Đề thi môn Lý thuyết Galois năm học 2013 -2014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (76.09 KB, 1 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Trường ĐHSP Hà Nội
Khoa Toán - Tin
— *** —
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
——-
****——-Đề thi mơn Lí thuyết Galois
Khoá K61, thời gian: 120 phút
Đề số 1
Câu 1. Cho trường E là một mở rộng của trườngK và u∈E là một phần tử đại
số trên K. Giả sử P(x) ∈ K[x] là một đa thức nhận u làm nghiệm. Chứng
minh rằng:
(i) P(x)là một đa thức tối tiểu của u (đa thức có bậc thấp nhất) khi và chỉ
khi P(x) bất khả quy trên K.
(ii) Nếu P(x)là một đa thức tối tiểu của uthì K(u) =K[u]∼=K[x]/(P(x))và
[K(u) :K] = degP(x).
(iii) Tập tất cả các phần tử của E đại số trên K lập thành một trường con
của E.
Câu 2. Tìm một đa thức bất khả qui trên trường các số hữu tỷ nhận
cos2π
15 +isin
2π
15 làm nghiệm.
Câu 3. Cho <sub>Q</sub> là trường các số hữu tỷ và E =<sub>Q</sub>(√2 +√5); F =<sub>Q</sub>(√5
2).
(i) Chứng minh rằng E =<sub>Q</sub>(√2,√5) và E là một mở rộng Galois của <sub>Q</sub>.
(ii) Chứng minh rằng nếu một đoạn thẳng có độ dài d∈E thì nó dựng được
bằng thước kẻ và compa.
(iii) Chứng minh rằng F không phải là một mở rộng Galois của <sub>Q</sub>.
</div>
<!--links-->
