Ôn tập toán chủ đề Đại số 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. Bài 1. Phương trình bậc hai A.Tãm t¾t kiÕn thøc 1.Phương trình bậc hai 1.1.Dạng của phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a  0 1.2.Nghiệm của phương trình bậc hai BiÓu thøc : Δ = b2 -4ac ( hay Δ ’=b’2 –ac víi b’ = b/2) * Δ < 0 : pt v« nghiÖm * Δ = 0: pt cã nghiÖm kÐp * Δ > 0: pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,2 . b  Δ 2a. ghi chú : nếu ac < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt . 1.3.§Þnh lý viet. *Nếu phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thì S = x1 +x2 = . b c ; x1x2 = . a a. *Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P  0 thì x1,x2 là nghiệm của phương trình : x2 –Sx +P = 0 ghi chó: Nếu a +b +c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a. Nếu a -b +c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a. NÕu pt cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 th× ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2). 2.Phương trình bậc bốn đưa về phương trình bậc hai 2.1.D¹ng 1. ax4 +bx2 +c = 0 ( a  0) (phương trình trùng phương) Đặt t = x2 với t  0 ta có phương trình : at2 +bt +c = 0 2.2.D¹ng 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k  0. đặt t = ( x+a)(x+b). 2.3.D¹ng 3. (x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0) §Æt t = x +. ab 2. 2.4.D¹ng 4. ax4 +bx3 +cx2  bx +a = 0 víi a  0 Chia 2 vế cho x2 và đặt t  x  Ghi chó: nÕu t = x +. 1 ta có phương trình : at2 +bt +c +2a = 0 x. 1 thì ta có đều kiện t  2. x. Giải tương tự cho phương trình :. GV: Vò Hoµng S¬n. ax4. +bx3. +cx2. Lop10.com. e d  dx +e = 0 víi    a b. 2. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. B.Phương pháp giải toán ví dụ 1: Tìm m để phương trình : x2 -10x +9m = 0 a)cã hai nghiÖm. b)x1- 9 x2 =0 Hướng dẫn: a) m  0;m . (1). 9 . 25. b) áp dụng định lí viet ta được m = 0; m = 1. Ví dụ 2.Tìm m để phương trình : x2 +(m-1)x +m + 6 = 0 (1) 2 2 Cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 +x2 = 10 Hướng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phương có 2 nghiệm. Ta ®­îc m = -3 ; m = 7 so víi ®iÒu kiÖn ta cã m = -3 . Ví dụ 3 định m để phương trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0 (1) Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x12 +x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: *§iÒu kiÖn pt cã 2 nghiÖm lµ m  2;m  1 *A = …= 4[(m+2)2 -1]  4 khi m = -2. v¹y A nhá nhÊt b»ng -4 khi m = -2. Ví dụ 4 Gải các phương trình: a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 §S: x = 4 ; x = -8. 4 4 b) x + ( x-1) = 97. §S: x = 3 ; x = -2. 4 3 2 c) 6x -35x +62x -35x +6 = 0 §S: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3. Ví dụ 5 Cho phương trình : mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0 Tìm m để phương trình : a) Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. §S: 0 < m < 3. b) Có hai nghiệm dương phân biệt. §S: m< 0; 3< m <4. c) Có đúng 1 nghiệm âm. §S: 0 < m < 3. Ví dụ 6 Cho phương trình ( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0 Định m để phương trình trên a)cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. b)cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c)cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. d)cã 1 nghiÖm ph©n biÖt. e) v« nghiÖm . §S: m < -3 ; m > 3/2.. Bµi tËp sè 1 1.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = 0 b). mx2. §S: m > 1/2.. 1  m   §S:  24 m  0. –( 2m+1)x +m -5 = 0. 2.Cho phương trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0. (1). 2 2 . ;m  2 2. a) Định m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2.. §S: m  . b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 .. §S: P – S -1 = 0. GV: Vò Hoµng S¬n. Lop10.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. c) TÝnh theo m,biÓu thøc A = x1 +x2 . 3. §S:A=2(1+2m)(16m2+4m-5).. 3. §S: m . d)Định m để pt(1) có x1 = 3x2. e)viÕt pt bËc hai cã nghiÖm lµ x12 vµ x22 .. 1 2 7 . 6. §S:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0. 3.Cho phương trình : x2 -6x +m -2 = 0 Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 4.Cho phương trình : mx2 +2(m +3)x +m = 0 Định m để phương trình :. §S: 2 < m < 11.. 3  m   §S:  2 m  0. a) Cã hai nghiÖm cïng dÊu. b) Cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt 5.Giải các phương trình :. §S: m > 0.. 3  73 .b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16. §S: -5;-3. 2 3  5 §S: 1; d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.§S:1 ;2. 2. a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36. §S: 0;-3; c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0.. Bài 2.Hệ phương trình Vấn đề 1:Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. Phương pháp giải: +Từ phương trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia. +Thế vào phương trình bậc hai còn lại để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.. 2 x  3 y  1. VÝ dô 1.gi¶i hÖ . 2  x  xy  24. (1). §S: (-9;-19/3);( 8;5).. (2). Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1. -ta qui ước gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phương trình của hệ là đối xứng đối víi x,y. Phương pháp giải: +Đặt S = x +y; P = xy. đưa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình của hệ là đối xứng đối với x,y. +Tìm S,P . x,y là nghiệm của phương trình tổng tích X2 –SX+P = 0. Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S2 - 4P  0.  x  y  xy  5. VÝ dô 2.Gi¶i hÖ . §S: (1;2) ,(2;1).. 2 2 x  y  5 1 1  x  y   5  x y  VÝ dô 3 Gi¶i hÖ   x 2  y2  1  1  9  x 2 y2 . GV: Vò Hoµng S¬n.  3 5  3 5  DS:  1; ;1  ; 2 2    Lop10.com. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. NhËn xÐt: nÕu hÖ cã nghiÖm (x0;y0) th× hÖ cã nghiÖm (y0;x0). Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2. -Ta quy ước gọi một hệ hai phương trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia. Phương pháp giải: +Trừ vế với vế các phương trình đã cho. +Phương trình trên sẽ được đưa về phương trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y. +ứng với từng trường hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ để có một hệ con,gi¶i hÖ con nµy . +Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho. 2  x  3x  2 y VÝ dô 4 Gi¶i hÖ  2  y  3 y  2 x. §S: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2).. Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai. ĐN: Hệ 2 ẩn x,y được gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng. ax 2  bxy  cy2  d  2 2 a 'x  b'xy  c' y  d ' Phương pháp giải: +XÐt xem x =0 cã lµ nghiÖm cña hÖ hay kh«ng? + khi x  0,ta đặt y = kx *Thế vào hệ ,khử x,ta được 1 phương trình bậc hai theo k . *Giải tìm k,ứng với mỗi trường hợp của k ta tìm được (x,y). VÝ dô 5 Gi¶i hÖ. 2 2 3x  2 xy  y  11  2 2  x  2 xy  3 y  17. (1) (2). 5  4 5   4 ; ; ,  . 3   13 3   3. §S: 1; 2 , 1; 2 , . Bµi tËp sè 2 1.Gi¶i hÖ :. 2 x  3 y  2 a)   xy  x  y  0 2.Gi¶i hÖ :.  x 2  y2  10 a)  x  y  4  x y 13    c)  y x 6 x  y  5 . y  x2  4x b)  2 x  y  5  0.  5 7 §S: (4;-2) ,   ;  .  2 3.  x  y  xy  5. §S: (3;1),(1;3).. b) . §S: (3;5),(5;3)..  x 3  y3  2 d)   x x  y   2. x 2  y2 xy  78 e)  4 4  x  y  97. GV: Vò Hoµng S¬n. 2 2  x  y  xy  7. §S:(1;3),(5;-5).. §S: (1;2),(2;1).. §S: (1;1).. §S: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3).. Lop10.com. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. 3.Gi¶i hÖ:.  x 2  2 y2  2 x  y a)  2 2  y  2 x  2 y  x  x 3  2 x  y b)  3  y  2 y  x  x 2  3xy  y2  1 c)  2 2 3x  xy  3 y  13 2  y  3xy  4 d)  2 2  x  4 xy  y  1. §S: (0;0),(-3;-3).. . §S: (0;0),(1;-1),(-1;1),( 3; 3 ),  3;  3. . §S: (1;2),(2;1), (-1;-2), (-2;-1) §S: (1;4), (-1;-4). 4.Gi¶i hÖ:. 1 1  x  y   5  x y a)   x 2  y2  1  1  9  x 2 y2.  3 5  3 5  ;1  , 2 2   . §S:  1;. Bài 3: Giải bất phương trình Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phương trình hữu tỉ. A-XÐt dÊu biÓu thøc E + Viết E dưới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất. + LËp b¶ng xÐt dÊu. B- Giải bất phương trình hữu tỉ + ChuyÓn tÊt c¶ c¸c h¹ng tö sang 1 vÕ + Rót gän biÓu thøc cã ®­îc + Xét dấu biểu thức đó + Dùa vµo b¶ng xÐt dÊu, chän miÒn nghiÖm. VÝ dô 1: XÐt dÊu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3) 2  x – 4 cã 2 nghiÖm lµ -2; 2  x2 – 4x + 3 cã 2 nghiÖm lµ 1; 3 LËp b¶ng xÐt dÊu . Ví dụ 2: giải bất phương trình : HD: (1) . x  5 2x  1  2 2x  1 x  5. (1). x 2  12 x  36 0 2 x  1x  5 . LËp b¶ng xÐt dÊu,ta ®­îc tËp nghiÖm x < -5; 1/2 < x < 6 ; x > 6. Bµi tËp 1.Giải các bất phương trình: a) x2 -7x +10 < 0 §S: 2 < x < 5. b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6)  0.. x x3 0 1  2x 2. c). §S: 1  x  3 .. x  3x  2  0 §S: x <1; 1< x <2 ; x  3. x2  4x  3 2. §S: x > 1/2.. 2.Giải các bất phương trình sau :. GV: Vò Hoµng S¬n. d). Lop10.com. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ¤n tËp to¸n. a) b) c) d). Chủ đề đại số 10. x2  4x  3 1 x 3  2x 1 2 3   x 1 x  2 x  3 x  2 x  3 x 2  4 x  15   1 x x 1 x2  1 2 1 4   2 x  2 2 x  2x. §S: x < 0 ; 1 < x < 3/2. §S: x <-1; 3/2< x<2; x >3. §S: 5  x  2; 1  x  1.. 4  x  0  x  2. §S: . 3. Giải các bất phương trình sau : a) x(x+1) <. 42 x  x 1 2. §S: -3 < x <2.. b) x2 +(x+1)2 . c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24. §S: -4 < x< 1. Vấn đề 2.Giải hệ bất phương trình *Giải từng bất phương trình *kÕt hîp nghiÖm cßn l¹i ta ®­îc nghiÖm cña hÖ . 2  x  7 x  6  0 VÝ dô 1. Gi¶i hÖ :  2  x  8x  15  0 Gi¶i : gi¶i (1) : 1  x  6 Gi¶i (2) : x  3; x  5. 15 §S: 2  x  1 . x  x 1 2. (1) (2). KÕt hîp (1) vµ (2) ta ®­îc §S: 1  x  3; 5  x  6. Bµi tËp:. 1.Giải các hệ bất phương trình. 3x 2  8x  3  0 b)  §S: VN 2 17 x  7  6 x  0  3 ;x  1. §S: 4  x  5.  x 2  x  12  0 a)  §S: 1/2 < x < 4. 2 x  1  0  x2  2x  7 c) 4  1 x2  1. Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R. Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > 0 , x  R Gi¶i:  m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0  x  0. do đó m = 0 không nhận được.  m 0. a  m  0. m  0   m  2.  2 m   2 ;m  2 Δ '  4  m  0  . f(x) > 0 , x  R  . Ví dụ 2.Định m để bất phương trình sau vô nghiệm (m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0. (1). Bµi tËp. HD:. 1 7 1 7 m 2 2. 1) f(x) = +m +3  0, x  R  -2  m  6 2 2) f(x) = mx –mx -5 < 0 , x  R  20  m  0. ……………………. x2-mx. GV: Vò Hoµng S¬n. Lop10.com. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. Bài 4. Phương trình –Bất phương trình chứa căn thức Vấn đề1.Luỹ thừa các vế. Chó ý:. B  0 A B 2 A  B. Ví dụ 1.Giải bất phương trình : x 2  1  x  2 Ví dụ 2.Giải phương trình: x  1  8  3x  1 Vấn đề 2. Đổi biến đưa về phương trình hữu tỉ.. §S: x = -5/4. §S: x = 8.. VÝ dô: (x + 1)(x + 4) – 3 x 2  5 x  2  6 Vấn đề 3. Đưa về hệ phương trình hữu tỉ bằng cách đặt ẩn số phụ. VÝ dô: 3 x  1  x  3 Vấn đề 4. Đưa về phương trình chứa trị tuyệt đối.. §S: x = -7; x = 2 §S: x = 7. VÝ dô: x  2  2 x  1  x  2  2 x  1  2 Vấn đề 5. Bất phương trình chứa căn thức. C¸c d¹ng c¨n b¶n. §S: -1  x  0. B  0 B  0 A B vµ  2 A  0  A  B B  0 A B 2 0  A  B. Ví dụ: Giải bất phương trình : x 2  1  x  2 Ví dụ: Giải bất phương trình: x 2  3x  4  x ……………………………………………. Bài tập tương tự I.Giải các phương trình : 1). x 2  2x  4  2  x §S: -2.. 2). 3x 2  9x  1  x  2 §S: 3.. 3). 3x 2  9x  1  x  2 §S: 3;-1/2.. 4). 3x  7  x  1  2. §S: 1;3.. 5) 3 x  5  3 x  6  3 2 x  11 7). 3. 9). §S: -6;-5;-11/2.. 6). 3. x  1  3 3x  1  3 x  1 §S: -1.. 1  x  3 1  x  2. §S: 0.. 8). 3x 2  2x  15  3x 2  2x  8  7 §S: 1;-1/3.. x 2  9  x 2  7  2. §S: 4;-4.. 10). 4. 47  2x  4 35  2x  4 §S: -17;23.. x  2  2x  5  x  2  3 2x  5  7 2 12) 3 5x  7  3 5x  12  1 11). §S: 15. §S: -3;4.. II.Giải các bất phương trình : 1). x 2  x  12  7  x §S: x  3; 4  x . 3). x 2  3x  10  x  2. 61 .2) 3. §S: x  2; x  14.. 4) x  3  7  x  2 x  8 5). §S: 4  x  5; 6  x  7. §S: . 2x  3  x  2  1. GV: Vò Hoµng S¬n. 21  4 x  x 2  x  3 §S: 1  x  3. Lop10.com. 3  x  2(1  3 ) 2. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ¤n tËp to¸n. Chủ đề đại số 10. Một số đề thi Đại học I.Phương trình 2 x  2  2 x  1  x  1  4.. 1. Giải phương trình:. 3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5 x  2. 2.Giải phương trình :. x  R . x 2  mx  2  2 x  1.. 3.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :. 4.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x  1 + m x  1 = 2 4 x 2  1 5.Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m ,phương trình sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x2 +2x - 8 = m( x  2) . II. Bất phương trình 1. 8 x 2  6 x  1  4 x  1  0.. 2. x 2  2 x 2  4 x  3  6  2 x.. 3. 2x2 +4x +3 3  2x  x 2 > 1.. 4.. 5. 7.. 5x  1  x  1  2 x  4 2(x 2  16) x 3.  x 3 . x  12  x  3  2 x  1 2x  7  5  x  3x  2.. 6.. . 7x . x 3. m. 9.Tìm m để bất phương trình :. . 8. x 2  3x . 2 x 2  3x  2  0..  x  2x  2  1 x 2  x   0 cã nghiÖm x  0;1  2. 3 . III. Hệ phương trình.  x 2  1  y ( y  x)  4 y 2.  2 ( x  1)( y  x  2)  y 2 2  x  xy  y  3( x  y ) 4.  2 2 2  x  xy  y  7( x  y ) 1 1  x  x  y  y 6.  2 y  x 3  1 .  x 2  y2  x  y  4 1.   x(x  y  1)  y(y  1)  2. 3 3  x  8 x  y  2 y 3.  2 2  x  3  3( y  1). x,y  A  ..  x  5  y  2  7 5.   x  2  y  5  7 5  2 3 2 x  y  x y  xy  xy    4 ( x, y  A ). 7.  5  x 4  y 2  xy (1  2 x)    4 2 2  xy  x  y  x  2 y 9.  x,y  A   x 2 x  y x  1  2 x  2 y.  x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9. 8. . 2  x  2 xy  6 x  6. 2 x  y  m  0. 10.Tìm m để hệ phương trình : . x  xy  1. x,y  A . cã nghiÖm duy nhÊt ..  x  y  1. 11.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm . x x  y y  1  3m. …………………………………………………... GV: Vò Hoµng S¬n. Lop10.com. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>