Chuyên đề Bất đẳng thức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>s­u tËp vµ biªn so¹n n¨m 2000 chØnh söa n¨m :2007 A- Më ®Çu: Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông . Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tè cña tam gi¸c vÒ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. Trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp , n¨ng lùc suy nghÜ , s¸ng t¹o cña häc sinh ®­îc phat triÓn ®a dang vµ phong phó vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào c¶. Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ víi kiÕn thøc míi mét c¸ch l«gÝc cã hÖ thèng. Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các lo¹i bµi tËp kh¸c. Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu được của người dạy toán ,thông qua đó rèn luyện Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức . Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn.. Danh mục của chuyên đề S.t.t 1.. Néi dung PhÇn më ®Çu. trang 1. 2.. Nội dung chuyên đề. 2. 3.. C¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý. 3. 4.. Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức. 4. Lop10.com. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 5.. Phương pháp 1:dùng định nghiã. 4. 6.. Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương. 7.. Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc. 6 8. 8.. Phương pháp 4:dùng tính chất bắc cầu. 10. 9.. Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số. 12. 10.. Phương pháp 6: dùng phương pháp làm trội. 14. 11.. Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác. 16. 12.. Phương pháp 8: dùng đổi biến. 17. 13.. Phương pháp 9: Dùng tam thức bậc hai. 14.. Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học. 18 19. 15.. Phương pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng. 21. 16.. C¸c bµi tËp n©ng cao. 23. 17.. 28. 18.. øng dông cña bÊt d¼ng thøc Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị. 19.. Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình. 31. 20.. Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên. 33. 21.. Tµi liÖu tham kh¶o. 29. B- néi dung PhÇn 1 : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý. 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Lop10.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thøc 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên. PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý 1-§inhnghÜa A  B  A  B  0  A  B  A  B  0 Lop10.com. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2-tÝnh chÊt + A>B  B  A + A>B vµ B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B vµ C > D  A+C > B + D + A>B vµ C > 0  A.C > B.C + A>B vµ C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B vµ 0 < C <D  0 < A.C < B.D + A > B > 0  A n > B n n + A > B  A n > B n víi n lÎ + A > B  A n > B n víi n ch½n + m > n > 0 vµ A > 1  A m > A n + m > n > 0 vµ 0 <A < 1  A m < A n +A < B vµ A.B > 0. . 1 1  A B. 3-một số hằng bất đẳng thức + A 2  0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + An  0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + A  0 víi A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A  B  A  B ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0) + A  B  A  B ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0). Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1 : dùng định nghĩa Lop10.com. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz - zx 1 2 1 = ( x  y ) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R 2. = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx). . . V× (x-y)2  0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2  0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2  0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0 DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2. a2  b2  a  b  a)   ;b) 2  2 . a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n. gi¶i Lop10.com. 5. 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2. a2  b2  a  b  a) Ta xÐt hiÖu   2  2  2 a 2  b 2 a 2  2ab  b 2  = 4 4 1 = 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab 4 1 = a  b 2  0 4. . . . a2  b2  a  b  VËy   2  2 . . 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b)Ta xÐt hiÖu 2. a2  b2  c2  a  b  c    3 3   1 = a  b 2  b  c 2  c  a 2  0 9. . . a2  b2  c2  a  b  c   VËy  3 3  . 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c c)Tæng qu¸t 2. a12  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n    n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B tho định nghĩa. Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  B VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i:  m2  m2  m2  m2  2 2 2         mn  n     mp  p     mq  q     m  1  0  4   4   4   4  2. m  m    n    2  2. 2. 2. 2.  m  m  p     q     1  0 (luôn đúng)  2  2 .  m2 m m  n  0    2 n  2 n  p  q  1 m  m   p0 p  2 DÊu b»ng x¶y ra khi   2 m    q  0 Lop10.com m q  2 2 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bµi tËp bæ xung. phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương L­u ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau:. A  B 2  A 2  2 AB  B 2 Lop10.com. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> A  B  C 2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC A  B 3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3 VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b2 a) a   ab 4 2 b) a  b 2  1  ab  a  b c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e  2. Gi¶i: b2  ab 4  4a 2  b 2  4ab  4a 2  4a  b 2  0 2 (bất đẳng thức này luôn đúng)  2a  b   0. a) a 2 . b2  ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4 b) a 2  b 2  1  ab  a  b  2(a 2  b 2  1   2(ab  a  b)  a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0 Bất đẳng thức cuối đúng.  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0 2 2 VËy a  b  1  ab  a  b. VËy a 2 . DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1. c). a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e   4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2   4ab  c  d  e   a 2  4ab  4b 2  a 2  4ac  4c 2  a 2  4ad  4d 2  a 2  4ac  4c 2  0. . . .  a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   0 2. 2. 2. . . 2. Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a 10  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4  Gi¶i:. a. 10. .     a a  b  a b b  a  0.  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4.  a 8b 2. 2. 2. 2. 8.  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  0. 2. 12.  a 10 b 2  a 2 b10  b12  a 12  a 8 b 4  a 4 b 8  b12. 2.  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0. Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh x2  y2  2 2 v× :x  y nªn x- y  0  x y. Lop10.com. x2  y2 2 2 x y. Gi¶i: x2+y2  2 2 ( x-y) 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y  0  x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2  0  x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy  0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2  (x-y- 2 )2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh. VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1  0 x, y  R a2  b2  c2  a  b  c 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x. y.z  1  1 1 1     x yz  x y z. Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 x. 1 y. 1 z. 1. 1. 1. x. y. z. 1 x. 1 y. 1 z. =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  0 (v×   < x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc. phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1. Phương pháp 3:. dùng bất đẳng thức quen thuộc. A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: Lop10.com. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> a) x 2  y 2  2 xy b) x 2  y 2  xy dÊu( = ) khi x = y = 0 c) x  y 2  4 xy a b. b a. d)   2 2)Bất đẳng thức Cô sy:. a1  a 2  a3  ....  a n n  a1 a 2 a3 ....a n n. 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski. a. 2 2. . Víi ai  0. .  a22  ....  an2 . x12  x22  ....  2n  a1 x1  a2 x2  ....  an xn . 2. 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: abc A  B  C abc NÕu  A  B  C abc DÊu b»ng x¶y ra khi  A  B  C. NÕu . . aA  bB  cC a  b  c A  B  C  . 3 3 3. . aA  bB  cC a  b  c A  B  C  . 3 3 3. b/ c¸c vÝ dô vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  4 xy Tacã a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac  a  b  b  c  c  a   64a 2 b 2 c 2  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 2. 2. 2. 2. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c 1 1 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y )(1  z ). vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:. CMR:. a b c 3    bc ca ab 2. 4)Cho x  0 ,y  0 tháa m·n 2 x  y  1 vÝ dô 3:. ;CMR:. Cho a>b>c>0 vµ a 2  b 2  c 2  1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 1    bc ac ab 2. Gi¶i:. Lop10.com. 10. x+y . 1 5. (403-1001).

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b. ¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã a b c a2  b2  c2  a b c  1 3 1 2 2 a . b . c .  .   = . = bc ac ab 3 bc ac ab 3 2 2 2. VËy. a3 b3 c3 1    bc ac ab 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=. 1 3. vÝ dô 4: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :. a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c  bc  d  d c  a   10. Gi¶i: Ta cã a  b  2ab 2. 2. c 2  d 2  2cd 1 1 1 (dïng x   ) ab x 2 1 Ta cã a 2  b 2  c 2  2(ab  cd )  2(ab  )  4 ab MÆt kh¸c: ab  c  bc  d  d c  a . Do abcd =1 nªn cd =. (1). =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =  ab . 1   1   1    ac     bc    2  2  2 ab   ac   bc   VËy a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c  bc  d  d c  a   10. vÝ dô 5:. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2 mµ a  c 2  b  d 2  a 2  b 2  2ac  bd  c 2  d 2. . .  a2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2.  (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. vÝ dô 6: Chøng minh r»ng a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã. 1  1  1 (a  b  c )  1.a  1.b  1.c  3 a  b  c  a  b  c  2ab  bc  ac  2. 2. 2. 2. 2 2 2   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac. Phương pháp 4:. 2. 2. 2. 2. 2. 2. §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c. Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu Lop10.com. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> L­u ý:. A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x 2 <x. vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a  c  d b  c  d. Tacã . a  c  d  0   b  d  c  0. (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc.   . (®iÒu ph¶i chøng minh). vÝ dô 2: 2 2 2 Cho a,b,c>0 tháa m·n a  b  c . Chøng minh. 5 3. 1 1 1 1    a b c abc. Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0 1 2 2 2 ( a +b +c ) 2 5 1 1 1 1     ac+bc-ab   1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã 6 a b c abc.  ac+bc-ab . vÝ dô 3 Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1)  (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 4 1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a. Gi¶i : Do a < 1  a 2  1 vµ Ta cã 1  a 2 .1  b   0  1-b- a 2 + a 2 b > 0  1+ a 2 b 2 > a 2 + b. Lop10.com. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> mµ 0< a,b <1  a 2 > a 3 , b 2 > b 3 Tõ (1) vµ (2)  1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3 VËy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2 Tương tự b 3 + c 3  1  b 2 c c 3 + a3  1  c2a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a b)Chøng minh r»ng : NÕu a 2  b 2  c 2  d 2  1998 th× ac+bd =1998. (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2abcd  a 2 d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rá rµng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  1998 2. 2.  b 2 c 2 - 2abcd =.  ac  bd  1998. 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2  c høng minh r»ng : a 12 + a 22  a32  ....  a 2003. 2003- 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c  0 tháa m·n :a+b+c=1(?) 1 a. 1 b. 1 c. Chøng minh r»ng: (  1).(  1).(  1)  8. Lop10.com. 13. 1 ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Phương pháp 5:. dïng tÝnh chÊtcña tû sè. KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a ac  1 th×  b b bc a a ac b – NÕu  1 th×  b bc b. a – NÕu. 2)NÕu b,d >0 th× tõ. a c a ac c     b d b bd d. `. vÝ dô 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng 1. a b c d    2 abc bcd cd a d ab. Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã. a a ad 1  abc abc abcd a a  MÆt kh¸c : abc abcd. (1) (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã. a a ad < < abcd abc abcd. (3). Tương tự ta có. b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd d d d c   abcd d ab abcd. (4) (5) (6). céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1. a b c d     2 ®iÒu ph¶i chøng minh abc bcd cd a d ab. vÝ dô 2 :. a c a ab  cd c  vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng < 2 b d b b d2 d a c ab cd ab ab  cd cd c   Tõ <  2  2  2  2 b d b d b b d2 d2 d a ab  cd c  < ®iÒu ph¶i chøng minh b b2  d 2 d. Cho: < Gi¶i: VËy. Lop10.com. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c. t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña  gi¶i :. b d. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :. a b a b a ab b     Tõ :  c d c d c cd d. a  1 v× a+b = c+d c b a b  998    999 d c d a b 1 999 b, NÕu: b=998 th× a=1   =  §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999 c d c d a b 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña  =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999. a, NÕu :b  998 th×. Lop10.com. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Phương pháp 6: Phương pháplàm trội L­u ý:. Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2  ....  un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1. Khi đó : S = a1  a2  a2  a3  ....  an  an 1   a1  an 1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn P = u1u2 ....un Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: uk =. ak ak 1. Khi đó P =. a a1 a2 a . ..... n  1 a2 a3 an 1 an 1. VÝ dô 1 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3    ....   2 n 1 n  2 nn 4. Gi¶i:. Ta cã Do đó:. 1 1 1   n  k n  n 2n. víi k = 1,2,3,…,n-1. 1 1 1 1 1 n 1   ...    ...    n 1 n  2 2n 2n 2n 2n 2. VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng: 1. . Gi¶i : Ta cã. . 1 1 1   ....   2 n 1 1 2 3 n. Víi n lµ sè nguyªn. . 1 2 2    2 k 1  k k 2 k k  k 1. Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có. Lop10.com. 16. .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1 > 2  2  1. . 1 2 3 2 2. . ………………. . 1  2 n 1  n n. . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có. . . 1 1 1   ....   2 n 1 1 2 3 n. 1. VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng. n. 1. k k 1. 2. 2. n  Z. Gi¶i: 1 1 1 1    2 k k k  1 k  1 k. Ta cã. Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1  1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 ................. 1 1 1   2 n n 1 n 1 1 1  2  2  ....  2  1 2 3 n. VËy. n. 1. k k 1. 2. 2. Lop10.com. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác L­u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0 Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b . a 2  a (b  c)  2 b  b(a  c)  c 2  c ( a  b) . . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c   a 2  a 2  (b  c) 2 > 0 b > a-c   b 2  b 2  (c  a) 2 > 0 c > a-b   c 2  c 2  (a  b) 2  0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được. . . .  a 2b 2 c 2  a 2  b  c  b 2  c  a  c 2  a  b  2. 2. 2.  a b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  . b  c  a  . c  a  b 2 2 2. 2. 2. . 2. VÝ dô2: (404 – 1001). 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 Chøng minh r»ng a 2  b 2  c 2  2abc  2. Lop10.com. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Phương pháp 8:. đổi biến số. VÝ dô1:. Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng. a b c 3    (1) bc ca ab 2. Gi¶i :. yzx zx y x yz ; b= ;c= 2 2 2 yzx zx y x yz 3    ta cã (1)  2x 2y 2z 2 y z x z x y  1  1  1  3  x x y y z z y x z x z y (  )(  )(  )6 x y x z y z y x z y z x   2 nªn ta cã ®iÒu   2; Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2; x y y z x z. §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=. ph¶i chøng minh VÝ dô2:. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ac c  2ab. (1). 2. Gi¶i: §Æt x = a 2  2bc ; y = b 2  2ac ; z = c 2  2ab Ta cã x  y  z  a  b  c 2  1 1 x. 1 y. 1 z. (1)     9. Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0. Theo bất đẳng thức Côsi ta có x  y  z  3. 3 xyz 1 1 1 1    3. . 3 x y z xyz. . x  y  z . 1  1  1   9 x. y. z. Mµ x+y+z < 1 VËy. 1 1 1    9 (®pcm) x y z. VÝ dô3:. Cho x  0 , y  0 tháa m·n 2 x  y  1 CMR x  y  Gîi ý: §Æt x  u ,. y v. 1 5.  2u-v =1 vµ S = x+y = u 2  v 2  v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min Lop10.com. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bµi tËp 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. CMR:. 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1    bc ca ab 2. Lop10.com. 20. 25a 16b c   8 bc ca ab.  m. . n  p  m  n  p  2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>