Hệ thức lượng trong tam giác - Chuyên đề Hình học 10 - Hoc360.net

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (604.12 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Group:

§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC a AC, b và AB c. Ta có :

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

2 2 2

2 .cos
2 .cos
2 .cos
Hệ quả:

b c a

A

bc

c a b

B

ca

a b c

C

ab

2 2 2

cos

2
cos

2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a AC, b, AB c và R là bán kính
đường trịn ngoại tiếp. Ta có :

a b c

R

A B C 2

sin sin sin

3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m m ma, b, c lần lượt là các trung tuyến kẻ
từ A, B, C. Ta có :

4. Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h ha, ,b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh
BC, CA, AB; R, r

lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c

2 là nửa chu vi

tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có:

S = 1aha 1bhb 1chc

2 2 2

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

2 2 2

= abc

R

= pr

= p p( a p)( b p)( c) (công thức Hê–rông)
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

c

a
b
A

B C

Hình 2.6

2 2 2

2( )

a

b

c

b c a

m

a c b

m

a b c

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Group:
 DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.

1. Phương pháp.

• Sử dụng định lí cơsin và định lí sin

• Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố
trong các cơng thức tính diện tích trong tam giác.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB 4,AC 5 và cosA 3

Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
Lời giải

Áp dụng định lí cơsin ta có

BC2 AB2 AC2 2AB AC. .cosA 42 52 2.4.5.3 29
5

Suy ra BC 29

Vì sin2A cos2A 1 nên sinA 1 cos2A 1 9 4
25 5

Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC 1AB AC. .sinA 1.4.5.4 8

2 2 5 (1)

Mặt khác SABC 1a h. a 1. 29.ha

2 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1. 29.ha 8 ha 16 29

2 29

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ha 16 29

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A 30 ,0 B 450.
Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác.

Lời giải

Ta có C 1800 A B 1800 300 450 1050
Theo định lí sin ta có a 2 sinR A 2.3.sin 300 3,

b 2 sinR B 2.3.sin 450 6. 2 3 2

2
c 2 sinR C 2.3.sin1050 5,796

Theo công thức đường trung tuyến ta có

a

b c a

m

2 2 2 2

2 2 2 18 5,796 9 23,547

4 4

Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có

ABC

bc A

S pr bc A r

p

1 sin 3 2.5,796 sin 30

sin 0,943

2 2 3 3 2 5,796

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết
AB 3,BC 8, cosAMB 5 13

26 .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Group:
Lời giải (hình 2.7)

BC 8 BM 4. Đặt AM x

Theo định lí cơsin ta có
cos

AM BM AB

AMB

AM AB

2 2 2

Suy ra x

x

5 13 16 9

26 2.4.

x

x x

x

13 20 13 91 0 7 13

13
Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

AB AC BC

AM

AB AC

2 2 2

2 2

TH1: Nếu x AC AC

2 2 2

2 3 8

13 13 7

4 .

Ta có BC AC AB góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có
cos

. . .

AB AC BC

A

AB AC

2 2 2 9 49 64 1

2 2 3 7 7

Suy ra A 98 120 '

TH2: Nếu x AC AC

2 2 2

2 3 8

7 13 49 397

13 13 4 13

Ta có BC AC AB góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có

cos

. .

AB AC BC

A

AB AC

2 2 2 9 397 64 53

2 397 5161

2 3
13
Suy ra A 137 320 '

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD 1 . Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn

BDE 1

sin

Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải (hình 2.8)

Đặt AB 2x x 0 AE EB x.
Vì góc BDE nhọn nên cosBDE 0 suy ra

BDE 2BDE 2 2

cos 1 sin

3
Theo định lí Pitago ta có:

DE2 AD2 AE2 1 x2 DE 1 x2

BD2 DC2 BC2 4x2 1 BD 4x2 1

Áp dụng định lí cơsin trong tam giác BDE ta có

DE DB EB x

BDE

DE DB x x

2 2 2 2

2 2

2 2 4 2

cos

2 . 3 2 1 4 1

M
A

B C

Hình 2.7

E
A

D C

B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Group:

4 2 2 2

4 4 1 0 2 1

x x x x (Do x 0)

Vậy độ dài cạnh AB là 2
3. Bài tập luyện tập.

Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh

AB 9 và ACB 600. Tính cạnh BC.

Bài 2.57: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB 1. Trên tia đối của AC lấy điểm D sao
cho CD AB. Giả sử CBD 300. Tính AC.

Bài 2.58. Cho a x2 x 1;b 2x 1;c x2 1. Giả sử a b c, , là ba cạnh của một
tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó có một góc bằng 1200

Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB 3,AC 7,BC 8. 
a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A.

Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn a b 2c

3 2 6 2.

a) Tính các góc của tam giác.

b) Cho a=2 3. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A 600,a 10,r 5 3
3 .
a) Tính R

b) Tính b, c

Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB 10,AC 4 và A 600.
a) Tính chu vi của tam giác

b) Tính tanC

c) Lấy điểm D trên tia đối của tia AB sao cho AD 6 và điểm E trên tia AC sao cho

AE x. Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE
Bài 2.63. Cho tam giác ABC cân có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường trịn (O;R).
a) Tính cơsin của các góc tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

c) Với giá trị nào của b thì tam giác có diện tích lớn nhất ?

 DẠNG 2: Giải tam giác. 
1. Phương pháp.

• Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.
• Trong các bài tốn giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau : biết

một cạnh và hai

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Group:

Để tìm các yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc trong
một tam giác bằng 1800

và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn
và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b 32;c 45 và A 870.
Lời giải

Theo định lí cơsin ta có

a2 b2 c2 2 .cosbc A 322 42 2.32.4.sin 870

Suy ra a 53, 8
Theo định lí sin ta có

b A

B B

a

sin 32 sin 87

sin 36

53, 8

Suy ra C 1800 A B 1800 870 360 570

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A 60 ,0 B 400 và c 14.
Lời giải

Ta có C 1800 A B 1800 600 400 800

Theo định lí sin ta có

c A

a a

C

0
0

sin 14.sin 60

12, 3

sin sin 80

c B

b b

C

0
0

sin 14.sin 40

9,1

sin sin 80

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a 2 3,b 2 2,c 6 2. Tính góc lớn nhất
của tam giác.

Lời giải

Theo giải thiết ta có c b a suy ra C B A do đó góc A là lớn nhất.

Theo định lí cơsin ta có

b c a

A

bc

2
2

2 2 2 8 6 2 12 4 4 3 1

cos

2 2.2 2. 6 2 8 3 8 2

Suy ra A 1200

Vậy góc lớn nhất là góc A có số đo là 1200

.
3. Bài tập luyện tập.

Bài 2.64: Giải tam giác ABC biết

a) a 2,b 3,c 4. b) a 12;c 8,2 và A 1100.
Bài 2.65: Giải tam giác ABC , biết:

a) a 109; B 33 240 '; C 66 590 '

b) a 20; b 13; A 67 230 '

Bài 2.66: Giải tam giác ABC , biết:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Group:

b) b 14; c 10; A 1450

c) a 14; b 18; c 20

Bài 2.67: Cho ABC ta có a 13,b 4 và cosC 5

13. Tính bán kính đường trịn

ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

 DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố của 
tam giác, tứ giác.

1. Phương pháp giải.

• Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế
kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.
• Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong

tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…)
2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2A sin .sinB C . Chứng minh rằng

a) a2 bc

b) cosA 1

Lời giải

a) Áp dụng định lí sin ta có A a B b C c

R R R

sin , sin , sin

2 2 2

Suy ra A B C a b c a bc

R R R

2 2

sin sin .sin .

2 2 2 đpcm

b) Áp dụng định lí cơsin và câu a) ta có

b c a b c bc bc bc

A

bc bc bc

2 2 2 2 2 2 1

cos

2 2 2 2 đpcm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:

a) A p p a

bc

( )

cos

b) sinA sinB sinC 4cosAcosBcosC

2 2 2

Lời giải (hình 2.9)

a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa AD AB c suy ra tam giác BDA cân tại A và

BDA 1A

2 .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Group:

BD AB AD AB AD BAD

c c A

b c a

c A c

bc

c c

a b c b c a p p a

b b

2 2 2

2 2 0

2 2 2

2 2

2 . .cos
=2 2 .cos(180 )

=2 (1 cos ) 2 (1 )

2
4

( )( ) ( )

Suy ra

cp p a
BD

b

( )

Gọi I là trung điểm của BD suy ra AI BD.
Trong tam giác ADI vng tại I, ta có

A DI BD p p a

ADI

AD c bc

( )

cos cos

2 2 .

Vậy A p p a

bc

( )

cos

2 .

b) Từ định lý hàm số sin, ta có: A B C a b c p

R R R R

sin sin sin

2 2 2 (1)

Theo câu a) ta có A p p a
bc

( )

cos

2 , tương tự thì

B p p b

ca

( )

cos

2 và

C p p c

ab

( )

cos

2 ,

kết hợp với công thức S p p a p b p c abc
R

Suy ra A B C p p a p p b p p c

bc ca ab

( ) ( ) ( )

4 cos cos cos 4

2 2 2

p pS p

p p a p b p c

abc abc R

4 4

( )( )( ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra sinA sinB sinC 4 cos cosA BcosC

2 2 2

Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác cơ bản ta suy ra được các công thức

A p b p c A p b p c A p p a

bc p p a p b p c

( )( ) ( )( ) ( )

sin ; tan ; cot

2 2 ( ) 2 ( )( )

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:

a) A b c a

S

2 2 2

cot

b) cotA cotB cotC 3
Lời giải:

a) Áp dụng định lí cơsin và cơng thức S 1bcsinA

2 ta có:

I

B

A

C

D

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Group:
cos

cot

sin sin

A b c a b c a

A

A bc A S

2 2 2 2 2 2

2 4 đpcm

b) Theo câu a) tương tự ta có B c a b
S

2 2 2

cot

4 ,

a b c

C

S

2 2 2

cot

Suy ra A B C b c a c a b a b c

S S S

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cot cot cot

4 4 4

a b c

S

2 2 2

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có p a p b p c p a b c p

3 3

Mặt khác S p p a p b p c S pp p

3 2

27 3 3

Ta có p a b c a b c

2 2 2 2

2 3

4 4 suy ra

a b c

S

2 2 2

4 3

Do đó A B C a b c

a b c

2 2 2

cot cot cot 3

4 3

đpcm.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ
B và C vng góc với nhau là b2 c2 5a2

.
Lời giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông
tại G

b c

GB GC BC m m a

2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 (*)

Mặt khác theo cơng thức đường trung tuyến ta có

b c

a c b a b c

m2 2( 2 2) 2, m2 2( 2 2) 2

4 4

Suy ra (*) 4 mb2 mc2 a2

a c b a b c

a

2 2 2 2 2 2

2 2

9 4 4 a b c a

2 2 2 2

4 9 b2 c2 5a2

(đpcm)

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. Chứng minh : 
AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4EF2

Lời giải (hình 2.10)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Group:

AC
AB2 BC2 2BE2 2

2 (1)

AC

CD DA DE

2 2 2 2

2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

AB2 BC2 CD2 DA2 2 BE2 DE2 AC2

Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BE DE EF BD

2 2 2 2

Suy ra AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4EF2
3. Bài tập luyện tập.

Bài 2.68: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) a b.cosC c.cosB b) sinA sin cosB C sin cosC B
c) ha 2 sin sinR B C d) ma2 mb2 mc2 3(a2 b2 c2)

e) S ABC AB AC AB AC

2 2

. .

Bài 2.69: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) b c 2a

a b c

h h h

2 1 1

b) Góc A vng mb2 mc2 5ma2

Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 b4 c4. Chứng minh rằng
a) Tam giác ABC nhọn

b) 2 sin2A tan tanB C

Bài 2.71: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếucotA 1 cotB cotC

2 thì

b2 1 a2 c2

2 .

Bài 2.72: Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) S 2R2sin sin sinA B C.

b) S Rr(sinA sinB sin )C .

Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. Chứng
minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S 1AC BD. .sin

2 .

Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC 1200, AD là đường phân giác trong (D thuộc BC).
Chứng minh rằng

AD AB AC

1 1 1

Bài 2.75: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) A B b c a c a b

a b abc

cos cos

b) c2 b2 a2 tanA c2 a2 b2 tanB

Bài 2.76. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Chứng minh rằng

E

F
A

D C

B

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Group:
a) ha p p( a)

b) a b2 2 b c2 2 c a2 2 R a2( b c)2

Bài 2.77.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

r2 p a 2 r2 p b 2 r2 p c 2 ab bc ca

Bài 2.78. Cho tam giác ABC . Gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp. Chứng minh rằng

A B C

r (p a)tan (p c)tan (p c)tan

2 2 2 .

Bài 2.79. Cho tam giác ABC có b

c

m
c

b m 1. Chứng minh rằng 2cotA cotB cotC

Bài 2.80. Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MAB MBC MCA .
Chứng minh rằng : cot cotA cotB cotC

Bài 2.81. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và GAB ,GBC ,GCA

Chứng minh rằng a b c

S

2 2 2

cot cot cot

Bài 2.82. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng

C A B

a b cot b c cot c a cot 0

2 2 2

Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC 3AD. Chứng minh rằng cotBAD 4

Bài 2.84. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và diện tích S. Chứng minh rằng
.

a2 b2 c2 4 3S

 DẠNG 4: Nhận dạng tam giác 
1. Phương pháp giải.

Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để
biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2 sin cosB A. Chứng minh minh rằng tam
giác ABC cân .

Lời giải

Áp dụng định lí cơsin và sin ta có:

c b b c a

C B A

R R bc

2 2 2

sin 2 sin cos 2. .

2 2 2

c2 b2 c2 a2 a b

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn A B C

B C

sin sin
sin

cos cos . Chứng minh rằng tam giác

ABC vng.
Lời giải

Ta có: A B C A B C B C

B C

sin sin

sin sin (cos cos ) sin sin

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Group:

a c a b a b c b c

R ca ab R

2 2 2 2 2 2

( )

2 2 2 2

b c( 2 a2 b2) c a( 2 b2 c2) 2b c2 2c b2

b3 c3 b c2 bc2 a b2 a c2 0 (b c b)( 2 c2) a b2( c) 0
b2 c2 a2 ABC vng tại A.

Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) .sina A bsinB csinC ha hb hc

b) A B A B

A B

2 2

cos cos 1

(cot cot )
2

sin sin

Lời giải

a) Áp dụng cơng thức diện tích ta có S bcsinA aha

1 1

2 2 suy ra

.sin sin sin a b c

a A b B c C h h h a. S b. S c. S S S S

bc ca ab a b c

2 2 2 2 2 2

a2 b2 c2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 0

a b c

Vậy tam giác ABC đều

b) Ta có: A B A B

A B

2 2

cos cos 1

(cot cot )
2

sin sin

A B A B

A B

2 2 2 2

2 2

cos cos sin sin 1

(cot 1 cot 1)

sin sin

A B A B

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 1 1

( ) (sin sin ) 4 sin sin

sin sin sin sin

a b

A B a b ABC

R R

2 2

sin sin

2 2 cân tại C.

3. Bài tập luyện tập.

Bài 2.85: Cho tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC cân nếu ha c.sinA

Bài 2.86: Cho tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC cân nếu 4ma2 b b 4c.cosA
Bài 2.87: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi a2 b2 c2 36r2

Bài 2.88: Cho tam giác ABC. Tìm góc A trong tam giác biết các cạnh a, b, c thoả mãn hệ
thức:

b b( 2 a2) c c( 2 a2),(b c).

Bài 2.89: Cho ABC thoả mãn điều kiện:

a c b

b

a c b

a b C

3 3 3

2 cos

. Chứng minh rằng ABC

đều.

Bài 2.90: Trong tam giác ABC , chứng minh rằng nếu diện tích tính theo cơng thức

S 1 a b c a b c

4 thì tam giác ABC đều.

Bài 2.91: Cho ABC thỏa mãn: B a c

B a2 c2

1 cos 2

sin 4 . Chứng minh rằng tam giác

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Group:

Bài 2.92: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A hoặc B khi và chỉ khi

C A B

sin cos cos .

Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau và có
bc

R r.

2 1 10 . Chứng mình rằng tam giác ABC cân

Bài 2.94: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi A B ab
c
sin sin

2 2 4 .

Bài 2.95: Chứng minh rằng tam giácABC cân tại tại B khi và chỉ khi

tan tan

2 2

B C

</div>


Chuyen de He thuc luong trong tam giac vuong On thi vao 10

Tổ chức dạy học theo dự án nội dung hệ thức lượng trong tam giác chương trình hình học lớp 10, ban cơ bản

SKKN Giúp học sinh lớp 5 vận dụng mối quan hệ của các yếu tố trong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao

Tổ chức dạy học theo Dự án nội dung Hệ thức lượng trong tam giác chương trình Hình học lớp 10, Ban cơ bản

Đau bụng mạn ở học sinh trung học cơ sở tại quận 1 TPHCM tỉ lệ hiện mắc và mối liên quan với các yếu tố sang chấn tâm lý

skkn rèn luyện kỹ năng tính toán, đo đạc trong thực tế thông qua bài “ các hệ thức lượng trong tam giác giải tam giác” ( tiết 25 – hình học 10 CB)

Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề hình học 11 nguyễn phú khánh

Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề hình học 10 nguyễn phú khánh

Vận dụng mối quan hệ của các yếu tố trong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao lớp 5

Nghiên cứu một số biến đổi di truyền và mối liên quan với các yếu tố tiên lượng, định hướng điều trị bệnh nhân u nguyên bào thần kinh

Hệ thức lượng trong tam giác - Chuyên đề Hình học 10 - Hoc360.net

<i>I</i>

<i>B</i>

<i>A</i>

<i>C</i>

<i>D</i>

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về