Chuyên đề 1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 1:. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Vấn đề 1: Phương trình đường thẳng I. Phương trình của đường thẳng: 1. Phương trình dạng tổng quát:  Đường thẳng  đi qua M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n (a;b) thì  có phương trình:  : a(x - x0) + b(y - y0) = 0  ax + by + c = 0 (c = -ax0 -by0 ; a2 + b2  0) Chú ý: *1. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn b c (1)  - x  y  1(a, b, c  0) c a y x   1 c c   a b x y c c    1(m   ; n   ) m n a b.  : x  y 1. m n   Ox = M( m;0 ).   Oy  N (0; n) . *2. Phương trình đường thẳng  đi qua M0(x0;y0) có hệ số góc k:  : y  kx  b M0    y0 = kx0  b  b  y0  k x0   : y  kx  y 0  kx0  y  k ( x  x0 )  y 0 (3) Ví dụ: Cho A(2;1) viết phương trình đường thẳng  đi qua A và hợp với chiều dương trục Ox một góc 60 . Ta có: hệ số góc của đường thẳng  là k  tan 60  3   : y  3 ( x  2)  1  y  0 . *3. Phương trình đi qua 2 điểm phân biệt:  Cho A( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) AB( x B  x A ; y B  y A ). Chọn n ( yB  yA; xA  xB)  AB .  Vậy Ab đi qua A( x A ; y A ) và nhận n làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ( y B  y A )( x  x A )  ( xB  x A )( y  y A ).. x  xA y  yA  (4) xB  x A y B  y A Công thức (4) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng AB biết A(5;1); B (2;4) . Phương trình đường thẳng AB là: . 1 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x  5 y 1   5 x  25  3 y  3  5 x  3 y  22  0 3 5 Bài 1: Cho  ABC biết A(3;6); B (1;2); C (6;3) a, Viết phương trình các cạnh của  ABC. b, Viết phương trình các đường trung tuyến của  ABC. c, Viết phương trình các đường cao của  ABC, từ đó suy ra tọa độ trực tâm H của H của  ABC. 2. Phương trình dạng tham số: a, Định nghĩa Vectơ chỉ phương:    - u (u  0) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u có giá song song hoặc trùng  .   * Chú ý: + Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì k u (k  0) cũng là vectơ chỉ phương của  . + Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương b, Phương trình dạng tham số:  - Cho đường thẳng  đi qua M0( x0 ; y 0 ) và có vectơ chỉ phương u (a;b). Lấy M(x;y) bất kì thuộc    M 0 M =t u  x  x0  ta  x  x0  at 2 2 (a +b  0 ) (5)    y  y 0  tb  y  y 0  bt Công thức trên được gọi là Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng.   * Chú ý: u (a;b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì n (b;-a) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  . 3. Phương trình dạng chính tắc:  x  x0 t  a (a  0) x  x0 y  y 0   (5)   (6) y  y a b 0 t  (b  0)  b - Công thức (6) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng. Ví dụ: Cho ( d ) : 2 x  3 y  6  0 1, Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc d và viết phương trình tham số của đường thẳng.  x  2  5t  2, Hệ ( I ) có phải là phương trình tham số của (d) không ? 2 y    t  3 3, Tìm tọa độ điểm M  (d ) sao cho OM= 2. 1, Lấy A(3;0)  (d ). 2 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   (d ) có vectơ pháp tuyến u (2;-3)  (d ) có vectơ chỉ phương v (3;2).  x  3  3t Phương trình tham số của (d ) là   y  2t 2 2, (I ) là phương trình đường thẳng đi qua B(2;-  )  (d ) phương trình (I ) có vectơ 3  3  1 chỉ phương b ( ;1) = u  b là vectơ chỉ phương của (d ) . 2 2 Vậy (I ) là phương trình tham số của (d ) 3, M(3+3t; 2t)  (d ). (3  3t ) 2  (2t ) 2  2  9  18t  9t 2  4t 2  2 2 OM=2   13t  18t  5  0 5 24 10  t    M 1 ( ; )   13 13 13  t  1  M 2 (0;2). Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M1 (. 24 10 ; ) và M 2 (0;2) . 13 13. 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: 3. Góc giữa hai đường thẳng: a, Định nghĩa: - Cho 2 đường thẳng 1 cắt  2 thì sẽ tạo thành 4 góc và góc nhỏ nhất trong 4 góc nói trên được gọi là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau. *Chú ý: gọi  là góc giữa 1 và  2 thì 0 o    90 o.  = 0 o  1   2 hoặc 1 //  2   90 o  1   2. b, Cho 1 : a1 x  b1 y  c1  0 ,  2 : a2 x  b2 y  c2  0 Gọi  là góc giữa 1 và  2. 1 có vectơ pháp tuyến n1 (a1 ; b1 )  2 có vectơ pháp tuyến n2 (a2 ; b2 ) Khi đó:   (n1 ; n2 ) cos   cos(n1 ; n2 )   cos  | cos(n1 ; n2 ) |  o   180  (n1 ; n2 ) cos    cos(n1 ; n2 )  cos  . | a1.a2  b1.b2 | a12  b12 a2 2  b2 2. 3 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> c, Cho (d1 ) : y  k1 x  b1 ; (d 2 ) : y  k 2 x  b2 (d1 )  (d 2 )  k1k 2  1 k  k 2 (d1 ) //( d 2 )   1 b1  b2 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm M0(x0;y0) và đường thẳng  : ax  by  c  0 ax  by  c Khoảng cách: d ( M 0 ; )  0 2 0 2 a b. 5. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: Cho 1 : a1 x  b1 y  c1  0 ,  2 : a2 x  b2 y  c2  0 a x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  2 Phương trình đường phân giác: 1 . 2 2 2 2 a1  b1 a2  b2 Bài 2: Lập phương trình các cạnh của ABC nếu B (2;1) , đường cao AH: 3 x  4 y  27  0 ,đường phân giác CC’: x  2 y  5  0 .  - Viết phương trình cạnh BC: vì BC  AH nên BC nhận vectơ chỉ phương a (4;3) của AH làm vectơ pháp tuyến và đi qua BC B (2;1) nên có phương trình: BC: 4( x  2)  3( y  1)  0  4 x  3 y  5  0 - Tìm tọa độ điểm C: Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 4 x  3 y  5  0  x  1   C  (1;3)  x  2 y  5  0 y  3   - Viết phương trình cạnh AC: gọi k là hệ số góc của đường thẳng AC. Vì AC đi qua C  (1;3) nên có phương trình y  k ( x  1)  3  kx  y  k  3  0 . Theo bài ra ta có: cos( AC ; CC ' )  cos( BC ; CC ' ) |k  2| |4  6| |k  2|    2 2 2 5 5 k 1 5 k 1 2. | k  2 | 2 k 2  1  k 2  4k  4  4k 2  4  3k 2  4k  0  k (3k  4)  0 k  0  4 k   3  4 Ta loại nghiệm k=  vì đó chính là cạnh BC 3  AC: y  3  0 - Tìm tọa độ điểm A: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:. 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3 x  4 y  27  0  x  5   A(5;3)  y  3  0 y  3 - Viết phương trình cạnh AB: x5 y 3  7 4  4 x  20  7 y  21.  4 x  7 y  1  0  4 x  7 y  1  0( AB) BTVN: Cho hai cạnh của một  trong mặt phẳng tọa độ là: 5 x  2 y  6  0 ; 4 x  7 y  21  0 . Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của   gốc tọa độ. - Gọi ABC là tam giác trong bài toán, gọi phương trình tọa độ của AB và AC lần lượt là: 5 x  2 y  6  0 và 4 x  7 y  21  0 . Khi đó điểm A là nghiệm của hệ sau: 5 x  2 y  6  0 x  0   A(0;3)  4 x  7 y  21  0 y  3    Ta có AH (0;3) . Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là u (7;4) . Vì BH  AC  nên BH nhận u (7;4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:  7( x  0)  4( y  0)  0  7 x  4 y  0 Ta có tọa độ điểm B là nghiệm của hệ sau:  7 x  4 y  0  x  4   B (4;7)  5 x  2 y  6  0 x   7   BC nhận AH (0;3) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm B(-4;-7) nên có phương trình: ( x  4)0  ( y  7)(3)  0  y  7  0 Vậy phương trình cạnh BC là y  7  0 . Bài 4: Hãy lập phương trình các cạnh AB, AC, BC. Biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình: x  2 y  1  0; y  1  0 . - Vì A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho, đặt BB': x  2 y  1  0; CC ': y  1  0 (B’ là trung điểm của AC, C’ là trung điểm của AB) Vì G là trọng tâm của ABC tọa độ G là nghiệm của hệ: x  2 y  1  0 x  1   G (1;1)  y 1 0 y 1 Gọi A’ là trung điểm của BC: AG (0;2); GA'( x A'  1; y A'  1) x  1  0 x  1 1 Ta có: GA'  AG   A'   A'  A' (1;0) 2  y A'  1  1  y A'  0. 5 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> xB  2 y B  1  0 y 1 0  C  B (3;1); C (5;1) . Theo bài ra ta có:  x  x  2 C  B  y B  yC  0 x 1 y 3 Phương trình cạnh AB:   x  y  2  0.  3 1 1 3 x 1 y  3 Phương trình cạnh AC:   x  2y  7  0 . 5 1 1 3 x  3 y 1 Phương trình cạnh BC:   x  4 y  1  0. 5  3 11 Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. Trong mặt phẳng tọa độ O xy biết C (4;5) và 2 đường cao có phương trình: 5 x  3 y  4  0 và 3 x  8 y  13  0 . - Tọa độ điểm C không thỏa mãn 2 phương trình đường cao đã cho. Gọi AA’: 5 x  3 y  4  0 và BB’: 3 x  8 y  13  0 . Khi đó phương trình cạnh BC đi qua C (4;5) và nhận n1 (3;5) làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình: ( x  4)(3)  ( y  5)5  0  3 x  12  5 y  25  0  3 x  5 y  13  0 Phương trình cạnh AC đi qua C và nhận n2 (8;3) làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình: ( x  4)(8)  ( y  5)3  0  8 x  32  3 y  15  0  8 x  3 y  17  0. 5 x  3 y  4  0  x  1  8 x  3 y  17  0 y  3. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ sau: . 3 x  8 y  13  0  x  1  Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ sau:  3 x  5 y  13  0  y  2 x 1 y  3 Phương trình cạnh AB là:   5 x  5  2 y  6  5 x  2 y  1  0 2 5 Bài 6: Cho 3 điểm P(2;3), Q(4;-1), R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Hãy lập phương trình các cạnh của  ABC. Ta có PQ(2;4) , QR(7;6) , PR(5;2) .. Phương trình đường thẳng AB đi qua P(2;3) và nhận QR(7;6) làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình:. 6 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x2 y 3   6 x  12  7 y  21  6 x  7 y  33  0 7 6  x  4y  7  0. Phương trình đường thẳng AC đi qua Q(4;-1) và nhận PR(5;2) làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình : x  4 y 1   2x  8  5 y  5  2x  5 y  3  0 . 5 2 Phương trình đường thẳng AC đi qua R(-3;5) và nhận PQ(2;4) làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình: x3 y 5   2x  y  1  0 2 4 Bài 7: Cho 2 điểm A(-1;2) và B(3;4). Tìm C trên đường thẳng  : x  2 y  1  0 sao cho  ABC vuông tại C. - Gọi C (2 y 0  1; y 0 )   . Ta có: AC (2 y 0  1  1; y 0  2); BC (2 y 0  1  3; y 0  4) Do  ABC vuông tại C nên ta có: AC BC  0  2 y 0 (2 y 0  4)  ( y 0  2)( y 0  4)  0  4 y 02  8 y 0  y 02  4 y 0  2 y 0  8  0  y0  2  5 y  14 y 0  8  0    y0  4 5  Với y 0  2  x0  4  C (4;2) . 4 8 8 4 Với y0   x0   C ( ; ). 5 5 5 5 Bài 8: Lập phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết A(-4;5) và một đường chéo có phương trình: 7 x  y  8  0 . Phương pháp: Vì tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường chéo đã cho nên BD: 7 x  y  8  0 . Tìm I = AC  BD. Tìm C, tìm B, D. Bài 9 (ĐH- KB- 2010):Cho ABC vuông tại A có C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình: x  y  5  0 . Viết phương trình BC biết diện tích ABC =24 và có hoành độ dương. - Đặt d: x  y  5  0 . Vì d là phân giác trong của góc A nên CA// Ox  y A  1  x A  4 .  A(4;1) Vì ABC vuông tại A mà CA// Ox nên AB  Ox  x B  4 . 2 0. 7 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 AB. AC  24  AB.8  24  AB  6 . 2 2 Mà y A  1  y B  1  6  7  B (4;7) . x  4 y 1 Vậy phương trình BC:   6 x  8 y  32  0  3 x  4 y  16  0 . 8 6 Bài 10 (ĐH- KA- 2010): Cho ABC cân tại A, A(6;6). Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB, AC và có phương trình: x  y  4  0 .Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của ABC . Bài 11(ĐH- KD- 2010): Cho A(0;2) và  là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết d(H;Ox)=AH.. Lại có S ABC =24 . 8 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>