Đề GK CH2020-2022 – 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (124.91 KB, 1 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
<b>————-ĐỀ THI GIỮA KÌ</b>
<b>NĂM HỌC 2020-2022</b>
<b>——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng</b>
Mã mơn học:
<b>MAT...</b>
Số tín chỉ:
<b>3</b>
Đề số:
<b>3</b>
Dành cho sinh viên lớp:
<b>Cao học 20-22</b>
Ngành học:
<b>...</b>
Thời gian làm bài
<b>...</b>
(không kể thời gian phát đề)
<b>Câu 1.</b>
Giải bài tốn Cauchy cho phương trình sau
u
2<sub>x</sub>(
x
,
y
) +
u
<sub>y</sub>2(
x
,
y
) =
1
trong
<b>R</b>
2,
với điều kiện Cauchy
u
(
x
,
y
) =
0
trên đường tròn
x
2+
y
2=
1.
<b>Câu 2.</b>
Một thanh kim loại chiều dài đơn vị có nhiệt độ tuân theo phương trình truyền nhiệt
với hệ số dẫn nhiệt
4
và nguồn nhiệt
f
(
x
,
t
)
.
Nếu đặt hệ trục tọa độ sao cho một đầu tại gốc
cịn đầu kia có tọa độ
x
=
1
thì nhiệt độ ban đầu của thanh
<i>ϕ</i>
(
x
),
đầu tại gốc có nhiệt độ
0
và đầu cịn lại cách nhiệt.
(a) Thiết lập bài toán cho hàm nhiệt độ
u
(
x
,
t
)
của thanh kim loại.
(b) Cho
<i>ϕ</i>
(
x
) =
x
,
f
(
x
,
t
) =
e
−2tsin
3(
<i>πx</i>
/2).
Hãy tìm nghiệm
u
(
x
,
t
)
của bài tốn ở câu (a).
Hỏi nghiệm tìm được có cổ điển khơng?
<b>Câu 3.</b>
Cho
u
,
v
là
C
1−
nghiệm (giá trị thực) trong
<b>R</b>
2×
(0,
∞
)
của hệ
u
t+
u
x+
2
u
y+
2
v
x+
3
v
y=
f
trong
<b>R</b>
2×
(0,
∞
),
v
t+
2
u
x+
3
u
y+
v
x+
2
v
y=
g
trong
<b>R</b>
2×
(0,
∞
),
thỏa mãn điều kiện
u
(
x
,
y
,
T
) =
0,
v
(
x
,
y
,
T
) =
0
với
T
>
0
cho trước và
f
,
g
là các hàm liên
tục trong
<b>R</b>
2×
(0,
∞
)
. Chứng minh rằng
Z Z
∆(R,T)
(
u
2+
v
2)
dxdydt
≤
C
Z Z
∆(R,T)
e
T(
f
2+
g
2)
dxdydt
,
</div>
<!--links-->
