tài liệu otch update 05052017 nguyenvantien0405

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (885.6 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

ỨNG DỤNG CỦA HÀM

NHIỀU BIẾN SỐ

TRONG KINH TẾ

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm riêng và giá trị cận biên

• Xét mơ hình hàm kinh tế:

• trong đó xilà các biến số kinh tế.

• Đạo hàm riêng của hàmwtheo biến xitại điểm M

được gọi là giá trịw– cận biên theo xitại điểm đó.

• Biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biếnwkhi giá
trị xithay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các

biến độc lập còn lại không thay đổi.



,

,...,

n



w



f x x

x

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giá trị cận biên_hàm sx

• Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)

• Các đạo hàm riêng:

• được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên
của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên
của lao động (MPL) tại điểm (K, L)

'K ( , ); 'L ( , )

f f

Q K L Q K L

K L

 

 

 

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giá trị cận biên_hàm sx

• Đạo hàm riêng:

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia
tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ
nguyên mức sử dụng lao động.

• Đạo hàm riêng:

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia
tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và
giữ nguyên mức sử dụng tư bản.

'K ( , )
f

Q K L

K






'L ( , )
f

Q K L

L






Ví dụ

• Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:

• trong đóK, L, Qlà mức sử dụng tư bản, mức sử
dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử
doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị sản
phẩm và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức
là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận biên của
tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý
nghĩa.

1 3
4 4
20

Q K L

Giá trị cận biên_hàm lợi ích

• Cho hàm lợi ích:

• Đạo hàm riêng:

• MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.

• Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu
dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứi trong
điều kiện số đơn vị các hàng hóa khác không thay
đổi.

1 2
( , ,..., n)

UU x x x

( 1, )

i
i

U

MU i n

x



 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người
tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa là.

• Trong đó x1, x2là mức sử dụng hàng hóa 1 và

hàng hóa 2,Ulà lợi ích của người tiêu dùng hàng
ngày.

• Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị
hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một
ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa
tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.

3 1

2 2

1 2

U x x

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hệ số co giãn riêng

• Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn).

• Hệ số co giãn của của hàmwtheo biến xitại

điểm M là số đo lượng thay đổi tính bằng phần
trăm củaw khi xithay đổi 1% trong điều kiện

giá trị của các biến độc lập khác không đổi,
được ký hiệu và xác định như sau:













0 0 0 0

1 2 0 0 0

1 2

0 0 0

1 2
, ,....,

. , ,....,

, ,....,
i

n

f i

x n

i n

f x x x x

voi M x x x

x f x x x

 


Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai
hàng hóa có liên quan có dạng:

• p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2.

a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá
của hàng hóa đó tại (p1,p2)

b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá
của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)

c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và
cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30).

2 2

1 1 2

5
6300 2

d

Q   p  p

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giải

• Ta có:

• Tại điểm (20,30) ta có:

• Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa
2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% cịn giá hàng hóa
2 khơng đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự,
nếu giá của hàng hóa 1 khơng đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng
thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%.

1 1

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

4 . ; .

5 3 5

6300 2 6300 2

3 3

d d

Q Q

p p

p p p p

     

   

1 1

1 0, 4; 2 0, 75

d d

Q Q

p p

     

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)

• là hàm cận biên của hàm kinh
tế trên theo biếnx.

• là hàm cận biên của hàm kinh
tế trên theo biếny.

'x ( , )

z f

z x y

x x

 

 

 

'y ( , )

z f

z x y

y y

 

 

 

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm
dần nói rằng

• Giá trịz– cận biên của biếnx giảm dần khix

tăng vàykhông đổi.

• Giá trịz– cận biên của biếnygiảm dần khiy

tăng vàxkhơng đổi

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• Cơ sở tốn học:

• là hàm số giảm khi

2 2

2 2( , ) 0

z f

x y

x x

  

 

( , )

z f

x y

x x

 
 

( , )

z f

x y

y y

 

 

2 2

2 2( , ) 0

z f

x y

y y

  

 

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng
Cobb – Douglas như sau:

• Tìm điều kiện của α, β để hàm số trên tuân
theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

( , ,

0)

Q



aK L

 

a

 



Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hàm thuần nhất

• Hàm số z=f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất
cấpknếu với mọi t>0 ta có:

• Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm thuần nhất cấp

(α+β) vì với mọi t>0 ta có:

( , )

k

( , )

f tx ty



t f x y





( , ) ( ) ( ) ( , )

Q tK tL a tK tLt  aK L  t  Q K L

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Các hàm sau có là hàm thuần nhất khơng? Tìm
cấp tương ứng.

0,5 0,5

2 2

1 4 4

)

9 9 9

2
)

a Q K K L L

xy

b z

x y

  




Hiệu quả theo quy mô sản xuất

• Xét hàm sản xuất Q=f(K;L)

• trong đó K, L là yếu tố đầu vào,Qlà yếu tố đầu
ra.

• Bài tốn đặt ra là: Nếu các yếu tố đầu vào K, L
tăng gấpmlần thì đầu raQcó tăng gấpmlần
hay khơng ?

• Ta tiến hành so sánh:

( , ) ( , )

Q mK mL vs mQ K L

Hiệu quả theo quy mô sản xuất

• Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có
hiệu quả tăng theo quy mơ.

• Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có
hiệu quả giảm theo quy mơ.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hiệu quả của quy mơ với bậc thuần nhất

• Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) là hàm thuần nhất
cấpk.

• + Nếuk>1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng

theo quy mơ.

• + Nếu k<1thì hàm sản xuất có hiệu quảgiảm

theo quy mơ.

• + Nếuk=1thì hàm sản xuất có hiệu quảkhơng
đổitheo quy mơ.

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Xét vấn đề hiệu quả theo quy mô của các hàm
sản xuất sau:

0,5 0,5

1 4 4

)

9 9 9

)

a Q K K L L

b Q aK L 

  



Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hàng hóa thay thế

• Hàng hóa cùng thỏa mãn một nhu cầu

• Hàng hóa có cùng chức năng và cơng dụng

• Một sựtăng lên về giácả của hàng hóa này sẽ
làmtăng lượng cầucủa hàng hóa thay thế

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hàng hóa bổ sung

• Là những hàng hóa được sử dụng song hành
với nhau để bổ sung cho nhau nhằm thỏa mãn
một nhu cầu nhất định nào đó.

• Một sựtăng lên về giá của hàng hóa này làm

giảm lượng cầuđối với hàng hóa bổ sung.

Ví dụ

• Cho mơ hình thị trường 2 hàng hố:

• Hai mặt hàng trong mơ hình là các mặt hàng
thay thế hay bổ sung? vì sao?

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

48 2 0, 5 0, 5

12 2 20 2

d d

s s

Q p p Q m p p

Q p Q p

     

 

       

 

Đáp án

• Ta có:

• Có nghĩa là khi giá hàng thứ 1 không đổi giá
hàng 2 tăng lên thì cầu hàng 1 tăng;

• Có nghĩa là khi giá hàng thứ 2 không đổi giá
hàng 1 tăng lên thì cầu hàng 2 tăng;

• Như vậy 2 hàng hố trong mơ hình là các hàng
hố thay thế nhau.

1 2

2 1

0, 5 0; 0, 5 0

d d

Q Q

p p

     

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hệ số thay thế hay bổ sung

• Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn) và điểm
• Đặt w0=f(M0)

• Bài tốn:khi hai biến xi, xjthay đổi cịn các biến khác
giữ ngun sao cho w khơng đổi (tức w=w0) thì sự

thay đổi của hai biến này phải tuân theo tỷ lệ nào?
• Tùy thuộc vào thực tiễn của hai biến, tỷ lệ này có thể

gọi là tỷ lệ (hệ số) thay thế, tỷ lệ bổ sung, tỷ lệ
chuyển đổi.

• Ví dụ:tỷ lệ thay thế giữa vốn và lao động; bổ sung
giữa hai mặt hàng; chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện
tại và tiêu dùng tương lai.

 0 0 0

0 1; 2;...; n

M x x x

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hệ số thay thế hay bổ sung

• Theo cơng thức vi phân tồn phần:

• Do các biến xi, xj thay đổi cịn các biến khác

khơng đổi nên:

1 2

w ... n

n

f f f

d dx dx dx

x x x

  

   

  

'
0

'
j
i

x
j
i

i j

i j j x

i

f
f
x
dx

f f

dx dx

f

x x dx f

x

 




 

    



 



Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Hệ số thay thế hay bổ sung

• Nếu𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

< 0ta nói xicó thể thay thế (chuyển đổi) cho xjtại M0

với tỷ lệ|𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

• Nếu𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

> 0ta nói xicó thể bổ sung cho xjtại M0với tỷ lệ

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

• Nếu𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

= 0ta nói xi, xj khơng thể thay thế hoặc bổ sung cho
nhau tại M0.

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Ngân sách tiêu dùng là B=300$; giá một đơn vị hàng hóa 1,2
lần lượt là 3$; 5$. Biết hàm lợi ích như sau:

• A) Xác định hàm lợi ích tiêu dùng cận biên của hàng hóa 1,2.
Hai hàng hóa này là thay thế hay bổ sung cho nhau?

• B) Hàm trên có tn theo lợi ích cận biên giảm dần hay
khơng?

• C) Tại điểm (32;32) viết phương trình đường bàng quan. Xác
định độ dốc của đường đó.

• D) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng

đạt giá trị lớn nhất.

• E) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1$ thì mức lợi ích tối đa
giảm bao nhiêu?





0,4 0,4

5 . 0; 0

U  x y x y

Đáp án

• A) Hai hàng hóa thay thế

• B) Tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• C) Hệ số góc là -1

• D) U(50;30) là lớn nhất

• E) Giảm 0,249 đơn vị.

Phương trình đường đồng lượng

• Cho hàm sản xuất Q=a.Kα.Lβ (a, α, β>0)

• Giả sử: K=K0; L=L0, khi đó sản lượng là:

• Phương trình: Q=Q0 hay a.Kα.Lβ = Q0 gọi là

phương trình đường đồng lượng tại điểm (K0;

L0).

0 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Phương trình đường bàng quan

• Cho hàm lợi ích U=a.xα.yβ (a, α, β>0)

• Giả sử: x=x0; y=y0, khi đó lợi ích là:

• Phương trình: U=U0 hay a.xα.yβ = U0 gọi là

phương trình đường bàng quan tại điểm (x0;

y0).

• Hệ số góc (hoặc độ dốc) của đường đó tại điểm
(x0; y0).

0 0

Ua x y 

0 0

( , )
( , )

( , )
U

x y

dy x

x y
U

dx x y

y

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng đối với
2 loại hàng hóa như sau:

• (x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng
hóa 2; x>0; y>0)

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32) viết phương trình

đường bàng quan, xác định hệ số góc của
đường đó và nêu ý nghĩa.

0,4 0,4

5. .

U x y

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giải

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32) thì U0=5.320,4.320,4

• Phương trình đường bàng quan tại (x0;

y0)=(32;32) là:

• Hệ số góc của đường bàng quan :

0,4 0,4

0 . 16 0

UU x y  

x

U

dy x y

y

U

dx x

y

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giải

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32):

• Ý nghĩa : Tại (x0; y0) khi tăng số đơn vịhàng hóa

1lên 1 đơn vị thì phải giảm số đơn vịhàng hóa
2xuống 1 đơn vị để lợi ích tiêu dùngkhông đổi.

' 32

1
32

x

y

Ứng dụng đạo hàm của hàm ẩn

Khái niệm hàm ẩn

• Cho phương trình F(x,y)=0

• Nếu với mỗi giá trị của x ta chỉ tìm được duy
nhất một giá trị của y thỏa mãn phương trình
trên thì F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y theo x.

• Kí hiệu:y = 𝑦 𝑥 , 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho phương trình:

• Giải phương trình này ta có được hàm của y
theo x:

• Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y

theo x trong R.

 

, 1 0

F x y  x y  

31

y x

31

y x

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho phương trình:

• Với mỗi giá trị của x ta có:

• Ta nói phương trình x2+y2-1=0 khơng xác định

hàm ẩn nào của y theo x.

 

2 2

, 1 0

F x y x y  

2
1

y  x

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Khái niệm hàm ẩn

• Trong nhiều trường hợp, mặc dù ta có thể
chứng minh được rằng phương trình F(x,y)=0
xác định một hàm số y=y(x) nhưng ta không thể
biểu diễn y theo x một cách trực tiếp. Trong
trường hợp đó ta phải xét hàm số y gián tiếp
dưới dạng phương trình F(x,y)=0.

• Kí hiệu y=y(x) chỉ mang ý nghĩa hình thức để nói
y là hàm số của biến sốx.

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm của hàm ẩn

• Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương
trình F(x,y)=0. Ta có:

( , )
( )

( , )

F
x y
x
y x

F
x y
y






  



'
'

x
x

y

F
y

F





Ví dụ

• Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác
định bởi phương trình:

• Đ/S:





2 2

2x y  1 0 y0

'x x

y
y




Hệ số (nhịp) tăng trưởng

• Cho hàm số kinh tế w=f(x1,x2,…,xn,t), trong đót

là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng
trưởng) củaf, ký hiệu và xác định bởi cơng thức
sau:

• Thơng thường hệ số tăng trưởng được tính
theo tỉ lệ %.

't
f

f
f
t

r

f f




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

• A) Cho U=U(t), V=V(t)

• Nếu Y=U.V thì

• Nếu Y=U/V thì

• Nếu Y=U+V thì

• Nếu Y=U-V thì

Y U V

r r r

Y U V

r r r

Y U V

U V

r r r

U V U V

 

 

Y U V

U V

r r r

U V U V

 

 

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

• B) Cho hàm

• Khi đó:

• Tính theo hệ số co dãn riêng của f với xivà hệ

số tăng trưởng của xi



1 2



 

w f x x, ,..., xn ;xix ti

1
.

i i

n
f
f x x

i

r  r





Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho hàm sản xuất Q=20K1/4L3/4 trong đó K là

vốn,Llà lao động,Qlà sản lượng. Cho biết vốn
và lao động phụ thuộc theot(tháng):

• a) Xác định hệ số tăng trưởng của vốn và lao
động.

• b) Xác định hệ số tăng trưởng của sản lượng tại
t0=2.

1 1

2 ; 3

4 6

K  t L  t

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giải

• A) Hệ số tăng trưởng của vốn:

• Hệ số tăng trưởng của lao động:

' 1 / 4 1

1 8

2
4

K

K
r

K t t

  




L' 1 / 6 1
1 18
3

L

r

L t t

  



Giải

• B) Hệ số tăng trưởng của sản lượng:

• Tại t0=2, ta có:

1 1 3 1

. . . .

4 8 4 18

Q Q

Q K K L L

r r r

t t

 

   

 

1 1 3 1 1

. .

4 8 2 4 18 2 16

Q

r   

 

Cực trị khơng điều kiện – VD1

• Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm.

Biết hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong
một đơn vị thời gian là:

• và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là
• Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

1 2 1 2

1 2

1230 5 1350 3

14 14

P P P P

Q   Q   

2 2

1 2 1 1 2 2

( , )

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Cực trị khơng điều kiện – VD2

• Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một
sản phẩm là:

• trong đó𝜋là lợi nhuận,Rlà doanh thu,Clà chi
phí,L là lượng lao động,w là tiền lương cho
một lao động,Klà tiền vốn,rlà lãi suất của tiền
vốn,Plà đơn giá bán sản phẩm.

• Giả sửQlà hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

• Ta tìmL, Kđể lợi nhuận đạt tối đa cho trường
hợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

R C PQ L rK

    

1/3. 1/3

QL K

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Cực trị có điều kiện – VD1

• Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng
hóa:

• (xlà số đơn vị hàng hóa 1,ylà số đơn vị hàng
hóa 2; x>0, y>0).

• Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2USD,
3USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là
130USD. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi
mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích
tối đa.

 

, 0,4. 0,6

U x y x y

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Cực trị có điều kiện – VD2

• Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào

thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (xphút) và

trên đài truyền hình (yphút). Hàm doanh thu:

• Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1
triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân
sách chi cho quảng cáo là B=180 triệu đồng.

• a) Tìmx, yđể cực đại doanh thu.

• b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì
doanh thu cực đại tăng lên bao nhiêu ?

 

2 2

, 320 2 3 5 540 2000

R x y  x x  xy y  y

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 1

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất
Q=40K0,75L0,25 trong đó Q_sản lượng; K_vốn;

L_lao động. Doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn
là 3$; một đơn vị lao động là 1$. Ngân sách chi
cho yếu tố đầu vào là B=160$.

• A) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mơ sản
xuất thì hiệu quả thay đổi như thế nào? Nếu K
tăng lên 1%; L tăng lên 3% thì sản lượng tăng
lên bao nhiêu % tại mỗi mức (K,L)?

Bài tập 1

• B) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản
lượng tối đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố
đầu vào 1$ thì sản lượng tối đa tăng lên bao nhiêu
đơn vị?

• C) Hàm số trên có tn theo quy luật lợi ích cận
biên giảm dần hay khơng?

• D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo
lao động?

• E) Xác định phương trình đường đồng lượng tại
điểm K=625; L=16.

• F) Vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế hay bổ
sung cho nhau.

Đáp án

• A) Hiệu quả khơng đổi

• Sản lượng tăng 1,5%

• B) K=L=40; Qmax=1600

• Tăng yếu tố đầu vào thì Qmax tăng khoảng 10
đơn vị

• C) Q tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm
dần

• D) E)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 3

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3

(Q: sản lượng, K: vốn và L: lao động)

• A) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mơ
sản xuất.

• B) Giả sử thuê tư bản là 4$, giá thuê lai động là
3$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân
sách cố định là 1050$. Hãy cho biết doanh
nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và
bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản
lượng tối đa.

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Đáp án

• A) Hiệu quả theo quy mơ

• B) Q(150;150) là lớn nhất.

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 4

• Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp
sản xuất 3 loại sản phẩm là:

• Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh

nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.

• Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3=200

2 2 2

1 3 2 7 3 300 2 1200 3 4 1 3 20

Q Q Q Q Q Q Q

       

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 5

• Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm.
Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đó
như sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán
tương ứng để doanh nghiệp đó thu lợi nhuận
tối đa.

1 1300 1 2 675 0, 5 2

Q  p Q   p

2 2

1 3 1 2 2

CQ  Q Q Q

Đáp án

• Ta có:

1 1

2 2

250; 1050

100; 1150

Q p

 

Bài tập 6

• Một cơng ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm
ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2.
• Hàm cầu ngược về sản phẩm của cơng ty có dạng:
• A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề

tối đa hóa lợi nhuận.

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính
độ co giãn của cầu theo giá.

2 2

1 128 0, 2 1; 2 156 0,1 2

TC   Q TC   Q

1 2

600 0,1 ; trong do 600

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Đáp án

• A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 7

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá th một đơn vị vốn là 6$, giá thuê
một đơn vị lao động là 4$. Giá bán một sản
phẩm là 2$.

• Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận
của doanh nghiệp tối đa.

• Đáp số: K=1/36; L=1/16





0,5 0,5

0; 0

QK L K L

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng của pt vi phân

a) Biến động của giá trên thị trường
b) Dự đoán biến động giá

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Biến động của giá trên thị trường

• Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng
hóa cho bởi:

• Điểm cân bằng thị trường:

• Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân
bằng. Cịn nếu khơng thì thị trường sẽ đạt giá
cân bằng sau một quá trình điều chỉnh nào đó.

;

D s

Q   p Q    p

p  

 






 

p p

Biến động của giá trên thị trường

• Trong q trình điều chỉnh, cáq Qs, Qdvà p đều

thay đổi theo t (biến thời gian).

• Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t
luôn tỷ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại
thời điểm đó. Nghĩa là:

• Với k>0 là hằng số.

 

' d s

p t k Q t Q t 

Biến động của giá trên thị trường

• Từ đó ta có:

• Do đó:

 













p t k p p

k p k p p

   
 

   

 

   

    

          



 













0. 0.

ln . ln

. k t k t

dp

k dt p p k t C

p p

p p C e p p Ce

   



      

 

 



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Biến động của giá trên thị trường

• Từ đó ta có:

• Do đó:

 













p t k p p

k p k p p

   
 

   

 

   

    

          


 













0. 0.

ln . ln

. k t k t

dp

k dt p p k t C

p p

p p C e p p Ce

   



      

 

 



   

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Biến động của giá trên thị trường

• Vì:

• Ta có:

• Vậy theo thời gian, giá cả có xu hướng trở về giá trị
cân bằng. Ta nói điểm cân bằng có tính chất ổn
định động.

 

0

 

0 k t0

p     p C p p p p e 

 





0 0

lim 0

k t
t

p p C p p p p e

p t p do k





 

      

  

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Biến động của giá trên thị trường

• Ví dụ:Cho:

• Tìm thời gian t sao cho:

 

1 2 ; 2 3 ; 0, 2; 0 0, 4

d s

Q   p Q    p k p 

1%
p  p 

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Giải

• Ta có:

• Vậy:

• Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu
cầu trên









0 0, 2. 2 3 1; 0, 6

k k      p

 

0 0 1

. 0 .

k t k t t

p p C e p p e    e
1

0, 01 0, 05 ln 0, 05
5

ln 20 3

t t

p p e e t

t

 

       

  

Dự đốn biến động giá

• Xét hàm giá theo thời gian p=p(t).

• Nếu p’t>0 thì giá tăng; p’t<0 thì giá giảm.

• Nếu p”tt> 0 thì giá thay đổi ngày càng nhanh,

p”tt< 0 thì giá thay đổi ngày càng chậm.

• Để bao qt hết tình hình đó, ta coi hàm cầu,
hàm cung khơng chỉ phụ thuộcp mà cịn phụ
thuộc cả p’; p’’ , tức là



; '; " ;





; '; "



d s

Q D p p p Q S p p p

Dự đốn biến động giá

• Thơng thường giá tăng thì cầu giảm, giá tăng thì

cung tăng:

0;

0

d s

Q

p







</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1

• Cho

• Và p(0)=6; p’(0)=4.

• Tìm sự biến động của giáptheo thời gian (giả
thiết cung, cầu cân bằng tại mọi thời điểm).

15 2 4 ' '' , 3 4 3 '

d s

Q p p p Q p p

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2

• Cho

• Và p(0)=12; p’(0)=1.

• Tìm sự biến động của giáptheo thời gian (giả
thiết cung, cầu cân bằng tại mọi thời điểm).

40 2 ' 2 '' , 5 4 ''

d s

Q p p p Q p p

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng của pt sai phân (tham khảo)

</div>

tài liệu otch update 05052017 nguyenvantien0405

<b>ỨNG DỤNG CỦA HÀM </b>

<b>NHIỀU BIẾN SỐ</b>

<b>TRONG KINH TẾ</b>

<b>Đạo hàm riêng và giá trị cận biên</b>



,

,...,



<i>w</i>



<i>f x x</i>

<i>x</i>

<b>Giá trị cận biên_hàm sx</b>

<b>Giá trị cận biên_hàm sx</b>

Ví dụ

<b>Giá trị cận biên_hàm lợi ích</b>

Ví dụ

<b>Hệ số co giãn riêng</b>













Ví dụ

Giải

<b>Quy luật lợi ích cận biên giảm dần</b>

<b>Quy luật lợi ích cận biên giảm dần</b>

<b>Quy luật lợi ích cận biên giảm dần</b>

Ví dụ

( , ,

0)

<i>Q</i>



<i>aK L</i>

<i>a</i>

 



Hàm thuần nhất

( , )

( , )

<i>f tx ty</i>



<i>t f x y</i>





Ví dụ

Hiệu quả theo quy mô sản xuất

Hiệu quả theo quy mô sản xuất

Hiệu quả của quy mơ với bậc thuần nhất

Ví dụ

Hàng hóa thay thế

Hàng hóa bổ sung

Ví dụ

Đáp án

Hệ số thay thế hay bổ sung

Hệ số thay thế hay bổ sung

Hệ số thay thế hay bổ sung

Ví dụ





Đáp án

Phương trình đường đồng lượng

Phương trình đường bàng quan

Ví dụ

Giải

Giải

<b>Ứng dụng đạo hàm của hàm ẩn</b>

Khái niệm hàm ẩn

Ví dụ

 

Ví dụ

 

Khái niệm hàm ẩn

Đạo hàm của hàm ẩn

Ví dụ





Hệ số (nhịp) tăng trưởng