Một trăm bài tập Hình học lớp 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MOÄT TRAÊM BAØI TAÄP HÌNH HỌC LỚP 9.. Phaàn 1: 50 baøi taäp cô baûn.. 0 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 1: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 2. Chứng minh: góc DEA=ACB. 3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giaùc cuûa goùc MAN. 5. Chứng tỏ: AM2=AE.AB. Giợi ý:. y A x N E. D O. M B. C Hình 1. Ta phaûi c/m xy//DE.. 1.C/m BEDC noäi tieáp: C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuoâng. 2.C/m goùc DEA=ACB. Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v. Maø DEB+AED=2v ⇒AED=ACB 3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø đường thẳng xy (Hình 1) 1 2. Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= sñ cung AB. 1 2. Maø sñ ACB= sñ AB. ⇒goùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt) ⇒xAB=AED hay xy//DE. 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA là đường trung trực của MN.(Đường kính vuông góc với một dây)⇒∆AMN cân ở A ⇒AO là phân giác cuûa goùc MAN. 5.C/m :AM2=AE.AB. Do ∆AMN cân ở A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒góc MBA=AMN(Góc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung ⇒∆MAE. ∆ BAM⇒. MA AE ⇒ MA2=AE.AB. = AB MA.

. 1 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Baøi 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI noäi tieáp. 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) Gợi ý: 1.Do MA=MB vaø AB⊥DE taïi M neân ta coù DM=ME. ⇒ADBE laø hình bình haønh. Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE ;laø hình thoi. 2.C/m DMBI noäi tieáp. BC là đường kính,I∈(O’) nên Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt) ⇒BID+DMB=2v⇒ñpcm.. D I A. M. O. B. O’. C. E Hình 2. 3.C/m B;I;E thaúng haøng. Do AEBD là hình thoi ⇒BE//AD mà AD⊥DC (góc nội tiếp chắn nửa đường troøn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do goùc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua 1 ñieåm B coù hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC ⊥B;I;E thẳng hàng. •C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; ∆EID vuông ở I⇒MI là đường trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ⇒MI=MD. 4. C/m MC.DB=MI.DC. hãy chứng minh ∆MCI ∆DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do DMBI noäi tieáp) 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) -Ta coù ∆O’IC Caân ⇒goùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp ⇒MIB=MDB (cuøng chaén cung MB) ∆BDE cân ở B ⇒góc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp ⇒góc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI) Từ đó suy ra góc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI ⊥O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ⇒MI là tiếp tuyến của (O’).. 2 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>

 Baøi 3: Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 1. C/m BADC noäi tieáp. 2. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED. 3. C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS. Gợi ý:. D A. 1.C/m ABCD noäi tieáp: C/m A vaø D cuøng laøm với hai đầu đoạn thẳng BC moät goùc vuoâng.. 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. •Haõy c/m AMEB noäi tieáp. •Goùc ABM=AEM( cuøng chaén cung AM) Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD) Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD). S. M O. B. E. C. Hình 3. ⇒AEM=MED. 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS. -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB) -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD) DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS) ⇒Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vaäy goùc ADB=SCA⇒ñpcm..
. . 
. 3 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Baøi 4: Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 1. C/m ADCB noäi tieáp. 2. C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 3. C/m: Goùc ASM=ACD. 4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. Gợi ý:. A. S. D. M B. E. C. Hình 4. 1.C/m ADCB noäi tieáp: Hãy chứng minh: Goùc MDC=BDC=1v Từ đó suy ra A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuoâng… 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. •Do ABCD noäi tieáp neân. ⇒ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD) •Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD) •Do MC là đường kính;E∈(O)⇒Góc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM nội tieáp⇒Goùc MEA=ABD. ⇒Goùc MEA=MED⇒ñpcm 3.C/m goùc ASM=ACD. Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD. Vaäy Goùc A SM=ACD. 4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy. Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng. •Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) và AC cắt BD ở M⇒M là trực tâm của tam giác KBC⇒KM là đường cao thứ 3 nên KM⊥BC.Mà ME⊥BC(cmt) nên K;M;E thẳng haøng ⇒ñpcm.

. 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Baøi 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 1. C/m AEDB noäi tieáp. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DE⊥AC. 4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF. Gợi ý: A. N. E O. I Hình 5. B. D. M. C F. A’ 1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB…) 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng. 3/ C/m DE⊥AC. Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DE⊥AC. 4/C/m MD=ME=MF. •Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB ⇒MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)⇒MN là đường trung trực của DE ⇒ME=MD. • Gọi I là trung điểm AC.⇒MI//AB(tính chất đường trung bình) ⇒A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C). Do ADFC noäi tieáp ⇒Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ⇒Goùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1v⇒MI⊥DF.Đường kính MI⊥dây cung DF⇒MI là đường trung trực của DF⇒MD=MF. Vaäy MD=ME=MF.

. 5 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Baøi 6: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1/C/m MFEC noäi tieáp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M ∆AMP ∆FMQ. 4/C/m goùc PQM=90o. Giaûi: A M 1/C/m MFEC noäi tieáp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…) 2/C/m BM.EF=BA.EM •C/m:∆EFM ∆ABM:. F P. B. E. Ta coù goùc ABM=ACM (Vì. C. cuøng chaén cung AM) Hình 6. Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM). ⇒Goùc ABM=FEM.(1) Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).⇒Goùc AMB=FME.(2) Từ (1)và(2) suy ra :∆EFM ∆ABM ⇒đpcm. 3/C/m ∆AMP ∆FMQ. Ta coù ∆EFM ∆ABM (theo c/m treân)⇒ ⇒. AB AM = maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) FE MF. 2 AP AM AP AM = ⇒ = và góc PAM=MFQ (suy ra từ ∆EFM ∆ABM) 2 FQ MF FQ FM. Vaäy: ∆AMP ∆FMQ. 4/C/m goùc:PQM=90o. Do goùc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM ∆AFM ⇒goùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1v⇒MQP=1v(ñpcm)..

. 6 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Baøi 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này. 2. C/m ∆BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. 3. C/m GEFB noäi tieáp. 4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F. A. B. O. C. F I D. G. E. Hình 7. 1/C/m BGEC noäi tieáp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I laø trung ñieåm GC. 2/•C/m∆BFC vuoâng caân: Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o (tính chaát hình vuoâng) ⇒Goùc BCF=45o. Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp chắn nửa đường tròn)⇒đpcm. •C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BDC.ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D Do ∆BFC vuoâng caân neân BC=FC.. Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung; Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED).⇒∆BFE=∆E FD ⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒ñpcm. 3/C/m GE FB noäi tieáp: Do ∆BFC vuông cân ở F ⇒Cung BF=FC=90o.. 1 2. ⇒sñgoùc GBF= Sñ cung. 1 2. BF= .90o=45o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF) Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)⇒Goùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2v⇒Goùc GBF+FEG=2v ⇒GEFB noäi tieáp. 4/ C/m• C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ⇒Goùc BFG=BEG maø BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuông cân ở F⇒Góc BFC=1v.⇒Góc BFG+CFB=2v⇒G;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân… :Do GBC=GDC=1v⇒tâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là F⇒G nằn trên đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. •Dễ dàng c/m được I≡ F.. 7 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Baøi 8: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1. C/m BDCO noäi tieáp. 2. C/m: DC2=DE.DF. 3. C/m:DOIC noäi tieáp. 4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.. A F O. I. B. C. 1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai góc đối) 2/C/m:DC2=DE.DF. Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc D chung. 1 2. SđgócECD= sđ cung EC(Góc giữa. E. tieáp tuyeán vaø moät daây) 1 2. Sñ goùc E FC= sñ cung EC(Goùc noäi D Hình 8. tieáp)⇒goùc ECD=DFC. ⇒∆DCE ∆DFC⇒ñpcm. 3/C/m DOIC noäi tieáp:. 1 2. Ta coù: sñgoùc BAC= sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1) Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Goùc BOD=COD 1 2. ⇒2sñ goùcDOC=sñ cung BC ⇒sñgoùc DOC= sñcungBC (2) Từ (1)và (2)⇒Góc DOC=BAC. Do DF//AB⇒góc BAC=DIC(Đồng vị) ⇒Góc DOC=DIC⇒ Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…⇒đpcm 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF: Do DOIC noäi tieáp ⇒ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD) Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)⇒Goùc OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Baùn kính OI vuông góc với dây cung EF⇒I là trung điểmEF.. 8 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>

. 9 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Baøi 9: Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M≠A và M≠B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H.Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m:NQ.NA=NH.NM 3. C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. 4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất. Giải:Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a. Hình 9a. Hình 9b. M A. I Q. H. P B. O. N 1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vuông. -Tổng hai góc đối. 2/C/m: NQ.NA=NH.NM. Xét hai ∆vuông NQM và ∆NAH đồng dạng. 3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch: • Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M • Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH) Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)⇒ñpcm 4/ xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất. Ta coù 2S∆MAN=MQ.AN 2S∆MBN=MP.BN. 2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN Ta laïi coù: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2.. AB × MN =AB.MN 2. Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn nhất ⇔MN lớn nhất⇔MN là đường kính. 10 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ⇔M là điểm chính giữa cung AB. Baøi 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 2/ O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F .Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn . 3/ Chứng tỏ : BC2= 4 Rr 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giaûi:. B. 1/C/m ∆ABC vuoâng: Do BE vaø AE laø hai tieáp tuyeán caét nhau nênAE=BE; Tương tự AE=EC⇒AE=EB=EC=. E C. N O. F A. I. Hình 10. 1 BC.⇒∆ABC vuông ở 2. A. 2/C/m A;E;N;F cuøng naèm treân… -Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân. AEB⇒EO là đường trung trực của AB hay OE⊥AB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2v⇒tổng hai góc đối……⇒4 điểm… 3/C/m BC2=4Rr. Ta có tứ giác FANE có 3 góc vuông(Cmt)⇒FANE là hình vuông⇒∆OEI vuông ở E và EA⊥OI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu) Maø AH=. BC 2 BC 2 vaø OA=R;AI=r⇒ = Rr⇒BC =Rr 2 4. 4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng ⇒SBCIO= ⇒S=. OB + IC × BC 2. (r + R) rR 2. 11 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>

 Baøi 11: Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao cho OA=OB. Moät đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 1. C/m OMHI noäi tieáp. 2. Tính goùc OMI. 3. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH 4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. Giaûi: 1/C/m OMHI noäi tieáp: Sử dụng tổng hai góc đối. 2/Tính goùc OMI Do OB⊥AI;AH⊥AB(gt) vaø OB∩AH=M Nên M là trực tâm của tam giác ABI ⇒IM là đường cao thứ 3 ⇒IM⊥AB ⇒góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vuoâng goùc). A. O. M. B H. K I Hình 11. Maø ∆ vuoâng OAB coù OA=OB ⇒∆OAB vuông cân ở O ⇒góc OBA=45o⇒goùc OMI=45o 3/C/m OK=KH Ta coù OHK=HOB+HBO (Góc ngoài ∆OHB) Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc AOB=AHB=1v) ⇒Goùc HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaén. Cuøng chaén cung OH)⇒OHK=HAB+HAO=OAB=45o. ⇒∆OKH vuông cân ở K⇒OH=KH 4/Tập hợp các điểm K… Do OK⊥KB⇒ OKB=1v;OB không đổi khi M di động ⇒K nằm trên đường tròn đường kính OB. Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K laø. 1 đường tròn đường kính OB. 4.

. 12 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Baøi 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD tại E. 1. C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD. 2. C/m EFBM noäi tieáp. 3. Chứng tỏ:AC2=AE.AM 4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD 5. Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp ∆CIM Giaûi:. C N A. F. O. B. I D. M. 1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD Do AB⊥CD ⇒AB laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân COD.⇒ COA=AOD. Các góc ở tâm AOC và AOD bằng nhau neân caùc cung bò chaén baèng nhau ⇒cung AC=AD⇒caùc goùc noäi tieáp chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD. 2/C/m EFBM noäi tieáp. Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EFB=1v(Do AB⊥EF). ⇒AMB+EFB=2v⇒ñpcm. 3/C/m AC2=AE.AM C/m hai ∆ACE ∆AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø AMD=CMA cmt ⇒ACE=AMC)… 4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ⇒CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau) hay NMI=NBI⇒M và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc baèng nhau⇒MNIB noäi tieáp⇒NMB+NIM=2v. maø NMB=1v(cmt)⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Maø CD⊥AB(gt) ⇒NI//CD. 5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ∆ICM. Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của ∆CIM. • Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI • Do MNIB noäi tieáp(cmt) ⇒NIM=NBM(cuøng chaén cung MN) Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM) Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)⇒ACNI noäi tieáp⇒CAN=CIN(cuøng chaén cung CN)⇒CIN=NIM⇒IN laø phaân giaùc CIM Vậy N là tâm đường tròn……. 13 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Baøi 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE. 1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC. 3. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH. 4. BH cắt (O) ở K.C/m AE//CK.. Hình 13. B E. H I. D. O. A. K C 1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm EB⇒OH⊥ED(đường kính đi qua trung điểm của dây …)⇒AHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) ⇒A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA. 2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC. Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhau ⇒BAO=OAC vaø AB=AC ⇒cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=AC ⇒COA=BOH⇒ CHA=AHB⇒ñpcm. 3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ⇒∆ABH ∆AIB⇒ñpcm. 4/C/m AE//CK. 1 2. Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= Sñ cungBC(goùc noäi tieáp) 1 2. Sđ BCA= sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây) ⇒BHA=BKC⇒CK//AB

. 14 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Baøi 14: Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N. 1. Cmr:MCDN noäi tieáp. 2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh. 4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường naøo?. M C A. O. B. K D H. N. I. 1/ C/m MCDN noäi tieáp: ∆AOC cân ở O⇒OCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)⇒goùc ACD=ANM. Maø goùc ACD+DCM=2v ⇒DCM+DNM=2v⇒ DCMB noäi tieáp. 2/C/m: AC.AM=AD.AN Haõy c/m ∆ACD ∆ANM. 3/C/m AOIH laø hình bình haønh. • Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN⇒I laø giao ñieåm dường trung trực của CD và. Hình 14. MN⇒IH⊥MN là IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.Hai đường này cách nhau ở I. •Do H laø trung ñieåm MN⇒Ahlaø trung tuyeán cuûa ∆vuoâng AMN⇒ANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD. Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO do ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v hay ∆AKD vuông ở K⇒AH⊥CD mà OI⊥CD⇒OI//AH vậy AHIO là hình bình hành. 4/Quyõ tích ñieåm I: Do AOIH là hình bình hành ⇒IH=AO=R không đổi⇒CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R. 15 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>

. 16 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Baøi 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O). 1. C/m AHED noäi tieáp 2. Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M.C/m HA.DP=PA.DE 3. C/m:QM=AB 4. C/m DE.DG=DF.DH 5. C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn). A H. Q P. O G. B. F. E M D. C. 1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…) 2/C/m HA.DP=PA.DE Xét hai tam giác vuông đồng dạng: HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ) 3/C/m QM=AB: Do ∆HPA ∆EDP⇒HAB=HDM 1 2. Maø sñHAB= sñ cung AB; 1 2. SñHDM= sñ cung QM⇒ cung. Hình 15. AM=QM⇒AB=QM 4/C/m: DE.DG=DF.DH . Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù: Do EHAD noäi tieáp ⇒HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1) Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2) Vì F=G=90o⇒DFGC noäi tieáp⇒FDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3) FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4) Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)⇒EDH=FDG(6). Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)⇒EHD=FGD(7) ED DH Từ (6)và (7)⇒∆EDH ∆FDG⇒ ⇒ñpcm. = DF DG 5/C/m: E;F;G thaúng haøng: Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt) Do ABCD noäi tieáp⇒BAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieáp⇒EDG+EAG=2v. ⇒EDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDG⇒EDB=CDG ⇒GFC=BEF⇒E;F;G thaúng haøng..

. 17 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Baøi 16: Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua I keû IK⊥BC(K nằm trên BC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK. 1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O. 2. C/m goùc BMC=2ACB 3. Chứng tỏ BC2=2AC.KC 4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN 5. C/m: NMIC noäi tieáp.. N. M A K B. I. C. Hình 16. 1/C/m ABIK noäi tieáp (tự C/m) 2/C/m BMC=2ACB do AB⊥MK vaø MA=AK(gt)⇒∆BMK cân ở B⇒BMA=AKB Maø AKB=KBC+KCB (Góc ngoài tam giac KBC). Do I laø trung ñieåm BC vaø KI⊥BC(gt) ⇒∆KBC cân ở K. ⇒KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xeùt 2 ∆ vuoâng ACB vaø ICK coù C chung⇒∆ACB ∆ICK ⇒. AC CB BC AC BC = ⇒IC= ⇒ = ⇒ñpcm BC CK IC CK 2 2. 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài ∆IAC) và ∆IAC Cân ở I⇒IAC=ICA ⇒AIB=2IAC(1). Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB noäi tieáp) ⇒AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do ∆MNA cân ở M(gt)⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3) Từ (1);(2);(3)⇒IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)⇒… 5/C/m NMIC noäi tieáp: do MNA=ACI hay MNI=MCI⇒ hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)
. 
 18 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Baøi 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình chieáu cuûa M leân AC vaø AB. 1. C/m:MOBK noäi tieáp. 2. Tứ giác CKMH là hình vuông. 3. C/m H;O;K thaúng haøng. 4. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào?. C H A. O. B I Q. P. K. M Hình 17. 1/C/m:BOMK noäi tieáp: Ta coù BCA=1v(goùc noäi tieáp chắn nửa đường tròn) CM laø tia phaân giaùc cuûa goùc BCA⇒ACM=MCB=45o. ⇒cungAM=MB=90o. ⇒daây AM=MB coù O laø trung ñieåm AB ⇒OM⊥AB hay goùcBOM=BKM=1v ⇒BOMK noäi tieáp.. 2/C/m CHMK laø hình vuoâng: Do ∆ vuông HCM có 1 góc bằng 45o nên ∆CHM vuông cân ở H ⇒HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v ⇒CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau ⇒CHMK laø hình vuoâng. 3/C/m H,O,K thaúng haøng: Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoâng⇒HK⊥MC taïi trung ñieåm I của MC.Do I là trung điểm MC⇒OI⊥MC(đường kính đi qua trung điểm một daây…) Vaäy HI⊥MC;OI⊥MC vaø KI⊥MC⇒H;O;I thaúng haøng. 4/Do góc OIM=1v;OM cố định⇒I nằm trên đường tròn đường kính OM. -Giới hạn:Khi C≡B thì I≡Q;Khi C≡A thì I≡P.Vậy khi C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM.
. 
. 19 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>