v
n
=a>0 thì lim u
n
v
n

=
+∞
Trang 7
bày đúng lời giải).
HĐTP3: Ví dụ áp dụng:
GV cho HS các nhóm xem nội
dung bài tập 8a) và cho HS thảo
luận theo nhoma để tìm lời giải,
gọi HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần)
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời
giải đúng (nếu HS không trình
bày đúng lời giải).
2
2
1
2
lim lim
1
1
2
1 lim
0
1
lim lim
n n
n
n

n
n
n
n
v v
v
v
v
v
v
v
+
+
=
−
−
+
= =
−
3 1 3.lim 1
8 ) lim 2
1 lim 1
n n
n n
u u
a
u u
− −
= =
+ +

Ví dụ: (Bài tập 8b SGK).Cho
dãy số (v
n
). Biết lim v
n
=
+∞
Tính giới hạn:

2
2
lim
1
n
n
v
v
+
−
Bài tập 8a): (SGK)
Cho dãy số (u
n
). Biết lim u
n
=3.
Tính giới hạn:

3 1
lim
1

n
n
u
u
−
+
HĐ3: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà :
*Củng cố:
-Nhắc lại các định lí và các giới hạn đặc biệt.
-Áp dụng : Giải bài tập 7a) c) SGK trang 122.
GV cho HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải và gọi đại diện lên bảng trình bày.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải).
*Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-làm thêm các bài tập còn lại trong SGK trang 121 và 122.
-----------------------------------

------------------------------------

Tiết 52 Bài 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( tiếp theo )
I.Mục tiêu :
Qua bài học, học sinh cần nắm :
1)Kiến thức : Củng cố lại định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, một số định lí về giới hạn dãy số hữu
hạn .Tính tổng của cấp nhân lùi vô hạn,…
Trang 8
2)Kỹ năng : Vận dụng được lý thuyết vào giải các bài tập cơ bản trong SGK, biết cách tính giới
hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn,…
3)Tư duy : Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgic . khả năng phân tích , tổng hợp
4)Thái độ : Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học , cẩn thận trong tính toán,…

II.Chuẩn bị :
GV: Giáo án , phiếu học tập .
HS: Chuẫn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
Phương tiện dạy học : bảng phụ , phấn màu .
III.Phương pháp : Vấn đáp , gợi mở , hoạt động nhóm .
IV.Tiến trình bài học :
* Ổn định lớp : Chia lớp thành 6 nhóm.
*Kiểm tra bài cũ:
Tính :
3
3 1
lim
3 4
+
+
n
n

*Bài mới :
Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Nội dung
HĐ1: Giải bài tập 2:
GV cho HS các nhóm thảo luận
tìm lời giải bài tập 2 SGK và gọi
đại diện nhóm lên bảng trình
bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời
giải đúng (nếu HS không trình
bày đúng lời giải ).

HS các nhóm thảo luận để tìm lời
giải và cử đại diện lên bảng trình
bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Vì
3
1
lim 0
n
=
nên
3
1
n
có thể nhỏ
hơn một số dương bé tùy ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là
lim (u
n
-1)=0. Do đó, lim u
n
=1
Bài tập 2: (SGK)
Biết dãy số (u
n
) thỏa mãn
3
1

1
n
u
n
− <
với mọi n. Chứng
minh rằng: lim u
n
= 1.
HĐ2: Giải bài tập 3:
GV phân công nhiệm vụ cho các
nhóm và cho các nhóm thảo
luận để tìm lời giải, gọi HS đại
diện lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần).
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời
giải đúng (nếu HS không trình
bày đúng lời giải ).
HS các nhóm xem đề bài tập 2 và
thảo luận tìm lời giải như đã phân
công, cử đại diện lên bảng trình bày
lời giải (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
KQ:
a)2; b)
3
2

; c)5; d)
3
4
.
Bài tập 3: (xem SGK)
HĐ3: Giải bài tập 7:
GV yêu cầu HS thảo luận theo
nhóm để tìm lời giải bài tập 7,
gọi HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu
cần)
HS thảo luận để tìm lời giải và cử
đại diện lên bảng trình bày (có giải
thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa
ghi chép.
Bài tập 7: (SGK)
Trang 9
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời
giải đúng (nếu HS không trình
bày đúng lời giải).
HS trao đổi để rút ra kết quả:
KQ:
a)
+∞
; b)
−∞
; c)
1

2
−
; d)
+∞
.
HĐ4: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà :
*Củng cố:
-Gọi HS nhắc lại tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
-Áp dụng : Giải bài tập 5.
GV cho HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải và gọi đại diện lên bảng trình bày.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải).
*Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-Đọc trước và soạn bài mới : « Giới hạn của hàm số »
-----------------------------------

------------------------------------
Tiết 53. §2 - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ( tiết 1 )

I. Mục tiêu : Qua bài này học sinh cần :
1. Về kiến thức :
- Khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số.
Trang 10
2. Về kỹ năng :
-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
- Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán.
3. Về tư duy và thái độ :
- Rèn luyện tư duy logic , tích cực hoạt động , trả lời câu hỏi.

II. Chuẩn bị :
1. Giáo viên :phiếu học tập
2. Học sinh : nắm vững định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số.
III. Phương pháp dạy học :
- Gợi mở , vấn đáp.
- Tổ chức hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài học :
*Ổn định lớp, giới thiệu: Chia lớp thành 6 nhóm.
*Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
HĐ1: Hình thành định nghĩa
HĐTP1: Hoạt động 1 sgk.
Cho HS hoạt động theo 4
nhóm.
- Cho nhóm 1,2 trình bày,
nhóm 3,4 nhận xét.
HĐTP2: Thảo luận về định
nghĩa.
-Với tính chất trên, ta nói hàm
số
1
22
)(
2
−
−
=
x
xx
xf

có giới
hạn là 2 khi x dần tới 1. Vậy
giới hạn của hàm số là gì ?
-Chính xác hoá định nghĩa và
ký hiệu. Lưu ý HS khoảng K
có thể là các khoảng (a;b) ,
);(),;(),;(
+∞−∞+∞−∞
ab
HĐ2:
HĐTP1: Củng cố định nghĩa.
-Cho HS nêu tập xác định của
hàm số và hướng dẫn HS dựa
vào định nghĩa để chứng minh
bài toán trên.
-Lưu ý HS hàm số có thể
không xác định tại
0
x
nhưng
lại có thể có giới hạn tại điểm
này.
- Chia nhóm hoạt động , trả
lời trên phiếu học tập.
- Đại diện nhóm 1,2 trình
bày, nhóm 3,4 nhận xét, bổ
sung.
-Thảo luận và trình bày phát
thảo định nghĩa.
-TXĐ : D = R\

{ }
3
−
Giả sử
)(
n
x
là dãy số bất kỳ
sao cho
3
−≠
n
x
và
3
−→
n
x
khi
+∞→
n
Ta có :
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại
một điểm:
1. Định nghĩa : (sgk)
VD1:
Cho hàm số
3
9
)(

2
+
−
=
x
x
xf
. CMR:
6)(
lim
3
−=
−→
xf
x
Trang 11
HĐTP2: Cho hàm số f(x) = x.
CMR:
0
)(
lim
0
xxf
xx
=
→
HĐ3: Giới thiệu định lý
(tương tự hoá)
-Nhắc lại định lý về giới hạn
hữu hạn của dãy số.

-Giới hạn hữu hạn của hàm số
cũng có các tính chất tương tự
như giới hạn hữu hạn của dãy
số.
HĐ4: Khắc sâu định lý.
-HS vận dụng định lý 1 để
giải.
-Lưu ý HS chưa áp dụng ngay
được định lý 1 vì
0)1(lim
1
=−
→
x
x
. Với x
≠
1:

2
1
)2)(1(
1
2
2
+=
−
+−
=
−

−+
x
x
xx
x
xx

6)3lim(
3
)3)(3(
lim
3
9
lim)(lim
2
−=−=
+
−+
=
+
−
=
n
n
nn
n
x
x
xx
x

x
xf
Vậy
6)(
lim
3
−=
−→
xf
x
-HS dựa vào định nghĩa và
bài toán trên để chứng minh
và rút ra nhận xét:
c
x
xx
xx
=
=
→
→
lim
lim
0
0
0
- Trả lời.
-HS làm theo hướng dẫn của
GV.
3)2(lim

1
)2)(1(
lim
1
2
lim
1
1
2
1
=+=
−
+−
=
−
−+
→
→
→
x
x
xx
x
xx
x
x
x
●Nhận xét:
c
x

xx
xx
=
=
→
→
lim
lim
0
0
0
(c: hằng số)
2.Định lý về giới hạn hữu hạn:
Định lý 1: (sgk)
VD2: Cho hàm số
x
x
xf
2
1
)(
2
+
=
Tìm
)(
lim
3
xf
x

→
.
VD3: Tính
1
2
lim
2
1
−
−+
→
x
xx
x
V. Củng cố:
1. Qua bài học các em cần:
- Nắm vững định nghĩa giới hạn hàm số.
- Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán.
2. Một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan khắc sâu nội dung bài học.
3. BTVN : Bài tập 1,2 sgk trang 132.
-----------------------------------

------------------------------------
Trang 12
Tiết 54. §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
I. Mục tiêu:
Qua bài học học sinh cần hiểu được:
1. Về kiến thức:
+ Biết định nghĩa giới hạn một bên của hàm số và định lý của nó .
+ Biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

2. Về kỹ năng:
+ Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
+ Biết vận dụng các định lý về giới hạn của hàm số để tính các giới hạn đơn giản.

II. Chuẩn bị của thầy và trò:
1. Chuẩn bị của trò: Làm bài tập ở nhà và xem trước bài mới.
2. Chuẩn bị của thầy: Giáo án
III. Phương pháp dạy học:
+ Nêu vấn đề,đàm thoại.
+ Tổ chức hoạt động nhóm.
IV.Tiến trình bài cũ:
1. Ổn định lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Thông qua các hoạt động trong giờ học.
3. Bài mới
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung
Nghe và chép bài
H: Sử dụng công thức (2)
152
)5(lim)(lim
2
2
2
2
−=−=
−=
−
−
→
→
xxf

x
x

H: Sử dụng công thức (1)
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
Vậy
)(lim
2
xf
x
→
không tồn tại vì
−
→
2
)(lim
x
xf


≠
+
→
2
)(lim
x
xf
1)(lim)(lim
1)(lim
22
2
−==⇔
−=
+−
→→
→
xfxf
xf
xx
x
Do đó cần thay số 4 bằng số -7
GV giới thiệu giới hạn một bên.
H: Khi
−
→
2x
thì sử dụng công
thức nào ?
H:

−
→
2
)(lim
x
xf
= ?
H: Khi
+
→
2x
thì sử dụng công
thức nào ?
H:
+
→
2
)(lim
x
xf
= ?
H: Vậy
)(lim
2
xf
x
→
= ?
H: Trong biểu thức (1) xác định
hàm số

)(xfy
=
ở ví dụ trên
cần thay số 4 bằng số nào để
hàm số có giới hạn là -1 khi
2→x
?
3. Giới hạn một bên:
ĐN2: SGK
ĐL2: SGK
Ví dụ: Cho hàm số



<−
≥+
=
)2(25
)1(243
)(
2
xkhix
xkhix
xf
Tìm
−
→
2
)(lim
x

xf
,
+
→
2
)(lim
x
xf
,
)(lim
2
xf
x
→
( nếu có ).
Giải:
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
1042.3

)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
Vậy
)(lim
2
xf
x
→
không tồn tại
vì
−
→
2
)(lim
x
xf

≠
+
→

2
)(lim
x
xf
Trang 13
)(xf
dần tới 0
)(xf
dần tới 0
Hàm số trên xác định trê n (-
∞
;
1) và trên (1; +
∞
).
HS nêu hướng giải và lên bảng
làm.
cc
x
=
±∞→
lim
0lim
=
±∞→
k
x
x
c
Định lý 1 vẫn còn đúng.

Cho hàm số
2
1
)(
−
=
x
xf
có
đồ thị như hvẽ
6
4
2
-2
-4
-5 5
H: Khi biến
x
dần tới dương vô
cực, thì
)(xf
dần tới giá trị
nào ?
H: Khi biến
x
dần tới âm vô
cực, thì
)(xf
dần tới giá trị
nào ?

GV vào phần mới
H: Tìm tập xác định của hàm số
trên ?
H: Giải như thế nào ?
Với c, k là các hằng số và k
II. Giới hạn hữu hạn của hàm
số tại vô cực:
ĐN 3: SGK
Ví dụ: Cho hàm số
1
23
)(
−
+
=
x
x
xf
. Tìm
)(lim xf
x
−∞→
và
)(lim xf
x
+∞→
.
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên
(-

∞
; 1) và trên (1; +
∞
).
Giả sử (
n
x
) là một dãy số bất
kỳ, thoả mãn
n
x
< 1 và
∞−→
n
x
.
Ta có
3
1
1
2
3
lim
1
23
lim)(lim
=
−
+
=

−
+
=
n
n
n
n
n
x
x
x
x
xf
Vậy
3
1
23
lim)(lim
=
−
+
=
−∞→−∞→
x
x
xf
xx
Giả sử (
n
x

) là một dãy số bất
kỳ, thoả mãn
n
x
> 1 và
∞+→
n
x
.
Ta có:
3
1
1
2
3
lim
1
23
lim)(lim
=
−
+
=
−
+
=
n
n
n
n

n
x
x
x
x
xf
Vậy
3
1
23
lim)(lim
=
−
+
=
+∞→+∞→
x
x
xf
xx
Chú ý:
a) Với c, k là các hằng số và k
nguyên dương, ta luôn có :

cc
x
=
±∞→
lim
;

0lim
=
±∞→
k
x
x
c
.
b) Định lý 1 về giới hạn hữu
Trang 14
Chia cả tử và mẫu cho
2
x
2
35
lim
2
2
+
−
+∞→
x
xx
x
=
2
2
1
3
5

lim
x
x
x
+
−
+∞→
=
2
2
lim1lim
3
lim5lim
x
x
xx
xx
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+
−
= 5
HS lên bảng trình bày
nguyên dương,
=
±∞→
c
x
lim
?

=
±∞→
k
x
x
c
lim
?
H: Khi
+∞→
x
hoặc
−∞→
x

thì có nhận xét gì về định lý 1 ?
H: Giải như thế nào?
H: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
,
ta được gì?
Kết quả ?
Gọi HS lên bảng làm
hạn của hàm số khi
0
xx
→

vẫn còn đúng khi

+∞→
x

hoặc
−∞→
x
Ví dụ: Tìm
2
35
lim
2
2
+
−
+∞→
x
xx
x
Giải: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
, ta có:
2
35
lim
2
2
+
−
+∞→

x
xx
x
=
2
2
1
3
5
lim
x
x
x
+
−
+∞→
=
)
2
1(lim
)
3
5(lim
2
x
x
x
x
+
−

+∞→
+∞→
=
2
2
lim1lim
3
lim5lim
x
x
xx
xx
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+
−
=
5
01
05
=
+
−
HĐ4: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà :
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-Xem lại giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
-Làm bài tập 2, 3 SGK
-----------------------------------


------------------------------------
Tiết 55 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Mục tiêu:
- Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn vô cực.
- Nắm được các qui tắc tính các giới hạn liên quan đến loại giới hạn này thông qua các ví dụ.
- Rèn luyện kỹ năng xác định giới hạn cụ thể thông qua bài tập.
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: Chuẩn bị các phiếu học tập.
- Học sinh: Đọc qua nội dung bài mới.
Trang 15
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
1. Kiểm tra bài cũ:
- Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn tại một điểm, tại ± ∞.
2. Bài mới :
Hoạt động 1: Giới hạn vô cực
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên : gọi học sinh
đứng tại chỗ đọc định nghĩa
4 SGK
- Giáo viên hướng dẫn học
sinh ghi định nghĩa bằng kí
hiệu.
-
+∞=
+∞→
)(lim xf
x
thì
?))((lim
=−

+∞→
xf
x
- Giáo viên đưa đến nhận
xét.
- Học sinh đọc định nghĩa 4
- Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ.
- Học sinh:

−∞=−
+∞→
))((lim xf
x
- Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ.
III. Giới hạn vô cực của hàm số :
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là
- ∞ khi
+∞→
x
nếu với dãy số (x
n
)
bất kì, x
n

> a và
+∞→
n
x
, ta có
−∞→
)(
n
xf
.
Kí hiệu:
−∞=
+∞→
)(lim xf
x
hay
−∞→
)(xf
khi
+∞→
x
.
Nhận xét :
−∞=−⇔+∞=
+∞→+∞→
))((lim)(lim xfxf
xx
Hoạt động 2: Một vài giới hạn đắc biệt
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên gọi học sinh tính

các gới hạn sau:
*
5
lim x
c
+∞→
,
5
lim x
c
−∞→
,
6
lim x
c
−∞→
- Giáo viên đưa đến một vài
gới hạn đặc biệt.
- Học sinh lên bảng tính các
giới hạn.
- Học sinh lắng nghe và tiếp
thu
2. Một vài giới hạn đắc biệt:
a)
+∞=
+∞→
k
x
xlim
với k nguyên

dương.
b)
−∞=
−∞→
k
x
xlim
nếu k là số lẻ
c)
+∞=
−∞→
k
x
xlim
nếu k là số
chẵn.
Hoạt động 3: Một vài qui tắc về giới hạn vô cực
Phiếu học tập số 01:
- Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).
- Tìm giới hạn
)2(lim
3
xx
x
−
+∞→
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên hướng dẫn học
sinh phát biểu quy tắc tìm
giới hạn của tích .

- Vận dụng tìm giới hạn ở
phiếu học tập số 01
- Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ.
- Học sinh tính giới hạn.
3. Một vài qui tắc về giới hạn vô cực:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
Nếu
0)(lim
0
≠=
→
Lxf
xx
và
+∞=
→
)(lim
0
xg
xx

( hoặc - ∞ ) thì
)().(lim
0
xgxf
xx
→
được
tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

Trang 16
)(lim
0
xf
xx
→
)(lim
0
xg
xx
→
)().(lim
0
xgxf
xx
→
+ ∞ + ∞
- ∞ - ∞
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞
Phiếu học tập số 02
- Nêu nội dung quy tắc tìm giới hạn của thương.
- Xác định giới hạn
2
2
)2(
12
lim
+
+

−→
x
x
x
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên hướng dẫn học
sinh phát biểu quy tắc tìm
giới hạn thương.
- Giáo viên yêu cầu học sinh
cả lớp làm ví dụ 7 theo
nhóm.
- Gọi học sinh đại diện cho
nhóm trả lời các kết quả cảu
mình.
- Giáo viên yêu cầu học sinh
cả lớp giải ví dụ 8 vào giấy
nháp và gọi một học sinh
trình bày để kiểm tra mức độ
hiểu bài của các em.
- Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ.
- Học sinh cả lớp giải các ví
dụ ở SGK.
- Học sinh đại diện nhóm
mình lên trình bày kết quả.
- Học sinh trả lời vào phiếu
học tập theo yêu cầu của
câu hỏi trong phiếu
b. Quy tắc tìm giới hạn của thương
)(

)(
xg
xf
)(lim
0
xf
xx
→
)(lim
0
xg
xx
→
Dấ
u
của
g(x)
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx
→
L ± ∞
Tuỳ
ý
0
L > 0

0
+ + ∞
- - ∞
L < 0
+ - ∞
- + ∞
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các
trường hợp
−+
→→
00
, xxxx
,
−∞→+∞→ xx ,
IV. Củng cố:
- Nắm các quy tắc xác định giá trị giới hạn của các hàm số tại vô cực .
- Tính các giới hạn sau:
32
23
2
2
1
52
lim;
2
22
lim;
1
54
lim

xx
xx
x
x
x
xx
xxx
−
−+
−
−+
+
−−
+∞→→−→
V. Dặn dò về nhà:
- Nắm vững quy tắc tìm giới hạn của tích và thương.
- Giải bài tập SGK
-----------------------------------

------------------------------------
Tiết 56. BÀI TẬP
A.Mục Tiêu:
Qua bài học HS cần:
1. Về kiến thức: Nắm được định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số
2. Về kỉ năng: Biết áp dụng định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số để làm các bài tập như:
Chứng minh hàm số có giới hạn tại một điểm, tìm giới hạn của các hàm số.
3. Về tư duy : +áp dụng thành thạo định nghĩa và các định lý về giới hạn hàm số trong việc tìm giới hạn
của hàm số
+ Biết quan sát và phán đoán chính xác
Trang 17

4 . Thái độ: cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động
B. Chuẩn Bị:
1. Học sinh: - Nắm vững định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số, làm bài tập ở nhà,vở bài
tập
2. Giáo viên: - Hệ thống bài tập, bài tập trắc nghiệm và phiếu học tập, bút lông
- bảng phụ hệ thống định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số
C. Phương Pháp:
- Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm.
D. Tiến Trình Bài Học:
HĐ1: Hệ thống kiến thức ( đưa trên bảng phụ)
HĐ2: Bài tập áp dụng định nghĩa để tìm giới hạn của hàm số, chứng minh hàm số có giới hạn.
HĐ3: Bài tập áp dụng các định lí để tìm giới hạn của hàm số
HĐ4: Bài tập trắc nghiệm củng cố, ra bài tập thêm (nếu còn thời gian)
E. Nội Dung Bài Học:
HĐ1: gọi HS nêu định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên và các định
lý về giới hạn hữu hạn của hàm số.
- Gv hệ thống lại các kiến thức treo bảng phụ lên và đi vào bài mới.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ2: áp dụng định
nghĩa tìm giới hạn các
hàm số:
- Chia nhóm HS ( 4
nhóm)
- Phát phiếu học tập
cho HS.
- Quan sát hoạt động
của học sinh, hướng
dẫn khi cần thiết .
Lưu ý cho HS:
- sử dụng định nghĩa

giới hạn hạn hữu hạn
của hàm số tại một
điểm.
- Gọi đại diện nhóm
trình bày.
- Gọi các nhóm còn lại
nhận xét.
- GV nhận xét, sữa sai
( nếu có) và đưa ra
đáp án đúng.
- HS lắng nghe và tìm hiểu
nhiệm vụ.
- HS nhận phiếu học tập và tìm
phương án trả lời.
- thông báo kết quả khi hoàn
thành.
- Đại diện các nhóm lên trình
bày
- HS nhận xét
- HS ghi nhận đáp án
2 a/ xét hai dãy số:
n
b
n
a
nn
1
;
1
−==

. Ta có:
+∞→→→
nkhiba
nx
0;0
Phiếu học tập số 1:
Áp dụng định nghĩa tìm giới hạn các hàm số
sau:
a/
23
1
lim
4
−
+
→
x
x
x
b/
x
x
x
−
+
→
3
3
lim
5

phiếu học tập số 2:
cho các hàm số:



<
≥+
02
01
/
xkhix
xkhix
a



<−
≥
01
0
/
2
2
xkhix
xkhix
b
Xét tính giới hạn của các hàm số trên khi
0→x
.
Đáp án:

1a/ TXĐ:






+ ∞∪






∞−=






=
;
3
2
3
2
;
3
2

\RD






+∞∈=
;
3
2
4x
giả sử (x
n
) là dãy số bất kì,
4;;
3
2
≠






+∞∈
nn
xx
và
+∞→→

nkhix
n
4
Trang 18
HĐ3: áp dụng định lý
tìm giới hạn các hàm
số:
- Chia nhóm HS ( 4
nhóm)
- Phát phiếu học tập
cho HS.
- Quan sát hoạt động
của học sinh, hướng
dẫn khi cần thiết .
Lưu ý cho HS:
- sử dụng định nghĩa
giới hạn hạn hữu hạn
của hàm số tại một
điểm.
- Gọi đại diện nhóm
trình bày.
- Gọi các nhóm còn lại
nhận xét.
- GV nhận xét, sữa sai
( nếu có) và đưa ra
đáp án đúng.
( )
11
1
limlim

=








+=
+∞→+∞→
n
af
n
n
n
( )
0
2
limlim ==
+∞→
+∞→
n
bf
n
n
n
Suy ra: hàm số đã cho không
có giới hạn khi
0→x

.
b/ Tương tự: hàm số cũng
không có giới hạn khi
0→x

- HS lắng nghe và tìm hiểu
nhiệm vụ.
- HS nhận phiếu học tập và tìm
phương án trả lời.
- thông báo kết quả khi hoàn
thành.
- Đại diện các nhóm lên trình
bày
- HS nhận xét
- HS ghi nhận đáp án
Ta có:
( )
2
1
212
14
23
1
limlim
=
−
+
=
−
+

=
n
n
n
x
x
xf
Vậy
2
1
23
1
lim
4
=
−
+
→
x
x
x
b/ TXĐ:
( ) ( )
+∞∪∞−=
;33;D
,
( )
+∞∈=
;35x
Giả sử {x

n
} là dãy số bất kì,
( )
3;;3
≠+∞∈
nn
xx
và
+∞→→
nkhix
n
5
Ta có:
( )
4
2
8
3
3
limlim
−=
−
=
−
+
=
n
x
x
x

xf
Phiếu học tập số 3:
Tìm giới hạn các hàm số sau:
a/
2
4
lim
2
2
+
−
−→
x
x
x
b/
6
33
lim
6
−
−+
→
x
x
x
c/
1
72
lim

1
−
−
−
→
x
x
x
d/
1
72
lim
1
−
−
+
→
x
x
x
Đáp án:
a/
( )( )
( )
42lim
2
22
lim
22
=−=

+
+−
=
−→−→
x
x
xx
xx

( )( )
( )
( )
( )
( )
6
1
33
1
lim
336
6
lim
336
3333
lim/
66
6
=
++
=

++−
−
=
++−
++−+
=
→→
→
xxx
x
xx
xx
b
xx
x
c/Ta có:
( )
01lim
1
=−
−
→
x
x
, x -1 < 0 với mọi
x<1
và
( )
0572lim
1

<−=−
−
→
x
x
Vậy:
+∞=
−
−
−
→
1
72
lim
1
x
x
x
d/ tương tự :
−∞=
−
−
+
→
1
72
lim
1
x
x

x
F.Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
: Bài tập trắc nghiệm:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
1/
2
1
lim
2
−
−
−
→
x
x
x
bằng:
Trang 19

∞+∞−
.1.
4
1
.. DCBA
2/
( )
32lim
2
1
+−

−→
xx
x
. Có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
3/
5
3
lim
4
52
1
++
−
−→
xx
xx
x
.Có giá trị là bao nhiêu?
A.
5
4
B.
7
4
C.
5
2
D.
7

2
Đáp án: 1.A; 2. D; 3.A
Làm thêm các bài tập sau: 1/
( )
( )
1
1
2
3
1
lim
−
+
+
−→
x
x
x
x
2/
(
)
xx
x
−+
+∞→
1lim
2
-----------------------------------


------------------------------------
Tiết 57. § 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I.MỤC TIÊU :
Qua bài học HS cần:
1.Kiến thức :
Khái niệm hàm số liên tục tại 1điểm ,hàm số liên tục trên 1 khoảng và các định lí cơ bản.
2.Kỹ năng:
Rèn luyện kỹ năng xác định xét tính liên tục của hàm số.
3.Tư duy:
Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số và sự tồn tại nghiệm của
phương trình dạng đơn giản.
4. Thái độ:
Cẩn thận ,chính xác.
II.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
GV: giáo án , phiếu học tập, bảng phụ.
HS: ôn tập các kiến thức cũ về giới hạn của hàm số.
III.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phương pháp gợi mở ,vấn đáp.
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
*Ổn định lớp, giới thiệu: chia lớp thành 6 nhóm.
Phiếu học tập:
Cho 2 hàm số f(x) = x
2
và g(x) =





≥+−
<<−

−≤+−
1,2
11,2
1,2
2
2
khixx
xkhi
khixx

a, Tính giá trị hàm số tại x = 1 và so sánh giới hạn (nếu có) của hàm số khi x
→
1
Trang 20
b, Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 (GV treo bảng phụ)
*Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung
HS nêu Định nghĩa về hàm
số liên tục tại 1 điểm

TXĐ D = R\ {3}

?)2()(lim
2
fxf
x
=
→

4)(lim

2
−=
→
xf
x
f(2) = -4
Hàm số liên tục tại x
0
= 2



+ TXĐ: D = R
+ f(1) = a
+
2)(lim
1
=
→
xf
x
+hàm số liên tục tại x
0
= 1
⇔
)1()(lim
1
fxf
x
=

→
⇔
a =
2.
GV nêu câu hỏi:
Thế nào là hàm số liên
tục tại 1 điểm?

Tìm TXĐ của hàm số?
Xét tính liên tục của hàm
số tại x
0
= 2 ta kiểm tra
điều gì?
Hãy tính
)(lim
2
xf
x
→
?
f(2)=?
Kết luận gì về tính liên
tục của hàm số tại x
0
=
2?

+ Tìm TXĐ ?
+Tính f(1)?

+Tính
?)(lim
1
xf
x
→
+ a = ? thì hàm số liên
tục tại x
0
=1?
I. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng K và x
0

K
∈
.Hàm số y =
f(x) được gọi là liên tục tại x
0
nếu
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
* Hàm số y = f(x) không liên tục tại

x
0
được gọi là gián đoạn tại điểm
đó.
Ví dụ:
1.Xét tính liên tục của hàm số:
f(x)=
3
2
−
x
x
tại x
0
= 2
TXĐ : D = R\{3}
4
32
2.2
3
2
lim)(lim
22
−=
−
=
−
=
→→
x

x
xf
xx
f(2) =
4
32
2.2
−=
−
)2()(lim
2
fxf
x
=⇒
→
Vậy hàm số liên tục tại x
0
=2
2.Cho hàm số
f(x) =





=
≠
−
−
1

1
1
1
2
akhix
khix
x
x
Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
=
1
TXĐ: D = R
f(1) = a
1
)1)(1(
lim
1
1
lim)(lim
1
2
11
−
+−
=
−
−
=
→→→

x
xx
x
x
xf
xxx
=
2)1(lim
1
=+
→
x
x
+ a =2 thì
)1()(lim
1
fxf
x
=
→
Vậy hàm số liên tục tại x
0
= 1
Trang 21
+ a
2
≠
thì hàm số gián đoạn
tại x
0

=1

TXĐ : D = R

)0()(lim)(lim
00
fxfxf
xx
==
+−
→→
f(0) = 0
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx
1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf
xx
+
−
→

→
≠
0
0
)(lim)(lim
x
x
xfxf
Hàm số không liên tục tại x
0
=
0

HS định nghĩa tương tự
TXĐ : D = R
Tổng,hiệu ,tích ,thương các
hàm số liên tục tại 1 điểm.
+ a = ? thì hàm số gián
đoạn tại x
0
= 1?
Tìm TXĐ?
Hàm số liên tục tại x
0
=
0 khi nào?
Tính f(0)?
Tính
?)(lim
0

xf
x
−
→

Tính
?)(lim
0
xf
x
+
→
Nhận xét
)(lim
0
xf
x
−
→
và
?)(lim
0
xf
x
+
→
Kết luận gì?
Hàm số liên tục trên
nửa khoảng (a ; b ] , [a ;
+

)
∞
được định nghĩa
như thế nào?
Các hàm đa thức có TXĐ
là gì?
Các hàm đa thức liên tục
trên R.
+ a
2
≠
thì
)1()(lim
1
fxf
x
≠
→
Vậy hàm số gián đoạn tại x
0
=
1
3. Cho hàm số f(x) =



≤
>+
0
01

2
xkhix
khixx
Xét tính liên tục của hàm số tại x =
0
TXĐ: D = R
f(0) = 0
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx

1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf
xx

Vì
+
−
→
→
≠

0
0
)(lim)(lim
x
x
xfxf

Nên
)(lim
0
xf
x
→
không tồn tại và do
đó hàm số không liên tục tại x
0
= 0.
II. Hàm số liên tục trên một
khoảng.
Định nghĩa 2:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục trên 1 khoảng nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng đó.
+ hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên
(a ;b) và
)()(lim afxf
ax
=
+

→

)()(lim bfxf
bx
=
−
→

Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên tục
trên 1 khoảng là 1 “đường liền”
trên khoảng đó.
III,Một số định lí cơ bản.
ĐL 1: SGK
ĐL 2: SGK.
Trang 22
TXĐ:D=R \{ 2;
π
π
k
+
2
,k
Z
∈
}
hàm số liên tục tại mọi điểm x
2
≠
và x
≠

π
π
k
+
2
( k
)Z
∈
+ x > 1 : f(x) = ax + 2
Hàm số liên tục trên (1 ; +
)
∞
+ x< 1: f(x) = x
2
2
−+
x
Hàm số liên tục trên (-
)1;
∞
f(1) = a +2 .
2)2(lim)(lim
11
+=+=
++
→→
aaxxf
xx
.
1)1(lim)(lim

2
11
=++=
−−
→→
xxxf
xx
a =-1thì hàm số liên tục trên
R.
a
≠
-1 thì hàm số liên tục
trên
( -
);1()1;
+∞∪∞
.

GV treo bảng phụ hình 59/
SGK và giải thích.
GV nhấn mạnh ĐL 3 được
áp dụng đẻ CM sự tồn tại
nghiệm của phương trình trên
Tìm TXĐ?

kết luận gì về tính liên
tục của hàm số ?
+ x > 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên
tục của hàm số?

+ x< 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên
tục của hàm số?
+ Xét tính liên tục của
hàm số tại x = 1?
Tính f(1)?
?)(lim
1
xf
x
−
→
?)(lim
1
xf
x
+
→
kết luận gì về tính liên
tục của hàm số trên toàn
trục số?

HS quan sát hình vẽ
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số
y =
2
costan)1(
−
−+
x

xxx
TXĐ : D = R \{ 2;
π
π
k
+
2
,k
Z
∈
}
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x
2
≠
và x
≠
π
π
k
+
2
( k
)Z
∈
Ví dụ: Cho hàm số
f(x) =



<−+

≥+
11
12
2
khixxx
khixax
Xét tính liên tục của hàm số trên
toàn trục số.
+x >1 : f(x) = ax + 2 nên hàm số
liên tục.
+x < 1: f(x) = x
1
2
−+
x
nên hàm số
liên tục.
+tại x = 1:
f(1) = a +2 .
2)2(lim)(lim
11
+=+=
++
→→
aaxxf
xx
.
1)1(lim)(lim
2
11

=++=
−−
→→
xxxf
xx
a = -1 thì
)1()(lim)(lim
11
fxfxf
xx
==
−+
→→
nên hàm số liên tục tại x = 1.
a
1
−≠
hàm số gián đoạn tại x = 1
Vậy:a = -1 thì hàm số liên tục trên
R.
a
≠
-1 thì hàm số liên tục trên
( -
);1()1;
+∞∪∞
.
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục
trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
tồn tại ít nhất 1 điểm c

∈
( a; b) sao
cho f( c) = 0.
Nói cách khác:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
Trang 23
1khoảng.

a = -1 ; b = 1
hàm số f(x) = x
5
+ x -1 liên
tục trên R nên liên tục trên
đoạn [-1;1]
f(-1) = -3
f(1) = 1
f( -1) .f(1) = -3 < 0.
a = ?, b = ?
hàm số f(x) = x
5
+ x -1
liên tục ko?
Tính f (-1)?
f(1) ?
Kết luận gì về dấu của
f(-1)f(1)?
nằm trong (a ; b).
Ví dụ : Chứng minh rằng phương

trình :x
5
+ x -1 có nghiệm trên(-
1;1).
Giải: Hàm số f(x) = x
5
+ x -1 liên
tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1;
1] .
f(-1) = -3
f(1) = 1
do đó f( -1) .f(1) = -3 < 0.
Vậy phương trình có ít nhất 1
nghiệm thuộc ( -1; 1).
*Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
Củng cố:ĐN hàm số liên tục tại 1 điểm.
ĐN hàm số liên tục trên 1 khoảng.
Một số định lí cơ bản.
BTVN: các bài tập SGK.
-----------------------------------

------------------------------------
TIẾT 59: BÀI TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Mục tiêu:
Qua bài học HS cần:
1)Về kiến thức: Nắm vững khài niệm hàm số liên tục tại một điểm và vận dụng định nghĩa vào
việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số
2)Về kĩ năng: Vận dụng định nghĩa,các tính chất trong việc xét tính liên tục của các hàm số.
3)Về tư duy thái độ: Tích cực hoạt động, giải các bài tập trong sách giáo khoa
II. Chuẩn bị:

Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa
Học sinh: Ôn tập lý thuyết và làm bài tập ở nhà
III.Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp và hướng dẫn
IV.Tiến trình bài học:
*Ổn định lớp, giới thiệu: Chia lớp thành 6 nhóm
* Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa, các định lý của hàm số liên tục ?
Vận dụng: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số:f(x) =
3
2 1x x+ −
tại
0
3x =
* Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung
Bài tập 2:
Trang 24
TXD: D = R
( )
2
2
3
8
lim
lim
2
x
x
x
g x
x

→
→
=
−
−
( )
2
2
12
lim 2 4
x
x x
→
=
+ +
g (2) = 5
( )
( )
2
2
lim
x
g
g x
→
⇒ ≠

Hàm số y = g(x) không liên tục
tại
0

2x
=
Học sinh trả lời
- HS vẽ đồ thị
- Dựa vào đồ thị nêu các khoảng
để hàm số y = f(x) liên tục
-Dựa vào định lí chứng minh
hàm số liên tục trên các khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;
− +∞
-Xét tính liên tục của hàm số tại
0
1x = −
-Tìm tập xác định của các hàm
số
HD: Tìm tập xác định?
Tính
( )
2
lim
x
g x
→
và f ( 2)
rồi so sánh

HD: Thay số 5 bởi số nào để
hàm số liên tục tại
0
2x
=
tức là để
( ) ( )
x 2
limg x 2g
→
=
HD: - Vẽ đồ thị y = 3x + 2 khi
x < - 1 ( là đường thẳng)
- Vẽ đồ thị y =
2
1x −
nếu
1x
≥ −
( là đường parabol )
-Gọi HS chứng minh khẳng định
ở câu a/ bằng định lí
- HD: Xét tính liên tục của hàm
số y = f(x) trên TXD của nó
HD: Tìm TXD của các hàm số ,
áp dụnh tính chất của hàm số
liên tục
( )
3
8

, 2
2
5 , 2
x
x
g x
x
x

−
≠

=
−


=

a/ Xét tính liên tục của hàm số
y = g (x) tại
0
2x
=
KL: Hàm số y = g(x) không liên
tục tại
0
2x
=
b/ Thay số 5 bởi số 12
Bài tập 3:

( )
2
3 2 , 1
1 , 1
x x
f x
x x
+ < −

=

− ≥ −

a/ Hàm số y = f(x) liên tục trên
các khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;
− +∞
b/ -Hàm số liên tục trên các
khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;

− +∞
- Tại
0
1x
= −
( ) ( )
1 1
limf x lim
x x
f x
− +
→− →−
≠
Hàm số không liên tục tại
0
1x = −
Bài tập 4:
-Hàm số y = f(x) liên tục trên
Trang 25