- Trang chủ >>
- Mầm non >>
- Mẫu giáo lớn
Đề thi cuối kỳ K63TN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.14 KB, 1 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
<b>————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ I</b>
<b>NĂM HỌC 2020-2021</b>
<b>——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng</b>
Mã mơn học:
<b>MAT2313TNT</b>
Số tín chỉ:
<b>4</b>
Đề số:
<b>1</b>
Dành cho sinh viên khoá:
<b>K63</b>
Ngành học:
<b>Tài năng Toán</b>
Thời gian làm bài
<b>120 phút</b>
(không kể thời gian phát đề)
<b>Câu 1.</b>
(3 điểm) Một sợi dây chiều dài đơn vị có dao động tuân theo phương trình truyền
sóng với tốc độ lan truyền
1.
Nếu đặt hệ tọa độ sao cho một đầu tại gốc còn đầu kia tại
x
=
1
thì đầu tại gốc cố định cịn đầu kia tự do. Sợi dây bắt đầu từ trạng thái cân bằng và vận tốc
ban đầu
g
(
x
).
(a) Thiết lập bài toán cho hàm biên độ dao động
u
(
x
,
t
)
của sợi dây.
(b) Chứng minh rằng khi
T
≥
1
ta có
Z 1
0
|
g
(
x
)
|
2dx
≤
Z T
0
|
u
x(0,
t
)
|
2dt
.
(c) Với
g
(
x
) =
1,
dùng sóng tiến - lùi vẽ
u
(
x
,
t
)
tại các thời điểm
t
=
1<sub>2</sub>, 1, 2.
<b>Câu 2.</b>
(3 điểm) Xét bài toán biên hỗn hợp
u
t(
x
,
t
) =
−
u
xxx(
x
,
t
) +
u
x(
x
,
t
),
x
>
0,
t
>
0,
u
xx(
0,
t
) =
0,
t
≥
0,
u
(
x
, 0) =
u
0(
x
),
x
>
0.
(a) Xác định quan hệ địa phương và quan hệ tán sắc
<i>ω</i>
=
<i>ω</i>
(
k
)
cho bài toán.
(b) Xác định quan hệ toàn cục. Dùng đối xứng của quan hệ tán sắc để giải nghiệm
u
(
x
,
t
).
<b>Câu 3.</b>
(2 điểm) Xét bài tốn biên cho phương trình Laplace trong quạt
u
xx(
x
,
y
) +
u
yy(
x
,
y
) =
0,
Q
=
{
(
x
,
y
)
|
1
<
x
2+
y
2<
4,
x
>
y
>
0
}
,
với điều kiện biên
<i>∂</i>
<i>ν</i>u
(
x
,
y
) =
0
khi hoặc
(
x
−
y
)
y
=
0
hoặc
x
2+
y
2=
1
, và
<i>∂</i>
<i>ν</i>u
(
x
,
y
) =
ax
2+
1
khi
x
2+
y
2=
4,
trong đó
<i>ν</i>
là pháp tuyến ngồi đơn vị trên biên của
Q.
(a) Tìm
a
để bài tốn có nghiệm.
(b) Bằng phương pháp tách biến tìm nghiệm của bài tốn trên.
<b>Câu 4.</b>
(1.5 điểm) Xét bài toán biên hỗn hợp
u
t(
x
,
t
) =
4
u
xx(
x
,
t
)
,
x
>
0,
t
>
0,
u
x(0,
t
) =
0,
t
≥
0,
u
(
x
, 0) =
<i>χ</i>
[1,2](
x
),
x
>
0.
(a) Dùng công thức Poisson tính nghiệm bài tốn đã cho.
(b) Chứng minh rằng
0
<
u
(
x
,
t
)
<
1
khi
x
>
0,
t
>
0.
</div>
<!--links-->
