<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Dịng cho c¡c lỵp khoa i»n-i»n tû

8-2018

Chó ỵ ối vợi sinh viản

1. Ti liằu ny ữủc biản soÔn cho cĂc sinh viản khoa
iằn-iằn tỷ sỷ dửng trong hồc phƯn XĂc suĐt thống
kả. CĂc bi têp Ơy ÷đc sû dưng chung trong c¡c
gií b i tªp cõa håc phƯn ny. Yảu cƯu và viằc chuân
b bi têp cho tứng tuƯn s ữủc giÊng viản thổng bĂo
trỹc tiáp cho sinh viản.

1. Ôi cữỡng và lỵ thuyát XĂc suĐt

Bi 1.1. Số iằn cừa mởt thnh phố gỗm 9 chỳ số
vợi chỳ số Ưu tiản l số 4. Mởt ngữới ch nhợ ữủc
số iằn thoÔi cƯn gồi thnh phố ny l mởt số l v
số tiáp sau số 4 Ưu tiản cụng l số l. Ngữới õ chồn
ngău nhiản mởt số iằn thoÔi cõ c im ny gồi.
Họi xĂc suĐt cuởc gồi ữủc kát nối chẵnh xĂc l bao
nhiảu?

Bi 1.2. Mët nh  kinh doanh chuyºn ¸n mët cûa
h ng i»n tû cừa ổng ta mởt lổ hng gỗm 100 mĂy
tẵnh bÊng. Sau 10 tuƯn ổng ta ữủc quÊn lỵ cỷa hng
bĂo cĂo rơng  bĂn ữủc 65 mĂy tẵnh bÊng trong số
õ v cỏn lÔi 35 mĂy chữa bĂn ữủc. HÂy tẵnh xĂc

suĐt cừa sỹ kiằn:

a) Mội mởt tuƯn cỷa hng õ Â bĂn ữủc ẵt nhĐt

mởt mĂy tẵnh bÊng cừa lổ hng;

b) Mội mởt tuƯn cỷa hng õ Â bĂn ữủc ẵt nhĐt
hai mĂy tẵnh bÊng cừa lổ hng.

Bi 1.3. Ngữới ta sưp xáp ngău nhiản 10 nhƠn viản

nam v 5 nhƠn viản nỳ trỹc tờng i 15ca liản tiáp,

mội ngữới trỹc mởt ca. Tẵnh xĂc suĐt xÊy ra sỹ
kiằn khổng cõ hai nhƠn viản nỳ no trỹc hai ca liản
tiáp.

Bi 1.4. Mởt website cho php ngữới truy cêp
down-load cĂc ti liằu ữủc t trản õ. Website cung cĐp
cho ngữới cõ nhu cƯu download mội ti liằu mởt mÂ
xĂc nhên thỹc hiằn thừ tửc truy cêp. MÂ xĂc nhên
ny ữủc mởt chữỡng trẳnh chồn ngău nhiản l mởt
dÂy cõ thự tỹ gỗm bốn chỳ số (tứ 0 án 9). HÂy tẵnh
xĂc suĐt cừa cĂc sỹ kiằn:

a) Ngữới truy cêp nhên ữủc mởt m xĂc nhên gỗm

4 chỳ số khĂc nhau.

b) Ngữới truy cêp nhên ữủc mởt m xĂc nhên gỗm
hai cp chỳ số giống nhau.

Bi 1.5. Mởt gõi thổng tin ữủc truyÃn qua 3 bở
phên cừa mởt hằ thống truyÃn tin, õ l bở phên mÂ

hõa, bở phên truyÃn tin, bở phên giÊi mÂ. Biát rơng
xĂc suĐt gâi thỉng tin bà léi t÷ìng ùng khi truy·n qua
3 bở phên õ l: 0,5; 0,2; 0,15. HÂy tẵnh xĂc suĐt sau
khi mởt gõi thổng tin ữủc truyÃn

a) Gõi thổng tin b lội (cõ ẵt nhĐt mởt lội do 3 bở
phên trản gƠy ra).

b) Gõi thổng tin b lội những ch cõ bở phên m hõa
gƠy ra lội.

Bi 1.6. Mởt ởi k thuêt phử trĂch viằc bÊo dữùng
cho4cởt thu phĂt tẵn hiằu viạn thổng. Cho biát rơng

trong mởt nh ký (6 thĂng) xĂc suĐt mội cởt trản
gp phÊi sỹ cố tữỡng ựng l 0,3; 0,25; 0,4; 0,35.

Tẵnh xĂc suĐt º mët ành ký n o §y x£y ra sü ki»n
"Câ duy nhĐt mởt cởt thu phĂt tẵn hiằu gp sỹ cè".
B i 1.7. Mët ëi kÿ thuªt phư tr¡ch vi»c b£o dữùng
cho4cởt thu phĂt tẵn hiằu viạn thổng. Cho biát rơng

trong mët ành ký (6 th¡ng) x¡c su§t º méi cët trản
gp phÊi sỹ cố tữỡng ựng l 0,3; 0,25; 0,4; 0,35.

Tẵnh xĂc suĐt mởt nh ký no Đy xÊy ra sỹ kiằn
"Cõ ẵt nhĐt mởt cởt thu phĂt tẵn hiằu gp sỹ cố ỗng
thới cởt thự ba khổng gp sỹ cố".

Bi 1. 8. Quy trẳnh sÊn xuĐt cĂc bo mÔch chừ cõ

nhỳng bữợc chẵnh nhữ sau: tÔo hẳnh tĐm nÃn, sưp xáp
v hn cĂc linh kiằn cõ kẵch thữợc nhọ bơng robot,
cổng nhƠn lưp t cĂc linh kiằn cõ kẵch thữợc lợn,
kim tra tiảu chuân k thuêt. XĂc suĐt cĂc bữợc
thự nhĐt, thự hai v thự ba Ôt tiảu chuân k thuêt
tữỡng ựng l 0,9; 0,98; 0,87.

a) Tẵnh t lằ sÊn phâm Ôt tiảu chuân k thuêt (khổng
cõ lội k thuêt bữợc no).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bi 1.9. Mởt lổ hng gỗm ba loÔi thũng: loÔi I, loÔi II,
loÔi III. Trong õ thũng loÔi I l thũng khổng cõ linh
kiằn no b lội, chiám60%. Thũng loÔi II l thũng cõ

1 linh kiằn b lội, chiám30%. Thũng loÔi III l  thịng

câ 2 linh ki»n bà léi, chi¸m 10% . Biát rơng mội mởt

thũng hng cõ chựa 20 linh kiằn. LĐy mởt thũng hng,
rỗi tứ thũng õ chồn ngău nhiản 2 linh kiằn kim
tra.

a) Tẵnh xĂc suĐt 2 linh ki»n l§y ra kiºm tra l  linh
ki»n tèt.

b) Cho biát 2 linh kiằn ữủc lĐy ra l linh kiằn tốt.
Tẵnh xĂc suĐt thũng hng ữủc kim tra l thũng
hng loÔi I.

Bi 1.10. Mởt nh mĂy sÊn xuĐt 2 loÔi ắa tứ, trong

õ cõ 25% l ắa Backup (dũng phửc vử cĂc hoÔt

ởng ghi) v 75% l ắa Main storage (dũng lữu

trỳ phửc vử cĂc hoÔt ởng ồc dỳ liằu). XĂc suĐt
tuời thồ cừa ắa Backup v ắa Main storage lợn hỡn
5 nôm lƯn lữủt l0.95v 0.995.

a) LĐy ngău nhiản 1 chiác ắa tứ kim tra, tẵnh xĂc
suĐt chiác ắa õ cõ tuời thồ lợn hỡn 5 nôm.

b) LĐy ngău nhiản 1 chiác ắa tứ kim tra, biát
rơng chiác ắa õ cõ tuời thồ nhọ hỡn 5 nôm. Tẵnh
xĂc suĐt õ l ắa Main storage.

Bi 1.11. Mởt trÔm ch phĂt hai loÔi tẵn hiằu A v
B vợi xĂc suĐt tữỡng ựng l 0,84 v 0,16. Do nhiạu

trản ữớng truyÃn nản15% tẵn hiằu A b mo v thu

ữủc nhữ l tẵn hiằu B, cỏn10% tẵn hiằu B b mo v

thu ữủc nhữ l tẵn hiằu A.

a) Tẳm xĂc suĐt thu ữủc tẵn hiằu A.

b) GiÊ sỷ thu ữủc tẵn hiằu A, tẵnh xĂc suĐt õ
cụng l tẵn hiằu phĂt.

Bi 1.12. Cho biát t lằ iằn thoÔi Nokia cõ sỷ dửng

vọ bÊo vằ l 0,85 v t lằ iằn thoÔi Nokia khổng sỷ

dửng vọ bÊo vằ l 0.15. XĂc suĐt mởt chiác iằn

thoÔi Nokia câ vä b£o v» bà häng m n h¼nh khi cõ
va êp mÔnh l 0,1. XĂc suĐt mởt chiác iằn thoÔi

Nokia khổng cõ vọ bÊo vằ b họng mnh hẳnh khi v
êp mÔnh l0,3.

HÂy tẵnh xĂc suĐt mởt chiác iằn thoÔi Nokia b
họng mn hẳnh khi cõ va êp mÔnh.

Bi 1.13. XĂc suĐt mởt chiác iằn thoÔi Nokia
b họng mn hẳnh vẳ cĂc va êp mÔnh l0,175. Cho

biát t lằ iằn thoÔi Nokia cõ sỷ dửng vọ bÊo vằ l

0,9. XĂc suĐt mởt chiác iằn thoÔi Nokia câ vä

b£o v» bà häng m n h¼nh khi câ va êp mÔnh l0,15.

HÂy tẵnh xĂc suĐt mởt chiác iằn thoÔi khổng cõ
vọ bÊo vằ b họng mn hẳnh khi cõ va êp mÔnh.

Bi 1.14. Cho biát t lằ mĂy t½nh sû dưng h» i·u
h nh Windows XP l  60%, t¿ l» m¡y t½nh sû dưng h»

i·u h nh Windows 8.1 l  40%. XĂc suĐt mởt mĂy

tẵnh sỷ dửng hằ iÃu hnh Windows XP , Windows
8.1 ờn nh trong 2 nôm Ưu sỷ dửng tữỡng ựng l

0,7 v 0,8.

Tẵnh xĂc suĐt mët m¡y t½nh câ h» i·u h nh sû
dưng ên ành trong 2 nôm.

Bi 1.15. Cho biát t lằ mĂy tẵnh b£ng sû döng h»
i·u h nh Cloudo l 70%, t¿ l» m¡y t½nh b£ng sû dưng

h» i·u h nh Kohive l  30%. X¡c suĐt mởt mĂy

tẵnh bÊng cõ hằ iÃu hnh sỷ dửng ờn nh (khổng
phÊi ci t lÔi) trong 2 nôm ¦u ti¶n l  0,85. T¿ l»

sû dưng ên ành cõa c¡c m¡y t½nh b£ng câ h» i·u
h nh Cloudo cao hìn t¿ l» sû dưng ên ành cõa c¡c
m¡y t½nh b£ng cõ hằ iÃu hnh Kohive l 15%.

HÂy tẵnh xĂc suĐt º mët m¡y t½nh b£ng câ h» i·u
h nh Kohive sû dửng ờn nh trong 2 nôm Ưu tiản.
Bi 1. 16. Mởt nh mĂy cõ 3 phƠn xững I, II,
III cũng sÊn xuĐt mởt loÔi linh kiằn iằn tỷ vợi

số lữủng sÊn xuĐt tữỡng ựng l 36%, 34%, 30%.

T lằ phá phâm cừa 3 phƠn xững õ lƯn lữủt l

0,12; 0,1; 0,08.

a) Tẳm t lằ phá phâm chung cừa nh mĂy.

b) L§y mët linh ki»n ra kiºm tra th§y â l  sÊn phâm
tốt. Tẵnh xĂc suĐt linh kiằn õ do phƠn xững thự
2 sÊn xuĐt.

Bi 1.17. Mởt nh mĂy lưp r¡p TV sû dưng c¡c con
ch½p i»n tû do ba nh mĂy A, B v C sÊn suĐt vợi
t lằ tữỡng ựng l 50%;10%v40%. XĂc suĐt lội cừa

cĂc con chẵp do nh mĂy A, B v C sÊn suĐt tữỡng
ựng l 0.05; 0.02 v 0.08. Chồn ngău nhiản mởt con

chẵp kim tra.

a) Tẵnh xĂc suĐt con chip õ b lội.

b) Biát rơng con chẵp õ b lội. Tẵnh xĂc suĐt con
chẵp õ do nh mĂy B sÊn suĐt.

Bi 1.18. Trong mởt ca lm viằc, mởt bÊng mÔch
iằn tỷ muốn hoÔt ởng tốt thẳ 7 con chẵp cừa nõ
phÊi hoÔt ởng. tông ở tin cêy cho bÊn mÔch
ngữới ta thiát ká bờ sung thảm vo bÊng mÔch 1 con
chẵp. Náu 1 trong 7 con chẵp cừa bÊng mÔch b họng
thẳ con chẵp lưp thảm ny s hoÔt ởng thay thá cho
con chẵp b họng õ. Cho biát xĂc suĐt mởt con
chẵp b họng trong mởt ca lm viằc l p= 0.1.

HÂy tẵnh xĂc suĐt bÊng mÔch iằn tỷ hoÔt ởng
tốt trong mởt ca lm viằc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

CĂc gõi thổng tin ữủc truyÃn ởc lêp v náu gõi
thổng tin no thĐt thoĂt s ữủc truyÃn lÔi.

a) HÂy tẵnh xĂc suĐt mÔng mĂy tẵnh truyÃn mët
email câ chùa 1000 gâi thæng tin m  khæng bà th§t
tho¡t mët gâi n o.

b) Truy·n 5 email, méi email câ 1000 gõi thổng tin.
HÂy tẵnh xĂc suĐt cõ 2 email cõ gõi thổng tin b
thĐt thoĂt.

Bi 1.20. Mởt kảnh thổng tin truyÃn mởt Block gỗm
100 bit vợi xĂc suĐt g°p léi ð méi bit l 0.01.

a) N¸u trong mët Block câ 1 ho°c 0 bit bà léi th¼ bë
thu sâng s tiáp nhên Block õ. HÂy tẵnh xĂc suĐt
Block ữủc bở thu sõng tiáp nhên.

b) Náu cõ nhiÃu hỡn 1 bit b truyÃn lội thẳ Block õ
phÊi truyÃn lÔi. HÂy tẵnh xĂc suĐt mởt Block b
truyÃn lÔi úng 3 lƯn, cho biát cĂc lƯn truyÃn l ởc
lêp vợi nhau.

Bi 1.21. Thữ cƯn chuyn phĂt mởt bữu iằn trong
mởt ngy ữủc chia thnh ba loÔi:10%l thữ "chuyn

phĂt nhanh", 60% l thữ "bÊo Êm" v 30% l thữ

"bẳnh thữớng".

a) Gi£ sû trong mët ng y b÷u i»n câ 100 th÷ cƯn
chuyn phĂt. Tẵnh xĂc suĐt trong 100 thữ õ cõ 15
th÷ "chuyºn ph¡t nhanh".

b) Gi£ sû trong mët ng y b÷u iằn cõ 20 thữ cƯn
chuyn phĂt. Tẵnh xĂc suĐt trong 20 th÷ â câ 4
th÷ "chuyºn ph¡t nhanh", 6 thữ "bÊo Êm" v 10 thữ
"bẳnh thữớng".

2. Ôi lữủng ngău nhiản rới rÔc

Bi 2.1. CĂc lội cừa mởt kảnh thổng tin thữớng ữủc
tÔo trong quĂ trẳnh truyÃn tin v ữủc phĂt hiằn bi
bở phên phĂt hiằn xung b mĐt. Số cĂc lội khi truyÃn
8 bit l mởt bián ngău nhiản cõ phƠn phối xĂc suĐt
l

F(x) =

0 náu x₆1

0.7 náu 1₆x <4
0.9 náu 4₆x <7
1 náu x >7.

HÂy tẵnh cĂc xĂc su§t sau
a) P(X 64), P(X >4).
b) P(36X 66).

B i 2.2. Mët modem truyÃn mởt tẵn hiằu cõ iằn Ăp

+2Vol án mởt kảnh thổng tin. Kảnh thổng tin cởng

thảm vo tẵn hiằu ny mởt nhiạu cõ giĂ tr iằn Ăp
thuởc têp {0,1,2,3} v vợi xĂc suĐt tữỡng ựng

l {0,4; 0,3; 0,2; 0,1}. Gồi Y l bián ngău nhiản ch

giĂ tr iằn Ăp truyÃn ra cừa kảnh thổng tin.

a) Tẳm bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa bián ngău nhiản

Y.

b) Tẵnh giĂ tr trung bẳnh v phữỡng sai cừa bián
ngău nhiản Y.

c) Tẳm hm phƠn phối xĂc suĐt F(y) cừa bián ngău

nhiản Y v v ỗ th cừa hm F(y).

Bi 2.3. Mởt ngữới bĂn ç chìi câ i·u khiºn cho
tr´ em dịng c¡c vi¶n pin 1,5v lưp km cĂc mõn
ỗ chỡi mẳnh bĂn. Ban Ưu ngữới õ cõ mởt hởp pin
tiu 1,5v gỗm 25 vi¶n pin con thä v  3 vi¶n pin con
â. Sau khi bĂn mởt số ỗ chỡi thẳ ngữới õ Â lĐy ra
ngău nhiản 12viản pin lưp km theo. GồiX l Ôi

lữủng ngău nhiản ch số pin con thọ Â ữủc sỷ dửng.
HÂy lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh ký

vồng, phữỡng sai cừa X.

Bi 2.4. Trong mởt ngy, mởt trung tƠm sỷa chỳa
iằn thoÔi di ởng cõ 14 khĂch hng gỷi lÔi iằn thoÔi
sỷa chỳa. Trong 14 iằn thoÔi õ cõ 10 chiác phÊi
thay mn hẳnh cÊm ựng v cõ bốn chiác thay camera.
Chi phẵ thay mội mn hẳnh cÊm ựng l 1200 (nghẳn
ỗng), chi phẵ thay camera l 800 (nghẳn ỗng). SĂng
hổm sau cõ6khĂch hng án trung tƠm nhên lÔi mĂy

v thanh toĂn tiÃn. GồiX l Ôi lữủng ngău nhiản ch

tờng số tiÃn thanh toĂn cừa6khĂch hng õ. HÂy lêp

bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh trung bẳnh

cừa X.

Bi 2.5. Mởt cổng ty cõ 3 mĂy tẵnh hoÔt ởng ởc
lêp vợi nhau. X¡c su§t º trong mët ng y l m vi»c
c¡c m¡y tẵnh õ gp sỹ cố lƯn lữủt l 0.01, 0.012 v
0.015. Gồi X l bián ngău nhiản ch số mĂy tẵnh hoÔt

ởng tốt trong mởt ngy.

a) HÂy lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X.

b) Trung bẳnh mởt ngy lm viằc cõ bao nhiảu mĂy
b họng?

c) Tẵnh xĂc suĐt trong mët ng y l m vi»c câ khæng
qu¡ 2 m¡y bà họng.

Bi 2. 6. Mởt tin nhưn ữủc truyÃn lƯn lữủt qua
4 cờng thổng tin trản mởt ữớng truyÃn. Náu tin
nhưn truyÃn qua cờng trữợc khổng b lội thẳ mợi ữủc
truyÃn tợi cờng sau. XĂc suĐt truyÃn b lội cừa 4 cờng
õ lƯn lữủt l 0.008, 0.01, 0.015 v 0.02. Gồi X l  sè

cêng thỉng tin m  tin nh­n ÷đc truy·n qua khổng
b lội.

a) HÂy lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cõa X.

b) T½nh E(X)v  V(X).

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

B i 2.7. Mët k thuêt viản iằn tỷ lăn trong mởt
hởp 3 tư i»n häng cịng vỵi 15 tư i»n cán sû dưng

tèt. Anh ta c¦n dịng mët tư i»n cán sû dửng tốt
lưp vo mởt bÊng mÔch. Do õ anh ta chồn ngău
nhiản tứng tử iằn trong hởp kim tra bơng ỗng
hỗ vÔn nông. Náu tử iằn ữủc chồn cỏn sỷ dửng tốt
thẳ dứng lÔi v dũng luổn tử iằn õ, trĂi lÔi náu l
tử Â họng thẳ loÔi ra. GồiX l Ôi lữủng ngău nhiản

ch số tử iằn m anh ta phÊi kim tra. HÂy lêp bÊng
phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh giĂ tr trung bẳnh

cừa X.

Bi 2.8. TÔi mởt tờng kho lợn ngữới ta dũng mởt
cƯn trửc sỷ dửng nam chƠm iằn bốc dù hng.
Mội thĂng mởt lƯn ngữới ta kim tra cĂc tiảu chuân
an ton cừa cƯn trửc. Cử th nhƠn viản k thuêt lƯn
lữủt kim tra hằ thống ưc quy dỹ phỏng, h» thèng
i·u khiºn, h» thèng n¥ng v  h» thèng chuyºn ởng.
Náu xuĐt hiằn hằ thống no khổng Ôt tiảu chuân th¼
khỉng kiºm tra núa v  thỉng b¡o cho ëi sûa chỳa,
bÊo dữùng. XĂc suĐt cĂc hằ thống trản Êm bÊo
ữủc cĂc tiảu chuân an ton lƯn lữủt l 0,9; 0,93;
0,84;0,75. GồiXl Ôi lữủng ngău nhiản ch số lữủng

hằ thống Ôt tiảu chuân trong mội ký kim tra. HÂy
lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừaX v tẵnh _EX,_VX.

Bi 2. 9. Kát nối giỳa mĂy tẵnh v mÔng internet
trÔng thĂi khổng cõ tẵn hiằu liản kát ữủc duy trẳ
trong thới gian 10 phút. tông thới gian duy trẳ
ữớng mÔng mởt mĂy tẵnh chÔy thừ tửc refresh bơng
cĂch truyÃn cĂc tẵn hiằu tợi mĂy chừ cừa nh cung
cĐp dch vử. XĂc suĐt mởt tẵn hiằu ữủc truyÃn
thnh cổng l 0,74, thíi gian º truy·n th nh cỉng

l  15 gi¥y. C¡c tẵn hiằu ữủc truyÃn 15giƠy mởt lƯn

cho án khi thnh cổng.

a) Cho biát thới im mĂy tẵnh bưt Ưu truyÃn tẵn
hiằu lƯn thự nhĐt l 8 phút 45 giƠy (tẵnh tứ thới im
khổng cõ tẵn hiằu liản kát). Tẵnh xĂc suĐt thừ tửc
refresh cừa mĂy tẵnh thỹc hiằn thnh cổng viằc duy
trẳ ữớng mÔng.

b) GồiX l Ôi lữủng ch số tẵn hiằu ữủc truyÃn khi

thỹc hiằn thừ tửc refresh. HÂy lêp bÊng phƠn phối
xĂc suĐt cừa X.

Bi 2.10. TÔi mởt siảu th lợn, chữỡng trẳnh xỷ lỵ Ênh
cõ th ồc ữủc chẵnh xĂc số bin kim soĂt tứ Ênh
chửp biºn sè xe cõa kh¡ch h ng khi xe ÷đc ÷a vo
bÂi xe vợi xĂc suĐt0,845. ối vợi cĂc bin số xe m

chữỡng trẳnh khổng ồc ữủc chẵnh xĂc tứ Ênh chửp,

ngữới trổng xe phÊi nhêp bin số vo hằ thống theo
cĂch lm thừ cổng. GồiX l Ôi lữủng ngău nhiản ch

số lữủng bin kim soĂt ữủc ồc chẵnh xĂc tứ Ênh

chửp giỳa hai lƯn phÊi nhêp thừ cổng. HÂy lêp bÊng
phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh trung bẳnh cõa X.

B i 2.11. Mët robot cỉng nghi»p câ nhi»m vư sưp
xáp mởt số linh kiằn lản cĂc bÊng mÔch trong quĂ
trẳnh chá tÔo cĂc bÊng mÔch iằn tỷ. XĂc suĐt cĂc
linh kiằn õ ữủc sưp xáp chẵnh xĂc trản mội bÊng l

0,9955. Náu xuĐt hiằn mởt bÊng cõ linh kiằn lưp sai

v trẵ thẳ s tián hnh kim tra k thuêt ối vợi robot
õ. Gồi X l số bÊng mÔch cõ cĂc linh kiằn ữủc sưp

xáp chẵnh xĂc giỳa hai lƯn kim tra. HÂy lêp bÊng
phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh trung bẳnh cừa X.

Bi 2.12. Mởt cỉng ty dàch vư t i ch½nh sû dưng h»
kh¡ng léi (Fault-Tolerant System) vợi 3 mĂy tẵnh
kát nối dch vử vợi khĂch hng. Náu mởt mĂy tẵnh
ang hoÔt ởng gp sỹ cố thẳ mởt trong hai mĂy tẵnh
cỏn lÔi s ữủc bêt kát nối dch vử ngay lêp tực v
náu mĂy tẵnh thự hai cụng b họng thẳ mĂy tẵnh thự
ba s ữủc bêt kát nối dch vử. GiÊ sỷ xĂc suĐt
mởt mĂy tẵnh gp sỹ cố trong mët ca l m vi»c l 

10−3, v  vi»c m¡y g°p sỹ cố trong cĂc ca lm viằc l

ởc lêp vợi nhau.

a) Tẵnh xĂc suĐt trong mởt ca lm viằc c£ ba m¡y
·u g°p sü cè.

b) Häi trung b¼nh sau bao nhiảu ca lm viằc thẳ cÊ
ba mĂy tẵnh mợi lÔi cũng gp sỹ cố.

Bi 2.13. Số lữủng khĂch hng truy cêp án mởt
trang Web cừa mởt mĂy chừ l mởt bián ngău nhiản
Poisson vợi trung bẳnh l 30 yảu cƯu trong mởt phút.
a) Tẵnh xĂc suĐt trong khoÊng thới gian 100 giƠy
khổng cõ lữủt khĂch no truy cêp án trang Web õ.
b) Tẵnh xĂc suĐt trong khoÊng thới gian 100 giƠy
cõ tứ 45 án 55 lữủt khĂch truy cêp án trang Web
õ.

Bi 2.14. Cho biát lữủng bÔn åc truy cªp trang b¡o
i»n tû trong mët ng y l  mởt Ôi lữủng ngău nhiản

X cõ phƠn phối Poisson vợi trung bẳnh l 10.000 lữủt.

Mởt banner quÊng cĂo ữủc t vo trang bĂo iằn
tỷ õ vợi chi phẵ quÊng cĂo l Ôi lữủng ngău nhiản

Y xĂc nh bi cổng thựcY = 20.000 + 7X(t½nh theo

VN).

a) T½nh chi ph½ qu£ng c¡o trung bẳnh trong mởt ngy
cừa banner quÊng cĂo. Tẵnh phữỡng sai cừa chi phẵ
quÊng cĂo õ.

b) Kỵ hiằu p l xĂc suĐt chi phẵ quÊng cĂo trong

mởt ngy vữủt mực 88.500 VN. HÂy lêp cổng thực

biu diạn p v tẵnh theo p xĂc suĐt trong mởt

tuƯn cõ úng hai ngy cõ chi phẵ quÊng cĂo vữủt mực

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

B i 2.15. L÷u l÷đng giao thỉng th÷íng ÷đc mỉ hẳnh
hõa bi phƠn phối Poisson. Dỹa vo bông ghi hẳnh
mởt im giao cưt trản mởt tuyán phố ngữới ta ám
ữủc trung bẳnh trong 1 phút cõ 6 ổ tổ i qua iºm
giao c­t â. º c i °t thíi gian hủp lỵ cho n tẵn
hiằu giao thổng, cĂc k sữ cƯn tẵnh cĂc xĂc suĐt sau
a) Tẵnh xĂc suĐt khæng câ xe æ tæ n o i qua iºm
giao c­t õ trong thới gian 30 giƠy.

b) Tẵnh xĂc suĐt cõ ẵt nhĐt 3 xe ổ tổ i qua im
giao c­t â trong thíi gian 40 gi¥y.

B i 2.16. Mët cỉng ty dch vử cõ 4 mĂy chiáu cho
thuả vợi giĂ 550.000 ỗng/1 ngy. Cho biát chi phẵ

cho mội mĂy (gỗm khĐu hao ti sÊn v chi phẵ quÊn
lỵ) l120.000 ỗng/1 ngy. Số nhu cƯu gồi án cổng

ty thuả mĂy mội ngy l mởt Ôi lữủng ngău nhiản

X cõ phƠn phối Poisson vợi tham số l = 3,6.

a) Tẵnh xĂc suĐt cÊ4 mĂy chiáu cừa cổng ty ữủc

thuả trong mởt ngy.

b) Gồi Y l số tiÃn lÂi nhên ữủc tứ viằc cho thuả

cĂc mĂy chiáu trong mởt ngy. HÂy tẵnh giĂ tr trung
bẳnh cừa Y.

Bi 2.17. é mởt tờng i Bữu iằn, cĂc cuởc iằn
thoÔi gồi án xuĐt hiằn ngău nhiản, ởc lêp vợi nhau
v tốc ở trung bẳnh 2 cuởc gồi trong mởt phút.
a) Tẳm xĂc suĐt cõ úng 5 cuởc iằn thoÔi trong 2
phút.

b) Tẳm xĂc suĐt khổng cõ cuởc iằn thoÔi no trong
khoÊng thới gian 40 giƠy.

c) Tẳm xĂc suĐt cõ ẵt nhĐt mởt cuởc iằn thoÔi trong
khoÊng thới gian 20 giƠy.

Bi 2.18. Mởt cỷa hng bĂn ỗ iằn tỷ gỗm hai mt
hng l: tivi v từ lÔnh. Số tivi v từ lÔnh bĂn trong
mởt ngy Ãu cõ phƠn phối Poisson v chúng ởc lêp
vợi nhau. Trung bẳnh mội ngy bĂn ữủc 3 chiác tivi

v 2 chiác từ lÔnh. Tẳm xĂc suĐt mởt ngy cỷa
hng bĂn ữủc ẵt nhĐt 6 chiác (tivi v từ lÔnh).
Bi 2.19. XĂc suĐt lm thĐt thoĂt mởt gõi thổng tin
cừa mởt ữớng truyÃn mÔng l1%, viằc b thĐt thoĂt

cừa cĂc gõi thổng tin l ởc lêp vợi nhau v gõi thổng
tin no b thĐt thoĂt s ữủc truyÃn lÔi. Gi£ sû câ
mët th÷ i»n tû chùa 100 gâi thỉng tin ữủc truyÃn
qua mÔng.

a) Tẵnh xĂc suĐt cõ ẵt nhĐt hai gõi thổng tin b
truyÃn lÔi.

b) HÂy tẵnh trung bẳnh v ở lằch chuân cừa số gõi
thổng tin b truyÃn lÔi.

c) Mởt thữ iằn tỷ b coi l lội náu cõ quĂ3% số gõi

thổng tin b thĐt lÔc. Náu truy·n 10 th÷ i»n tû, méi
th÷ câ 100 gâi thỉng tin, hÂy tẵnh xĂc suĐt cõ 2
thữ b lội.

Bi 2.20. ữớng dƠy iằn thoÔi mởt quƯy tữ vĐn
khĂch hng mởt sƠn bay cõ thới gian bên chiám

40% têng sè thíi gian. Câ 5 cc gåi i»n ¸n ÷íng

d¥y â ð c¡c thíi iºm kh¡c nhau. Gåi X l số cuởc

gồi kát nối thnh cổng.

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa Ôi lữủng ngău
nhiản X.

b) Tẵnh xĂc suĐt cõ ẵt nhĐt 3 cuởc gồi kát nối ữủc.
Bi 2.21. Mởt trung tƠm lữu trỳ cõ 10000 ắa CD
lữu trỳ số liằu. GiÊ sỷ xĂc suĐt 1 ắa CD b họng
trong mởt ngy trung tƠm hoÔt ởng l p= 0.001.

a) Tẵnh xĂc suĐt trong mởt ngy trung tƠm hoÔt
ởng khổng cõ ắa no b họng.

b) Tẵnh xĂc suĐt trong 2 ngy hoÔt cừa trung tƠm
số ¾a bà häng ½t hìn 5.

B i 2.22. Mët têng  i iằn thoÔi cõ 1000 ữớng
dƠy, xĂc suĐt trong mởt giớ mội ữớng dƠy cõ tẵn
hiằu l 0,001 . Tẵnh xĂc suĐt trong mởt giớ:

a) Cõ 4 ữớng dƠy cõ tẵn hiằu.

b) Cõ khổng ẵt hỡn 3 ữớng dƠy cõ tẵn hiằu.

Bi 2.23. XĂc suĐt mởt iằn thoÔi di ëng bà häng
trong thíi gian b£o h nh l  0,002. Mởt Ôi lỵ bĂn ra

1500 chiác iằn thoÔi õ. Gồi X l số iằn thoÔi b
họng trong thới gian bÊo hnh cừa 1500 chiác ữủc
bĂn ra.

a) HÂy tẵnh giĂ tr trung bẳnh cừa X.

b) Náu số iằn thoÔi b họng trung b¼nh trong thíi
gian b£o h nh l  50 th¼ sè iằn thoÔi bĂn ra tữỡng
ựng l bao nhiảu?

Bi 2.24. CĂc ỗng hỗ tẵnh cữợc iằn tỷ trản cĂc xe
taxi phÊi ÷đc kiºm tra t½nh ch½nh x¡c theo ành ký
6 th¡ng mởt lƯn. Lằ phẵ kim tra nh ký l 180.000
ỗng ối vợi cĂc xe cõ ỗng hỗ Ôt tiảu chuân. CĂc
xe cõ ỗng hỗ khổng Êm bÊo tẵnh chẵnh xĂc thẳ phÊi
sỷa chỳa hoc thay thá v kim tra lÔi nản cõ lằ phẵ
kim tra l 250.000 ỗng. Cho biát xĂc suĐt ỗng
hỗ tẵnh cữợc cừa mội xe b xuống cĐp v mĐt tẵnh
chẵnh xĂc sau mởt nh ký kiºm tra l  0,2. Gåi X l 

têng l» ph½ kiºm tra cừa mởt ởi xe cõ 18chiác.

a) Tẵnh xĂc suĐt xÊy ra sỹ kiằn X nhên giĂ tr

khổng ẵt hỡn 3,4 triằu ỗng.

b) Tẵnh chi phẵ trung bẳnh cho mët ký kiºm tra.
B i 2. 25. Mët chi nh¡nh cõa mởt têp on viạn
thổng phử trĂch 12 cởt thu phĂt t½n hi»u di ëng. C¡c
cët thu ph¡t t½n hi»u n y ÷đc kiºm tra b£o d÷ïng
ành ký 6 th¡ng mët l¦n. Chi phẵ kim tra bÊo dữùng
l Ôi lữủng ngău nhiảnX(tẵnh theo triằu ỗng) ữủc

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

ngău nhiản ch số cởt thu phĂt tẵn hiằu cõ linh kiằn

xuống cĐp cƯn thay thá. XĂc suĐt trong mội ký
kim tra mởt cởt thu phĂt tẵn hiằu cõ linh kiằn xuống
cĐp cƯn thay thá l 0.24.

a) Tẵnh xĂc suĐt số tiÃn chi ph½ cho mët ký kiºm
tra khỉng qu¡ 24 tri»u ỗng.

b) Tẵnh chi phẵ trung bẳnh cho mởt ký kim tra.
3. Ôi lữủng ngău nhiản liản tửc

Bi 3.1. Cho Ôi lữủng ngău nhiản X cõ hm mêt ở
xĂc suĐt l:

f(x) =
(

acosx náu |x|< ₂,
0 náu |x|_>

2.

a) Tẳm hằ sốa v v ỗ th hm số f(x).

b) Tẵnh P(0< X < /4).

c) Tẳm hm phƠn phối xĂc suĐt F(x).

Bi 3.2. Cho h m

F(x) =








0 n¸u x <1

a(x−1)2 _n¸u ₁₆_{x <}₄

1 n¸u x_>4.

a) Tẳm hằ số a F(x) l hm phƠn phối xĂc suĐt

cừa mởt Ôi lữủng ngău nhiản liản tửcX no õ.

b) Vợi a tẳm ữủc, hÂy xĂc nh hm mêt ởf(x)v

tẵnh P{1,5< X <2,5}.
Bi 3.3. Cho hm

f(x) =
(

a.x2 náu 0₆x₆10

0 trong trữớng hủp khĂc.

a) Tẳm a f(x) l hm mêt ở cừa Ôi lữủng ngău

nhiảnX no õ.

b) Tẵnh EX.

c) Tẵnh xĂc suĐt trong 3 php thỷ ởc lêp thẳ cõ
ẵt nhĐt 1 lƯnX nhên giĂ tr trong kho£ng (5; 8).

B i 3.4. Cho h m

f(x) =

( _a

x2 n¸u x>1

0 náu x <1.

a) XĂc nh hơng số a f(x)l hm mêt ở cừa Ôi

lữủng ngău nhiản X no õ.

b) Tẳm hm phƠn phốiF(x)v tẵnh _P{2< X <3}.
c) Tẳm xĂc suĐt trong 5 php thỷ ởc lêp thẳ X

Ãu khổng l§y gi¡ trà trong kho£ng (2; 3).

B i 3.5. Gi£ sû X l Ôi lữủng ngău nhiản liản tửc
cõ phƠn bố Ãu trản [1,5; 5,5].

a) Tẵnh EX,VX.
b) Tẵnh P{X <2,5}.

Bi 3.6. ở dy cừa lợp cÊn quang ữủc trĂng lản
mởt tĐm bĂn dăn tuƠn theo phƠn phối Ãu trản oÔn

[0,20500,2150](ỡn v micromet).

a) Tẳm hm phƠn phối cừa bián ngău nhiản ch ở
dy cừa lợp cÊn quang.

b) Tẳm t lằ số tĐm cÊn quang cõ ở dy lợn hỡn

0,2125 micromet.

c) Tẳm ở dy trung bẳnh v ở lằch chuân cừa ở
dy cừa lợp cÊn quang õ.

Bi 3.7. Hằ thống an ninh tÔi mởt trử s chẵnh cừa
mởt ngƠn hng gỗm 15 bở cÊm bián hỗng ngoÔi mợi

v cĂc thiát b khĂc. Cho biát thới gian sỷ dửngXcừa

mội bở cÊm bián hỗng ngoÔi l mởt Ôi lữủng ngău
nhiản cõ hm mêt ở

f(x) =

0 náu x <1 (nôm),

64

(x+ 1)5 náu x>1 (nôm).

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt bở cÊm bián cõ thới gian sỷ
dửng trản 3 nôm.

b) Sau 3 nôm sỷ dửng số lữủng cÊm bián trong15bở

cÊm bián õ Â phÊi thay thá cõ trung bẳnh l bao
nhiảu.

Bi 3.8. Viằc o Ôc cĂc thổng số vêt lỵ cừa cĂc hằ
thống k thuêt thữớng cõ nhỳng sai số do chẵnh quĂ
trẳnh o Ôc gƠy ra, gồi l sai số o Ôc. CĂc nh
khoa hồc thống kả Â mổ hẳnh hõa nhỳng sai số o
Ôc ny thnh nhỳng phƠn bố xĂc suĐt. GiÊ sỷ sai
số o ¤c X cõa mët h» thèng i»n tû ÷đc mỉ hẳnh

hõa thnh bián ngău nhiản cõ hm mêt ở dÔng

f(x) =
(

k(3x2) náu 1₆x₆1
0, trong trữớng hủp khĂc.

a) HÂy tẳm số thỹc k f(x) l hm mêt ở cừa Ôi

lữủng ngău nhiản X.

b) HÂy tẳm hm phƠn phối xĂc suĐt F(x).

c) HÂy tẵnh xĂc suĐt sai số o Ôc cừa h» thèng câ
gi¡ trà tuy»t èi nhä hìn 1/2.

B i 3.9. Tuời thồ (tẵnh bơng giớ) tẵnh tứ lúc bưt Ưu
sỷ dửng cừa bở phên ồc ắa trong Ưu DVD l bián
ngău nhiản cõ hm mêt ở xĂc suĐt nhữ sau

f(x) =

( ₁

2000e

x

2000 náu x>0

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) HÂy tẳm hm phƠn phối F(x).

b) HÂy tẵnh xĂc suĐt bở phên ồc ắa cừa mởt Ưu
DVD cõ tuời thồ lợn hỡn 1000 giớ.

c) Tẵnh xĂc suĐt bở phên ồc ắa cừa mởt Ưu

DVD họng trữợc 1500 giớ.

d) Tẵnh tuời thồ trung bẳnh v ở lằch chuân cừa tuời
thồ cừa bở phên ồc ắa.

Bi 3.10. GiÊ sỷ tuời thồ (tẵnh bơng nôm) cừa mởt
mÔch iằn tỷ trong mĂy tẵnh l mởt Ôi lữủng ngău
nhiản cõ phƠn bố mụ vợi ký vồng l 6,5. Thới gian
bÊo hnh cừa mÔch iằn tỷ ny l 5 nôm.

HÂy tẵnh xĂc suĐt mÔch iằn tỷ b¡n ra ph£i thay th¸
trong thíi gian b£o h nh.

B i 3.11. GiÊ sỷ thới gian gồi mởt cuởc iằn thoÔi,
tẵnh theo phút l mởt Ôi lữủng ngău nhiản tuƠn theo
phƠn bố mụ vợi tham số= 1₈ . Mởt ngữới án trÔm

iằn thoÔi trữợc bÔn. Tẵnh xĂc suĐt bÔn phÊi ủi:
a) Hìn 10 phót.

b) Tø 5 ¸n 12 phót.

B i 3.12. Thíi gian thüc hi»n thõ tưc nhªp c£ng cõa
méi con t u l mởt Ôi lữủng ngău nhiản X cõ luêt
phƠn bố mụ vợi giĂ tr trung bẳnh l 3 giớ.

a) HÂy xĂc nh hm mêt ở v hm phƠn phối xĂc
suĐt cừa X.

b) Tẵnh xĂc suĐt mởt con tu no õ cõ thới gian

lm thừ tửc nhêp cÊng lợn hỡn 3 giớ.

Bi 3.13. Tuời thồ tẵnh theo nôm sỷ dửng (thới gian
sỷ dửng liản tửc) cừa mởt loÔi Rỡle iằn tỷ tuƠn theo
luêt phƠn phối mụ vợi tuời thồ trung bẳnh l = 2

nôm. Sỷ dửng 100 Rỡle trong cĂc hằ thống iằn khĂc
nhau, tẵnh xĂc suĐt cõ nhiÃu nhĐt 3 Rỡle b họng ngay
trong nôm Ưu tiản.

Bi 3.14. Thới gian sỷ dửng cừa mởt trÔm thu phĂt
tẵn hiằu viạn thổng ữủc mổ hẳnh hõa bi mởt Ôi
lữủng ngău nhiảnX (tẵnh theo nôm) cõ phƠn phối mụ

vợi trung bẳnh l 6 nôm. Chi phẵ lưp t v vên hnh
cừa trÔm l Ôi lữủng ngău nhiản Y (tẵnh theo chửc

triằu ỗng) ữủc xĂc nh bơng cổng thựcY = 6+8X.

HÂy xĂc nh hm mêt ở xĂc suĐt cừa Ôi lữủng ngău
nhiảnY.

Bi 3.15. Tuời thồ cừa mởt loÔi mĂy chiáu l Ôi
lữủng ngău nhiảnX cõ phƠn phối mụ (tẵnh theo nôm)

vợi trung bẳnh l 5 nôm.

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt chiác mĂy chiáu loÔi õ sỷ
dửng ữủc trản6 nôm.

b) Mởt cổng ty sỷ dửng3mĂy chiáu loÔi õ. Tẵnh xĂc

suĐt trong3chiác mĂy chiáu õ cõ 2 chiác sỷ dửng

ữủc trản 6 nôm v mởt chiác sỷ dửng ữủc trong

khoÊng thới gian tứ4 án 6nôm.

Bi 3.16. Tuời thồ (tẵnh theo giớ sỷ dửng) cừa mởt
Ưu ồc quang hồc trong ờ ắa DVD l mởt bián ngău
nhiản X cõ phƠn phối mụ vợi trung bẳnh l1800 giớ.

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt Ưu ồc quang hồc sỷ dửng
ữủc trản 1200 giớ.

b) Mởt nhõm sinh viản ữủc giao hai ờ DVD cụ Â
sỷ dửng 1200 giớ v mởt ờ DVD mợi. Tẵnh xĂc suĐt

cừa sỹ kiằn cÊ ba ờ DVD ữủc giao, Ưu ồc quang
hồc tiáp tửc sỷ dửng ữủc trản 1000 giớ.

Bi 3. 17. Tèc ë truy·n cõa mët m¡y chõ ð mët
tr÷íng Ôi hồc án mĂy tẵnh cừa sinh viản trong mởt
ngy tuƠn theo luêt phƠn phối chuân vợi trung bẳnh
l 60 Kbps (60 kilobit/giƠy) v ở lằch chuân l 4
Kbps.

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt file ữủc chuyÃn tứ mĂy chừ
án mĂy tẵnh sinh viản vợi tốc ở tối thiu l 65 Kbps.
b) Tẵnh xĂc suĐt mởt file ữủc chuyÃn tứ mĂy chừ

án mĂy tẵnh sinh viản vợi tốc ở tèi a l  55 Kbps.
B i 3.18. Tuêi thå cõa mët bõng n l Ôi lữủng
ngău nhiản X (tẵnh theo nôm), vợi X N(4,2; 2,25).

Khi bĂn ra mội bõng n ữủc lÂi 100 ngn ỗng,
những náu bõng n b bÊo hnh thẳ lộ 300 ngn
ỗng. Vêy tiÃn lÂi trung bẳnh khi bĂn mội bõng
n l 30 ngn ỗng thẳ cƯn ph£i quy ành thíi gian
b£o h nh l  bao nhi¶u?

B i 3.19. Cho biát thới gian sỷ dửng Internet cừa
mởt sinh viản ngnh CNTT trong mởt ngy l Ôi
lữủng ngău nhiản (tẵnh theo giớ) cõ phƠn phối chuân.
Cho biát xĂc suĐt mởt sinh vi¶n câ thíi gian sû dưng
Internet trong mët ng y lợn hỡn 2 giớ l 0,7 v xĂc

suĐt mởt sinh vi¶n câ thíi gian sû dưng Internet
nhä hìn 1 gií l  0,0059.

a) T½nh thíi gian sû dưng Internet trung bẳnh trong
mởt ngy cừa sinh viản CNTT.

b) Tẵnh xĂc suĐt mởt sinh viản ngnh CNTT sỷ
dửng Internet lợn hỡn 3 giớ trong ngy.

c) Gp ngău nhiản 3 sinh viản ngnh CNTT, tẵnh xĂc
suĐt trong ba sinh viản õ cõ úng 2 sinh viản sỷ
dửng Internet tứ 2 án 4 giớ.

Bi 3.20. Tuời thồ cừa mởt laze bĂn dăn trong mởt

loÔi cổng tỡ iằn tuƠn theo luêt phƠn phối chuân vợi
trung bẳnh l 1000 giớ v ở lằch chuân l 700 giớ.
a) Tẵnh xĂc suĐt laze bĂn dăn õ b họng trữợc
khi sỷ dửng ữủc 2000 giớ.

b) GiÊ sỷ cõ 3 laze bĂn dăn hoÔt ởng ởc lêp trong
mởt cổng tỡ iằn. HÂy tẵnh xĂc suĐt sau 2400 giớ
lm viằc cÊ 3 laze văn cỏn hoÔt ởng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

cõ phƠn phối chuân vợi trung bẳnh l45 thĂng v ở

lằch tiảu chuân l 5 thĂng. Mởt cổng ty kinh doanh

mua mỵi mët lỉ 25 m¡y in mỵi thuởc loÔi õ sỷ

dửng.

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt m¡y in câ thíi gian sû dưng
khỉng qu¡48 th¡ng.

b) T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa sè m¡y in thc lỉ 25

mĂy in nõi trản sỷ dửng ữủc trản4 nôm.

Bi 3.22. ở di chi tiát mĂy ữủc sÊn xuĐt tỹ ởng
l mởt Ôi lữủng ngău nhiản X cõ phƠn phối chuân
vợi giĂ tr trung bẳnh là(cm) v ở lằch tiảu chuân

l 0,1 (cm). Cho biát xĂc suĐt mởt chi tiát mĂy cõ
ở di trản19,804 cm l 0,975.

a) Tẵnh giĂ tr cừa à.

b) Mởt chi tiát mĂy ữủc gồi l Ôt tiảu chuân náu sai
lằch giỳa ở di cừa nõ v ở di trung bẳnh khổng
vữủt quĂ 0,15 (cm). HÂy tẵnh t lằ sÊn phâm khổng
Ôt tiảu chuân.

4. Bián ngău nhiản nhi·u chi·u

B i 4.1. Gian h ng i»n m¡y cõa mët si¶u th cõ
hai quƯy thu ngƠn, mội quƯy thu ngƠn cõ hai nhƠn
viản thu ngƠn. Gồi X,Y tữỡng ựng l số nhƠn viản

thu ngƠn bên mội quƯy tÔi cũng mởt thới im. Biát
bÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău
nhiản hai chiÃu(X, Y)nhữ sau:

X
Y

0 1 2

0 0,05 0,1 0,15

1 0,1 0,15 0,1

2 0,05 0,2 0,1

a) Lªp b£ng phƠn phối xĂc suĐt cừaX v Y.

b) Tẵnh trung bẳnh số thu ngƠn bên cÊ hai quƯy thu
ngƠn tÔi cịng mët thíi iºm E(X+Y).

c) Häi X v  Y câ ởc lêp khổng?

d) Tẵnh hiằp phữỡng sai v hằ số tữỡng quan giỳa X

vY.

Bi 4.2. GồiX, Y lƯn lữủt l tẵn hiằu Ưu vo v tẵn

hiằu Ưu ra cừa mởt kảnh thổng tin. Biát bÊng phƠn
phối xĂc suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai
chiÃu(X, Y)nhữ sau:

X
Y

1 0 1

-1 1/4 1/8 1/8

1 1/4 1/8 1/8

a) T½nh E(XY),V(XY).

b) Häi X v Y cõ ởc lêp khổng?

c) Tẳm ký vồng cõ i·u ki»n cõa Y èi vỵi X.

B i 4.3. Mët trang web cho php gỷi Ênh, mội Ênh
cõ kẵch thữợc XìY pixels. Biát bÊng phƠn phối xĂc

suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai chiÃu

(X, Y) nhữ sau:

X
Y

1200 1600 2400

800 0,15 0,1 0,05

1200 0,2 0,1 0,2

1600 0,05 0,05 0,1

a) T½nh dung lữủng trung bẳnh cừa mởt Ênh E(XY).
b) Tẵnh hằ số tữỡng quan.

c) Tẳm ký vồng cõ iÃu kiằn cừa X èi vỵi Y.

B i 4.4. Mët trang web cho ph²p gỷi Ênh, mội Ênh
cõ kẵch thữợc X ìY pixels. Mội pixels lữu trỳ bi 2

bytes v Ênh ữủc nn vợi t lằ 10:1. Biát bÊng phƠn
phối xĂc suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai
chiÃu (X, Y)nhữ sau:

X
Y

800 1200 1600

400 1/12 1/4 1/12

800 1/6 1/12 1/8

1200 1/12 1/12 1/24

a) Tẵnh dung lữủng trung bẳnh cừa mởt Ênh sau khi
nn E(0,2XY).

b) Tẵnh hiằp phữỡng sai.

c) Tẳm ký vồng cõ iÃu kiằn cừa Y ối vợi X.

Bi 4.5. Kỵ hiằu X l Ôi lữủng ngău nhiản ch số

ti khoÊn m mởt sinh viản ông kỵ trản mởt dch vử
lữu trỳ dỳ liằu vY (tẵnh theo GB) l dung lữủng lữu

trỳ miạn phẵ m dch vử õ cung cĐp. Cho biát hm
khối xĂc suĐt ỗng thới cừa(X, Y)ữủc xĂc nh bi:

f(x, y) =c(x+y), x= 0,1,2; y = 1,2.

a) Tẳm hơng số c.

b) Tẵnh giĂ tr trung bẳnh E(XY) cừa lữủng dỳ liằu
miạn phẵ m sinh viản lữu trỳ theo mởt dch vử.
c) Tẵnh hằ số tữỡng quan giỳa số lữủng ti khoÊn X

v dung lữủng miạn phẵ Y.

Bi 4.6. Cho hm khối xĂc suĐt ỗng thới cừa(X, Y)

xĂc nh bi:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

a Tẳm hơng số c.

b) Lêp bÊng phƠn phối cừa bián ngău nhiản tẵchXY.

c) Tẳm hiằp phữỡng sai v hằ sè t÷ìng quan giúa X

v Y.

B i 4.7. Cho h m khèi x¡c suĐt ỗng thới cừa(X, Y)

xĂc nh bi:

f(x, y) =c|xy|, x= 1,2; y=1,1,2.

a) Tẳm hơng số c.

b) Họi X v Y cõ ởc lêp khổng?

c) TẵnhP(X+Y) = 3; P(X 6=Y).

Bi 4.8. Cho bÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa

(X, Y) nh÷ sau:

X
Y

−1 0 1

-1 0 1/4 0

0 1/4 0 1/4

1 0 1/4 0

Chựng minh rơng hằ số tữỡng quan giỳaXvY bơng
0những X v Y khổng ởc lêp.

Bi 4.9. Mởt xe ch hng trản oÔn ữớng tứ A tợi B
cƯn phÊi i qua hai h» thèng t½n hi»u ±n giao thỉng.
Gåi X l  sè l¦n g°p ±n ä khi xe i tứ A tợi B. Gồi
Y l số lƯn gp n ọ khi xe i tứ B tợi A. Biát hm

khối xĂc suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai
chiÃu(X, Y)nh÷ sau:

X
Y

0 1 2

0 0,15 0,1 0,05

1 0,2 0,15 0,1

2 0,05 0,1 0,1

a) T½nhE[X+Y].

b) Häi X v  Y câ ëc lêp khổng?

c) Tẵnh hiằp phữỡng sai v hằ số tữỡng quan.

B i 4.10. Mët hëp chùa 10 vi¶n pin trong â cõ 4
viản pin mợi, 3 viản pin cụ v 3 viản pin  họng.
Chồn ngău nhiản 2 viản pin tứ trong hởp. GồiX, Y

lƯn lữủt l bián ngău nhiản ch số viản bi mợi v cụ
trong số 2 viản pin lĐy ra.

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa(X, Y).

b) Tẵnh hiằp phữỡng sai v hằ số tữỡng quan.

Bi 4.11. Khi truyÃn tẵn hiằu (m hõa theo bit), do
cõ nhiạu trản ữớng truyÃn nản cĂc bit b mo theo
3 mực cao, trung bẳnh, thĐp vợi xĂc suĐt tữỡng ùng
l  0,01;0,04 v  0,95. Gi£ sû câ 2 bit ÷đc truyÃn, cĂc

bit ữủc truyÃn ởc lêp. Gồi X l số bit thay êi ð

mùc cao, Y l  sè bit thay ời mực trung bẳnh.

a) Tẳm hm khối xĂc suĐt ỗng thới cừa (X, Y).

b) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X v Y.

c) Tẵnh fX(1|1) v fY(1|1).

Bi 4.12. Khi truyÃn tÊi thổng tin kắ thuêt số, mội
bit nhên ữủc ữủc Ănh giĂ l chĐp nhên ữủc, nghi
ngớ hay khổng th chĐp nhên ữủc phử thuởc vo
chĐt lữủng cừa tẵn hiằu nhên ữủc vợi xĂc suĐt tữỡng
ựng l 0,9; 0,08; 0,02. Gi£ sû câ 3 bit ÷đc truy·n i.
Gåi X l số bit cõ th chĐp nhên ữủc, Y l số bit

nghi ngớ.

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa(X, Y).

b) Tẵnh trung bẳnh số bit nhên ữủc ữủc Ănh giĂ
l cõ th chĐp nhên ữủc khi truy·n i 3 bit .

c) Häi X v  Y câ ởc lêp khổng?

Bi 4.13. kim soĂt chĐt lữủng sÊn phâm, mởt
nh mĂy chuyản sÊn xuĐt linh kiằn iằn tỷ lĐy mău
mởt phƯn sÊn phâm sÊn xuĐt ra v sỷ dửng hai mĂy
kim tra v phƠn loÔi. XĂc suĐt nhên biát chẵnh

xĂc linh kiằn b lội cừa hai mĂy lƯn lữủt l 0,993 v
0,997. Biát rơng hai mĂy hoÔt ëng ëc lªp nhau. Gi£
sû câ 2 linh ki»n bà léi ÷đc ÷a qua hai m¡y º kiºm
tra. Gåi X, Y l  sè linh ki»n ÷đc x¡c ành l  bà lội

bi mĂy 1 v 2.

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa(X, Y).

b) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X, Y.

c) Tẵnh E[XY],V[XY].

Bi 4.14. Mởt trang Web cung cĐp cho khĂch hng
truy cêp hai lỹa chồn hoc l xem trữợc mởt video
quÊng cĂo hoc l bọ qua quÊng cĂo v tợi trang web.
Biát xĂc suĐt mởt khĂch hng truy cêp bọ qua quÊng
cĂo i tợi trang web l  0,7. Gi£ sû trong 1 gi¥y
câ 3 kh¡ch hng truy cêp vo trang web. Gồi X, Y
tữỡng ựng l  sè kh¡ch h ng câ xem qu£ng c¡o v  bä
qua qu£ng c¡o khi truy cªp v o trang web n y trong
thíi gian 1 giƠy.

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa (X, Y).

b) Tẵnh trung bẳnh số khĂch hng cõ xem qu£ng c¡o
khi truy cªp v o trang web trong thíi gian 1 giƠy.
c) Tẳm ký vồng cõ iÃu kiằn cừa Y ối vợi X.

Bi 4.15. Mởt modem truyÃn mởt tẵn hiằu cõ iằn

Ăp l bián ngău nhiản X cõ giĂ tr 1 Vol hoc 1

Vol vợi xĂc suĐt bơng nhau án mởt kảnh thổng tin.
Kảnh thổng tin cởng thảm vo tẵn hiằu ny mởt nhiạu
cõ giĂ tr iằn Ăp thuởc têp {0,+1} v vợi xĂc suĐt
tữỡng ựng l{0,7; 0,3}. GồiY l bián ngău nhiản ch

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

b) XĂc nh trung bẳnh iằn Ăp truyÃn ra cừa kảnh
thổng tin.

c Tẵnh hiằp phữỡng sai v hằ số tữỡng quan.
d) Tẵnh ký vồng câ i·u ki»n cõaY èi vỵi X.

B i 4.16. Mët modem truyÃn mởt tẵn hiằu cõ iằn Ăp
l bián ngău nhiảnX cõ giĂ tr1Vol hoc1Vol vợi

xĂc suĐt tữỡng ựng l 1/4, 3/4 án mởt kảnh thổng
tin. GiĂ tr iằn Ăp truyÃn ra cừa kảnh thổng tin l
bián ngău nhiản Y nhên giĂ tr bơng giĂ tr cừaX vợi

xĂc suĐt bơng 1/2, bơng giĂ tr cừa X vợi xĂc suĐt

bơng 1/4, bơng 0 vợi xĂc suĐt bơng 1/4 .
a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa(X, Y).

b) XĂc nh trung bẳnh iằn Ăp truyÃn ra cừa kảnh
thổng tin.

c) Tẵnh hiằp phữỡng sai v hằ số tữỡng quan.

Bi 4.17. Gồi X, Y lƯn lữủt l bián ngău nhiản ch

số trang web ữủc yảu cƯu tợi mởt mĂy chừ trong 1

micro giƠy (1 ms) v1micro giƠy tiáp theo. Biát rơng

trong khoÊng thới gian1micro giƠy cõ0hoc1trang

web ữủc yảu cƯu vợi xĂc suĐt tữỡng ựng l 0,95 v
0,05 v cĂc yảu cƯu trong cĂc khoÊng thới gian 1 ms
khĂc nhau l ởc lêp vợi nhau.

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa(X, Y).

b) Tẵnh E[XY].

Bi 4.18. Biát rơng trong khoÊng thới gian 1 micro

giƠy cõ0hoc1trang web ữủc yảu cƯu tợi mởt mĂy

chừ vợi xĂc suĐt tữỡng ựng l 0,95 v 0,05 v cĂc

yảu cƯu trong cĂc khoÊng thới gian 1 ms khĂc nhau
l ởc lêp vợi nhau. Gồi X, Y lƯn lữủt l bián ngău

nhiản ch số trang web ữủc yảu cƯu tợi mởt mĂy
chừ trong khoÊng thới gian (0,1)micro giƠy v (0,2)

micro giƠy .

a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa(X, Y).

b) Tẵnh trung bẳnh số trang web ữủc yảu cƯu tợi
mĂy chừ trong khoÊng thới gian (0,2) micro giƠy .

c) Tẵnh ký vồng cõ iÃu kiằn cừaY ối vợi X.

P Sẩ

1. Ôi cữỡng và lỵ thuyát XĂc suĐt
1.1. 1

25.106.

1.2. a) C649
C9

74

, b) C549
C9

74

.
1.3. 2

13.

1.4. a) 0,504, b)0,027.

1.5. a) 0,66, b) 0,34.

1.6. 0,40275.

1.7. 0,39525.

1.8. a) 0,76734, b)≈0,5588.

1.9. a) ≈0,9505, b) ≈0,6312

1.10. a) 0,98375, b) ≈0,2308.

1.11. a) 0,73, b) ≈0,9781.

1.12. 0,13.

1.13. 0,4.

1.14. 0,74

1.15. 0,895.

1.16. a) 0,1012, b) ≈0,3405.

1.17. a) 0,059, b)≈0,0339.

1.18. ≈0,8131.

1.19. a) ≈0,1351, b) ≈0,0184.

1.20. a) 0,7358, b) 0,0136.

1.21. a) 0,03268, b)0,0010689.

2. Ôi lữủng ngău nhiản rới rÔc

2.1. a) P(X64) = 0,9, P(X >4) = 0,1.
b)P(36X 66) = 0,2.

2.2. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cõa Y:

Y −1 0 1 2

P 0,1 0,2 0,3 0,4
b) EY = 1, VY = 1,1.

c) F(y) =



















0 n¸u y <−1,
0,1 n¸u −1₆y <0,
0,3 n¸u 0₆y <1,
0,6 n¸u 1₆y <2,
1 náu y_>2.

2.3. BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X:

X 9 10 11 12

P C

9
25C33

C12
28

C₂₅10C₃2
C12

28

C₂₅11C₃1

C12

28

C₂₅12C₃0
C12

28

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

2.4. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõaX:

X 5600 6000 6400 6800 7200

P 15

1001

160
1001

420
1001

336
1001

70
1001

EX ≈6514,2857 (nghẳn ỗng).

2.5. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừaX:

X 0 1 2 3

P 0,963448 0,036105 0,000445 0,0000018
b)EX = 0,072661, c) 0,9999982.

2.6. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừaX:

X 0 1 2 3 4

P 0,008 0,00992 0,0147312 0,019346976 0,948001824

b)EX = 3,889430624, VX = 0,283326189.
c)0,999859407.

2.7. BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừaX:

X 1 2 3 4

P 5

6
5
34

5
272

1
816

EX =

19

16 = 1,1875.

2.8. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõaX:

X 0 1 2 3 4

P 0,1 0,063 0,13392 0,17577 0,52731
EX = 2,96739, VX ≈1,81217.

2.9. a) ≈0.9988

b) B£ng phƠn phối xĂc suĐt cừaX:

X 1 2 3 . . . k . . .

P 0,74 0,26×0,74 (0,26)2×0,74. . .(0,26)k−1×0,74. . .

2.10. BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừaX:

X 0 1 2 . . . k . . .

P 0,155 0,845×0,155 (0,845)2_ì₀_,₁₅₅_{. . .}₍₀_,₈₄₅₎k_ì₀_,₁₅₅_{. . .}

EX 5,4516.

2.11. BÊng phƠn phối xĂc su§t cõaX:

X 0 1 2 . . . k . . .

P 0,0045 0,9955×0,0045 (0,9955)2×0,0045. . .(0,9955)k×0,0045. . .

EX ≈221,2222.

2.12. a)109, b)109 ca.

2.13. a)e50_, _b)_0.5634_.

2.14. a)EX = 90.000 ỗng, VX = 49.000.
b) p =

∞

X

k=9786

10000k

k! e

−10000 _{= 1} ₋
9785
X

k=0
1000k

k! e

−1000_.

X¡c su§t trong mởt tuƯn cõ úng hai ngy chi phẵ
quÊng cĂo vữủt mực 88.500 ỗng l: C₇2p2(1p)2.

Ta cõ th tẵnh gƯn úng p bơng cĂch sỷ dửng kát quÊ:

Z = X

=

X10000

10000

l phƠn phối xĐp x chuân tưc. Do õ

p= 1−

9785
X

k=0

10000k

k! e

−10000

= 1−_P(X ₆9785)

≈1−_PZ ₆ 9785 + 0.5√ −10000

10000

≈1−_P(−2,145)≈1−0,0162

≈0.9838.

X¡c su§t trong mởt tuƯn cõ úng hai ngy chi phẵ
quÊng cĂo vữủt mực 88.500 ỗng l:

C₇2(0,9838)2(10,9838)5 2,2678ì108.

2.15. a) 0,0498, b)0.4335.

2.16. a) 0.7064, b) _EY 1.673,6033 nghẳn

ỗng.

2.17. a) 0,1563, b)≈0,2636, c) ≈0,4866.

2.18. ≈0,3840.

2.19. a) ≈0,264238

b) EX = 1, VX = 0,99.
c) 0,0131.

2.20. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X:

X 0 1 2 3 4 5

P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776

b) 0,68256.

2.21. a) ≈4,5173×10−5_.

b) ≈1,6835×10−5

2.22. a) ≈0,0153, b)≈0,0802.

2.23. a) EX = 3, b)n= 25.000 chiác iằn thoÔi.
2.24. a) 0,7287, b) 3.492.000 ỗng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

3. Ôi lữủng ngău nhiản liản tửc
3.1. a) a= 1

2, b)

2
4 ,

c)F(x) =

0 náu x <−π

2,
1

2(1 + sinx) n¸u −

π

2 6x <

π

2,

1 n¸u x_> π

2.

3.2. a) a= 1
9.

b)f(x) =
(

0 n¸u x6∈[1,4];

2

9(x−1) n¸u x∈[1,4].

.
P{1,5< X <2,5}= 2

9.

3.3. a) a= 3

1000; b) EX = 7,5; c)≈0,7697.

3.4. a) a= 1.

b)F(x) =
(

0 n¸u x <1;
1− 1

x n¸u x>1.

P{2< X <3}= 1

6.

c)≈0,4019.

3.5. a) EX = 3,5, VX = 4

3. b) 0,25.

3.6. a) f(x) =
(

0 n¸u x6∈[0,2050,0,2150];
100 n¸u x∈[0,2050,0,2150].

b)0,25.

c) ë dy trung bẳnh l0,21; ở lằch chuân l

3
600
0,002887.

3.7. a) 0,0625, b)15,0625.

3.8. a) k = 3
16.

b)F(x) =









0 n¸u x <−1,

1
2 +

3
16

3x− x3

3

n¸u −1₆x <1,

1 n¸u x_>1.

c)0,546875.

3.9. a) F(x) =
(

0 n¸u x <0;

1−e−2000x n¸u x>0.

b)e−0,5 _≈_0,₆₀₆₅_{. c)} ₁₋_e−0,75 _≈_0,₅₂₇₆_.

d) Tuêi thå trung bẳnh l 2000 giớ; ở lằch chuân l
2000giớ.

3.10. 1e1013 ≈0,53663.

3.11. a)e−1,25 _≈_0,₂₈₆₅; b)_e−0,625₋_e−1,5 _≈_0,₃₁₂₁.

3.12. a) F(x) =
(

0 n¸u x <0;

1−e−x3 n¸u x>0.

b) e−1 ≈0,3679.

3.13.

e−50+C₁₀₀1 e−49,5(1−e−0,5) +C₁₀₀2 e−49(1−e−0,5)2
+C₁₀₀3 e−48,5(1−e−0,5)3 ≈8,9290210−18.

3.14. fY(x) =

(

0 n¸u x <6;

1
48e

−x−6

48 n¸u x>6.

3.15. a) e−1,2 _≈_0,₃₀₁₂_,

b) 3(e−1,2₎2_(e−0,8₋_e−1,2₎_≈_0,₀₄₀₃.

3.16. a) e−23 ≈0,5134. b)(e−
5

9)3 ≈0,5738.

3.17. a) 1−Φ(1,25) = 0,1056,

b) (1,25) = 0,1056.

3.18. k = 2,79 nôm.

3.19. a) à=_EX = 2,26; b) 0,0694; c) 0,6082.

3.20. a) 0,9922, b)(0,0228)3 ≈1,1852×10−5.

3.21. a) 0,7257; b)6,8575.

3.22. a) à= 20; b)86,62%.

4. Bián ngău nhiản nhiÃu chiÃu
4.1. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X:

X 0 1 2

P 0,3 0,35 0,35
BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa Y:

Y 0 1 2

P 0,2 0,45 0,35
b) E(X+Y) = 2,2.

c) X v  Y khỉng ëc lªp.

d) Cov(X, Y) = −0,0575, ρ(X, Y) =−0,09839.

4.2. a) E(XY) = 0,V(XY) = 3

4.

b) X v Y ởc lêp.

c)Z =_E(Y|X)l bián ngău nhiản hơng ch nhên giĂ

tr bơng 1

4.

4.3. a) E(XY) = 2,032ì106.
b) (X, Y) = 0,2513.

c) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa Z =_E[X|Y]:
Z =_E[X|Y] 1100 1201 1257

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

4.4. a) E(0,2XY) = 1,653ì105.
b)Cov(X, Y) = 9,689ì103.

c) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa Z =_E[Y|X]:
Z =_E[Y|X] 1200 1156 1120

P 5

12
9
24

5
24

4.5. a) c= 1

15, b)E[XY] = 2,
c)ρ(X, Y) =−0,07053.

4.6. a) c= 1
12.

b) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõaXY:

XY −2 −1 0 1 2

P 0

1
12

4
12

3
12

4
12

c)Cov(X, Y) = 1

3; ρ(X, Y) = 0,4714.

4.7. a) c= 1

12. b) X v  Y ëc lªp.

c)P(X+Y = 3) =

1

3; P(X 6=Y) =
7
12.

4.8. Sinh viản tỹ giÊi.
4.9. a) 1,8 lƯn.

b)X v Y khỉng ëc lªp.

c)Cov(X, Y) = 0,1425, ρ(X, Y) = 0,2431.

4. 10. a)BÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa

(X, Y):

X
Y

0 1 2

0 1/15 3/15 1/15

1 4/15 4/15 0

2 2/15 0 0

b)Cov(X, Y) = −0,2133;ρ(X, Y) =−0,5345.

4.11. a) H m khèi xĂc suĐt ỗng thới

f(x, y) = 2!0,01

x_0,₀₄y_0,₉₅2xy

x!y!(2xy)! ,06x+y62.

b) BÊng phƠn phèi x¡c su§t cõaX:

X 0 1 2

P 0,9801 0,0198 0,0002
B£ng phƠn phối xĂc suĐt cừaY:

Y 0 1 2

P 0,9217 0,0768 0,0016
c)fX(1|1) = 0,0404 ;fY(1|1) = 0,01042.

4. 12. a) B£ng ph¥n phối xĂc suĐt ỗng thới cừa

(X, Y):
X

Y

0 1 2 3

0 8.10−6 _9,_6.10−5 _3,_84.10−4 _5,_12.10−4

1 0,00108 0,00864 0,01728 0

2 0,0486 0,1944 0 0

3 0,729 0 0 0

b) 2,7.

c) X v  Y khổng ởc lêp.

4. 13. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt çng thíi cõa

(X, Y):
X

Y

0 1 2

0 4,41.10−10 _2,_931.10−7 _4,_871.10−5

1 1,251.10−7 8,316.105 0,01382

2 8,874.106 5,899.103 0,9801

b) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cõa X:

X 0 1 2

P 4,9.10−5 0,013902 0,986049
B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõaY:

Y 0 1 2

P 9.10−6 5,982.10−3 0,994009
c) E[X−Y] =0,008, V[XY] = 0,01988.
4. 14. a)BÊng phƠn phối xĂc suĐt çng thíi cõa

(X, Y):

X
Y

0 1 2 3

0 0 0 0 0,343

1 0 0 0,441 0

2 0 0,189 0 0

3 0,027 0 0 0

b) EX = 0,9.

c) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa Z =_E[Y|X]:

E[Y|X] 0 1 2 3

P 0,027 0,189 0,441 0,343

4. 15. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thíi cõa

(X, Y):

X
Y

−1 0 1 2

-1 7

20
3

20 0 0

1 0 0 7

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

b)0,3Vol.

c)Cov(X, Y) = 1, ρ(X, Y) = 0,9091.

d) BÊng phƠn phối xĂc suĐt cừaZ =_E[Y|X]:

E[Y|X] 0,7 1,3

P 1

2
1
2

4. 16. a) BÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thíi cõa

(X, Y):

X
Y

−1 0 1

-1 1

8
1
16

1
16

1 3

16
3
16

3
8

b)E[Y] = 0,125.
c)Cov(X, Y) = 3

16, ρ(X, Y) = 0,1537.

4. 17. a) B£ng ph¥n phối xĂc suĐt ỗng thới cừa

(X, Y):

X
Y

0 1

0 0,9025 0,0475

1 0,0475 0,0025

b)E[XY] = 0,0025.

4. 18. a) B£ng ph¥n phèi x¡c suĐt ỗng thới cừa

(X, Y):
X

Y

0 1 2

0 0,9025 0,0475 0

1 0 0,0475 0,0025

b)0,1.

c)

E[Y|X] 0,05 1,05
P 0,95 0,05

MˆU — THI K˜T THểC HC PHN
Bở mổn Ôi số v XĂc suĐt thống kả trƠn trồng
giợi thiằu mởt số mău à thi kát thúc hồc phƯn mổn
XĂc suĐt thống kả. cõ sỹ chuân b tốt cho ký thi
sinh viản cƯn lữu ỵ c¡c iºm sau:

1. Thíi gian l m b i èi vỵi méi · thi l  75 phót.
Sinh vi¶n dü thi khỉng ph£i ch²p ·.

2. Khỉng ÷đc mang t i li»u trong pháng thi.

Khỉng mang iằn thoÔi vo phỏng thi. Sinh viản
vi phÔm s nhên im 0v b ẳnh ch thi.

3. Mang th sinh viản khi i thi, mang mĂy tẵnh,
bÊng tra sỷ dửng trong giớ thi.

4. Sinh viản khổng ữủc nhĂp hay viát v gẳ vo Ã
thi, phÊi nởp lÔi à thi cũng bi lm khi hát giớ
lm bi.

Sẩ 1

CƠu 1. Theo nh ký cĂc trÔm thu phĂt tẵn hiằu viạn
thổng ữủc kim tra cĂc tiảu chuân an ton. Cho biát
xĂc suĐt bở phên thu phĂt sõng Ôt tiảu chuân an
ton l 0,65; xĂc suĐt bở phên cĐp iằn Ôt tiảu
chuân an ton l 0,7. GiÊ sỷ cõ hai trÔm thu phĂt

sõng ữủc kim tra. Tẵnh xĂc suĐt số bở phên Ôt
tiảu chuân an ton hai trÔm l nhữ nhau.

CƠu 2. Kát nối giỳa mĂy tẵnh v mÔng internet
trÔng thĂi khổng cõ tẵn hiằu liản kát ữủc duy trẳ
trong thới gian 10 phút. tông thới gian duy trẳ
ữớng mÔng mởt mĂy tẵnh chÔy thừ tửc refresh bơng
cĂch truyÃn cĂc tẵn hiằu tợi mĂy chừ cừa nh cung
cĐp dch vử. XĂc suĐt mởt tẵn hiằu ÷đc truy·n
th nh cỉng l  0,75, thíi gian º truy·n th nh cổng

l 10 giƠy. CĂc tẵn hiằu ữủc truyÃn 10giƠy mởt lƯn

cho án khi thnh cổng.

a) Cho biát thới im mĂy tẵnh bưt Ưu truyÃn tẵn
hiằu lƯn thự nhĐt l 9 phút 10 giƠy (tẵnh tứ thới im
khổng cõ tẵn hiằu liản kát). Tẵnh xĂc suĐt thừ tửc
refresh cừa mĂy tẵnh thỹc hiằn thnh cổng viằc duy
trẳ ữớng mÔng.

b) Gồi X l Ôi lữủng ch số tẵn hiằu ữủc truyÃn khi

thỹc hiằn thừ tửc refresh. HÂy lêp bÊng phƠn phối
xĂc suĐt cừa X.

CƠu 3. Thới gian sỷ dửng cừa mởt cửm m tẵn hiằu
giao thổng ữủc mổ hẳnh hõa bi mởt Ôi lữủng ngău
nhiản X (tẵnh theo nôm) cõ phƠn phối mụ vợi trung

bẳnh l 7,5 nôm. Chi phẵ lưp t v vên hnh cừa mởt
cửm n l Ôi lữủng ngău nhiản Y (tẵnh theo triằu

ỗng)ữủc xĂc nh bơng cổng thực Y = 50 + 15X.

HÂy xĂc nh hm mêt ở xĂc suĐt cừa Ôi lữủng
ngău nhiản Y.

CƠu 4. Mởt trang web cho php gỷi Ênh, mội Ênh
cõ kẵch thữợc XìY pixels. Biát bÊng phƠn phối xĂc

suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai chiÃu

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

X
Y

1200 1600 2400

400 0,2 0,1 0,05

1200 0,15 0,1 0,1
1600 0,15 0,1 0,05

a) Tẵnh dung lữủng trung bẳnh cừa mởt ÊnhE(XY).
b) Tẵnh hằ số tữỡng quan giỳaX v Y.

Sẩ 2

CƠu 1. Mởt ởi k thuêt phử trĂch viằc bÊo dữùng
cho4cởt thu phĂt tẵn hiằu viạn thổng. Cho biát rơng

trong mởt nh ký (6 thĂng) xĂc suĐt mội cởt trản
gp phÊi sỹ cố tữỡng ựng l0,3; 0,35; 0,4; 0,2. Tẵnh

xĂc suĐt mởt nh ký no Đy xÊy ra sỹ kiằn "Cõ
ẵt nhĐt mởt cởt thu phĂt tẵn hiằu gp sỹ cố çng thíi
cët thù ba khỉng g°p sü cè".

C¥u 2. Mët tin nhưn ữủc truyÃn lƯn lữủt qua bốn
cờng thổng tin trản mởt ữớng truyÃn. Náu tin nhưn
ữủc truyÃn qua cờng trữợc khổng b lội thẳ mợi ữủc
truyÃn tợi cờng sau. XĂc suĐt truyÃn lội cừa bốn cờng

lƯn lữủt l 0,01; 0,012; 0,005; 0,007. Gåi X l  sè

cêng thæng tin m  mởt tin nhưn truyÃn qua khổng b
lội. HÂy lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh

EX,VX.

CƠu 3. Thới gian download mởt file cõ dung lữủng
dữợi 15 MB tứ mởt website ữủc mổ hẳnh hõa bi
mởt Ôi lữủng ngău nhiảnX (tẵnh theo phút) cõ hm

mêt ở xĂc suĐt nhữ sau

f(x) =

0 náu x6[0,3]

4

81(9xx
3

) náu x[0,3]

a) Tẵnh thới gian trung bẳnh download mởt file cõ

dung lữủng dữợi 15 MB. Cõ bao nhiảu phƯn trôm file
cõ dung lữủng dữợi 15 MB m thới gian download
thĐp hỡn mực trung bẳnh.

b) Mởt sinh viản cõ nhu cƯu download cĂc ti liằu hồc
têp trong 4 file tø website â (c¡c file ·u câ dung

lữủng dữợi 15 MB). Tẵnh xĂc suĐt khi download
bốn file cõ úng ba file cõ thới gian download dữợi 2
phút.

CƠu 4. Gồi X, Y lƯn lữủt l tẵn hiằu Ưu vo v tẵn

hiằu Ưu ra cừa mởt kảnh thổng tin. Biát bÊng phƠn
phối xĂc suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai
chiÃu(X, Y)nhữ sau:

X
Y

1 0 1

-1 1₈ ₁₆1 ₁₆1
1 ₁₆3 ₁₆3 3₈

a) Tẵnh trung bẳnh iằn Ăp Ưu ra cừa kảnh thổng
tin.

b) Tẵnh hằ số tữỡng quan.

Sẩ 3

CƠu 1. Cho biát t lằ mĂy tẵnh bÊng sỷ dưng h» i·u
h nh A l  63%, t¿ l» m¡y t½nh b£ng sû dưng h» i·u

h nh W l  37%. X¡c su§t º mët m¡y t½nh b£ng câ

h» i·u h nh sû dưng ờn nh (khổng phÊi ci t
lÔi) trong 2 nôm Ưu ti¶n l  0,713. T¿ l» sû dưng ên

ành cõa c¡c m¡y t½nh b£ng câ h» i·u h nh A cao

hìn t¿ l» sû dưng ên ành cõa c¡c m¡y t½nh b£ng cõ
hằ iÃu hnh W l 10%. HÂy tẵnh xĂc suĐt º mët

m¡y t½nh b£ng câ h» i·u h nh W sû dửng ờn nh

trong 2 nôm Ưu tiản.

CƠu 2. Mởt ngữới bĂn ỗ chỡi cõ iÃu khin cho tr
em dũng cĂc viản pin 1,5v lưp km cĂc mõn ỗ
chỡi mẳnh bĂn. Ban Ưu ngữới õ cõ mởt hởp pin tiu
1,5v gỗm 17 viản pin con thọ v 3 viản pin con õ. Sau
khi bĂn mởt số ỗ chỡi thẳ ngữới õ Â lĐy ra ngău
nhiản 9viản pin lưp km theo. Gồi X l Ôi lữủng

ngău nhiản ch số pin con thọ Â ữủc sỷ dửng. HÂy
lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt cừa X v tẵnh ký vồng,

phữỡng sai cừa X.

CƠu 3. Tuời thồ cừa mởt loÔi camera l Ôi lữủng
ngău nhiản X cõ phƠn phối mụ (tẵnh theo nôm) vợi

trung bẳnh l 5,5 nôm.

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt chiác camera loÔi õ sỷ dửng
ữủc trản 6,5nôm.

b) Mởt cỡ quan lưp mởt hằ thống 4 camera loÔi õ.
Tẵnh xĂc suĐt trong 4 chiác camera õ cõ ba chiác
sỷ dửng ữủc trản6,5nôm v mởt chiác sỷ dửng ữủc

trong khoÊng thới gian tứ 4án 6,5 nôm.

CƠu 4. Cho hm khối xĂc suĐt ỗng thới cừa (X, Y)

xĂc nh bi:

f(x, y) = c(2x+y), x= 1,2,3;y=1,1.

a) Tẳm hơng số c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Sẩ 4

CƠu 1. Mởt trÔm ch phĂt hai loÔi tẵn hiằu A v B
vợi xĂc suĐt tữỡng ựng l0,74v0,26. Do nhiạu trản

ữớng truyÃn nản8% tẵn hiằu A b mo v thu ữủc

nhữ l tẵn hiằu B, cỏn 5% tẵn hiằu B b mo v thu

ữủc nhữ l tẵn hiằu A.

a) Tẳm xĂc suĐt thu ữủc tẵn hiằu A.

b) GiÊ sỷ thu ữủc tẵn hiằu A, tẵnh xĂc suĐt õ
cụng l tẵn hiằu phĂt.

CƠu 2. TÔi mởt siảu th lợn, chữỡng trẳnh xỷ lỵ Ênh
cõ th ồc ữủc ch½nh x¡c sè biºn kiºm so¡t tø £nh
chưp biºn sè xe cừa khĂch hng khi xe ữủc ữa vo
bÂi xe vợi xĂc suĐt0,925. ối vợi cĂc bin số xe m

chữỡng trẳnh khổng ồc ữủc chẵnh xĂc tứ Ênh chửp,
ngữới trổng xe ph£i nhªp biºn sè v o h» thèng theo
c¡ch l m thừ cổng. GồiX l Ôi lữủng ngău nhiản ch

số lữủng bin kim soĂt ữủc ồc chẵnh xĂc tứ Ênh
chửp giỳa hai lƯn phÊi nhêp thừ cổng. HÂy lêp bÊng
phƠn phối xĂc suĐt cừaX v tẵnh trung bẳnh cừa X.

CƠu 3. TÔi mởt cÊng hng khổng ngữới ta trang b
ỗng bở16bở cÊm bián quang hồc mợi trản hằ thống

cỷa ra vo. Cho bi¸t thíi gian sû dưngX cõa méi h»

thèng n y l mởt Ôi lữủng ngău nhiản cõ hm mêt
ở

f(x) =

0 náu x <1 (nôm),

1029

(x+ 6)4 náu x>1 (nôm).

a) Tẵnh xĂc suĐt mởt bở cÊm bián cõ thới gian sỷ
dửng trản 5,5 nôm.

b) Sau 5,5 nôm, số lữủng cÊm bián trong 15 bở cÊm
bián õ Â phÊi thay thá cõ giĂ tr trung bẳnh l bao
nhiảu.

CƠu 4. Mởt thũng ỹng ç chùa 10 linh ki»n i»n tû
trong â câ 3 linh ki»n mỵi, 4 linh ki»n cơ v  3 linh
ki»n  họng. Chồn ngău nhiản 2 linh kiằn tứ trong
thũng. Gồi X, Y lƯn lữủt l bián ngău nhiản ch sè

linh ki»n cô v  häng trong sè 2 linh ki»n lĐy ra.
a) Lêp bÊng phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa(X, Y).

b) Tẵnh E[XY].

Sẩ 5

CƠu 1. Mởt nh mĂy cõ ba phƠn xững chá tÔo linh
kiằn iằn tỷ tữỡng ựng sÊn xuĐt30%, 45%, 25%tờng

sÊn phâm. T lằ phá phâm cừa tứng phƠn xững tữỡng
ựng l0,1; 0,3; 0,25.

a) Tẵnh t lằ phá phâm chung cừa nh mĂy

b) Chồn ngău nhiản mởt linh kiằn ữủc sÊn xuĐt v
nhên ữủc phá phâm. Tẵnh xĂc suĐt phá phâm õ
do phƠn xững thự hai sÊn xuĐt.

CƠu 2. Mởt chi nhĂnh cừa mởt têp on viạn thổng
phử trĂch 10 cởt thu phĂt tẵn hiằu di ởng. CĂc cởt
thu phĂt tẵn hiằu ny ữủc kim tra bÊo dữùng nh
ký 6 thĂng mởt lƯn. Chi phẵ kim tra bÊo dữùng l Ôi
lữủng ngău nhiản X (tẵnh theo triằu ỗng) ữủc tẵnh

bơng cổng thực X = 18 + 2,5Y vợi Y l Ôi lữủng

ngău nhiản ch số cởt thu phĂt tẵn hiằu cõ linh kiằn
xuống cĐp cƯn thay thá. XĂc suĐt trong mội ký
kim tra mởt cởt thu phĂt tẵn hiằu cõ linh kiằn xuống
cĐp cƯn thay thá l 0.3.

a) Tẵnh xĂc suĐt số tiÃn chi ph½ cho mët ký kiºm
tra khỉng qu¡ 23 tri»u ỗng.

b) Tẵnh chi phẵ trung bẳnh cho mởt ký kim tra.
C¥u 3. Tèc ë truy·n cõa mët sever ð mët trữớng
Ôi hồc án mĂy tẵnh cừa sinh viản trong mởt ngy
tuƠn theo luêt phƠn phối chuân vợi trung bẳnh l 100
Kbps (100 kilobit/giƠy) ở lằch chuân l 5 Kbps.
a) Tẵnh xĂc suĐt mởt file ữủc truyÃn cừa mởt tứ
sever án mĂy tẵnh sinh viản vợi tốc ở tối a l 113
Kbps. Náu cõ5file ữủc truyÃn tứ sever án mĂy tẵnh

sinh viản thẳ hÂy tẵnh xĂc suĐt trong 5 file õ cõ
ba file ữủc truyÃn vợi tốc ở a l 115 Kbps.
b) Vợi xĂc suĐt 0,90 tốc ở truyÃn tối thiu tứ sever
án mĂy tẵnh sinh viản l bao nhiảu?

CƠu 4. Mởt trang web cho php gỷi Ênh, mội Ênh
cõ kẵch thữợc X ìY pixels. Mội pixels lữu trỳ bi 2

bytes v Ênh ữủc nn vợi t lằ 10:1. Biát bÊng phƠn
phối xĂc suĐt ỗng thới cừa Ôi lữủng ngău nhiản hai
chiÃu (X, Y)nhữ sau:

X
Y

400 800 1600

800 1/4 1/6 1/12

1200 1/8 1/12 1/12
1600 1/12 1/12 1/24

a) Tẵnh dung lữủng trung b¼nh cõa mët £nh sau khi
n²n E(0,2XY).

</div>

<!--links-->