Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 136)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 136 ). I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y =  x3  3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ). Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình:. 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0. 2. Giải phương trình: log 2 (x  2)  log 4 (x  5) 2  log 1 8  0 2. Câu III. (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =. e x  1 , trục hoành và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8.. Câu VI. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu V. (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)   yz zx xz. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.  x  1  2t  2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:  y  1  t z   t  Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Câu VIIa. (1,0 điểm) Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = (x2 + x – 1) 6 2. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y 1 z .   2 1 1 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Câu VIIb. (1,0 điểm) Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = (x2 + x – 1)5. ……………………Hết…………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……………………. 1 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 136 ). Câu I (2,0 điểm). Đáp án. Điểm. 1. (1,25 điểm) 2. (0,75 điểm) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ).  y’ = – 3x2 – 6x + m  0,  x > 0  3x2 + 6x  m,  x > 0 (*) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x2 + 6x trên (0 ; + ) x 0. y.  . 0,50. 0. Từ đó ta được : (*)  m  0. II (2,0 điểm). 0,25. 1. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với phương trình :. 2sin x  3 .  3 sin x  3 sin x  cos x  0   2  3 sin x  cos x  0. . 0,50.  n   x  (1) 3  n, n  A   x     k , k  A  6. 0,50. Đáp án. Điểm. Câu. 2. (1,0 điểm) Điều kiện: x > – 2 và x  5 (*) Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:. 0,50. log 2 (x  2) x  5   log 2 8  (x  2) x  5  8  (x 2  3x  18)(x 2  3x  2)  0.  x 2  3x  18  0 3  17  2  x  3; x  6; x  2  x  3x  2  0 Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là:. x  6 và x  III (1,0 điểm). 0,50. 3  17 2. Kí hiệu S là diện tích cần tính. ln 8. Vì. e x  1  0 x  [ln 3 ; ln 8] nên S . . 0,25. e x  1dx. ln 3. 2tdt t2 1 Khi x = ln3 thì t = 2, và khi x = ln8 thì t = 3. Đặt. e x  1 = t, ta có dx . 0,25. 3 3 3 3 3 3 2t 2 dt dt  dt dt 3  2 dt   2    2  ln t  1 2  ln t  1 2  2  ln   2 2     t 1 t 1 t 1 2 t 1 2 2 2 2 2 3. Vì vậy: S   IV (1,0 điểm). 0,50. Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác đều. Gọi G và I tương ứng là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD. Ta có OG  (SAB) và OI  (ABCD). S a Suy ra: + OG = IH = , trong đó H là trung điểm của AB. 2 + Tam giác OGA vuông tại G.. 2 Lop10.com. G. H. 0,50. 0,25. O. A. D.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD, ta có: R  OA  OG 2  GA 2 . V (1,0 điểm). Ta có : P . a 2 3a 2 a 21   4 9 6. x 2 x 2 y2 y2 z2 z2      y z z x x y. (*). Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  A Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0. 0,50 2. hay. 2. x y   x  y x, y > 0 y x y2 z2   y  z y, z > 0 z y. Tương tự, ta có :. z2 x 2   z  x x, z > 0 x z Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2. 3. VI.a (2,0 điểm). 0,25. 0,50. 1. (1,0 điểm) Viết lại phương trình của (C) dưới dạng: (x – 3)2 + y2 = 4. Từ đó, (C) có tâm I(3 ; 0) và bán kính R = 2. 0,25. Suy ra trục tung không có điểm chung với đường tròn (C). Vì vậy, qua một điểm bất kì trên tục tung luôn kẻ được hai tiếp tuyến của (C).. 0,25. Đáp án. Điểm. Câu. Xét điểm M(0 ; m) tùy ý thuộc trục tung. Qua M, kẻ các tiếp tuyến MA và MB của (C) (A, B là các tiếp điểm). Ta có: A  AMB  600 (1) Góc giữa 2 đường thẳng MA và MB bằng 600   0 A  AMB  120 (2). 0,25. A Vì MI là phân giác của AMB nên : A  300  MI  (1)  AMI. IA  MI  2R  m 2  9  4  m   7 sin 300. A  600  MI  (2)  AMI. IA 2R 3 4 3  MI   m2  9  (*) 0 sin 60 3 3. 0,25. Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*) Vậy có tất cả hai điểm cần tìm là: (0 ;  7 ) và (0 ;. 7). 2. (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Vì H  d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ;  1 + t ;  t).  Suy ra : MH = (2t  1 ;  2 + t ;  t)  Vì MH  d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; 1), nên :   1 2 4 2 2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0  t = . Vì thế, MH =  ;  ;   . 3 3 3 3. VII.a. 0,25. 0,50. x  2  t  Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là:  y  1  4t z  2t . 0,25. Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:. 0,25. 3 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (1,0 điểm). P = C06 (x  1)6  C16 x 2 (x  1)5    C6k x 2k (x  1)6  k    C56 x10 (x  1)  C66 x12 Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x2 chỉ xuất hiện khi khai triển C06 (x  1)6 và C16 x 2 (x  1)5 . Hệ số của x2 trong khai triển C06 (x  1)6 là :. C06 .C62. Hệ số của x2 trong khai triển C16 x 2 (x  1)5 là : C16 .C50 Vì vậy, hệ số của x2 trong khai triển P thành đa thức là : C06 .C62 C16 .C50 = 9. VI.b (2,0 điểm). 0,25 0,25. 1. (1,0 điểm) Xem phần 1 Câu VI.a. 2. (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d.  x  1  2t  d có phương trình tham số là:  y  1  t z   t  Vì H  d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ;  1 + t ;  t).  Suy ra : MH = (2t  1 ;  2 + t ;  t)  Vì MH  d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; 1), nên :   1 2 4 2 2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0  t = . Vì thế, MH =  ;  ;   . 3 3 3 3 Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x  2 y 1 z   1 4 2. Câu VII.b (1,0 điểm). 0,25. Đáp án. 0,25. 0,50. 0,25. Điểm. Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: P = C50 (x  1)5  C15 x 2 (x  1) 4    C5k x 2k (x  1)5 k    C54 x 8 (x  1)  C55 x10 0,25 Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x3 chỉ xuất hiện khi khai triển C50 (x  1)5 và C15 x 2 (x  1) 4 . Hệ số của x3 trong khai triển C50 (x  1)5 là :. C50 .C53. Hệ số của x3 trong khai triển C15 x 2 (x  1) 4 là : C15 .C14 Vì vậy, hệ số của x3 trong khai triển P thành đa thức là : C50 .C53 C15 .C14 = 10.. 0,25 0,25 0,25. .. 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>