Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng loại (kiểu) I

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ThS. ðoàn Vương Nguyên CHUYÊN ðỀ. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:  f(x, y) = 0  , trong ñó   g(x, y) = 0 .  f(x, y) = f(y, x)   g(x, y) = g(y, x) . Phương pháp giải chung:. i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và S2 ≥ 4P . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) đôi khi ta phải ựặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ.  x 2 y + xy2 = 30 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  3 .  x + y 3 = 35 . GIẢI ðặt S = x + y, P = xy , ñiều kiện S ≥ 4P . Hệ phương trình trở thành:  30  SP = 30  S = 5  x + y = 5  x = 2  x = 3  P = S     . ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∨       S(S2 − 3P) = 35   2 90   P = 6  xy = 6  y = 3  y = 2       S  S − S  = 35  2.  xy(x − y) = −2 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  3 .  x − y 3 = 2 . GIẢI ðặt t = −y, S = x + t, P = xt , ñiều kiện S ≥ 4P. Hệ phương trình trở thành:  xt(x + t) = 2  SP = 2  S = 2  x = 1  x = 1      . ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x 3 + t3 = 2  S3 − 3SP = 2  P = 1  t = 1  y = −1      2.   x + y + 1 + 1 = 4  x y Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  .  2 1 1 2  x + y + 2 + 2 = 4 x y  GIẢI Trang. 1. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ThS. ðoàn Vương Nguyên ðiều kiện x ≠ 0, y ≠ 0 . 1   1    x +  +  y +  = 4  x  y Hệ phương trình tương ñương với:  2 2   x + 1  +  y + 1  = 8   x   y     1  1 1  1 ðặt S =  x +  +  y + , P =  x +   y + , S2 ≥ 4P ta có:  x   y x  y        x + 1  +  y + 1  = 4  S = 4  S = 4    x   y    ⇔ ⇔ ⇔   S2 − 2P = 8  P = 4   1  1        x +   y +  = 4 x  y  .   x +    y + . 1 =2  x = 1 x . ⇔  1 y = 1   =2 y.  x 2 + y2 + 2xy = 8 2 (1) Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  .  x + y = 4 (2)  GIẢI ðiều kiện x, y ≥ 0 . ðặt t = xy ≥ 0 , ta có: xy = t2 và (2) ⇒ x + y = 16 − 2t .. Thế vào (1), ta ñược: t2 − 32t + 128 = 8 − t ⇔ t = 4. Suy ra:  xy = 16  x = 4 . ⇔    x + y = 8  y = 4  . II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung:. i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và S2 ≥ 4P (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:   x + y = 1 .   x x + y y = 1 − 3m  GIẢI Trang. 2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ThS. ðoàn Vương Nguyên ðiều kiện x, y ≥ 0 ta có:    x + y = 1  x + y = 1 ⇔   x x + y y = 1 − 3m  ( x)3 + ( y)3 = 1 − 3m   2 ðặt S = x + y ≥ 0, P = xy ≥ 0 , S ≥ 4P. Hệ phương trình trở thành:  S = 1  S = 1 . ⇔   2  S − 3SP = 1 − 3m P = m   1 Từ ñiều kiện S ≥ 0, P ≥ 0, S2 ≥ 4P ta có 0 ≤ m ≤ . 4  x + y + xy = m Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình  2 có nghiệm thực.  x y + xy2 = 3m − 9  GIẢI  x + y + xy = m (x + y) + xy = m . ⇔  2   x y + xy2 = 3m − 9  xy(x + y) = 3m − 9    S + P = m ðặt S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P. Hệ phương trình trở thành:  .  SP = 3m − 9  Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 − mt + 3m − 9 = 0  S = 3  S = m − 3 . ⇒  ∨   P = m − 3  P = 3    32 ≥ 4(m − 3) 21 Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm ⇔  ⇔m≤ ∨ m ≥ 3 +2 3. 2 4  (m − 3) ≥ 12  x − 4 + y − 1 = 4 Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình  có nghiệm.  x + y = 3m  GIẢI ðặt u = x − 4 ≥ 0, v = y − 1 ≥ 0 hệ trở thành:   u + v = 4  u + v = 4  ⇔ 21 − 3m .  u2 + v2 = 3m − 5  uv =   2 21 − 3m Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t2 − 4t + = 0 (*). 2 Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm  3m − 13  ∆/ ≥ 0  ≥0  13 2 ⇔  S ≥ 0 ⇔  ⇔ ≤ m ≤ 7.   21 − 3m 3 ≥0 P≥0    2. Trang. 3. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ThS. ðoàn Vương Nguyên  x 2 + y2 + 4x + 4y = 10 Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình  có nghiệm thực.  xy(x + 4)(y + 4) = m  GIẢI 2 2  x + y + 4x + 4y = 10 (x 2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10   . ⇔ 2  xy(x + 4)(y + 4) = m (x + 4x)(y2 + 4y) = m   2 2 ðặt u = (x + 2) ≥ 0, v = (y + 2) ≥ 0 . Hệ phương trình trở thành:  u + v = 10  S = 10 (S = u + v, P = uv). ⇔    uv − 4(u + v) = m − 16  P = m + 24    S2 ≥ 4P  ðiều kiện  S ≥ 0 ⇔ −24 ≤ m ≤ 1 .   P ≥ 0 . BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau  x + y + xy = 5  x = 1  x = 2 1.  2 . đáp số: . ∨   x + y2 + xy = 7  y = 2  y = 1      x 2 + xy + y2 = 3  x = −1  x = 3  x = − 3 2.  . đáp số:  ∨ ∨ .  y = −1  y = − 3  y = 3  2x + xy + 2y = −3      x + y + 2xy = 2  x = 2  x = 0 3.  3 . đáp số: . ∨   x + y 3 = 8  y = 0  y = 2     x 3 − y 3 = 7  x = −1  x = 2 4.  . đáp số:  . ∨  xy(x − y) = 2  y = −2  y = 1      1 − 37  x = 1 + 37  x − y + 2xy = 5  x = 2  x = −1  x =  4 4 5.  2 . đáp số:  ∨  ∨ ∨ . 2  x + y + xy = 7  y = 1  y = −2   − 1 − 37 − 1 + 37    y = y =  4  4  (x + y)(1 + 1 ) = 5  xy 6.  . đáp số:  2 1 2 (x + y )(1 + 2 2 ) = 49 xy    x = −1 7 − 3 5  7 + 3 5  x = −1 x=  x =   . ∨ ∨ ∨  2 2    y = 7 − 3 5  y = 7 + 3 5 y = −1 y = −1    2  2 Trang. 4. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ThS. ðoàn Vương Nguyên  x = 4  x = 9  x y + y x = 30 7.  . đáp số:  . ∨   x x + y y = 35  y = 9  y = 4     x y 7  + = +1  x = 4  x = 9 8.  y (chú ý ựiều kiện x, y > 0). đáp số:  . ∨ x xy   y = 9  y = 4    x xy + y xy = 78 2 2 3 3   x = 8  x = 64  2(x + y) = 3 x y + xy 9.  3 . đáp số:  . ∨   x + 3 y = 6  y = 64  y = 8    2 2  x + y + z2 = 8 8 8 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình  . Chứng minh − ≤ x, y, z ≤ .  xy + yz + zx = 4 3 3  HƯỚNG DẪN GIẢI  x 2 + y2 = 8 − z2  (x + y)2 − 2xy = 8 − z2 Hệ phương trình ⇔  ⇔   xy + z(x + y) = 4  xy + z(x + y) = 4    (x + y)2 − 2[4 − z(x + y)] = 8 − z2  (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 − 16) = 0 ⇔  ⇔   xy + z(x + y) = 4  xy + z(x + y) = 4    x + y = 4 − z  x + y = −4 − z . ⇔  ∨   xy = (z − 2)2  xy = (z + 2)2   Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:  (4 − z)2 ≥ 4(z − 2)2 8 8 2 (x + y) ≥ 4xy ⇔  ⇔− ≤z≤ . 2 2 3 3  (−4 − z) ≥ 4(z + 2) 8 8 ðổi vai trò x, y, z ta ñược − ≤ x, y, z ≤ . 3 3 x y  1   1  1 1  x =   +   = 2. 11.  16  2 . đáp số:   16   1  y =  x + y = 1  2 sin π (x + y)  2 =1 12.  2  2(x + y2 ) = 1  HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: (1)  2sin π(x + y) = 1  sin π(x + y) = 0  x + y ∈ Z ⇔  2 ⇔  2  2 2 2 2  2(x + y ) = 1  2(x + y ) = 1  2(x + y ) = 1 (2)     2  2 2  x ≤ 1 ≤x≤  − 1 2⇒ 2 2 ⇒ − 2 ≤ x+y ≤ 2. (2) ⇔ x 2 + y2 = ⇒   2  1 2 2 2 ≤y≤  y ≤  −  2  2 2 x + y = 0 thế vào (2) ñể giải. (1) ⇒   x + y = ±1. (. ). Trang. 5. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ThS. ðoàn Vương Nguyên Cách 2: ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:  2sin Sπ = 1  S ∈ Z   . ⇔  2(S2 − 2P) = 1  4P = 2S2 − 1   2 Từ ñiều kiện S ≥ 4P ta suy ra kết quả tương tự.      x = 1  x = − 1  x = 1  x = − 1 2 ∨  2 ∨  2 ∨  2. Hệ có 4 nghiệm phân biệt   1  1  1  1  y = y = − y = − y =  2  2  2  2. Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu  x 2 + xy + y2 = m + 6 1. Tìm m ñể hệ phương trình  có nghiệm thực duy nhất.  2x + xy + 2y = m  HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:  m = −3  3x 2 = m + 6  3x 2 − 6 = m  ⇔ 2 ⇒  2  m = 21 .  x + 4x = m  x + 4x = 3x 2 − 6     x 2 + xy + y2 = 3  (x + y)2 − xy = 3 + m = – 3:  ⇔  2(x + y) + xy = −3  2(x + y) + xy = −3      x + y = 0  x + y = −2  x = 3  x = − 3  x = −1 (loại). ⇔  ∨  ⇔ ∨ ∨  xy = −3  xy = 1  y = − 3  y = 3  y = −1      2 2 2  x + xy + y = 27  (x + y) − xy = 27 + m = 21:  ⇔   2x + xy + 2y = 21  2(x + y) + xy = 21    x + y = −8  x + y = 6  x = 3 (nhận). ⇔  ∨ ⇔   xy = 37  xy = 9  y = 3    Vậy m = 21.  x + xy + y = m + 1 2. Tìm m ñể hệ phương trình:  2 có nghiệm thực x > 0, y > 0.  x y + xy2 = m  HƯỚNG DẪN GIẢI  x + xy + y = m + 1  (x + y) + xy = m + 1  x + y = 1  x + y = m . ⇔  ⇔  ∨  2 2  x y + xy = m  xy(x + y) = m  xy = m  xy = 1      m > 0 1 Hệ có nghiệm thực dương ⇔  ⇔ 0 < m ≤ ∨m ≥ 2. 2  1 ≥ 4m ∨ m ≥ 4 4 . Vậy 0 < m ≤. Trang. 1 ∨ m ≥ 2. 4. 6. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ThS. ðoàn Vương Nguyên.  x + y = m  3. Tìm m ñể hệ phương trình  có nghiệm thực.  x + y − xy = m HƯỚNG DẪN GIẢI  x + y = m  x + y = m     x + y = m   2 . ⇔ ⇔ 2  x + y − xy = m  x + y − 3 xy = m  xy = m − m    3 2 m −m Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình t2 − mt + = 0 (*). 3  m2 − 4m ≤ 0  ∆/ ≥ 0 m = 0   Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm ⇔  S ≥ 0 ⇔  m ≥ 0 ⇔  .   2 1≤m≤4    P ≥ 0  m − m ≥ 0   Vậy m = 0 ∨ 1 ≤ m ≤ 4 .  x 2 + y2 = 2(1 + m) 4. Tìm m ñể hệ phương trình  có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt.  (x + y)2 = 4  HƯỚNG DẪN GIẢI  x 2 + y2 = 2(1 + m)  (x + y)2 − 2xy = 2(1 + m)  xy = 1 − m  xy = 1 − m  . ⇔  ⇔  ∨ 2 2 (x + y) = 4  (x + y) = 4  x + y = 2  x + y = −2    . (. ). 2. Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( ±2 ) = 4(1 − m) ⇔ m = 0 .  x + y = 2m − 1 5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình  2 . Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất.  x + y2 = m2 + 2m − 3  HƯỚNG DẪN GIẢI ðặt S = x + y, P = xy , ñiều kiện S2 ≥ 4P.  x + y = 2m − 1  S = 2m − 1 ⇔  2  2  x + y2 = m2 + 2m − 3  S − 2P = m2 + 2m − 3     S = 2m − 1  S = 2m − 1  ⇔ ⇔  (2m − 1)2 − 2P = m2 + 2m − 3  P = 3 m2 − 3m + 2   2. 4− 2 4+ 2 ≤m≤ . 2 2 3 4− 2 4+ 2 Xét hàm số f(m) = m2 − 3m + 2, ≤m≤ . 2 2 2  4 − 2  11 − 6 2 4− 2 4 + 2   = Ta có min f(m) = f  , ∀m ∈  ;   2  4 2 2   Từ ñiều kiện suy ra (2m − 1)2 ≥ 6m2 − 12m + 8 ⇔. Vậy min P =. 11 − 6 2 4− 2 ⇔m= . 4 2. Trang. 7. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>