Giáo án Bám sát Toán 10 tuần 10 đến 19
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.82 KB, 14 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÁM SÁT TOÁN 10. 1. Tuần 10,11,12. TÍCH VO HƯỚNG CỦA HAI VECTO. Phương pháp 1. r. r. r r. r r. Sử dụng định nghĩa : đưa hai véc tơ a vàb về cùng gốc để xác định góc ( a ,b ) rồi tính a .b =. r r. a .b. r r. cos( a ,b ). Phương pháp 2 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các hằng đẳng thức véc tơ và thường phối hợp với phương pháp 1. Phương pháp 3 uuur. uuur. uuur uuuuur. uuur uuur. Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ AB và CD , ta có : AB . CD uuu = AB . C ' D ' = AB .CD r Trong đó C’,D’ là hình chiếu của C và D trên đường thẳng chứa véc tơ AB . Phương pháp 4 Sử dụng biểu thức tọa độ. VÝ dôuuu 1:r Cho tam gi¸c c©n ABC t¹i A,¢= 120 , AB=AC=a, I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp . a) uur uuur uur uuur uuur uuur uur uur uuur tÝnh AB . CA ; AB . I H ; b)tÝnh AB . BC + BC . CA + CA . AB gi¶i: A a). uuur uur uuur uur 1 AB . CA =a2cos( AB , CA )=a2cos60= a2 2. BC=2BH=2ABsin60=. I. 3a. B ¸p dông c«ng thøc: IH= r = uuur uur. VËy AB . I H =a. uuur. uuur. a. 3. cos 60o =. 4(2 +. 3). r. uuur. uur. H. C. SVABC a sin 120 a 3 = = p 2(2a + a 3) 4a(2 + 3) 2. uuur. o. 2. a2 3 8(2 +. 3). uur. b) AB + BC + CA = 0 ( AB + BC + CA )2=0 uuur uuur. uuur uur. uur uuur. uuur uuur. uuur uur. uur uuur. AB2+BC2+CA2+2( AB . BC + BC . CA + CA AB )=0 AB . BC + BC . CA + CA . AB = VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC cã BC=a, AB=c, CA=b uuur uuur. tÝnh ABuuu . rACuuurtheouuua, b, c. r uur uur uuur suy ra AB . BC + BC . CA + CA . AB uuur uuur Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos( AG , BC ) Gi¶i:. uuur 2. uuur. uuur. uuur. uuur. Ta cã BC2= BC =( AC - AB )2=AC2+AB2-2 AC . AB uuur. uuur. 1 2 uur uuur CA . AB. Do đó AC . AB = (AC 2 + AB 2 - BC 2 ) = b) Tõ (1) : Tương tự:. uuur uuur. AB . BC =. =. 1 (b2+c2-a2) 2. 1 2 2 2 (a -b -c ) 2. 1 (b2-c2-a2) 2. Vµ. uuur uur. BC . CA =. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. (1). Ghi nhí c«ng thøc (1). 1 2 2 2 (c -a -b ) 2. 5a 2 2.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 uuur uuur. uuur uuur. 2 uuur uur. AB . BC + AB . BC + BC . CA =. 1 2 2 2 1 1 1 (a -b -c )+ (b2-c2-a2)+ (c2-a2-b2)=- (a2+b2+c2) 2 2 2 2. Chó ý : cã thÓ lµm theo c¸ch nh vÝ dô 1 (C©u b) uuur. 1 uuur 3. uuur. uuur. 1 uuur 9. uuur. uuur uuur. 1 9. 1 9. c) AG = ( AB + AC ) ; AG2= AG 2= ( AB + AC )2= (AB2+AC2+2 AB . AC )= (c2+b2+ b2+c2-a2) 1 1 (2b2+2c2-a2) AG= 2b2 + 2c2 - a2 . 9 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 AG .BC Cos( AG , BC )= uuur uuur (1) AG . BC = ( AB + AC ).( AC - AB )= (b2-c2) (2) 3 3 AG . BC. =. uuur uuur. Thay (2) vµo (1) : Cos( AG , BC )=. b2 - c2 a. 2b2 + 2c2 - a 2. Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ. AD= a.. uuur uuur. uuur uuur. uuur uuur. Tính các tích vô hướng AB . CD , BD . BC vµ AC . BD . uur uuur Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD, tÝnh AI . BD . Suy ra gãc cña AI vµ BD. Gi¶i : uuur uuur a) BA lµ h×nhuuchiÕu cña CD lªn ®êng ur th¼ng chøa BA . uuur uuur uuur uuur uuur Ta cã AB . CD = AB . BA =- AB 2=-4a2 uuur uuur uuur uuur BD . BC = BH . BC =a.3a=3a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC . BD =( AB + BC ). BD = AB . BA + BC . BD =-4a2+3a2=-a2 uuur. uur uuur. uuur. uuur uuur. uuur. A. D. I. uuur uuur. uuur uuur uuur uuur. 1 1 b) AI . BD = ( AD + AC ).( AD - AB ) = ( AD 2- AD . AB + AC .BAD - AC . AB ) 2. uuur uuur ìï uuur 2 ïï AD = a 2 ; AD .AB = 0 ïï uuur uuur uuur uuur Mµ ïí AC .AD = AK .AD = 3a2 ïï uuur uuur uuur uuur ïï AC .AB = AB .AB = 4a 2 ïï î. 2. uur uuur. 1 2. VËy AI . BD = (a2+3a2-4a2)=0 AI BD. Bµi tËp : uuur uuur uuur uuur 1.Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC, AB=AC=a. TÝnh AB . AC ; AC . CB 2.Cho tam gi¸c ABC cã AB=4, BC=7, ca=9. uuur uuur uuur uur uuur a) TÝnh BC 2 råi suy ra AB . AC vµ tÝnh cos¢; b) TÝnh CA . CB uur uuur c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. TÝnh CI . CB 3.Cho tam gi¸c ABC cã BC=4 , CA=3, AB=2. uuur uuur uuur uuur a) TÝnh AB . b) G lµ träng t©m tam gi¸c ABC. TÝnh AC suy ra cos¢; AG . BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur . + GB .GC + GC .GA ; c) TÝnh GAGA uuur uuur uuur d) AD lµ ph©n gi¸c trong cña gãc BAC (DBC).TÝnh AD theo AB vµ AC . suy ra : AD 4. cho tam gi¸c ABC cã AB=2, AC=3, ¢=. 2p 3. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. C.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 3 a) TÝnh BC, AM (M lµ trung ®iÓm cña BC). b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi : 5. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a. Hãy tính AB trong các trường hợp sau : uur uur uuur uuur uuur uuur a) AC . AB =a2 b) AC . BD =-a; c) I C .I D =a2 (I lµ trung ®iÓm cña AB) A. 6. Cho h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng ë A vµ B víi AD=2a , AB=BC =a. uuur uuur a) TÝnh AC . BD uuuuur uuur uuur b) Suy ra h×nh chiÕu A 'C ' cña AC lªn BD. D. A. D C’ A’ C’. B A’. C. B r»ng : C 7. Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A ; Mlµ trung ®iÓm cña BC . Biªt uuuur uuur. AM . BC =. a2 2. . TÝnh AB, AC. r r. r. rr. r. 8. Cho c¸c vÐc t¬ a, b biÕt r»ng 2a - b = 3 . TÝnh a.b ? 9.Cho tam gi¸c ABC víi BN vµCP lµ c¸c trung tuyÕn. uuur uur uuur uuur BiÕt BN . CP =x ; BN . CA =y ; CP . AB =z (x, y, z R) . H·y tÝnh 3 c¹nh AB, BC, CA theo x, y, z. uuur uuur. 10. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a .. Lấy M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a) . uuuur. uuur. uuur. b) Tính x để AM PN. a) TÝnh AM theo AB vµ AC . §¸p sè vµ gi¶i : uuur uuur. uuur uuur. 1. ®s: AB . AC =0; AC . CB =-a2 2 3. 2. ®s: a) 49; 24; cos¢= . 3. ®s : a) 4.. 3 ; 2. cos¢= -. uur uur uur uuur 57 ; 2I A + I B = 0; JB = 2JC 2 uuur uuur 5 1 29 c) = - (AB 2 + BC 2 + CA 2 ) = AG . BC = 3 6 6. b) 57 1 4. b). ®s : a) BC= 19 ; AM= uuuuur. uuur. d) H×nh chiÕu A 'C ' cña AC lªn 5. ®s : a) AB=a;. b) AB= a 3 ;. 7 2 uuur BD. c). b) IJ=. 2 133 3. uuuuur. uuur. ngược hướng với BD và có A 'C ' =. a 2. c) AB=2a uuur uuur. uuur. uuur. uuur. uuur. uuur. uuur uuur. d) §Æt AB=x>0 Ta cã BD= x 2 + a2 ; AC . BD =( AB + BC )( BA + AD )=- AB 2+ BC . AD =x2+2a2 uuur uuur. uuuuur uuur. uuuuur uuur. Mặt khác theo định lý hình chiếu : AC . BD = A 'C ' . BD = A 'C ' BD cos180=Dẫn đến phương trình : 2a2-x2=-. a 2. a 2. x 2 + a2. x 2 + a 2 Giải phương trình ta được x= a 3 . Vậy AB= a 3. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> BÁM SÁT TOÁN 10. 4. 7. ®s: AB=a, AC= a 2 rr. 8.®s : a.b =. 1 2. 9. Hướng dẫn giải : uuur. uuur. uuur. uuur. 1 uuur 2. ph©n tÝch BN = BA + AN = - AB + AC uuur uuur. uuur. (1) ; 1 uuur 2. uuur uur uuur uur 1 uuur CP = CA + AP = CA + AB 2 uur. 1 uuur 2. uuur uuur. (2) uuur. uuur. Thay (1),(2) vµo BN . CP =x(- AB + AC ).( CA + AB )=x5 AB . AC -2 AB 2-2 AC 2=4x uuur uuur. §Æt AB . AC =t; AB=c; AC=b Ta ®îc : 5t-2c2-2b2=4x uuur uur. Gi¶i hÖ. uuur uuur. BN . CA =y -b2+2t=2y ;. Tương tự :. CP . AB =z-c2+2t=2z. ìï AB = ìï 5t - 2c2 - 2b2 = 4x ìï t = (4y - 4x - 4z) / 3 ïï ïï ïï ï ï 2 ïí - b2 + 2t = 2y í c = (8y - 8x - 2z) / 3 ïí AC = ïï 2 ïï 2 ï ïï - c + 2t = 2z ïï b = (2y - 8x - 8z) / 3 ïïï BC = ïî ïî ïî. (8y - 8x - 2z) / 3 (2y - 8x - 8z) / 3 (2y - 8x - 2z) / 3. 10.Gi¶i : a) BM=a; BC=3a. Suy ra : uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur r r 2 uuur 1 uuur 2MB + MC = 0 Û 2(AB - AM ) + (AC - AM ) = 0 Û 2AB + AC = 3AM Û AM = AB + AC 3 3 uuuur uuur. 2 uuur 3. 1 uuur 3. uuur. uuur. b) AM PN AM . PN =0 ( AB + AC ).( AN - AP )=0 2 uuur 3. 1 uuur 3. 1 uuur 3. ( AB + AC ).( AC Tuần 13,14,15. x uuur 1 x 4a AB )=0 (2- ). +9a2-18ax=0x= 3a a 2 5. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng Chøng minh hai vÐc t¬ vu«ng gãc ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn vu«ng gãc. Phương pháp : sử dụng 3 quy tắc như ở vấn đề 1. uuur uuur uuur Về độ dài , chú ý rằng : AB2= AB 2=( (OA - OB ) 2 với O là một điểm tùy ý ur. r. ur. r. b vu«ng gãc ta chøng minh a . b =0 r ur Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề : a b §Ó chøng minh hai vÐc t¬ a vµ. VÝ dôuuu 1r : Cho tam gi¸c ABC , G lµ träng t©m , Chøng minh r»ng : uuur uur uuuur uuur uuur a) MA . BC + MB . CA + MC . AB =0 Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. . ur. r. a . b =0.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> BÁM SÁT TOÁN 10. 5. b) MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2, víi M lµ mét ®iÓm tïy ý. Suy ra vị trí của M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. uuur uuur. Gi¶i :. uuur. uuuur uuur. uuur uuuur uuur uuur. a) MA . BC = MA .( MC - MB )= MA . MC - MA . MB uuur uur. Tương tự:. uuur uuur uuur uuuur. MB . CA = MB . MA - MB . MC. uuuur uuur. ;. MC . AB. uuuur uuur uuuur uuur. = MC . MB - MC . MA. Céng tõng vÕ ta cã kÕt qu¶ c©u a) uuuur. uuur. uuur. uuuur uuur. b) Ph©n tÝch AM2= MA 2=( MG + GA )2=MG2+GA2+2 MG . GA uuuur uuur. Tương tự. uuuur uuur. MB2=MG2+GB2+2 MG . GB ;. MC2=MG2+GC2+2 MG . GC. Cộng từng vế 3 đẳng thức ta được: MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2 Từ đó MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B VÝ dô 2 : Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC vµ H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. uuuur uuur. a) MH . MA = 1 BC2. Chøng minh r»ng :. b) MA2+MH2=AH2+. 4. Gi¶i :. BC2. A uuuur uuuur. uuuur uuur. a). 1 2. Ta cã : 4 MH . MA = -4 MH . AM =. uuuur. uuur. uuuur uuur. uuur. uuuur uur. -2 MH .( AB + AC ) =2 MH . BA +2 MH . CA = uuuur. uuur. H. uuur uur =2( MC + CH ). BA +2( MB + BH ) CA uuuur uuur. uuur. uuur. uuur uur. uuuur. uuur uur. uuur uuur. uuur. =2 MC . BA +2 MB . CA =2 MC .( BA - CA )= BC . BC = BC 2= BC2 uuuur uuur. uuuur uuur. b) AH2=( MH - MA )2=MH2+MA2-2 MH . MA =MH2+MA2-. B. M. C. 1 1 BC2 MA2+MH2=AH2+ 2 2. BC2 VÝ dô 3 : Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. M lµ mét ®iÓm tïy ý. Chøng minh : uuur. uuuur. uuur. uuur. a) MA + MC = MB + MD. uuur uuuur. uuur uuur. b) MA . MC = MB . MD. c) MA2+MC2=MB2+MD2 A. Gi¶i : a ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DB. uuur. uuuur. uuur. uuur. O. uuur. uuur. Ta cã : MA +uuu MC =2 MO ; MB + MD =2 MO r uuuur uuur uuur VËy MA + MC = MB + MD uuur uuuur. uuur uuur. uuur uuur. B. uuur. uuur. D uuur uuur. b) MA . MC =( OA - OM ).( OC - OM )=( MO + OA ).( MO - OA )=MO2-OA2 Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. C.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> BÁM SÁT TOÁN 10. 6. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MB . MD =( OB - OM ).( OD - OM )=( MO + OB ).( MO - OB )=MO2-OA2 uuur uuur. uuur. uuuur. uuur. uuur. uuur. uuuur. uuur. uuur. c) Theo c©u a) : MA + MC = MB + MD ( MA + MC )2=( MB + MD )2 uuur uuuur. uuur uuur. MA2+MC2+2 MA . MC =MB2+MD2+2 MB . MD MA2+MC2=MB2+MD2 (theo c©u b) Bµi tËp :. 1. Cho tø gi¸c ABCD cã E, F lµ trung ®iÓm c¸c ®êng chÐo. uuur uuur a) Chøng minh : 2 AC . BD =AB2-BC2+CD2-DA2 b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là : 2 AB +CD2=BC2+DA2 c) Chøng minh : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2 2. Cho bèn ®iÓm A, B, C vµ M tïy ý. Chøng minh hÖ thøc : uuur uuur uuur uur uuuur uuur a) MA . BC + MB . CA + MC . AB =0 b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đường cao đồng quy. 3. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp . Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB vµ E lµ träng t©m tam gi¸c ACD . Chøng minh r»ng OE vu«ng gãc víi CD. 4. Cho đường tròn (O, R) .Chứng minh điều kiện cần và đủ uuur uuur để AM là tiếp tuyến với đường tròn tại M là: OA . OM =R2 5. Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O, ®êng kÝnh AB=2R. Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AM vµ BN . uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur a) chøng uuu minh : AM . AI = AB . AI ; BN . BI = BA . BI ur uur uuur uur b) TÝnh AM . AI + BN . BI theo R 6. Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn AM, ®êng cao AH. Chứng minh các đẳng thức sau : uuur uuur. a). AB AC =AM2-. BC 2. 4 uuur uuuur. c) AB2-AC2=2 AB . MH ;. =. 1 1 (AB2+AC2-BC2); b) AB2+AC2= 2AM2+ BC2 2 2 uuur uuur 1 AB 2 .AC 2 - (AB .AC )2 d) SABC= 2. 7. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b . T×m hÖ thøc gi÷a a, b, h sao cho: a)AC vu«ng gãc víi BD ; b) BD vu«ng gãc víi trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC. 8. Cho tam gi¸c ABC vµ hai trung tuyÕn BM, CN. §Æt BC=a, CA=b,AB=c. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, c khi BMvu«ng gãc víi CN 9. Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b . T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, h sao cho : a) CI vu«ng gãc víi DI (I lµ trung ®iÓm cña AB ); b) BD vu«ng gãc víi CI c) AC vu«ng gãc víi DI d) Trung tuyÕn BM cña tam gi¸c ABC vu«ng gãc víi trung tuyÕn CN cña tam gi¸c BCD 10. Cho tø gi¸c ABCD .Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh b×nh hµnh khi vµ chØ khi : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB . AD + BA . BC + CB . CD + DC . DA = 0 Lời giải và đáp số :. A. Gv: Trần Thị Duyên E Lop10.com. D O.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 3. Gi¶i : uuur uuur Ta chøng minh OE . CD =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ThËt vËy : OE . CD =( AE - AO ).( AD - AC )=. 7. uuur. 1 uuur uuur ( AC + AD ) (v× E lµ träng t©m cña tam gi¸c ADC) 3 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur OE . CD =[ ( AC + AD )- AO ].( AD - AC )= 3 uuur uuur uuur uuur 1 = (AD2-AC2)- AO . AD + AO . AC (1) 3 uuur uuur uuur uuur 1 Thay AO . AC = AF . AC (định lý hình chiếu, với F là trung điểm của AC bằng AC2 2 uuur uuur uuur uuur 1 Và AO . AD =AD2 (định lý hình chiếu) Vào (1) , ta được OE . CD = (AC2- 4AD2)= 0 6. Mµ AE =. 4. Gi¶i : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur XÐt ®iÓm uuur M tïy ý(O, R) ( OA OM OA . OM =0 OM + MA ). OM =0 OM2+ MA . OM uuuur uuur uuuur =0 OM . AM =OM2 OM . AM =R2 5. Gi¶i : uuuur uuur a) AM lµ h×nh chiÕu cña AB trªn ®êng th¼ng AI. uuur uur uuuur uur Vậy AB . AI = AM . AI (định lý h×nh chiÕu) uuur uuur uuur uur uuur uur BN lµ h×nh chiÕu cña BA lªn ®êng th¼ng BI. VËy : BA . BI = BN . BI . uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uuur b) AM . AI + BN . BI = AB . AI + BA . BI = AB .( AI - BI )= AB 2=4R2 A. a. B. 7. Gi¶i : uuur uuur h M a) Ta chøng minh : AC . BD =0. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC . BD = AC .( AD - AB )= AC . AD - AC . AB (1) uuur uuur uuur uuur D C Mµ AC . AD =uuu AD . AD =h2 r uuur uuur uuur uuur uuur Và AC . AB = DC . AB =b.a (định lý hình chiếu). Do đó (1) trở thành : AC . BD =h2-ab VËy AC BD h2-ab=0 uuur uuuur. b) BD AM BD . AM =0 uuur uuur. uuur uuur. uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur BD .( AB + AC ) = 0 BD . AB + BD . AC = 0 (2) 2 uuur uuur Vµ BD . AC =h2-ab (kÕt qu¶ trªn). . Mµ BD . AB = BA . AB =-AB2=-a2 Do đó (2) trở thành : -a2+h2-ab=0 . 8. Gi¶i :. VËy BD AM h2 =a(a+b). 1 uuur uuur 1 uur uuur ( BA + BC ). ( CA + CB ) =0 2 2 uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur BA . CA + BA . CB + BC . CA + BC . CB = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur AB . AC - BA . BC - CB . CA - CB 2= 0 1 1 1 (AB2+AC2-BC2) (AB2+BC2-AC2) – (BC2+AC2-AB2) 2 2 2. A. uuur uuur. N. BM CN BM . CN =0 . B. N. – BC2= 0. AC2+AB2-5BC2 = 0 b2+c2= 5a2 9. ®s : A. a. D. I. N. M. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. M.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> BÁM SÁT TOÁN 10. 8. 1 4 1 ab- h2 = 0 2 1 2 h -ab = 0 2. a) ab- h2 = 0 b) c). d) h2-2b2+ab = 0 10. Gi¶i :. uuur uuur. uuur uuur. uuur uuur. A. uuur uuur. B. AB . AD + BA . BC + CB . CD + DC . DA = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( AB . AD + BA . BC ) +( CB . CD + DC . DA ) = 0 uuur uuur. uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB .( AD - BC ) - DC .( AD - BC ) = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( AD - BC ).( AB - DC ) = 0 éêêAuuDur = BC ABCD lµ h×nh b×nh hµnh uuur. D. C. ê A B = DC ê ë. Tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài.. Tuần 16,17. Phương pháp : Cã thÓ sö dông mét trong c¸c c¸ch sau : uuur uuur Đưa đẳng thức cho trước về dạng MA . MB =k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.) uuuur. r. r. Đưa đẳng thức cho trước về dạng AM v = 0 , trong đó A là điểm cố định và v là véctơ cố định. Đưa đẳng thức cho trước về dạng AM2 = k , trong đó A là điểm cố định và k là một số dương không đổi. VÝ dôuuu 1r : uuu chor tam gi¸c ABC, t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tháa : a) MA . MB =k (k là giá trị cho trước) . Biện luận. uuur uuur 2 b) MA + MA . uuu MB = 0 ur uuur 2 c) 2MB + MB . MC = a2 (với a : độ dài cạnh BC) Gi¶i : a) Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB . ThÕ th× : uuur uur uuur uuur uuur uur MA . MB =k ( MI + I A ).( MI - I A ) =k IM2-IA2=k IM2= BiÖn luËn : NÕu. AB 2 4. AB 2 4. +k. +k > 0 k >-. AB 2 4. NÕu. AB 2 4. AB 2 4. A. :. th× tËp hîp nh÷ng ®iÓm M lµ mét ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh. NÕu k = -. M. : tËp hîp M lµ ®iÓm I. +k < 0 th× tËp hîp M lµ . §Æc biÖt : nÕu k = 0 th× tËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. AB 2 4. +k. .. I. B.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 uuur uuur. uuur. uuur. uuur. 9. uuur uuur. b) MA2 + MA . MB =0 MA .( MA + MB ) = 0 MA . MI = 0 tËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng trßn ®êng kÝnh AI. uuur uuuur. uuur. uuur. uuuur. c) 2MB2+ MB . MC =a 2 MB .(2 MB + MC ) = a2. (1) r uuur uuuur uuur uuuur uuuur Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2 KB + KC = 0 , thế thì 2 MB + MC =2(2 MB - MK ) +( MC r uuur. uuuur. MK. ) =0 uuur. uuuur. uuuur. uuur. uuur uuuur. (2 MB + MC ) = 3 MK do đó : (1) MB . MK = a. 2. 3. Gọi O là trung điểm của BK ,biến đổi như câu a) ta được : 2 2 2 2 (1) MO2- BK = a MO2 = a + BK. 4. 3. r uuur uuur a Tõ : 2 KB + KC = 0 KB =. 3. 3. Nªn. 4. (1) MO2=. 13a 2 36. . MO =. a 13 . 6. a 13 6 VÝ dô 2 : Cho tam gi¸c ABC , t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tháa : uuuur uuur uuur uuur uuur a) AM . BC = k (k :số cho trước ) b) ( MA - MB ).(2 MB - MC ) = 0. VËy tËp hîp M lµ mét ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R=. c) MA2-MB2+CA2-CB2 = 0 e) 3MA2-2MB2-MC2 = 0. uuur uuur uuur. d) MA . MB - MA MC =MC2-MB2+BC2 ;. Gi¶i : a) Gäi H vµ K thø tù lµ h×nh chiÕu cña A vµ M lªn BC. uuuur uuur áp dụng định lý hình chiếu , ta có : AM . BC = HK ..BC =k HK ..BC k k HK : giá trị không đổi. BC Mà H cố định nên K cố định . Vậy tập hợp những điểm M lµ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i K. r uuur b) Xét điểm cố định I thỏa : 2 IB IC = 0 2 MB - MC = MI uuur uuur. uuur. VËy ( MA - MB ).(2 MB - MC ) = 0 BA. MI =0 MI BA. Tập hợp M là một đường thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I. uur uur r Chú ý : điểm I thỏa : a I B + bI C = 0 (với + ạ 0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó + ạ 0.( trong câu b) : =2, =-1) 2-MB2 +CA2-CB2 =0 c) MAuuu r uuur uuur uuur uur uuur uur uuur ( MA - MB ).( MA + MB ) +( CA + CB ).( CA - CB ) =0 uur uuur 2 BA. ( MI + CI ) = 0 (1) uur uur Dùng vÐc t¬ I J = CI , thÕ th× uuur (1) BA. MJ = 0 .Điểm J cố định . VËy tËp hîp M lµ mét ®êng th¼ng qua J Vµ vu«ng gãc víi AB. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> BÁM SÁT TOÁN 10. 10. uuur uuur uuur. d) MA . MB - MA MC =MC2-MB2+BC2 uuur uuur uuur. MA . MB - MA MC +MB2-MC2=BC2 uuur uuur uuur uuur MA .( MB - MC )+( MB + MC ).( MB - MC )=BC2 uuur. uuur. A. uuur. M. ( MB - MC ).( MA + MB + MC ) = BC2 uuur 3CB . MC =BC2 (1) (G lµ träng t©m tam gi¸c ABC) Gäi G’ vµ H thø tù lµ h×nh chiÕu cña G vµ M lªn BC. ThÕ th× :. (1) 3 BC .G ' H = BC 2 G ' H =. G. BC. B. G’. H C. 3. BC. không đổi H cố định và 3 tËp hîp c¸c ®iÒm M lµ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i H. G’ cố định,. e) Gäi O lµ t©m ®êng trßn A ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Ta ph©n tÝch : uuur uuur uuur uuur MA2 =( MO +OA )2 = MO2+OA2+2 MO .OA uuur uuur uuur uuur B C MB2 =( MO +OB )2 = MO2+OB2+2 MO .OB uuur uuur uuur uuur MC2 = ( MO +OC )2 = MO2+OC2+2 MO .OC r Do đó : uuur uuur uuur uuur -v 3MA2-2MB2-MC2=2 MO .(3OA -2OB -OC )+ +3OA2-2OB2+OC2 (1) Mµ OA=OB=OC=R3OA2-2OB2+OC2=0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Và 3OA -2OB -OC =3OA -2(OA + AB )-(OA + AC )= -(2 AB + AC ) là một véc tơ cố định v . uuur r Nªn : 3MA2-2MB2-MC2= 0 2 MO . v =0 VËy : tËp hîp M lµ mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi vec-t¬. r. v. .. Bµi tËp : 1. Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho : uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MB . MC - MB . MG =AB2 (G lµ träng t©m); b) (2 MA - 3 MB ).( MA +2 MB ) = 0 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. BC = 6a. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho : uuur uuur uuuur uuuur ( MB + MC ).( MA + MB + MC ) = a2 uuur. 3. Cho ®o¹n th¼ng AB=2a cã I lµ trung ®iÓm . uuur uuur a) P lµ mét ®iÓm bÊt kú. TÝnh uuu . PB theo PI vµ a. PA r uuur b) T×m tËp hîp ®iÓm M tháa MA . MB = a2 uuur uuuur uuur uuur 4. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa : AB . AM = AB . AC 5.Cho tam gi¸c ABC . T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n mét uuu trong c¸c hÖuuuthøc sau : uuur uuur uuur uuur r uuur r uuuur uuur uuur uuuur uuuur a) MA . MB = MA . MC ; b) MA 2+ MA . MB + MA . MC =0; c) MA 2 = MB . MC Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 11 6. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho : a) a .MA 2 + b.MB 2 = k(a + b ¹ 0) ; b) a MA 2 + b MB 2 + gMC 2 = k(a + b + g ¹ 0) 7. Cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho : MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,víi kR 8. cho tam gi¸c ABC , gãc A nhän, trung tuyÕn AI. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M di động trong góc BÂC, sao cho : AB.AH AC. AK =AI2 (1) Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC. 9. Cho tø gi¸c ABCD . I, J thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, CD. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M uuur uuur uuuur uuur 1 sao cho : MA . MB + MC . MD = IJ2 (1) 2 uur uur uur r 10. Cho tam gi¸c ABC . I lµ trung ®iÓm cña AB. J lµ ®iÓm tháa m·n: JA +3 JB -2 JC = 0 a) Chøng minh BCIJ lµ h×nh b×nh hµnh. uuur uuur uuuur uuuur uuuur b) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho: MA . MC +3 MB . MC = 2 MC 2 Hướng dẫn - đáp số 1. ®s : a) Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng GC tại H, xác định bởi hÖ thøc :. B1H =. AB 2 GC. b) TËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh IJ. 2. ®s : Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC, G lµ träng t©m cña tam gi¸c , I lµ trung ®iÓm cña OG. Th× tËp hîp M lµ ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R = a. 5 12. 3.Hướng dẫn giải : uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur a) ph©n tÝch PA . PB =( PI + I A ). ( PI + I B )=( PI + I A ).( PI - I A )= PI 2 - a 2 b) Sö dông kÕt qu¶ c©u a) , ta tÝnh ®îc IM=a 2 . VËy tËp hîp M lµ ®êng trßn (I,R= a 2 ). C. 4.®s: TËp hîp M lµ ®êng th¼ng (d) qua C vµ vu«ng gãc víi AB. A. 5.®s : a) tËp hîp M lµ ®êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãc víi BC. A uuur uuur b) Ta chứng minh MA . MG =0. Tập hợp M là dường tròn đường kính AG víi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC vµ J lµ trung ®iÓm cña AI. uuur uuuur. Lu ý : MB . MC = MI 2 -. C. d. B. d. B. BC 2 4. A. M. d. H. Gv: Trần Thị Duyên. J Lop10.com. B. I. C.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> BÁM SÁT TOÁN 10. 12. uuur uuur BC 2 Nªn = MI 2- MA 2= 4 4 uur uuur BC 2 uuur uuur uuur uuur BC 2 ( MI - MA ).( MI + MA )= AI .2 MJ = 4 4 2 uur uuur BC I A.JM = . (1) 8 uuur. uuur uuuur uuur BC 2 2 2 MC MA =MI MB .. MA 2. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AI,thÕ th× : (1) I A.JH = JH=. BC 2 8. 2. BC (không đổi).H cố định. 8I A. Vậy tập hợp M là một đường thẳng (d) đi qua H cố định và vuông góc với AI 6.Gi¶i :. uur uur r a) Gọi I là điểm xác định bởi hệ thức : a I A + b I B = 0 (1) (thì I là điểm cố định nằm trên ®êng th¼ng AB). Th× : MA2+MB2= uur 2 uuur uur uuur uur uuur2 uur 2 a (MI + I A)2 + b(MI + I B )2 = (a + b )MI + (a I A + b I B ) = (a + b )MI 2 + k0;. k0 = a I A 2 + b I B 2 VËy:. a MA 2 + b MB 2 = k Û (a + b )MI 2 + k0 = k Û MI 2 =. Từ đó tập hợp M là ; là điểm I; hay là đường tròn (I, R=. 1 .(k - k0 ) a+b. k - ko ) tïy theo a+b. k - k0 nhá h¬n, b»ng hay lín h¬n 0 a+b Chú ý :Giá trị k0có thể tính được theo , AB bằng cách bình phương vô hướng biểu thức (1) dẫn đến kết quả : k0=. ab AB 2 a+b. uur uur uur r b) Gọi I là điẻm xác định bởi hệ thức : a I A + b I B + gI C = 0 (1) . làm tương tự như câu a) , ta có : a MA 2 + b MB 2 + gMC 2 = (a + b + g)MI 2 + a I A 2 + b I B 2 + gI C 2 Đặt : IA2+IB2+IC2=k0 không đổi. Giá trị k0có thể tính được bằng cách ab AB 2 + bgBC 2 + gaCA 2 bình phương hai vế (1) , dẫn đến k0 = VËy MI2= a+ b+ g 1 (k - k0 ) a+ b+ g. Do đó tập hợp M có thể ,, hoặc là đường tròn (I, R=. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. k - k0 ) a+ b+ g.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 Tïy theo. 13. k - k0 nhá h¬n,b»ng, hay lín h¬n 0. a+ b+ g. 7.Hướng dẫn giải : Sử dụng kết quả bài tập 6, “vấn đề 2” : Từ đó dẫn đến : MO2=. MA2+MC2=2MO2+. Tïy theo k2 nhá h¬n, b»ng, hay lín h¬n AC2+BD2 8.Gi¶i : Sử dụng định lý hình chiếu, đưa (1) về dạng : uur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur AI 2= AB . AH + AC . AK = AB . AM + AC . AM uuur uuur uuuur uur uuuur =( AB + AC ). AM =2 AI . AM (2) Gäi M0 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AI, th× : uur uur uuuur 2 (2) AI 2=2 AI . AM 0 AI = 2AI .AM 0. AI. 2. ; MB2+MD2=2MO2+. BD 2 2. 1 2 (k - AC 2 - BD 2 ) 4. VËy tËp hîp M cã thÓ lµ hay ®êng trßn (O; R=. AM 0 =. AC 2. M0 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AI.. 1 AC 2 + BD 2 ) 2. A K H M B. M0 I. C. 2 VËy tËp hîp M lµ mét ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi AI t¹i M0 lµ trung ®iÓm cña AI Vµ n»m trong tam gi¸c ABC 9.Gi¶i : uuur uuur uuuur uuur (1) 4 MA . MB +4 MC . MD =2IJ2 B uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur ( MA + MB )2-( MA - MB )2+( MC + MD )2-( MC - MD )2=2IJ2 I A 4MI2-AB2+4MJ2-CD2=2IJ2 2 2 2 2 2 4MI +4MJ =AB +CD +2IJ (*) Gäi O lµ trung ®iÓm cña IJ O uuur uuur uuur uuur (*) 2( MI + MJ )2+2( MI - MJ )2 -2IJ2 = AB2+CD2 2.(2MI2+2MJ2)-2IJ2=AB2+CD2 D J 1 4(MI2+MJ2) -2IJ2=AB2+CD2 4.(2MO2+ IJ2) -2IJ2=AB2+CD2 2 1 2(AB 2 + CD 2 ) 8MO2=AB2+CD2 MO= A 4 tËp hîp M lµ ®êng trßn J I 1 2(AB 2 + CD 2 ) ) (O;R= 4 K 10. ®s : B C 1 b) tËp hîp M lµ ®êng trßn (K; R= JC) 2 Víi K lµ trung ®iÓm cña JC. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com. C.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> BÁM SÁT TOÁN 10 Tuần 18,19. 14. Gi¶i tam gi¸c. A 44 0 30'; C A 64 0 . TÝnh gãc A vµ c¸c c¹nh b,c cña Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC. BiÕt a=17,4; B tam giác đó.. A 470 20' . TÝnh hai gãc B, C vµ c¹nh c. Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC biÕt a=49,4; b=26,4; C Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC. BiÕt a=24; b=13; c=15. TÝnh c¸c gãc A, B, C Bài 4: Đường dây cao thế nối thẳng tù vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằn 750. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C Bài 5: Một người ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 600. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó nhìn lại vẫn thầy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 450. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dµi 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu? Bài 6: Cho hai điểm phân biệt P và Q. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP2+MQ2=k2, trong đó k là số cho trước. Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(3;4) và B(6;0) a) Nhận xét gì về tam giác OAB? Tính diện tích tam giác đó b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com.
<span class='text_page_counter'>(15)</span>
