Tài liệu ôn tập: phép biến hình trong mặt phẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (94.8 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÀI LIỆU ƠN TẬP

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1 Tóm tắt lý thuyết

1.1 Một số cơng thức về vectơ

Cho A(xA;yA), B(xB;yB). Ta có
−→

AB = (xB −xA;yB −yA).

Độ dài đoạn AB là AB =|−→AB| =p(xB −xA)2+ (yB −yA)2

Phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R là

(x−a)2+ (y −b)2 = R2

Ví dụ: Phương trình đường trịn tâm I(−3; 2), bán kính R = 4 là:

(x+ 3)2+ (y −2)2 = 16

Ngược lại, từ phương trình đường trịn cho trước, ta dễ dàng tìm ra tâm và bán
kính của nó.

Ví dụ: Đường trịn (C): (x−2)2+ (y +√5)2 = 3 có tâm I(2;−√5), bán kính
R =

√

1.2 Một chút về phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến
−

→

n∆ = (A;B) là A(x−x0) +B(y −y0) = 0.

Ngược lại, từ phương trình tổng quát của đường thẳng ax+by +c = 0, ta có
ngay một vectơ pháp tuyến của nó là −→n = (a;b).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0) và có vectơ chỉ

phương −→u = (a;b) là

(

x =x0+at

y =y0+bt

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) là

x−xA

xB −xA

= y −yA
yB −yA

Ví dụ: Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) là
x−1

3−1 =

y −2
4 −2 ⇔

x−1
2 =

y−2

2 ⇔ x−y + 1 = 0
Cho đường thẳng d có phương trình ax+by +c = 0 (a2+b2 6= 0).

Đường thẳng d0 song song với d có phương trình dạng: ax+by+d = 0 (d6= c).

Đường thẳng∆⊥ dcó phương trình dạng: −bx+ay+e= 0 hoặcbx−ay+f = 0.

1.3 Phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng, cho M(x;y) và −→u = (u1;u2). Gọi M0(x0;y0) là ảnh của M

qua T−→u. Ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là

(

x0 =x+u1

y0 =x+u2

Chú ý: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc
trùng với nó; biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.

Các ví dụ:

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho điểmM(−1; 2)và vectơ−→u = (3;−4).
Xác định ảnh của M qua phép tịnh tiến T−→u.

Giải:

Gọi M1(x1;y1) là ảnh của M qua phép tịnh tiến T−→u. Ta có
(

x1 =−1 + 3 = 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vậy M1(2;−2).

Ví dụ 2: Xác định ảnh của đường thẳng d: 2x+ 3y −4 = 0 qua phép tịnh tiến
T−→u với −→u = (3;−4).

Bài này có thể giải bằng nhiều cách khác nhau:

Cách 1: Lấy điểm M(−1; 2) ∈ d. Theo ví dụ 1, ta có ảnh của M qua T−→u là

M1(2;−2).

Phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d0//d nên d0 có dạng:
2x+ 3y +c = 0. Vì M1 ∈ d0 nên toạ độ của M1 thoả mãn phương trình d0. Do

đó ta có: 2.2 + 3.(−2) +c = 0 ⇔c = 2.

Vậy phương trình d0 là 2x+ 3y + 2 = 0.

Cách 2: Lấy thêm một điểm N(2; 0) ∈ d. Ta tìm ảnh của N qua phép tịnh tiến

T−→u.

Giả sử N0(x0, y0) =T−→u(N). Ta có:

(

x0 = 2 + 3 = 5

y0 = 0−4 = −4 hay N
0

(5;−4)

Đường thẳng ảnh d0 của d là đường thẳng đi qua hai điểm M1(2;−2) và

N0(5;−4). Do đó phương trình d0 là

x−2
5 −2 =

y −(−2)

−4−(−2) ⇔

x−2
3 =

y + 2

−2 ⇔2x+ 3y + 2 = 0

Cách 3. Gọi M(x;y) ∈ d. Và gọi M0(x0;y0) = T−→u(M). Ta có

(

x0 =x+ 3

y0 =y −4 ⇒

(

x =x0−3
y = y0 + 4

Vì M(x;y) ∈ d nên toạ độ của nó phải thoả mãn phương trình d. Do đó ta có:
2x+ 3y −4 = 0 ⇔2(x0 −3) + 3(y0 + 4)−4 = 0 ⇔ 2x0 + 3y0 + 2 = 0 (∗)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1.4 Phép quay

Định nghĩa:

Điểm M0 được gọi là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay ϕ nếu

(

OM0 = OM
(OM0, OM) = ϕ

Đặc biệt: M0 =Q(O,±90◦) ⇔

(

OM0 = OM

(OM0, OM) = ±90◦

Chú ý: Để chứng minh M0 là ảnh của M qua phép quay Q(O,±90◦) thì ta trước

hết chứng minh OM0 = OM, OM0 ⊥ OM nhờ vào tọa độ. Sau đó vẽ biểu diễn
hai điểm M và M0 lên mặt phẳng tọa độ, và xác định chiều quay từ M đến
M0 là cùng hay ngược chiều kim đồng hồ. Nếu cùng chiều thì ta khẳng định góc
quay lượng giác bằng −90◦. Ngược lại thì ta có góc quay lượng giác bằng 90◦.

Ta cần nhớ hai công thức tổng quát sau:

Nếu M0(x0;y0) =Q(O,90◦)(M) ⇒

(

x0 =−y

y0 =x hay M

0(−y, x)

Nếu M0(x0;y0) =Q(O,−90◦)(M) ⇒

(

x0 =y

y0 =−x hay M

0(y,−x)
Ví dụ: Xác định ảnh của điểm M(−2; 1) quay phép quay Q(O,90◦)

Giải:

Ta dựa vào công thức trên khẳng định:

Gọi M0 là ảnh của M quay phép quay Q(O,90◦). Ta có M0(−1,−2).

Thật vậy, ta có: −−→OM = (−2; 1) ⇒OM =|−−→OM| = p(−2)2+ 12 =√5
−−→

OM0 = (−1;−2) ⇒ OM0 =|−−→OM0| = p(−1)2+ (−2)2 =√5.

Do đó: OM0 = OM.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Biểu diễn lên hệ trục Oxy ta có:

−2

1
M

M0 −2

−1

x
y

O

Từ M đến M0 ngược chiều kim đồng hồ nên góc quay lượng giác (OM;OM0) =
90◦.

Ví dụ 2.Chứng minh rằng điểmM(−2; 1)thuộc đường thẳng∆ : x−3y+5 = 0.
Hãy xác định ảnh của đường thẳng ∆ qua phép quay Q(O;90◦).

Giải:

Thay x =−2, y = 1 vào phương trình đường thẳng ∆, ta có −2 −3.1 + 5 = 0

Toạ độ M thoả mãn phương trình đường thẳng d nên M ∈ d.

Gọi ∆0 là ảnh của ∆ qua Q(O;90◦). Ta có ∆0 ⊥ ∆ nên phương trình ∆0 có dạng:

3x+y +c = 0.

Theo ví dụ trước, M(−2; 1) Q(O,90

◦)

−−−−→ M0(−1;−2)
Vì M ∈ ∆ nên M0 ∈ ∆0. Do đó

3.(−1) + (−2) +c = 0 ⇔c = 5
Vậy phương trình đường thẳng ∆0 là: 3x+y + 5 = 0.

1.5 Phép vị tự

Biểu thức tọa độ của phép vị tự: Cho điểm M(x;y). Gọi M0(x0;y0) là ảnh của
M qua phép vị tâm O, tỉ số k.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Do đó, ta có biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm O, tỉ số k là

(

x0 = k.x
y0 = k.y

Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng
với nó, biến một đường trịn (I, R) thành một đường tròn (I0, R0) với I0 là ảnh
của I qua V(O,k) và R0 = |k|R.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;−1), B(−2; 5), C(4;−3).

a) Xác định tọa độ ảnh của A, B, C qua V(O;2), V(O;12).

b) Viết phương trình đường thẳng d0 là ảnh của dđi qua 2 điểm A, B qua V(O;2).

c) Viết phương trình đường trịn ảnh của đường trịn tâm A, bán kính BC qua
V(O,1

2).

Giải:

a) Gọi A0(xA0;yA0) = V(O;2)(A). Ta có

−−→

OA0 = 2−→OA nên suy ra

(

xA0 = 2.xA = 2.1 = 2

yA0 = 2.yA = 2.(−1) = −2

Vậy A0(2;−2).
Tương tự:

V(O;2): B(−2; 5) 7−→B0(−4; 10)

C(4; 3) 7−→C0(8; 6)
V(O;1

2): A(1;

−1) 7−→A00(1
2;−

1
2)
B(−2; 5) 7−→B00(−1; 5

2)
C(4; 3) 7−→C00(2; 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cách 1:d0 là đường thẳng đi qua hai điểmA0, B0. Đường thẳngd0 quaA0(2;−2)
và có vectơ chỉ phương là −−→A0B0 = (−4−2; 10−(−2)) = (−6,12) nên có phương
trình tham số là: (

x = 2−6t

y =−2 + 12t (t∈ R)

hoặc khử t từ phương trình tham số để đưa về dạng tổng quát là
x−2

−6 =

y + 2

12 ⇔ 2x+y −2 = 0
.

Cách 2: Phương trình đường thẳng d: x−2

−2−1 =

y + 2

10 + 2 ⇔ 6x+ 3y −2 = 0
Gọi M(x;y) ∈ d. Và gọi M0(x0;y0) = V(O;2)(M). Ta có

−−→

OM0 = 2−−→OM ⇔
(

x0 = 2x

y0 = 2y ⇔

(

x = 12x0
y = 12y0
M ∈ d ⇒ 6(12x0) + 3(12y0)−3 = 0 ⇔ 6x0 + 3y0−6 = 0.

Vậy phương trình ảnh d0 là: 6x+ 3y −6 = 0 ⇔2x+y −2 = 0.

c) Ta có

V(O;1

2): A(1;

−1) 7−→ A00(1
2;−

1
2)
B(−2; 5) 7−→ B00(−1;5

2)
C(4; 3) 7−→ C00(2; 3

2)
R =BC =p(4 + 2)2+ (3−5)2 = √40 = 2√5

Do đó bán kính của đường trịn ảnh là R0 =|k|.R= 1
2.2

√

5 =

√

5.
Vậy phương trình đường tròn ảnh là:

x− 1

y+ 1
2

= (

√

5)2 ⇔

x− 1

y + 1
2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 Phép dời hình và phép đồng dạng

Bài tập 1. Gọi f là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép

tịnh tiến theo vectơ −→u = (−2; 1) và phép quay tâm O, góc quayϕ =−90◦. Gọi
g là phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến T−→u
và phép vị tự tâm O, tỉ số k = 3.

a) Xác định ảnh của điểm M(−3; 2) qua phép dời hình f và phép đồng dạng g.
b) Xác định ảnh của đường thẳng d: x+ 2y −1 = 0 qua f và g.

c) Xác định ảnh của đường tròn (C) : (x+ 3)2+ (y −2)2 = 4 qua f và g.
Hướng dẫn giải

a) Để xác định ảnh của M qua phép dời hìnhf, ta xác định ảnhM1 của M qua

phép tịnh tiến T−→u, sau đó xác định ảnh M2 của M1 qua phép quay Q(O;−90◦)

Trước hết ta xác định ảnh của điểm M(−3; 2) qua T−→u.

Gọi M1(x1;y1) là ảnh của M qua T−→u. Ta có

(

x1 =−3−2 = −5

y1 = 2 + 1 = 3

⇒M1(−5; 3)

Ta xác định ảnh M2 của M1 qua phép quay Q(O;−90◦).

Ta có M2(3; 5). Các bước kiểm chứng lại (chứng minh OM1 = OM2, OM1 ⊥