phép tính tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.25 MB, 8 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
<b>PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN </b>
<b>HÀM MỘT BIẾN</b>
CHƯƠNG 3
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định nghĩa ngun hàm
•
Định nghĩa:
Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x)
là một ngun hàm của f(x) trên (a,b) nếu:
•
Ví dụ:
,
,
<i>F x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>a b</i>
là một nguyên hàm của
trên
là một nguyên hàm của a
trên R.
2
tan
1
tan
\ 2
1
2
ln
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>R</i>
<i>n</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tích phân bất định
•
Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:
•
Được xác định như sau:
•
F(x) là một nguyên hàm của f(x).
•
C: hằng số tùy ý.
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>F x</i>
<i>C</i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
)
)
.
)
<i>i</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x</i>
<i>ii</i>
<i>k f x dx</i>
<i>k</i>
<i>f x dx</i>
<i>iii</i>
<i>f x</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>g x dx</i>
Công thức cơ bản
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
cos
8.
sin
<i>x</i> <i>x</i>
<i>k dx</i>
<i>x dx</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a dx</i>
<i>e dx</i>
<i>ax</i>
<i>b dx</i>
<i>ax</i>
<i>b dx</i>
Công thức cơ bản
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
9.
10.
cos
sin
11.
12.
1
1
13.
14.
15.
16.
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức cơ bản
2
2
17.
18.
sin
cos
19.
20.
cos
21.
22.
sin
<i>ax b</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>ax</i>
<i>b</i>
<i>ax</i>
<i>b</i>
<i>dx</i>
<i>e</i>
<i>dx</i>
<i>ax</i>
<i>b</i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tích phân xác định
•
<b>Định nghĩa:</b>
Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].
3. Gọi
là các điểm mẫu bất kỳ
trong những đoạn con
* * *
1 2
*
1
,
,...,
;
.
<i>n</i>
<i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>
<i>x x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2.Giả sử
là các điểm biên
những đoạn con Ta có
0 1 2, , ,...,
.
:
.
<i>n</i>
<i>i</i>
<i>a</i>
<i>x x x</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>i</i>
<i>x</i>
1.Chia đoạn
thành phần bằng nhau,
có chiều rộng
[ , ]
<i>a b</i>
<i>n</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>n</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tích phân xác định
•
Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:
(nếu giới hạn này tồn tại).
•
Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].
*
1
lim
<i>b</i> <i>n</i>
<i>i</i>
<i>n</i>
<i>i</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chú ý
: dấu tích phân
: hàm lấy tích phân
: các cận lấy tích phân
: biến độc lập .
Tích phân
là một số, khơng phụ thuộc vào .
Tổng Riemann:
*1
,
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>n</i>
<i>i</i>
<i>i</i>
<i>f x</i>
<i>a b</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f x dx</i>
<i>x</i>
<i>f x dx</i>
<i>f t dt</i>
<i>f r dr</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
Tích phân xác định
•
Cơng thức:
•
Trong đó F(x) là một nguyên hàm (tích phân bất
định) của f(x).
<i>b</i> <i><sub>b</sub></i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>F x</i>
<i>F b</i>
<i>F a</i>
Tính chất
•
Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a;b]. Khi đó ta có:
)
( )
( )
)
[ ( )
( )]
( )
( )
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>a</i>
<i>cf x dx</i>
<i>c f x dx</i>
<i>b</i>
<i>f x</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>g x dx</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
d) Với a<b và g(x)≤f(x) trên [a;b] ta có:
Hệ quả:
,
,
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>g x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>a b</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
•
e) Nếu
•
thì:
,
,
<i>m</i>
<i>f x</i>
<i>M</i>
<i>x</i>
<i>a b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>m b</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>M b</i>
<i>a</i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tích phân hàm đối xứng
•
Cho f liên tục trên [-a; a].
0
2
0
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f</i>
<i>f x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
f) Nếu f là hàm chẵn
thì:
g) Nếu f là hàm lẻ
thì:
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Các phương pháp tính
•
Phân tích, biến đổi
•
Đổi biến dạng 1
•
Đổi biến dạng 2
•
Tích phân từng phần
Phương pháp phân tích
•
Chia đa thức
•
Nhân liên hợp
•
Áp dụng các cơng thức biến đổi hàm số
•
Sử dụng cơng thức cơ bản
Đổi biến số dạng 1
•
Đặt t=u(x)
•
Ta đưa tích phân về dạng:
•
Phải tìm u’ hoặc biến đổi u’ xuất hiện trước.
. u'
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•
Tính các tích phân sau
3 4
2 5
.
cos
2
.
2
1
.
1
.
.
tan
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>c</i>
<i>x x dx</i>
<i>d</i>
<i>xdx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đổi biến số dạng 2
•
Đặt: x=u(t)
•
Biến đổi biểu thức tính tích phân về dạng:
.
<i>f x dx</i>
<i>f u t</i>
<i>u t dt</i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•
Tính các tích phân sau
2 1
2
2
0 0
1 2
2 <sub>2</sub>
0 2
)
4
)
1
)
)
1
<sub>1</sub>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x dx</i>
<i>b</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<i>x</i>
<i><sub>x x</sub></i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tích phân từng phần
•
Đưa biểu thức tính tích phân về dạng:
•
Đặt:
•
Khi đó:
.
<i>f x dx</i>
<i>h x g x dx</i>
'
<i>du</i>
<i>h x</i>
<i>u</i>
<i>h x</i>
<i>dv</i>
<i>g x dx</i>
<i>v</i>
<i>g x dx</i>
.
.
<i>f x dx</i>
<i>h x g x dx</i>
<i>uv</i>
<i>v du</i>
Tích phân từng phần
•
Đưa biểu thức về dạng tích
•
Chọn hàm để đặt u và dv
•
Chú ý: chọn sao cho việc tính đạo hàm và tích
phân dễ tính.
•
Áp dụng công thức:
.
<i>udv</i>
<i>uv</i>
<i>v du</i>
Các dạng cần nhớ
. sin
. cos
.
.
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>ax</i>
<i>n</i>
<i>P x</i>
<i>ax dx</i>
<i>P x</i>
<i>ax dx</i>
<i>P x e dx</i>
. ln .
.arctan .
.arcsin .
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>P x</i>
<i>x dx</i>
<i>P x</i>
<i>x dx</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•
Tính các tích phân sau
2
1 0
1
2
0
3
)
ln
)
2
1 sin
)
cos
)
arctan
<i>e</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>xdx</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>xdx</i>
<i>c</i>
<i>x</i>
<i>xdx</i>
<i>d</i>
<i>x</i>
<i>xdx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng tích phân trong kinh tế
•
Tìm chi phí khi biết chi phí cận biên
•
Tìm doanh thu khi biết doanh thu cận biên
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng tích phân trong kinh tế
•
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên
là:
•
Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C
0
=200.
2
90
120
27
<i>MC Q</i>
<i>Q</i>
<i>Q</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng tích phân trong kinh tế
•
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên
là:
•
Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.
2 3
50
18
45
4
<i>MC Q</i>
<i>Q</i>
<i>Q</i>
<i>Q</i>
Ứng dụng tích phân trong kinh tế
•
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận
biên là:
•
Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá
theo sản lượng.
2
3
8
30
<i>MR Q</i>
<i>Q</i>
<i>Q</i>
Ứng dụng tích phân trong kinh tế
•
Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:
•
Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4
(triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng
theo giá.
3 2
4
3
24
15
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tích phân suy rộng
•
Loại 1: cận vơ hạn
•
Loại 2: hàm có điểm kỳ dị
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
TPSR loại 1
•
Dạng:
•
Cách tính:
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
lim
<i>b</i><i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
TPSR loại 1
Nếu
hữu hạn
thì
hội tụ.
lim
<i>b</i><i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>S</i>
<i>f x dx</i>
Nếu
không tồn tại
thì
phân kỳ.
lim
<i>b</i><i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•
Tính các tích phân sau:
•
Tổng qt:
2
1 1
.
<i>dx</i>
.
<i>dx</i>
<i>a I</i>
<i>b J</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1
<i>dx</i>
<i>K</i>
<i>x</i>
Ghi nhớ
•
Tổng qt:
1
<i>dx</i>
<i>K</i>
<i>x</i>
hội tụ khi >1; phân kỳ khi
1
cùng tính chất.
'
<i>dx</i>
0
<i>K</i>
<i>a</i>
Các loại khoảng vơ hạn
Dạng
<i>b</i>lim
<i>b</i><i>a</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Dạng
<i>c</i><i>c</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
hội tụ
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tiêu chuẩn hội tụ 1
•
Cho
0
<i>f x</i>
<i>g x</i>
,
<i>x</i>
<i>a</i>
,
Nếu
hội tụ thì
hội tụ.
Nếu
phân kỳ thì
phân kỳ.
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>g x dx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tiêu chuẩn hội tụ 2
Cho
vàø
Nếu
thì các tích phân cùng tính chất.
HT
HT
:
PK
;
0,
,
lim
0
0:
<i>x</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>f x</i>
<i>f x g x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>k</i>
<i>g x</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>k</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx PK</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tiêu chuẩn hội tụ 3
Cho
có dấu tùy ýtrên
Nếu
HT
HT tuyệt đối.
PK
Nếu
bán HT.
HT
,
.
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f x</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
TPSR loại 2
•
Điểm kỳ dị: điểm x
0
gọi là điểm kỳ dị của hàm
f(x) nếu:
0
lim
<i>x x</i>
<i>f x</i>
Điểm kỳ dị ở cận trên
•
Xét tích phân:
•
Ta có:
với
lim
<i>c</i>
<i>x c</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x</i>
=
lim
<i>c</i> <i>b</i>
<i>b c</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Điểm kỳ dị ở cận dưới
•
Xét tích phân:
•
Ta có:
với
lim
<i>b</i>
<i>x a</i>
<i>a</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x</i>
=
lim
<i>b</i> <i>b</i>
<i>c a</i>
<i>a</i> <i>c</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Điểm kỳ dị trong khoảng tích phân
•
Ta tách thành 2 tích phân có cận trên và cận
dưới là điểm kỳ dị.
•
Nếu cả 2 tích phân thành phần hội tụ thì tích
phân ban đầu hội tụ.
•
Giả sử c là điểm kỳ dị nằm trong (a,b)
=
<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>c</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ghi nhớ
•
Tổng qt:
;
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>dx</i>
<i>dx</i>
<i>K</i>
<i>L</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
hội tụ khi <1; phân kỳ khi
1
Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tiêu chuẩn hội tụ 1
•
Cho
0
<i>f x</i>
<i>g x</i>
,
<i>x</i>
<i>a b</i>
,
Nếu
hội tụ thì
hội tụ.
Nếu
phân kỳ thì
phân kỳ.
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>g x dx</i>
Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tiêu chuẩn hội tụ 2
Cho
vàø
Nếu
thì các tích phân cùng tính chất.
HT
HT
:
PK
;
0,
,
lim
0
0:
<i>x b</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>f x</i>
<i>f x g x</i>
<i>x</i>
<i>a b</i>
<i>k</i>
<i>g x</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>k</i>
<i>g x dx</i>
<i>f x dx PK</i>
Tiêu chuẩn hội tụ 3
Cho
có dấu tùy ýtrên
Nếu
HT
HT tuyệt đối.
PK
Nếu
bán HT.
HT
, .
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>f x</i>
<i>a b</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
<i>f x dx</i>
</div>
<!--links-->
