Cong thưc XSTK 2017

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (234.66 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN I: XÁC SUẤT 
1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của biến cố:

1.1. Công thức cộng xác suất:

1.1.1. P A



B



P A

 

P B

 

(xung khắc)

1.1.2. P A



BC



 P A

 

P B

 

P C

 

P AB





P BC





P CA





P ABC





1.2. Công thức nhân xác suất

1.2.1. P AB





P A P B

   

(2 biến cố độc lập)
1.2.2. P AB





P A P B A

  



P B P A B

  



1.3. Công thức xác suất đầy đủ:

1 1 2 2

( ) ( ). ( | ) ( ). ( | ) ... ( n). ( | n)

P F P A P F A P A P F A  P A P F A

1.4. Công thức Bayes: ( | ) ( ) ( ). ( | )

( ) ( )

i i i

i

P A F P A P F A

P A F

P F P F

 

2. Một số phân phối xác suất:

2.1. Phân phối chuẩn: X ~ N( ;

 

2.1.1. Hàm mật độ:

2
2

( )
2

1
( )

x

f x e













2.1.2. f x dx( ) 1








2.1.3. ModX MedX 



; E X( )



, Var X( )



2.1.4. P a( X b) P a



Z b





(b



)



(a



)



   

 

       

 

2.2. Phân phối Poisson: X ~ P( )



,



>0 
2.2.1. ( )

k

P k e

k





 

2.2.2. E X( )V X( )



2.3. Phân phối nhị thức:X ~ B n p( , )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2.3.2.

( ) 1

n

k

p X k



 



2.3.3. E x( )np,ModX x np0, qx0 npq

2.3.4. Khi n=1: X ~B(1, )p :phân phối Không một
2.3.4.1. E X( ) p, E X( 2) p, V X( ) pq

2.3.5. Xấp xỉ phân phối Nhị thức:

2.3.5.1. Bằng phân phối Poisson:n50; p0,1:
~ ( , ) ~ ( )

X B n p  X P



np nên ( )

k
k k n k

n

P X k C p q e

k



 

  

Bằng phân phối Chuẩn:
0.5, 0.5, ,

np nq



np



 npq.X ~B n p( , ) X ~N np npq( , );

















2 1

1 2 1 2

2 1

1 2 1 2

1 ( ) ( )

0,5 0,5

0,5 0,5 ( ) ( )

k k

P k X k P k X k

k k

P k X k P k X k













  

       

   

        

2.4. Phân phối Siêu bội:X ~ H N M n( , , )

( ) A A

k n k

N N N

n
N

C C

p X k

C




 

2.4.1. E X( ) np p, M

N

  ; ( ) . , 1

N n

V X npq q p

N



  



2.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối Nhị thức:
0.05 ~ ( , )

n N  X B n p ;p X( k) C p qnk k n k,p M
N



  

PHẦN 2: THỐNG KÊ MỘT TỔNG THỂ 
I. Ước lượng điểm: E X( )



, E F( ) p, E S( 2)



II. Ước lượng khoảng:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2) Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể

Dạng KUL Công thức tính



Hai phía



x



;x





/21

n S

t

n





 

Tối đa



;x





tn 1 S
n





 

Tối thiểu



x



;



tn 1 S
n





 

Ước lượng cho tỷ lệ với độ tin cậy



1





, mẫu cỡ n. 
Dạng KUL Cơng thức tính



Hai phía



f 



; f 









F F

u

n





 

Tối đa



0; f 





u F



1 F



n





 

Tối thiểu



f 





u F



1 F



n





 

Ước lượng khoảng cho phương sai với độ tin cậy



1





, mẫu cỡ n. 
1) Trường hợp đã biết trung bình



Dạng KUL Cơng thức tính



Hai phía

 

*2 *2

2 2

/2 1 /2

;

nS nS

n n

 





 

 

 

Không có
Dạng KUL Cơng thức tính



Hai phía



x



;x





u /2
n









Tối đa



;x





u
n









Tối thiểu



x



;



u

n





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tối đa

 

*2
2
1

0; nS

n







 

 

 

Tối thiểu

 

2 ;

nS
n





 

 

 

 

2) Trường hợp chưa biết trung bình



Dạng KUL Cơng thức tính



Hai phía

















2 2

/2 1 /2

1 1

;

1 1

n S n S

n n

 





   

 

   

 

Khơng có

Tối đa









2
2

1
0;

n S

n







  

 

  

 

Tối thiểu









2
2

1
;
1

n S

n





  

 

 

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 
I. Kiểm định trung bình



1) Trường hợp 1, 2, 3: (nếu chưa biết



thì thay bằng s)

Giả thuyết Miền bác bỏ

 

0 0

1 0

:
:

H
H




















X n

W Z



Z u



  

 

   

 

 

 

0 0

1 0

:
:

H
H

















X 0



n

W Z



Z u



  

 

   

 

 

 

0 0

1 0

:
:

H
H

















X 0



n

W Z



Z u



  

 

    

 

 

2) Trường hợp 4: n<30,



2không biết

Giả thuyết Miền bác bỏ

 

0 0

1 0

:
:

H
H



















 1

/2
n

X n

W Z



Z t





  

 

   

 

 

 

0 0

1 0

:
:

H
H

















X 0



n n1

W Z



Z t





  

 

   

 

 

 

0 0

1 0

:
:

H
H

















X 0



n n1

W Z



Z t





  

 

    

 

 

II. Kiểm định tỉ lệ:

Giả thuyết Miền bác bỏ

 

0 0

1 0

:
:

H p p




















0 1 0

f p n

W Z Z u

p p

 

  

 

   



 

 

 

0 0

1 0

:
:

H p p



















0 1 0

f p n

W Z Z u

p p

 

  

 

   



 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 

0 0

1 0

:
:

H p p

















0 1 0

f p n

W Z Z u

p p
 
  
 
    

 
 

III. Kiểm định phương sai:

1) Trường hợp 1: (nếu biết



)

Giả thuyết Miền bác bỏ

 

2 2
0 0
2 2
1 0
:
:
H
H







 






 

*2
/2
2

0 1 /2

Z n
nS
W Z
Z n











   
 
   


  
 

 

2 2
0 0
2 2
1 0
:
:
H
H







 






 

*2
2
0
nS

W Z Z



 n



 
 
   
 
 

 

2 2
0 0
2 2
1 0
:
:
H
H







 






 

*2
1
2
0
nS

W Z Z



 n




 
 
   
 
 

2) Trường hợp 2: không biết



Giả thuyết Miền bác bỏ

 

2 2
0 0
2 2
1 0
:
:
H
H







 


















2
/2
2

0 1 /2

1
1
1
Z n
n S

W Z
Z n











     
 
   
 

  
 

 

2 2
0 0
2 2
1 0
:
:
H
H







 















2
2
0
1
1
n S

W Z Z



 n



  
 
    
 
 

 

2 2
0 0
2 2
1 0
:
:
H
H







 














2
1
2
0
1
1
n S

W Z Z



 n

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

PHẦN 3: THỐNG KÊ HAI TỔNG THỂ 
1. Tóm tắt:

Tổng thể 1 Tổng thể 2

Tham số 2

; ;

X pX X





; ;

Y pY Y





Thống kê mẫu 2

1; ; X; X

n x f S n y f S2; ; Y; Y2

Phân phối xác suất mẫu





~ ;

X
X

X

X X

X

X N

n

p p

F N p

n





 

 

 

  

 

 





~ ;

Y
Y

Y

Y Y

Y

Y N

n

p p

F N p

n





 

 

 

  

 

 

Phân phối xác suất 
thống kê mẫu đặc biệt 
(test thống kê)













2
2

*2
2
2

~ 1

X X

X
X

X X

X
X

n S

n

n S

n



















 

2
2
2

*2
2
2

~ 1

Y Y

Y
Y

Y Y

Y
Y

n S

n

n S

n











Phân phối chung của 
trung bình các mẫu

Cho hai tổng thể có phân phối chuẩn. Khi đó:













2 2 ~ 0;1

X Y

N

n n





  



Khi



2X 



Y2 thì

















2 ~





1 1 1 1

X Y

X X Y Y

X Y X Y

X Y

t n n

n S n S

n n n n



  

 

    



 

   

Khi



2X 



Y2 thì









 

















2 2

1 1

~ ;

1 1 1

X Y X Y

Y X

X Y

X Y n n

t k k

n C n C

S S

n n



    



   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trong đó:

2 2

X

X Y

S

n
C

S S

n n




Phân phối chung của tỷ 
lệ các mẫu



 













0;1



X Y X Y

X X Y Y

X Y

F F p p

N

p p p p

n n

  



 



Phân phối chung của 
phương sai các mẫu





















2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

/ . /

~ 1; 1

/ /

X X X Y X Y

X Y

Y X

Y Y X Y

S S S S

F n n

S
S







 



 

2. Kiểm định so sánh hai trung bình: 
Bài tốn kiểm định:

+ Giả thuyết không H0:



X 



Y

+ Mức ý nghĩa (xác suất bác bỏ, xác suất sai lầm loại 1):



+ Giả thuyết đối (thay thế): có 1 trong 3 dạng   ; ;
2.1 Khi đã biết hai phương sai tổng thể:

Tiêu chuẩn kiểm định Cặp giả thuyết Miền bác bỏ









2 2 ~ 0;1

X Y

Z N

n n








 

0
1

:
:

X Y

H
H



















W Z u

 

0
1

:
:

X Y

H
H



















W Z u

 

0
1

:
:

X Y

H
H



















W Z  u

Chú ý. Tiêu chuẩn kiểm định được xây dựng dưới điều kiện H0 đúng

2.2 Khi chưa biết hai phương sai tổng thể, nhưng có thêm giả thuyết hai phương sai bằng 
nhau:

Tiêu chuẩn kiểm định Cặp giả thuyết Miền bác bỏ









2 2 X Y 2

X Y

Z t n n

S S



   



 

0
1

:
:

X Y

H
H















 





W nX nY

Z t  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



















 



2 2

2 1 1

2 2
2
2
1 1
1 1
X Y
n n
i i
i i
X Y

X X Y Y

X Y

x x y y

S

n n

n S n S

S
n n
 
  

 
  

  



 

1
:
:
X Y
X Y

H
H












 





W nX nY

Z t  

 

 

0
1
:
:
X Y
X Y
H
H












 





W nX nY

Z t  

  

Chú ý. Tiêu chuẩn kiểm định được xây dựng dưới điều kiện H0 đúng
2.3 Khi chưa biết hai phương sai tổng thể, và hai phương sai khác nhau 
Tiêu chuẩn kiểm định Cặp giả thuyết Miền bác bỏ





 

















2 2
2
2
1 1

1 1 1

X Y

Y X

X Y

Z t k

S S

n m

n n

k

n C n C


 

 

   
2
2 2
X

X
X Y
X Y
S
n
C
S S
n n



 

0
1
:
:
X Y
X Y
H
H












 





W Z tk

 

0
1
:
:
X Y
X Y
H
H












 





W Z tk

 

0
1
:
:

X Y
X Y
H
H












 





W Z  tk

Chú ý. Tiêu chuẩn kiểm định được xây dựng dưới điều kiện H0 đúng
3. Kiểm định so sánh hai tỷ lệ:

Bài toán kiểm định:

+ Giả thuyết không H0: pX  pY

+ Mức ý nghĩa (xác suất bác bỏ, xác suất sai lầm loại 1):



+ Giả thuyết đối (thay thế): có 1 trong 3 dạng   ; ;

Tiêu chuẩn kiểm định Cặp giả thuyết Miền bác bỏ











0;1



1 1

X Y

X Y X X Y Y

X Y X Y

F F

Z N

f f

n n

k k n f n f

f

n n n n


 
 
 
 
 

 

0
1
:
:
X Y
X Y

H p p















W Z u

 

0
1
:
:
X Y
X Y

H p p













W Z u

 

0
1
:
:
X Y
X Y

H p p













</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

4. Kiểm định so sánh hai phương sai: 
Bài tốn kiểm định:

+ Giả thuyết khơng H0:



X2 



Y2

+ Mức ý nghĩa (xác suất bác bỏ, xác suất sai lầm loại 1):



+ Giả thuyết đối (thay thế): có 1 trong 3 dạng   ; ;
4.1 Nếu chưa biết trung bình hai tổng thể

Tiêu chuẩn kiểm định Cặp giả thuyết Miền bác bỏ





2 1; 1

X

X Y

Y
S

Z F n n

S

   

 

2 2

:
:

X Y

H
H







 









 

1;n 1
/2

1;n 1
1 /2

X Y
X Y

n

Z f



 



  

 

  

 

 

 

 

2 2

:
:

X Y

H
H







 









 



1;n 1



W nX Y

Z f  

 

 

2 2

:
:

X Y

H
H







 









 



1;n 1



W nX Y

Z f 

 

4.2 Nếu đã biết trung bình hai tổng thể

Tiêu chuẩn kiểm định Cặp giả thuyết Miền bác bỏ





*2 ;

X

X Y
Y

S

Z F n n

S

 

 

2 2

:
:

X Y

H
H







 









 

;n
/2

;n
1 /2

X Y
X Y

n

Z f






  

 

  

 

 

 

 

2 2

:
:

X Y

H
H







 









 





W nX Y

Z f

 

 

2 2

:
:

X Y

H
H







 









 





W nX Y

Z f

 

</div>