ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
---------------------------------------

HUỲNH LỮ TÂN

NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ CỦA TẤM BTCT
CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT ĐỘ
Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP
Mã số ngành: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7 NĂM 2007


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------------Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: ......................................................................

Cán bộ chấm nhận xét 2: ......................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày ....... tháng..... năm 2007


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
---------------------------

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
------------------TP. HCM, ngày
tháng
năm 2007

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên:
HUỲNH LỮ TÂN
Ngày, tháng, năm sinh: 05-03-1977
Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng – Công nghiệp

Phái: Nam
Nơi sinh: Phú Yên
Mã HV: 02105515

I. TÊN ĐỀ TÀI:
Nghiên cứu ứng xử của tấm BTCT chịu tải trọng nhiệt độ.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
1. Khảo sát ứng xử tĩnh học (ứng suất, chuyển vị và khả năng chịu lực) của
tấm BTCT dưới tác dụng của nhiệt độ theo 02 mơ hình vật liệu đẳng hướng
và trực hướng có kể đến tác dụng của cốt thép.
2. Khảo sát tác động của nhiệt độ lên ứng xử tĩnh học của tấm BTCT chịu
tải trọng phân bố đều.
3. Khảo sát ảnh hưởng của thời gian tác dụng nhiệt lên ứng xử của tấm
BTCT chịu tác động của nhiệt độ .
III. NGAØY GIAO NHIỆM VỤ:


05/ 02 /2007

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

05/ 07 /2007

V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS.TS CHU QUỐC THẮNG
CN. BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Nội dung và đề cương Luận văn Thạc só đã được Hội đồng Chuyên ngành thông qua.

Ngày......tháng.....năm 2007
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH


LỜI CẢM ƠN

Sau 2 năm học tập và nghiên cứu dưới sự truyền đạt kiến thức và hướng dẫn
nhiệt tình của các Thầy, Cô trong Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng trường Đại Học Bách
Khoa Thành phố Hồ Chí Minh tơi đã hoàn thành cuốn Luận văn này và hoàn tất
chương trình đào tạo Thạc sĩ của Nhà trường.
Trước tiên, tơi xin chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS Chu Quốc Thắng đã tận

tình hướng dẫn và truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm q báu giúp tơi hồn
thành cuốn Luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng đã
truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt thời gian học tập tại trường
Đại Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh.
Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo cơ quan nơi tôi đang công tác, các anh chị
em đồng nghiệp và tất cả những người bạn đã giúp đỡ, động viên, cổ vũ tôi trong
suốt thời gian học tập.
Sau cùng, xin cảm ơn những người thân trong gia đình vì những gì tốt đẹp
nhất, những sự hy sinh thầm lặng dành cho tôi, giúp tơi vượt qua những khó khăn
để có được thành cơng ngày hôm nay.

i


TÓM TẮT LUẬN VĂN

Tác động của nhiệt độ lên kết cấu tấm BTCT thông qua hai dạng: biến đổi
nhiệt độ theo chiều dày tấm và biến đổi nhiệt độ bản thân tấm, tạo ra các ứng xử cơ
học như một dạng tải trọng tác dụng lên tấm.
Luận văn tập trung vào việc xây dựng mơ hình vật liệu trực hướng cho tấm
BTCT trong đó có kể đến tác dụng của cốt thép đối với các ứng xử cơ học của tấm
BTCT. Bằng việc đưa ra lời giải cho trường hợp tấm chữ nhật biên tựa cố định chịu
tải trọng ngang phân bố và tải trọng nhiệt độ đồng thời, tác giả đã xây dựng nền
tảng lý thuyết và ứng dụng cho việc tính tốn các kết cấu tấm bằng mơ hình vật liệu
trực hướng tổng qt và có thể đồng nhất với mơ hình vật liệu đẳng hướng trong
trường hợp xem ứng xử của vật liệu theo các phương vuông góc là như nhau.
Thơng qua việc lập trình tính tốn với sự hỗ trợ của phần mềm Matlab, luận
văn tập trung khảo sát các dạng tác động của nhiệt độ bằng các ví dụ cụ thể. Kết quả
tính tốn cũng chỉ ra rằng cùng với đặc trưng hình học thì tác dụng của cốt thép

trong sự phân bố ứng suất và cải thiện khả năng chịu nhiệt độ của tấm là đáng kể.
Đồng thời, cả hai dạng tác động của nhiệt độ đều có ảnh hưởng lớn đến các ứng xử
tĩnh học của tấm BTCT chịu tải trọng ngang và yếu tố thời gian tác dụng của nhiệt
độ cũng tác động lớn đến ứng xử của tấm bởi sự thay đổi của dạng tác động nhiệt.
Sau cùng, bằng việc tính toán các trường hợp cụ thể cho tấm BTCT, luận
văn sẽ tập trung làm rõ và đánh giá đúng mức vai trò của nhiệt độ tác dụng lên kết
cấu tấm BTCT chịu tải trọng phân bố cũng như vai trò và tác dụng của cốt thép
trong các ứng xử tĩnh học của tấm chịu nhiệt độ.

ii


ABSTRACT
Thermal loading applies on reinforced concrete plate (RCP) structures by
two ways: temperature variation across the plate thickness and temperature
variation of the plate. Two effects make mechanic action like a loading applied on
the RCP.
This thesis focuses on establishing orthotropic material model using for RCP
in which the effectiveness of steel bars on mechanic actions of RCP are included.
By solving the problem for simply support rectangular plate supporting distribute
uniform load and thermal loading simultaneously, author builded theory foundation
and applied in solving plate structures by using general orthotropic material model
that may turn back to isotropic model in case the act of material according two
perpendicular direction alike.
By buiding a program using Matlab sofware, the thesis focuses on
investigating the influence of temperature with determinate problem. The result
pointed out that beside geometric property, the effect of steel bars in distributing
stress and improving thermal capability are considerable. Together, two forms of
thermal loading make large effect on the static act of RCP support to transver load
and the effectiveness of time of temperature action also make large effect by the

transformation of thermal action forms.
After all, by solving many case of thermal effect, the thesis will concentrate
to make clearly and evaluate properly the affection of temperature on RCP
structures support to transver load and the effect of steel bars in static act of plates
under thermal load.

iii


MỤC LỤC
Chương 1: Mở đầu ...................................................................................................1
1.1 Tổng quan .................................................................................................1
1.2 Tác động của nhiệt độ lên tấm BTCT .......................................................3
1.3 Mục tiêu của luận văn ...............................................................................3
1.4 Nội dung, phạm vi và phương pháp nghiên cứu .......................................4
1.4.1 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu ........................................4
1.4.2 Nội dung luận văn .....................................................................4
Chương 2: Các cơ sở lý thuyết ................................................................................6
2.1 Cơ sở lý thuyết tấm ...................................................................................6
2.1.1 Sơ lược lịch sử lý thuyết tấm ......................................................6
2.1.2 Ứng xử tổng quát của tấm mỏng biến dạng nhỏ .........................7
2.1.3 Quan hệ biến dạng - độ cong ......................................................9
2.1.4 Ứng suất và nội lực trong tấm ...................................................10
2.1.5 Phương trình vi phân chủ đạo của độ võng tấm ........................13
2.1.6 Các điều kiện biên trên chu vi tấm ............................................14
2.2 Mơ hình vật liệu cho tấm BTCT ............................................................15
2.2.1 Định luật Hooke tổng quát ........................................................15
2.2.2 Vật liệu đàn hồi trực hướng ......................................................16
2.2.3 Vật liệu đàn hồi đẳng hướng .....................................................19
2.2.4 Bài tốn ứng suất phẳng ............................................................20

2.2.5 Mơ hình vật liệu cho tấm BTCT ...............................................22
2.2.5.1 Bài tốn tấm trực hướng .............................................22
2.2.5.2 Các hệ số độ cứng cho tấm BTCT ..............................24
2.3 Cơ sở lý thuyết truyền nhiệt ...................................................................25
2.3.1 Những khái niệm cơ bản về dẫn nhiệt ......................................25
2.3.2 Bài toán dẫn nhiệt khơng ổn định .............................................26
2.3.3 Bài tốn dẫn nhiệt không ổn định của tấm phẳng .....................27
2.3.4 Xác định phân bố nhiệt trong tấm BTCT theo thời gian ..........28

iv


Chương 3: Phân tích ứng suất và chuyển vị của tấm BTCT chịu tác động của
nhiệt độ ................................................................................................30
3.1 Ứng suất và chuyển vị của tấm chịu tác động của nhiệt độ ...................30
3.1.1 Bài toán tấm trực hướng tổng quát .........................................30
3.1.2 Tấm đẳng hướng chịu tải trọng nhiệt độ .................................32
3.1.2.1 Tấm chữ nhật biên tựa chịu nhiệt độ phân bố theo chiều
dày tấm .........................................................................33
3.1.2.2 Tấm chữ nhật biên ngàm chịu nhiệt độ phân bố theo
chiều dày tấm ...............................................................35
3.1.3 Tấm trực hướng chữ nhật biên tựa chịu nhiệt độ phân bố theo
chiều dày tấm .........................................................................35
3.1.4 Tấm chữ nhật chịu sự gia tăng nhiệt độ ..................................37
3.2 Tác động của thời gian dẫn nhiệt lên ứng xử của tấm BTCT ................39
3.3 Tấm BTCT chịu tải trọng ngang và tải trọng nhiệt độ đồng thời ...........39
3.3.1 Tấm BTCT chữ nhật biên tựa chịu tải trọng ngang phân bố đều
và tải trọng nhiệt độ biến thiên theo chiều dày tấm ................39
3.3.2 Tấm BTCT chữ nhật biên ngàm chịu tải trọng ngang phân bố
đều và tải trọng nhiệt độ biến thiên theo chiều dày tấm .........41

3.3.3 Tấm BTCT chịu tải trọng ngang và sự gia tăng nhiệt độ trong
tấm ...........................................................................................41
Chương 4: Phân tích bài tốn ổn định của tấm chịu tải trọng nhiệt độ ............42
4.1 Ổn định của tấm chịu tác động của nhiệt độ ..........................................42
4.1.1 Phương trình ổn định của tấm trực hướng tổng quát ..............42
4.1.2 Nhiệt độ gia tăng tới hạn trong tấm chữ nhật biên tựa ............46
4.1.3 Chênh lệch nhiệt độ tới hạn trong tấm chữ nhật biên tựa........49
4.2 Ổn định của tấm chịu tác dụng của tải trọng ngang và tải trọng nhiệt độ
đồng thời ................................................................................................51
Chương 5: Các ví dụ tính tốn ..............................................................................52
5.1 Chương trình tính tấm chữ nhật biên tựa chịu tải trọng nhiệt độ ...........52
5.2 Khảo sát tác động của chênh lệch nhiệt độ bề mặt lên tấm BTCT ........53

v


5.2.1 Khảo sát ảnh hưởng của sự phân bố cốt thép đến sự làm việc
của tấm chịu tác động của chênh lệch nhiệt độ bề mặt ...........53
5.2.2 Khảo sát ảnh hưởng của chênh lệch nhiệt độ đến sự làm việc
của tấm chịu tải trọng ngang phân bố đều ..............................55
5.2.3 Khảo sát ảnh hưởng của chiều dày đối với tấm chịu tác động
của chênh lệch nhiệt độ bề mặt ...............................................57
5.2.4 Khảo sát khả năng chịu lực của tấm chịu tác động của chênh
lệch nhiệt độ bề mặt ................................................................58
5.3 Khảo sát tác động của gia tăng nhiệt độ lên kết cấu tấm BTCT ............62
5.3.1 Khảo sát ảnh hưởng của sự phân bố cốt thép đến sự làm việc
của tấm chịu tác động của gia tăng nhiệt độ trong tấm ...........62
5.3.2 Khảo sát ảnh hưởng của gia tăng nhiệt độ trong tấm BTCT chịu
tải trọng ngang ........................................................................63
5.3.3 Khảo sát khả năng chịu lực của tấm chịu gia tăng nhiệt độ .....65

5.4 Khảo sát tác động của nhiệt độ lên kết cấu tấm BTCT có điều kiện biên
khác nhau ......................................................................................................69
5.4.1 Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên đến sự làm việc của tấm
chịu chênh lệch nhiệt độ bề mặt ..............................................69
5.4.2 Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên đến sự làm việc của tấm
chịu gia tăng nhiệt độ ..............................................................70
5.4.3 Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên đến khả năng chịu nhiệt
độ của tấm ...............................................................................70
5.5 Khảo sát tấm BTCT chữ nhật chịu tác động của nhiệt độ theo thời gian 71
5.5.1. Khảo sát tấm với liên kết trên biên là gối tựa 4 cạnh ...............73
5.5.2 Khảo sát tấm với liên kết trên biên là ngàm 4 cạnh..................74
5.5.3 Khảo sát trường hợp giảm nhiệt độ tức thời ............................76
Chương 6: Kết luận và Kiến nghị .........................................................................80
6.1 Kết luận ..................................................................................................80
6.2 Phương hướng nghiên cứu tiếp theo ......................................................81
Tài liệu tham khảo .................................................................................................82
Phụ lục .....................................................................................................................84
vi


Chương 1

Chương 1

Mở đầu

MỞ ĐẦU

1.1 Tổng quan
Kết cấu tấm bê tông cốt thép (BTCT) là kết cấu đã được ứng dụng từ rất lâu

và dễ dàng bắt gặp trong hầu hết các loại cơng trình dân dụng, cơng nghiệp, giao
thơng, thủy lợi, quốc phòng.... Hầu hết các kết cấu tấm BTCT được sử dụng để
chịu tải trọng phân bố theo phương vng góc với trục tấm như: sàn nhà, sàn xưởng
sản xuất, sàn mái, bể chứa, mặt cầu, hầm trú ẩn...Tuy nhiên, trong thực tế những kết
cấu nói chung và tấm BTCT nói riêng ln làm việc trong những điều kiện thay đổi
liên tục của môi trường như nhiệt độ, độ ẩm,... thì ngồi khả năng chịu tải trọng,
kết cấu còn chịu tác động đáng kể bởi các ứng suất phát sinh do tác động của môi
trường làm việc mà trong đó tác động do sự biến đổi của nhiệt độ là đáng kể nhất.
Một trong những tính chất cơ học đặc trưng của vật liệu là tính biến dạng
theo trường nhiệt độ của vật thể. Với những vật thể tự do thì khi có sự thay đổi
trường nhiệt độ thì vật thể đó có xu hướng biến dạng dài theo các phương mà không
bị cản trở, tuy nhiên đối với những vật thể chịu các điều kiện ràng buộc nhất định về
liên kết thì các biến dạng (hay chuyển vị) này bị ngăn cản, các phản lực phát sinh tại
liên kết là nguyên nhân tạo nên ứng suất bên trong vật thể. Thành phần ứng suất này
luôn biến đổi tùy thuộc vào tính chất vật liệu, tốc độ biến thiên của trường nhiệt độ,
điều kiện liên kết trên biên, hình dạng và kích thước của kết cấu...Hơn thế nữa, các
ứng xử cơ học của vật liệu như độ dẫn nhiệt, môđun đàn hồi, hệ số giãn nở nhiệt
cũng biến đổi theo trường nhiệt độ. Kết quả là các thành phần ứng suất bên trong
kết cấu thay đổi mà khi những thay đổi này vượt quá ứng suất giới hạn của vật liệu
sẽ dẫn đến sự phá hoại kết cấu.
Trong thực tế thiết kế kết cấu BTCT nói chung và kết cấu tấm BTCT nói
riêng, ngoại trừ những kết cấu làm việc trong môi trường chịu nhiệt độ hay môi
trường có độ ổn định nhiệt cao, các kết cấu BTCT thường chỉ được thiết kế chịu tải
trọng cơ học theo điều kiện làm việc mà ít khi kể đến những thay đổi của nhiệt độ
môi trường nơi kết cấu làm việc. Một trong những nguyên nhân khiến các nhà thiết
Trang 1


Chương 1


Mở đầu

kế không đề cập đến yếu tố nhiệt độ trong tổ hợp tải trọng thiết kế bởi tính phức tạp
trong tính tốn và những sự biến đổi khó lường của môi trường làm việc. Để thuyết
phục người sử dụng, họ thường đưa ra các giải pháp về cấu tạo và các lớp vật liệu
bảo vệ. Chính điều này đôi khi dẫn đến một số hậu quả nghiêm trọng: các mái
BTCT bị nứt dột đẫn đến hư hỏng, các sàn nhà bị biến dạng không sử dụng được
sau vụ cháy, các bể chứa ngoài trời bị thấm do xuất hiện vết nứt,...
Qua phân tích ảnh hưởng của nhiệt độ đến các thành phần chuyển vị và ứng
suất trong kết cấu tấm sẽ giúp chúng ta hiểu rõ cơ chế tác động của tải trọng nhiệt
độ, dự đoán khả năng làm việc cũng như các dạng phá hoại kết cấu có thể xảy ra để
từ đó quyết định các giải pháp phù hợp cho từng loại kết cấu trong từng môi trường
làm việc cụ thể.
Việc nghiên cứu ứng xử của kết cấu dưới tác động của tải trọng nhiệt độ
(Thermal Loading) và ổn định nhiệt (Thermal Buckling) của tấm chữ nhật đã được
Manuel Stein báo cáo năm 1959 [12] , cùng thời gian này S.P. Timoshenko [14,15]
đã giải quyết bài toán ứng suất và ổn định của tấm chữ nhật chịu nhiệt độ. Tuy
nhiên, do gặp phải khó khăn về tính tốn các bài tốn giải tích nên các kết quả hầu
như chỉ đưa ra về mặt lý thuyết còn việc ứng dụng vào từng trường hợp cụ thể chỉ
mang tính cá biệt.
Đối với vật liệu BTCT là dạng vật liệu hỗn hợp (composite) và tính chất chịu
lực của kết cấu là có thể định hướng được và phụ thuộc vào số lượng, vị trí các
thanh cốt thép. Do vậy, việc tính tốn kết cấu tấm theo mơ hình vật liệu đẳng hướng
đôi khi mang lại những sai số nhất định so với khả năng làm việc thực tế của kết
cấu. J.N. Reddy [10] đã đưa ra mơ hình vật liệu trực hướng để tính tốn kết cấu tấm
theo lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff, A. Mossavarali [3] đã đưa ra cơng thức
tổng qt để tính nhiệt độ tới hạn trong tấm trực hướng.
Trên thế giới cũng đã có một số tác giả nghiên cứu về tải trọng nhiệt độ trong
tấm trực hướng: C.G Bailey [4] đã phân tích khả năng sắp xếp của cốt thép đến ứng
xử trong sàn liên hợp làm việc trong điều kiện cháy năm 2003; L. H. You [11] phân

tích sự phân bố ứng suất của sợi gia cường đối xứng trục trong tấm trực hướng
nhiều lớp.
Trang 2


Chương 1

Mở đầu

Ở Việt Nam, Đỗ Kiến Quốc, Bùi Thanh Tâm [7] công bố nghiên cứu về ứng
suất nhiệt và vấn đề nứt dột của mái BTCT năm 1994 và các thí nghiệm trên tấm tự
do. Tuy nhiên, ở thời điểm hiện tại, tác giả chưa tìm thấy thêm các báo cáo khoa
học nào công bố sâu hơn về mức độ ảnh hưởng của nhiệt độ lên kết cấu tấm BTCT
như một loại tải trọng thuần túy và việc giải bài tốn tấm chịu nhiệt độ theo mơ hình
vật liệu trực hướng có kể đến ảnh hưởng của cốt thép.
1.2 Tác động của nhiệt độ lên tấm BTCT
Nhiệt độ tác động lên tấm BTCT trong quá trình làm việc gồm hai dạng
chính sau:
* Chênh lệch nhiệt độ giữa hai bề mặt tấm: Sự chênh lệch nhiệt độ giữa hai
bề mặt tấm làm cho các mặt đẳng nhiệt (Gradient nhiệt độ ) biến đổi theo chiều dày
tấm tạo nên sự giãn nở không đều của các phân tố theo chiều dày tấm. Nếu có sự
ràng buộc chuyển vị trên biên thì trong tấm sẽ xuất hiện moment uốn nhưng không
gây ra lực trong mặt phẳng tấm nên tấm xem như chịu uốn thuần túy.
* Gia tăng (giảm) nhiệt độ trong bản thân tấm: sự thay đổi nhiệt độ trong bản
thân tấm tạo ra các biến dạng dài trong tấm, do dó nếu tấm chịu các ràng buộc về
chuyển vị trên biên thì trong tấm xuất hiện các lực trong mặt phẳng và tấm xem như
chịu kéo nén thuần túy.
Tuy nhiên, trong thực tế dưới tác dụng của hiện tượng dẫn nhiệt, tỏa nhiệt và bức xạ
nhiệt mà hai tác động trên ln có sự biến đổi theo thời gian. Vì vậy, việc xét đến
yếu tố thời gian trong bài toán tấm chịu nhiệt độ tổng quát là cần thiết để có được

một cái nhìn tổng thể và đầy đủ sự tác động của hai dạng tải trọng nhiệt độ trên.
1.3 Mục tiêu của luận văn
Nghiên cứu ứng xử tĩnh học của kết cấu tấm BTCT dưới tác động của nhiệt
độ bằng việc phân tích chuyển vị, nội lực, ứng suất và khả năng chịu lực (ổn định)
của tấm.
Tìm hiểu tác động của cốt thép lên ứng xử của tấm thông qua mơ hình vật
liệu trực hướng.

Trang 3


Chương 1

Mở đầu

Phân tích ảnh hưởng của tác nhân nhiệt độ đến sự làm việc của kết cấu tấm
BTCT chịu tải trọng phân bố.
Phân tích tác động của thời gian dẫn nhiệt lên ứng xử của tấm BTCT.
1.4 Nội dung, phạm vi và phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu ứng xử tĩnh học của kết cấu tấm BTCT dưới tác động của nhiệt
độ bằng việc xây dựng mơ hình lý thuyết tấm mỏng trực hướng theo lý thuyết tấm
Kirchhoff từ đó đưa ra lời giải cho tấm trực hướng tổng quát chịu tác động của nhiệt
độ để tính chuyển vị, nội lực, ứng suất và khả năng chịu lực cho tấm BTCT chữ
nhật.
Xây dựng chương trình tính tốn cho tấm chữ nhật tựa đơn chịu tải trọng
nhiệt độ bằng phần mềm Matlab để giải quyết các bài toán cụ thể hay gặp trong
thực tế, đồng thời giải bài toán bằng phần tử hữu hạn trên phần mềm SAP2000 để
đối chiếu với kết quả tính tốn.
Đưa ra các ví dụ cụ thể về các tình huống có thể xảy ra trong thực tế và giải

quyết các bài toán trên cơ sở lý thuyết đã xây dựng được nhằm làm rõ các tác động
của nhiệt độ lên ứng xử tĩnh học của kết cấu tấm BTCT.
1.4.2 Nội dung luận văn
Luận văn gồm 6 chương, có cấu trúc như sau:
Chương 1: Mở đầu - Giới thiệu tổng quan và mục tiêu, cấu trúc của luận văn.
Chương 2: Các cơ sở lý thuyết - Giới thiệu về lý thuyết tấm mỏng biến dạng
nhỏ, mơ hình vật liệu cho tấm BTCT và lý thuyết truyền nhiệt.
Chương 3: Phân tích ứng suất và chuyển vị của tấm BTCT chịu tác động của
nhiệt độ - Đưa ra lời giải lý thuyết cho từng dạng tác động của nhiệt độ lên tấm chữ
nhật có các điều kiện biên khác nhau.
Chương 4: Phân tích bài tốn ổn định của tấm chịu tải trọng nhiệt độ - Đưa
ra lời giải cho bài toán ổn định nhiệt độ của tấm chữ nhật theo mơ hình vật liệu trực
hướng tổng quát.
Trang 4


Chương 1

Mở đầu

Chương 5: Các ví dụ tính tốn - Lập chương trình tính tốn tấm chữ nhật
biên tựa chịu tải trọng nhiệt độ trên phần mềm Matlab và khảo sát các tác động của
nhiệt độ với những tình huống khác nhau. Đưa ra các nhận xét về tác động của nhiệt
độ trong từng trường hợp cụ thể.
Chương 6: Kết luận và kiến nghị.
Phần cuối cùng là tài liệu tham khảo và các phụ lục.

Trang 5



Chương 2

Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

CÁC CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 – Cơ sở lý thuyết tấm [1,5,8,10,14]
2.1.1 Sơ lược Lịch sử phát triển lý thuyết tấm [1,8]
Năm 1766, Euler đưa ra các phân tích dao động tự do của bài toán tấm.
Chladni, một nhà vật lý người Đức đưa ra các thí nghiệm trên tấm ngang để xác
định hình dạng dao động của chúng vào năm 1802 bằng cách rắc cát lên tấm và đập
mạnh tấm bằng búa rồi ghi lại các hình dạng phổ biến tạo thành dọc theo các đường
nút. Bernoulli sau đó cố gắng chứng minh bằng lý thuyết các kết quả thực nghiệm
của Chladni bằng cách sử dụng lý thuyết dầm chịu uốn Euler-Bernoulli đã phát triển
trước đó nhưng kết quả của ơng khơng thu được các dao động tồn phần (Bernoulli,
1789). Nhà tốn học người Pháp Germain đã phát triển một phương trình vi phân
tấm khơng có mặt thành phần cong vênh năm 1826 nhưng một trong những nhà phê
bình việc làm của bà là Lagrange đã hiệu chỉnh kết quả của Germain vào năm 1828
và ông là người đầu tiên biểu diễn phương trình cân bằng tổng quát của tấm một
cách đúng đắn.
Cauchy (1828) và Poisson (1829) đã phát triển bài toán tấm chịu uốn sử dụng
lý thuyết đàn hồi tổng quát. Năm 1829, Poisson đã phát triển thành cơng phương
trình cân bằng tấm Germain-Lagrange với lời giải của tấm chịu tải trọng tĩnh. Tuy
nhiên, trong lời giải này, độ cứng chống uốn D của tấm được cho là hằng số. Navier
đã xem xét đến độ dày tấm trong phương trình tổng quát như một hàm của độ cứng
D năm 1823.
Một trong những đóng góp lớn nhất vào lý thuyết tấm mỏng đến từ luận văn
của Kirchhoff vào năm 1850. Kirchhoff công bố vài giả thiết cơ bản mà đến bây giờ

vẫn gọi là “Các giả thiết Kirchhoff”. Sử dụng các giả thiết này, ơng đã: đơn giản
hóa hàm năng lượng cho tấm 3D; biểu diễn dưới một trạng thái nhất định phương
trình Germain-Lagrange như phương trình Euler; cơng bố rằng các cạnh tấm chỉ có
thể có hai điều kiện biên. Lord Kelvin Thompson và Tait chứng tỏ rằng các cạnh
tấm chỉ có lực cắt và moment vào năm 1883.

Trang 6


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

Các giả thiết Kirchhoff là những giả thiết cơ bản trong sự phát triển của lý
thuyết tấm mỏng tuyến tính đàn hồi biến dạng nhỏ.
Năm 1899, Levy đã giải quyết thành cơng bài tốn tấm chữ nhật có hai cạnh
song song tựa đơn với hai cạnh cịn lại có điều kiện biên bất kỳ. Trong lúc đó ở
nước Nga, Bubnov đã khảo sát tấm mềm và là người đầu tiên giới thiệu hệ thống
phân loại tấm vào năm 1914. Bubnov đã lập các bảng biểu của độ võng lớn nhất và
moment uốn lớn nhất cho tấm với các đặc tính khác nhau. Năm 1933 Galerkin đã
phát triển xa hơn lý thuyết của Bubnov và ứng dụng vào trong các bài toán chịu uốn
khác nhau dùng cho tấm có hình dạng bất kỳ.
Timoshenko đề xuất một cơng cụ mạnh hơn cho việc phân tích tấm chịu uốn
vào khoảng 1913-1915, hầu hết chúng ở dạng bảng biểu. Lời giải của các bài toán
này đề cập đến tấm trịn biến dạng lớn và ơng đã phát triển bài toán tĩnh của lý
thuyết đàn hồi. Timoshenko và Woinowsky-Krieger đã viết một cuốn sách vào năm
1959 là cơ sở của hầu hết các phân tích bài tốn tấm chịu uốn diễn đạt ngày nay.
Một lý thuyết tấm chặt chẽ có kể đến chuyển vị do lực cắt ngang gây ra được
giới thiệu bởi Reissner năm 1954 mà ngày nay chúng ta gọi là lý thuyết tấm
Reissner – Mindlin hay lý thuyết tấm dày để phân biệt với lý thuyết tấm mỏng của

Kirchhoff.
2.1.2 Ứng xử tổng quát của tấm mỏng biến dạng nhỏ
Tấm là vật thể hình lăng trụ hoặc hình trụ có kích thước một phương rất nhỏ
so với hai phương cịn lại, kích thước nhỏ ấy gọi là bề dày của tấm.
Về lý thuyết tính tốn, tấm được chia làm ba loại:
Tấm mỏng biến dạng nhỏ: nếu độ võng w của tấm là nhỏ so với bề dày h.
Được tính tốn dựa vào các giả thiết của Kirchhoff nên còn gọi là tấm Kirchhoff.
Tấm mỏng biến dạng lớn hay còn gọi là tấm mềm: khi độ võng là đáng kể so
1
với bề dày tấm ( w ≥ h ) được tính theo lý thuyết màng (membrane theory) do von
4

Karman phát triển.

Trang 7


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

h 1
Tấm dày hay còn gọi là tấm Reissner – Mindlin: khi bề dày tấm là đáng kể ( ≥ ).
b 5

Hình 2.1 Phân loại lý thuyết tính tốn tấm theo tỷ số a/h [8]
Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn, dưới đây chỉ nghiên cứu tấm mỏng
biến dạng nhỏ.
Tấm mỏng biến dạng nhỏ được xây dựng dựa trên các giả thiết cơ bản (còn
gọi là giả thiết Kirchhoff ) :

1. Chuyển vị của mặt trung bình là nhỏ so với bề dày tấm. Độ dốc (slope)
của mặt võng là rất nhỏ và độ lớn bình phương của độ dốc được bỏ qua
nếu so với đơn vị.
2. Mặt trung bình (midplane) khơng biến dạng sau khi tấm bị uốn.
3. Mặt phẳng cắt ban đầu vng góc với mặt trung bình vẫn phẳng và vng
góc với mặt trung bình sau khi uốn. Điều này có nghĩa là biến dạng trượt
thẳng đứng được bỏ qua. Chuyển vị của tấm do vậy chỉ phụ thuộc vào
biến dạng uốn.
4. Ứng suất vng góc với mặt trung bình σ z là nhỏ so với các thành phần
ứng suất khác và có thể bỏ qua.

Trang 8


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

Khi độ võng của tấm khơng cịn nhỏ nữa, sự uốn của tấm phụ thuộc vào biến
dạng của mặt trung bình, và vì thế giả thiết 1 và 2 khơng cịn sử dụng được nữa, lúc
này tấm được tính theo lý thuyết màng.
2.1.3 Quan hệ biến dạng - độ cong (strain-curvature)
Quan hệ này còn được gọi là quan hệ động học (kinematic relation).
Để tìm hiểu bài toán tấm chịu uốn, mối quan tâm bây giờ được cho bởi biến
dạng hình học. Các quan hệ biến dạng - chuyển vị kết hợp với giả thiết 3 được cho
bởi:
εx =

∂u
;

∂x

γ xy =

εy =

∂v
;
∂y

∂u ∂v
+ ;
∂y ∂x

Vì ε z =

γ xz =

εz =

∂w
=0 ;
∂z

∂w ∂u
+ =0 ;
∂x ∂z

γ yz =


∂w ∂v
+ =0
∂y ∂z

(2.1)

∂w
= 0 nên độ võng tấm khơng phụ thuộc z, do đó ta nhận được:
∂z

w = w( x, y )

(a)

Có nghĩa là độ võng khơng biến đổi theo chiều dày tấm hay tất cả các điểm
nằm trên đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình tấm sẽ có cùng độ võng.
Tích phân các biểu thức của γ xz và γ yz cho ra:
u =− z

∂w
+ u ( x, y ) ;
∂z o

v =− z

∂w
+ v ( x, y )
∂y o

(b)


Rõ ràng rằng các hàm uo ( x, y ) và vo ( x, y ) biểu diễn giá trị tương ứng của u
và v trên mặt trung bình. Dựa trên giả thiết 2 của mục 2.1.2 ta có uo = vo = 0 . Do đó:
u =− z

∂w
;
∂z

v =− z

∂w
∂y

(2.2)

Thay (2.2) vào 3 phương trình đầu của (2.1) ta được:
∂2w
ε x =− z 2 ;
∂x

∂2w
ε y =− z 2 ;
∂y

Trang 9

∂2w
γ xy =−2 z
∂x∂y


(2.3)


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

Từ (2.2) và (2.3) ta thấy rằng các thành phần chuyển vị và biến dạng của tấm
đều được biễu diễn qua hàm độ võng w.
Độ cong là tỷ lệ thay đổi góc dốc của mặt cong ứng với khoảng cách dọc
theo đường cong và có giá trị bằng nghịch đảo của bán kính cong. Theo giả thiết 1
của mục 2.1.2 thì bình phương của độ dốc có thể bỏ qua, do đó tích phân từng phần
của (2.3) biểu diễn độ cong của tấm. Gọi độ cong tại mặt trung bình của tấm là κ :
1 ∂ ∂w
= (
)= κ x
rx ∂x ∂x

1 ∂ ∂w
)= κ y
= (
ry ∂y ∂y

1 ∂ ∂w
= (
) = κ xy
rxy ∂x ∂y
và ta có κ xy = κ yx .
Quan hệ biến dạng - độ cong được biểu diễn:

ε x =− z κ x ;

ε y =− z κ y ;

γ xy =−2 z κ xy

(2.4)

2.1.4 Ứng suất và nội lực trong tấm

Sử dụng định luật Hooke dạng ngược cho vật liệu đồng chất đẳng hướng,
chú ý rằng σ z = 0 , sử dụng (2.3) ta có:
σx =

E
E
∂2w ∂2w
ε
+νε
=−
+ν 2 )
(
)
z(
y
∂y
1−ν 2 x
1−ν 2 ∂x 2

E

E
∂2w ∂2w
σy =
+ν 2 )
( ε +νε x ) =−
z(
∂x
1−ν 2 y
1−ν 2 ∂y 2
E ∂2w
τ xy = G γ xy =−
z
1+ν ∂x∂y

với G =

E
là modul đàn hồi trượt.
2( 1+ν )

Trang 10

(2.5)


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

Ta nhận thấy rằng ứng suất triệt tiêu tại mặt trung bình và biến đổi tuyến tính

theo chiều dày tấm. Các ứng suất phân bố theo chiều dày tấm tạo ra moment uốn,
moment xoắn và lực cắt thẳng đứng phân bố trên một đơn vị chiều dài gọi là nội
lực. Tích phân các thành phần ứng suất theo chiều dày tấm ta được :
⎧ M x ⎫ t ⎧σ x ⎫
⎪
⎪ 2⎪ ⎪
⎨ M y ⎬ = ∫ ⎨σ y ⎬ zdz
⎪
⎪ −t ⎪ ⎪
⎩ M xy ⎭ 2 ⎩τ xy ⎭

M xy = M yx

Với

(2.6a)

và
t

⎧Qx ⎫ 2 ⎧τ xz ⎫
⎨ ⎬ = ∫ ⎨ ⎬dz
⎩Qy ⎭ t ⎩τ yz ⎭
−

(2.6b)

2

Thay các phương trình (2.5) vào (2.6a) ta nhận được các thành phần moment

theo độ cong và độ võng :
M x =− D( κ x +νκ y ) =− D(

∂2w ∂2w
+ν 2 )
∂x 2
∂y

∂2w ∂2w
M y =− D( κ y +νκ x ) =− D( 2 +ν 2 )
∂y
∂x

(2.7)

∂2w
M xy =− D( 1−ν )κ xy =− D( 1−ν )
∂x∂y
Et 3
Với D =
là độ cứng khi uốn của tấm.
12(1 −ν 2 )

Từ (2.5) và (2.7) ta có quan hệ giữa ứng suất và moment :
σx =

12 M x z
;
t3


σy =

12 M y z
t

3

;

τ xy =

12 M xy z
t3

(2.8)

t
Ứng suất lớn nhất tại mặt trên và dưới của tấm (tại z =± ).
2

Để tính các thành phần lực cắt thẳng đứng ta xét sự biến đổi ứng suất bên
trong tấm. Các thành phần ứng suất (và cả nội lực) nói chung biến đổi từ điểm này

Trang 11


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết


sang điểm khác trong tấm chịu tải trọng. Sự biến đổi này tuân theo điều kiện cân
bằng tĩnh mà dạng đầy đủ của các điều kiện này thiết lập nên các phương trình cân
bằng của tấm chịu tải trọng.
Xét một phần tử dxdy của tấm chịu tải trọng phân bố trên đơn vị diện tích p
như hình 2.2. Giả sử rằng p gồm trọng lượng bản thân tấm (là nhỏ so với p) không
làm ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả. Chú ý rằng phần tử là rất nhỏ, để đơn
giản hóa các lực và moment có thể xem như phân bố đều trên từng mặt. Trên hình
vẽ chúng được biểu diễn bởi vector đơn có giá trị trung bình đặt tại giữa mặt.

Hình 2.2. Biểu diễn các thành phần nội lực trong phần tử tấm

Sự biến đổi các thành phần nội lực ( Mx chẳng hạn) có thể biễu diễn bởi khai
triển Taylor ngắn gọn :

Mx +

∂M x
dx ( đạo hàm riêng được sử dụng vì Mx là
∂x

hàm của x và y). Biểu diễn tương tự cho các thành phần nội lực cịn lại ta có biến
đổi nội lực được thể hiện như hình 2.2.
Điều kiện tổng hình chiếu các lực lên phương z bằng không cho ta :
∂Q
∂Qx
dxdy + y dxdy + pdxdy = 0
∂x
∂y

hay :


∂Qx ∂Qy
+
+ p =0
∂x ∂y

(2.9a)

Cân bằng moment theo trục x cho bởi:

Trang 12


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

∂M xy
∂M y
dxdy +
dxdy − Qy dxdy = 0
∂x
∂x

hay :

∂M xy ∂M y
+
− Qy = 0
∂x

∂y

(2.9b)

Tích của các thành phần vơ cùng bé được bỏ qua.
Tương tự từ cân bằng moment theo trục y ta có :
∂M xy ∂M x
+
− Qx = 0
∂y
∂x

(2.9c)

Thay các thành phần Qx , Qy từ (2.9b) và (2.9c) vào (2.9a) ta được :
∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
+2
+
=− p
∂x∂y
∂x 2
∂y 2

(2.10)

Đây là phương trình vi phân cân bằng của tấm mỏng chịu uốn.
Biểu diễn các thành phần Qx , Qy theo hàm độ võng từ (2.9b), (2.9c) và
(2.7) :
∂ ∂2w ∂2w

∂
( 2 + 2 ) =− D ( ∇ 2 w )
∂x ∂x ∂y
∂x

(2.11)

∂ ∂2w ∂2w
∂
Qy =− D ( 2 + 2 ) =− D ( ∇ 2 w )
∂y ∂x ∂y
∂y

(2.12)

Qx =− D

Với : ∇ 2 =

∂2 ∂2
+
là tốn tử Laplace.
∂x 2 ∂y 2

2.1.5 Phương trình vi phân chủ đạo của độ võng tấm

Thay các thành phần moment từ (2.7) vào (2.10) ta có phương trình vi phân
cân bằng biễu diễn theo độ võng tấm :
∂4w
∂4w ∂4w p

+2 2 2 + 4 =
∂x 4
∂x ∂y ∂y D

(2.13)

Trang 13


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

Phương trình này được Lagrange đưa ra đầu tiên vào năm 1811, có thể viết
dưới dạng rút gọn : ∇ 4 w =

p
với ∇ 4 =∇ 2∇ 2 = ( ∇ 2 )2
D

Trường hợp không có tải trọng ngang tác dụng :
∂4w
∂4w ∂4w
+
2
+
=0
∂x 4
∂x 2∂y 2 ∂y 4


(2.14)

2.1.6 Các điều kiện biên trên chu vi tấm

Phương trình vi phân cân bằng được thỏa mãn bên trong tấm (2.13) nhận
được ở trên cũng phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tương ứng với các lực và
chuyển vị tại biên.
Đối với tấm, phương trình (2.13) cần hai điều kiện biên được thỏa mãn tại
từng cạnh. Các điều kiện biên này có thể được cho bởi độ võng và góc xoay, hoặc
lực và moment hay đơi khi kết hợp cả hai. Sự khác biệt cơ bản giữa điều kiện biên
áp đặt lên tấm và lên dầm chính là sự tồn tại dọc theo cạnh tấm các moment xoắn.
Có thể biểu diễn các moment xoắn này bằng các cặp lực cân bằng. Sự thay thế này
là nguyên nhân của sự phân bố ứng suất và biến dạng chỉ trong vùng trung bình của
biên, theo nguyên lý St.Venant.
Xét điều kiện biên cho tấm chữ nhật có cạnh a, b song song với trục x,y
0

a
x

b
y

Hình 2.3 Các dạng điều kiện biên của tấm
Cạnh biên ngàm (tại x=0) : khi đó liên kết ngăn cản mọi chuyển vị thẳng và

xoay trong mặt phẳng xz. Tức cần có :
w=0 và

∂w

(tại x=0)
∂x
Trang 14


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

Cạnh biên tựa cố định (tại y=0) : trên cạnh khơng có chuyển vị đứng và

moment uốn My . Tức là :
w=0 và M y =− D(

∂2w ∂2w
+ν 2 ) = 0 (tại y=0)
∂y 2
∂x

∂2w ∂2w
+ν 2 = 0
Hay : w=0 và
∂y 2
∂x

Cạnh biên tự do (tại x=a): Rõ ràng rằng trên cạnh biên tự do các thành

phần M x , Qx , M xy phải bằng zero. Bằng việc thay thế M xy bằng cặp ngẫu lực cân
bằng và các lực ngang phân bố bằng lực tập trung tương đương, kết hợp với phương
trình vi phân tấm ta có được điều kiện biên cho cạnh tự do :

∂2w ∂2w
∂3w
∂3w
+ν
=
0
và
+
(
2
−ν
)
= 0 (tại x=a).
∂x 2
∂y 2
∂x 3
∂x∂y 2

Cạnh biên ngàm trượt (y=b): chuyển vị đứng không bị cản trở nhưng góc

xoay bị ngăn cản. Do đó ta có :
∂w
∂3w
∂3w
= 0 và
+( 2 −ν )
= 0 (tại y=b).
∂x
∂x 3
∂x∂y 2


2.2 Mơ hình vật liệu cho tấm BTCT [1,10,14]
2.2.1 Định luật Hooke tổng quát

Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính, quan hệ ứng suất - biến dạng là quan hệ
thuần nhất tuyến tính. Quan hệ này được Robert Hooke (1678) trình bày đầu tiên
khi nghiên cứu sự làm việc của các lò xo.
Định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng chỉ số:
σij = Cijkl ε kl +σij0

(2.15)

Trong đó: σij0 là ứng suất ban đầu của vật thể. Từ giờ trở đi ta giả sử ứng suất
ban đầu trong vật thể σij0 = 0 và như thế Định luật Hooke có thể viết lại dưới dạng
thu gọn là:
σij = Cijkl ε kl

(2.16a)
Trang 15


Chương 2

Các cơ sở lý thuyết

C là tensor bậc 4 của các đại lượng vật liệu còn gọi là tensor độ cứng

(stiffness tensor) gồm 81 thành phần. Do tính đối xứng của tensor ứng suất và tensor
biến dạng ( σij =σ ji ; ε kl =εlk ) mà C cũng là tensor đối xứng, nên C chỉ có 21 thành
phần là độc lập tuyến tính và : Cijkl = Cklij

Biểu diễn các thành phần ứng suất và biến dạng từ dạng chỉ số kép sang dạng
chỉ số đơn ( Voigt-Kelvin ) theo quy luật:
σ1 =σ11 , σ2 =σ22 , σ3 =σ33 , σ4 =σ23 , σ5 =σ13 , σ6 =σ12
ε1 =ε11 , ε 2 =ε 22 , ε3 =ε33 , ε 4 = 2ε 23 , ε5 = 2ε13 , ε6 = 2ε12
11→1 , 22 → 2 , 33 → 3 , 23 → 4 , 13 → 5 , 12 → 6

Như vậy định luật Hooke trở thành:
σi = Cij ε j

( i,j = 1,2,...,6 )

(2.16b)

Với: Cij = C ji
Hay ở dạng ma trận:
⎧ σ1 ⎫ ⎡ C11 C12 C13
⎪σ ⎪ ⎢
C22 C23
⎪ 2⎪ ⎢
C33
⎪⎪ σ3 ⎪⎪ ⎢
⎨ ⎬= ⎢
⎪σ 4 ⎪ ⎢
⎪ σ5 ⎪ ⎢
sym
⎪ ⎪ ⎢
⎪⎩σ6 ⎪⎭ ⎣⎢

C14
C24

C34
C44

C15
C25
C35
C45
C55

C16 ⎤ ⎧ ε1 ⎫
C26 ⎥⎥ ⎪⎪ε 2 ⎪⎪
C36 ⎥ ⎪⎪ε3 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
C46 ⎥ ⎪ε 4 ⎪
C56 ⎥ ⎪ε5 ⎪
⎥⎪ ⎪
C66 ⎦⎥ ⎩⎪ε 6 ⎭⎪

(2.16c)

Như vậy, đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính bất kỳ có 21 hằng số đàn hồi độc lập.
2.2.2 Vật liệu đàn hồi trực hướng

Khi ba mặt phẳng của hệ trục là đối xứng lẫn nhau, số hằng số đàn hồi độc
lập là 9 và vật liệu gọi là vật liệu trực hướng (orthotropic material). Quan hệ ứng
suất - biến dạng theo định luật Hooke cho vật liệu trực hướng là:

Trang 16