<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 - 2018</b>

<b>Chương 1. Hàm nhiều biến</b>

<b>A. Tính giới hạn</b>

1. lim

(x,y)→(0,2)

p

x2_{+ (}_y₋₂₎2_{+ 1}₋₁
x2_{+ (}_y₋₂₎2

2. lim

(x,y)→(0,0)

(1 +x2₊_y2₎

1

x2₊_y2

3. lim

(x,y)→(0,0)

1 +x2₊_y2

y2 (1−cosy)

<b>B. Đạo hàm và vi phân</b>

Bài 1. Tính đạo hàm riêng và vi phân tồn phần của:
(1) z= ln

q

x+px2₊_y2

(2) z= ln tanx

y

(3) f(x, y, z) = arctan y

xz

(4) f(x, y, z) =x2_{+ 3}_y2_z₊_xz3₊_exyz
Bài 2. Đạo hàm của hàm hợp

<b>(1)</b> Choz= ln(u2₊_v2₎_{, u}₌_{xy, v}₌_ex+y_{. Tính}_z0

xvàz0y.

<b>(2)</b> Cho z = ln(3x+ 2y −1), x = et_{, y} _{= sin}_t_{. Tính}

∂z

∂x,

∂z
∂y,

dz
dt.

<b>(3)</b> Choz=f(xy+y2₎_,_f_{là hàm khả vi. Rút gọn biểu thức}
A= (x+ 2y)∂z

∂x−y
∂z
∂y

<b>(4)</b> Cho hàm:u(x, y, z) = arctany

x+

x

z

2

.Rút gọn biểu
thức B =x∂u

∂x+y
∂u

∂y +z

∂u
∂z.

Bài 3. Tínhzx0(0,0), zy0(0,0)vớiz= 3

√
xy

Bài 4. Tínhy0(x)biếty = y(x)là hàm ẩn xác định bởi phương
trình

(1) ln_p 1

x2₊_y2 =arctg
x
y

(2) xey+yex= 1

Từ đó, tínhy0(0)biếty(0) = 1.

Bài 5. Tínhdzbiếtz=z(x, y)là hàm ẩn xác định bởi
(1) arctgz+z2=exy

(2) z−yex/z_{= 0}

(3) 3x+ 2y+z=e−x−y−z
(4) x3₊_y3₊_z3_{= 3}_xyz

(5) zez₌_yex₊_xey_.

Bài 6. Tínhy0(x), z0(x)biếty=y(x), z=z(x)xác định bởi
(

x+ 2y+ 3z= 1

x2+y2+z3= 4

Bài 7. Đạo hàm cấp cao

<b>(1)</b> Chou=px2₊_y2₊_z2_{. Chứng minh rằng:}
u00_x2+u00_y2+u00_z2 =

2

u

<b>(2)</b> Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số

f(x, y) =xsin(x2+ 3y) + ln(x+ 2y).

<b>(3)</b> Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại(0,1)của hàm số

f(x, y) =e2x+3y₊ 1
p

x2₊_y2

Bài 8. Tìmd2_z_biết:

(1) z=x2_ln(_x₊_y₎

(2) z= arctany

x

(3) z= sin(x2+ 3y)

<b>C. Dùng vi phân tính gần đúng</b>

1. A=p1,984_{+ 3}_,₀₃2

2. B = ln(√1,03 +√3₀_,₉₉₋₁₎
3. C= arctan1 + 0,02

3

0,992

4. D=p(1,04)1,99_{+ ln(1}_,₀₂₎

<b>D. Cực trị của hàm nhiều biến</b>

Bài 1. Tìm cực trị các hàm sau:

(1) f(x, y) =x2₊_xy₊_y2₋₂_x₋₃_y.

(2) f(x, y) =x3+y3−15xy.

(3) f(x, y) =xy+8

x+

1

y

(4) f(x, y) =y√x−2y2₋_x_{+ 7}_y_{+ 5}_.

(5) f(x, y) =x2+ 4y2−2 ln(xy).

(6) f(x, y) =x3_{+ 3}_xy2₋₁₅_x₋₁₂_y.

(7) f(x, y) =x+ 2y với điều kiệnx2₊_y2_{= 5}

(8) f(x, y) =x2₊_y2 _{với điều kiện} x

2 +

y

3 = 1

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(1) f(x, y) =x2_{+ 3}_y2₊_x₋_y_{, trên miền đóng}_D_{giới hạn}

bởi các đườngx= 1,y= 1,x+y= 1.

(2) f(x, y) =x2₋_y2 _{trên miền}_D₌_{x2₊_y2_≤₉_}

(3) f(x, y) =xytrên miền D=nx

2

8 +

y2

2 ≤1

o

(4) z= 1 +xy−x−y, trên miền đóngDgiới hạn bởiy=x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Chương 2. Tích phân nhiều lớp</b>

<b>A. Tích phân hai lớp</b>

Bài 1. Tính các tích phân hai lớp sau:
(1) I =

Z Z

D

(x−y)dxdy;Dlà miền giới hạn bởi các đường

y=x,y= 2−x2

(2) I=

Z Z

D

(x2+2y)dxdy;Dlà miền giới hạn bởi các đường

y=x2₋₁_{, y}₌_x_{+ 1}_.

(3) I =

Z Z

D

(x+y)dxdy;Dlà miền phẳng giới hạn bởi các
đường y=x, y= 0, x+y= 2, x+y= 4.

(4) I =

Z Z

D

(x3+ 4y)dxdy, Dlà miền phẳng được giới hạn
bởi các đường y= 0; x=√y; y= 2−x.

(5) I=

Z Z

D

xydxdy, Dlà miền phẳng được giới hạn bởi các
đường x= 0, y= 1, x2₊_y2_{= 2}_x.

(6) I =

Z Z

D

(3x+ 4y)dxdy, D là tam giácOAB,O(0,0),

B(−2,2),C(2,0).
(7) I=

Z Z

D

x2

y2dxdy, Dlà miền phẳng được giới hạn bởi các

đường x= 2, xy= 1, y=x.

(8) I=

Z Z

D

xydxdy, Dlà miền phẳng được giới hạn bởi các
đường y=√2x−x2_{, y}_{= 0}

(9) I =

Z Z

D

x2ydxdy, Dlà miền phẳng được giới hạn bởi

các đường y=x2_{, y}₌ x
2

4 , y= 1

(10) I=

Z Z

D

(x+ 2y)dxdy,Dlà tam giácABC, vớiA(1,1),

B(2,2),C(4,−2).

Bài 2. Đổi thứ tự lấy tích phân:

(1) I=

1

Z

0
dx

4−x2
Z

√

1−x2

f(x, y)dy

(2) I=

1

Z

0
dx

2x
Z

2x−x2

f(x, y)dy

(3) I=

1

Z

0
dy

√

2y
Z

√
2y−y2

f(x, y)dx.

(4) I=

1

Z

0
dy

√
2−y2
Z

y

f(x, y)dx

Bài 3. Tính các tích phân sau bằng cách đổi biến:
(1) I=

Z Z

D

(x3−y3)dxdy; Dgiới hạn bởi

x+y= 1, x+y= 4, x−y= 1, x−y=−1

(2) I=

Z Z

D
p

(x2₊_y2₎3_dxdy_; _D _{giới hạn bởi các đường}

x=p1−y2_{, y}₌_{x, y}₌_−x

(3) I=

Z Z

D

(1 +xy)dxdy; D={1≤x2+y2≤2x}

(4) I=

Z Z

D
p

x2₊_y2_dxdy_,_D₌_{x2₊_y2_≤_{x, y}_≥₀_}

(5) I=

Z Z

D

ln(1 +x2+y2)dxdy; trong đó

D={x2+y2≤R2, y≥0}.

(6) I=

Z Z

D
r

1−x
2
a2 −

y2

b2dxdy; D=

nx2

a2 +
y2
b2 ≤1

o

.

(7) I=

Z Z

D

(x+y)dxdy; trong đó

D=

₍_x

−1)2

4 +

(y−1)2

1 ≤1

<b>B. Tích phân ba lớp</b>

Tính các tích phân ba lớp sau:
(1) I =

Z Z Z

V

xdxdydz; V là tứ diện được giới hạn bởi các mặt

x+y+z= 1,x= 0,y= 0,z= 0.
(2) I=

Z Z Z

V

(x+y+z)dxdydz; V là lăng trụ tam giác được giới
hạn bởi các mặtx= 0,y= 0,z= 0,z= 1,x+y= 1.
(3) I=

Z Z Z

V

(z+x2+y2)dxdydz; V được giới hạn bởi các mặt

z=px2₊_y2_{, z}_{= 1}_.

(4) I=

Z Z Z

V

zpx2₊_y2_dxdydz_; _V _{giới hạn bởi}

z=p2−x2₋_y2_{, z}₌p

x2₊_y2

(5) I=

Z Z Z

V
p

x2₊_y2₊_z2_dxdydz_{; trong đó}

V ={x2₊_y2₊_z2_≤_z}

(6) I=

Z Z Z

V

(x2+y2+z2)dxdydz; trong đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>C. Ứng dụng của tích phân nhiều lớp</b>

Bài 1. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt

(1) 2x+ 3y= 12, x= 0, z= 0, z =1
2y

(2) z=x2₊_y2_{, z}_{= 2}₋_x2₋_y2

(3) z=x2₊_y2_và_z2₌_x2₊_y2

(4) z=p2−x2₋_y2_{, z}₌p

x2₊_y2_.

(5) z= 6−x2₋_y2_{, z}₌p

x2₊_y2

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(1) y=x2_{, y}_{= 2}₋_{x, y}_{= 0}

(2) y=ex_{, y}₌_e−2x_{, y}_{= 4}

(3) x2=y, x2= 2y, y2=x, y2= 4x

(4) x2+y2= 2x, x2+y2= 4x, y=x, y= 0

<b>Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt</b>

<b>Bài 1. Tính tích phân đường loại 1</b>

(1) I=

Z

d

AB

x2ds,dABlà cungy= lnxvàA(1,0),B(e,1).

(2) I =

Z

d

OA

ds

p

x2₊_y2_{+ 4},dOAlà đoạn thẳng nối gốcO(0,0)với

điểmA(1,2).
(3) I =

Z

L

(x2+y2)ds,Llà biên của tam giácOABvớiO(0,0),

A(1,1),B(−1,1).
(4) I=

Z

L

(x+y)ds; L: x2+y2=ax, a >0

(5) I=

Z

L

(x+y+z)ds;Llà đường cong

x= 2 cost, y= 2 sint, z=t, 0≤t≤2π

(6) I=

Z

C

(x43 ₊_y43₎_ds_; _C_: _x23 ₊_y23 ₌_a23_{, a >}₀

(7) I=

Z

C
p

x2₊_y2_ds_; _C_: _x2₊_y2_{= 2}_y.

<b>Bài 2. Tính tích phân đường loại 2</b>

(1) I=

Z

L

yexydx+x4exydy; trong đóL:y=x2_{đi từ}_A₍₀_,₀₎_→
B(1,1).

(2) I=

Z

L

x2dy−y2dx

x5/3₊_y5/3 ; trong đó:

L:

(

x=Rcos3_t

y=Rsin3t , 0≤t≤π/2.

(3) I=

I

L

|x|dx+|y|dy; Llà đường gấp khúc nối các điểm

A(1,0)→B(0,2)→C(−1,0)→D(0,−2)→A(1,0).

(4) I=

I

L+

(x+y)2dx+ (x−y)dy; L: x

2
a2 +

y2
b2 = 1.

(5) I =

I

L+

2(x2+y2)dx+ (x+y)2dy, Llà biên của tam giác

∆LM N,L(1,1),M(2,2),N(1,3).
(6) I=

I

L+

(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy; trong đóL:x2₊_y2₌
ax, a >0.

(7) I=

(4,3)

Z

(2,1)

exy(1 +xy)dx+x2exydy.

(8) I=

I

L+

(−x2_y₎_dx₊_xy2_dy_; _L_: x
2

4 +

y2

1 = 1.

(9) I=

I

L+

(x+y)dx−(x−y)dy
x2₊_y2 ; L: x

2₊_y2_{= 4}

.

(10) I=

(1,1)

Z

(0,0)

(x+y)dx+ (x−y)dy.

(11) I=

Z

L

(x+y+z)dx−xdy+xydz; trong đóLlà đoạn thẳng
đi từA(1,2,3)đến B(2,4,5).

(12) I =

Z

C

(yexy−x2y+ 3x)dx+ (xexy+xy2+ 2y)dy; trong
đóC:x2₊_y2_{= 1}_{, y}_≥₀_, _{đi từ}_A₍₁_,₀₎_đến_B₍₋₁_,₀₎_.

<b>Bài 3. Tính tích phân mặt loại 1</b>

(1) I=

Z Z

S

(x2+y2)dS; Slà phần mặt cầu

x2+y2+z2=a2, z≥0.

(2) I=

Z Z

S

(x2+z2)dS; trong đóSlà phần mặt

z=p2−x2₋_y2_{, z}_≥₁_.

(3) I=

Z Z

S

dS

(1 +x+y)2; Slà phần mặt

x+y+z= 1nằm trong góc phần tám thứ nhất.

(4) I=

Z Z

S

xdS; S là phần mặt

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

(5)
Z Z

S

xyzdS, Slà phần mặtz=x2₊_y2_{giới hạn bởi}_z_{= 1}_.

(6) I=

Z Z

S

z+ 2x+4y
3

dS; trong đóSlà phần mặt

x

2 +

y

3 +

z

4 = 1nằm trong góc phần tám thứ nhất.

(7) I=

Z

S
Z

(x2+z2)dS; Slà biên của vật thể giới hạn bởi

y=px2₊_z2_{, y}_{= 1}_.

<b>Bài 4. Tính tích phân mặt loại 2</b>

(1) I=

Z Z

S

zdxdy;

Slà phía ngồi mặt cầux2₊_y2₊_z2_{= 1}_.

(2) I=

Z Z

S

x2dydz+y2dxdz+z2dxdy; Slà phía ngồi của nửa
mặt cầux2₊_y2₊_z2_{= 1}_{, z}_≥₀_.

(3) I=

Z

S
Z

xyzdydx; Slà phía ngồi phần mặt cầu

x2+y2+z2= 1, z ≥0, y≥0.

(4) I =

Z Z

S

yzdxdy; Slà mặt phía ngồi của vật thể giới hạn bởi

x2₊_y2_≤₁_, ₀_≤_z_≤₁_.

(5) I =

Z Z

S

y2dxdz+z2dxdy; S là mặt phía ngồi của vật thể
giới hạn bởiz=x2+y2, z= 1.

(6) I=

Z

S
Z

z2dxdy, S là phía ngồi mặt

x2+y2+ (z−1)2= 1.

<b>Chương 4. Phương trình vi phân</b>

<b>A. Phương trình vi phân cấp 1</b>

Bài 1. Giải các phương trình tách biến
(1) xp1−y2_dx₊_y√₁₋_x2_dy_{= 0}

(2) y0₌_x2₊_xy₊y
2

4 −1

(3) y0_{= (}_x₊_y_{+ 1)}2

(4) y0_{= cos(}_x₋_y₋₁₎

Bài 2. Giải các phương trình đẳng cấp
(1) y0=e−yx +y

x

(2) xy0₋_y₊_x_cosy

x= 0

(3) xy0−y= (x+y) lnx+y

x

(4) y0₌ y

x+ cos
y
x

(5) y0= 3x

2₋_xy₋_y2
x2

(6) y0= x

2₋_xy₊_y2
xy

Bài 3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
(1) y0− 2

x+ 1y= (x+ 1)

3

(2) y0+y= 1

ex₍₁₋_x₎, y(2) = 1.
(3) y0+ 2xy=xe−x2

(4) (x2+y)dx=xdy

(5) (y+ lnx)dx−xdy= 0

(6) y0cosy+ siny=x

Bài 4. Giải các phương trình Becnoulli
(1) y0−2xy= 3x3_y2

(2) 2y0−x
y =

xy
x2₋₁

(3) y0+ 2y=y2ex

(4) xy0+y=y2_ln_x_; _y_{(1) = 1}

(5) ydx−(x2_y2₊_x₎_dy_{= 0}

(6) xy0−2x√ycosx=−2y

Bài 5. Giải các phương trình vi phân toàn phần
(1) (x+y)dx+ (x−y)dy= 0; y(0) = 0.

(2) (1 +exy)dx+e
x
y

1−x
y

dy= 0

(3) 2x

y3dx+

y2₋₃_x2
y4 dy= 0

(4) (1 +y2_{sin 2}_x₎_dx₋₂_y_cos2_xdy_{= 0}

<b>B. Phương trình vi phân cấp 2</b>

Bài 1. Giải các phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp
(1) (1 +x2)y00+ 1 = 0

(2) y00=y

0

x +x
2

(3) (1−x2₎_y00₋_xy0_{= 2}_, _y_{(0) = 0}_,_y0_{(0) = 0}

(4) (y0)2+ 2yy00= 0

Bài 2. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
(1) y00−2y0+y= 2e2x_.

(2) y00−6y0+ 9y= cos 3x.

(3) 2y00+ 3y0+y=xe−x
(4) y00+ 2y0+ 2y=x2−4x+ 3

(5) y00−4y0 = 4x2+ 3x+ 2; y(0) = 0, y0(0) = 2

(6) y00_{+ 4}_y0_{+ 4}_y_{= 3}_e−2x_{, y}_{(2) =}_y0_{(2) = 0}

(7) 4y00−4y0+y=xe12x
(8) y00+ 2y0+ 2y=exsinx.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(11) y00+y= 6 sinx

(12) y00−2y0+y=xex
(13) y00−4y0 =x2_{+ 2}_x_{+ 3}

(14) y00−2y0 = 2 cos2x

(15) y00−y= e

x

1 +ex
(16) y00+y= 1

sinx.

Bài 3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hàm
(1) (x2₊₁₎_y00₋₂_xy0₊₂_y_{= 0}_{biết một nghiệm riêng}_y

1=x.

(2) x2(lnx−1)y00 −xy0 +y = 0 biết một nghiệm riêng

y1=x.
(3) y00+2

xy

0₊_y_{= 0}_{biết một nghiệm riêng}_y

1=

cosx
x .

(4) (x2−1)y00+ 4xy0+ 2y= 0biết một nghiệm riêng

y1= 1
1 +x.

<b>Chương 5. Hình học vi phân</b>

<b>Bài 1. Viết phương trình tiếp diện, pháp tuyến của mặt</b>

(1) z=x2₊_y2_tại_A₍₁_,₂_,₅₎

(2) x2₊_y2₊_z2_{= 14}_tại_A₍₁_,₂_,₃₎

(3) z3+ 2xy+y2= 0tạiA(−1,2,0)

(4) x2₋₄_y2_{+ 2}_z2_{= 0} _tại_A₍₂_,₃_,₄₎

(5) z2₌_x2₊_y2 _tại_A₍₃_,₄_,₅₎_.

(6) x2₋₄_y2_{+ 2}_z2_{= 6}_tại_A₍₂_,₂_,₃₎

<b>Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến, pháp diện của các</b>

<b>đường cong</b>

(1) x= 3 cost, y= 3 sint, z= 2ttạit=π
2

(2) x=t, y= 2t2, z=t3tạit= 2

(3) x= e

t_sin_t

√

2 , y= 1, z=

et_sin_t

√

2 tạit=

π

4

<b>Bài 3. Tính độ cong</b>

(1) xy= 1tạiA(1,1)

(2) y=x3₋₃_x_{+ 2}_,

tạiA(0,2)

(3)
(

x= 2t−1

y=t2+ 1 , tại điểm ứng vớit=

√

3

(4)
(

x=a(t−sint)

y=a(1−cost) a>0, tại điểm ứng vớit=

π

2

(5) y2=xtạiA(1,1)

(6) r=a(1 + cosϕ),a >0

(7) r=eaϕ

</div>

<!--links-->