- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Ngữ Văn
đề thi – đáp án môn hàm suy rộng lần i k50a1t – lý thuyết hàm suy rộng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (83.08 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1
Đáp án Kiểm tra cuối kỳ K50A1T lÇn I
Câu1.Hàmf :<sub>R</sub>2 →<sub>R</sub>được xác định
f(x, y) =
(
1 nÕu0< x <1,
0 trong trường hợp còn lại,
được coi như hàm suy rộng bằng cách
hf, ϕi=
Z
R2
f(x, y)ϕ(x, y)dxdy, ϕ∈D(<sub>R</sub>2).
Tích phân này hồn tồn xác định doϕlà hàm liên tục có giá compact nên tồn tại sốM >1
sao chosuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M].
Khi đó tích phân đơn giản
hf, ϕi=
Z 1
0
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy.
(i) Kiểm tra tính tuyến tính, liên tục của hàm suy rộngf được xác định như trên bằng định
nghĩa.
(ii) Ta sẽ chứng minhf ∈S0 <sub>bằng cách kiểm tra bất đẳng thức</sub>
|hf, ϕi| ≤C sup
(x,y)∈R2
(1 +x2+y2)m X
||m
|D(x, y)|
vớiC, m là các hằng số không phụ thuộc(kể cả giá của nó!).
Docú giỏ compact nờn cú s M >1đểsuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M].
Khi đó,
|hf, ϕi|=|
Z 1
0
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy|
=|
Z 1
0
dx
Z M
−M
(1 +y2)(1 +y2)−1ϕ(x, y)dy|
≤ |
Z 1
0
dx
Z M
−M
(1 +y2)−1dy| sup
(x,y)∈<sub>R</sub>2
(1 +y2)|ϕ(x, y)|
≤π sup
(x,y)∈R2
(1 +x2+y2)X
|α|≤1
|Dαϕ(x, y)|.
Nh vËyf ∈S0<sub>(</sub>
R2).
(iii) Vớiϕ∈D(<sub>R</sub>2<sub>),</sub><sub>supp</sub><sub>ϕ</sub><sub>⊂</sub><sub>[</sub><sub>−</sub><sub>1,</sub><sub>1]</sub><sub>ì</sub><sub>[1,</sub><sub>2],</sub><sub>từ đánh giá</sub>
|hf, ϕi|=|
Z 1
0
dx
Z 2
1
ϕ(x, y)dy| ≤ sup
(x,y)∈R2
|ϕ(x, y)|
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
2
• Víi(x0, y0)/ [0,1]ìRthì hoặcx0 <0hoặcx0 >1nên0 = min{|x0|,|x01|}>0.
Chn lõn cn= (x00, x0+0)ì(−1 +y0,1 +y0)∩[0,1]ìR=∅.Do đó, với
ϕ∈D(ω)cã
hf, ϕi=
Z 1
0
dx
Z 1+y0
−1+y0
ϕ(x, y)dy= 0.
• Với(x0, y0)∈[0,1]ìR,thì0≤x0 ≤1nên lân cậnωbất kỳ chứa(x0, y0)đều chứa
điểm(x1, y1)sao cho0< x1 <1nênω∩(0,1)ìRlà tập mở khác rỗng.
Khi đó, ta ln chn c hmD(<sub>R</sub>2<sub>),</sub>
supp và (x, y)>0,(x, y)(0,1)ì<sub>R</sub>.
Ta có
hf, i=
Z 1
0
Z
R
(x, y)dy >0.
(iv) Vớiϕ∈D(<sub>R</sub>2<sub>),</sub><sub>supp</sub><sub>ϕ</sub><sub>⊂</sub><sub>[</sub><sub>−</sub><sub>M, M]</sub><sub>ì</sub><sub>[</sub><sub>−</sub><sub>M, M</sub><sub>](M ></sub> <sub>1</sub>đủ lớn<sub>)</sub>có
hD(1,0)f, ϕi=−hf, D(1,0)ϕi
=−
Z M
−M
dy
Z 1
0
D(1,0)ϕ(x, y)dx
=−
Z M
−M
(ϕ(1, y)−ϕ(0, y))dy;
hD(0,1)f, ϕi=−hf, D(0,1)ϕi
=−
Z 1
0
dx
Z M
−M
D(0,1)ϕ(x, y)dy
=
Z 1
0
((x, M)(x,M))dx= 0
nênD(0,1)<sub>f</sub> <sub>= 0.</sub>
(v) HàmF :<sub>R</sub>2 <sub></sub>
Rxỏc nh nh sau
F(x, y) =
0 nếux0,
x nếu0x1,
1 nếux1,
được coi như hàm suy réng b»ng c¸ch
hF, ϕi=
Z
R2
F(x, y)ϕ(x, y)dxdy, ϕ∈D(<sub>R</sub>2).
Tích phân này hồn tồn xác định doϕlà hàm liên tục có giá compact nên tồn tại sốM >1
sao chosuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M].
Khi đó tích phân đơn giản
hF, ϕi=
Z 1
0
dx
Z M
−M
xϕ(x, y)dy+
Z M
1
dx
Z M
−M
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
3
Kiểm tra tính tuyến tính, liên tục của hàm suy rộng F được xác định như trên bằng định
nghĩa.
§Ĩ kiĨm traD(1,0)F =f
hD(1,0)F, ϕi=−hF, D(1,0)ϕi
=−
Z 1
0
dx
Z M
−M
xD(1,0)ϕ(x, y)dy−
Z M
1
dx
Z M
−M
D(1,0)ϕ(x, y)dy
=−
Z M
−M
dy
Z 1
0
xD(1,0)ϕ(x, y)dx−
Z M
−M
dy
Z M
1
D(1,0)ϕ(x, y)dx
=
Z M
−M
dy
Z 1
0
ϕ(x, y)dx−
Z M
−M
ϕ(1, y)dy−
Z M
−M
(ϕ(M, y)−ϕ(1, y))dy
=
Z M
−M
dy
Z 1
0
ϕ(x, y)dy=hf, ϕi.
Ta sẽ chứng minhF ∈S0 <sub>bằng cách kiểm tra bất đẳng thc</sub>
|hf, i| C sup
(x,y)R2
(1 +x2+y2)m X
||m
|D(x, y)|
vớiC, m là các hằng số không phụ thuộc(kể cả giá của nó!).
Docú giỏ compact nên có số M >1đểsuppϕ⊂[−M, M]ì[−M, M].
Khi đó,
|hF, ϕi|=|
Z 1
0
dx
Z M
−M
xϕ(x, y)dy+
Z M
1
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy|
≤
Z M
0
dx
Z M
−M
|ϕ(x, y)|dy
≤
Z M
0
dx
Z M
−M
(1 +x2+y2)2(1 +x2)−1(1 +y2)−1|ϕ(x, y)|dy
≤π2 sup
(x,y)∈<sub>R</sub>2
(1 +x2+y2)2 X
|α|≤2
|Dαϕ(x, y)|.
Nh vËyF ∈S0<sub>(</sub>
R2).
Câu2.Do hàm Dirac có biến đổi FourierFδ = (2π)−3/2 là hàm hằng nênδ∈Wk(<sub>R</sub>2)khi
và chỉ khi(1 +||ξ||2<sub>)</sub>k <sub>khả tích, với</sub><sub>||</sub><sub>ξ</sub><sub>||</sub>2 <sub>=</sub><sub>ξ</sub>2
1 +ξ22+ξ32.
Mµ
Z
R3
(1 +||ξ||2<sub>)</sub>k<sub>dξ</sub> <sub>=</sub>
Z 2π
0
dϕ
Z π
0
dθ
Z ∞
0
(1 +r2)kr2sinθdr
</div>
<!--links-->
