<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

BÀI TẬP

PHÉP TÍNH VI PHÂN

HÀM MỘT BIẾN

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 1

• Tính đạo hàm các hàm số sau:









 









 





2
2
ln
2012 ₃
2 2
2
3
sin

1. sin 7. arctan sin

2. 8. sin

3. 2 9.

4. log ln 10. 1 . .

5. log sin 11.

sin

6. cot 12.

x
x x
x
x
x
x
x
x
x

y x y x

y x x y x

y y x

y x y x e x

x y x x x

x

y arc x y

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các phương pháp tính đạo hàm

• _{Cơng thức cơ bản: tổng, hiệu, tích, thương,}

hàm hợp.

• Biến đổi, rút gọn
• Lấy logarit

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 2.5,2.6,2.7

 

 

 

 

 















 

2

5. Cho . Tính .

6. Cho 2 3 1 5. Tính .

1 , 1

7. Cho 1 2 ,1 2

2 , 2

Tính .

f x x x f x

f x x x f x

x x

f x x x x

x x

f x






   

  



 _    

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 3,4

• _{Tính đạo hàm dạng tham số}

t
x

t

y

y

x



 

_

0

0 0 0

0

t
x

t

y t

y x

voi x t

x

x t





_

_

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 3,4

• Tính đạo hàm dạng tham số

• Tìm y’(x₀) của các hàm số.





 

2

2
5
5
2
ln 1

1. 2. ₂

arctan
arccot

3. _arctan 4. _sin

t
t
t
t
x
x t
y

y t t

x e

x t

y t y e t



 
 _ _ _{ }
 
 
 
 _{ } _{ }
 _


 _
 _ _ _ _
 
 
   
 
 
3

5 3 0

0

3 1

1. , 1
3 5 1

2. _t t_cos , 1

x t t

x

y t t

x e

x

y e t

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 5

• _{Tính đạo hàm hàm ẩn}

• Tính đạo hàm, giải phương trình tìm y’

• Nhớ kết hợp các qui tắc tính đạo hàm đã biết





2

3 2

2 ln

1.

ln

0

2.

3.

4

0

4.

cos

3

y
y x

x x

x

y x e

x

y

x

y

y

x

y











 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 6

• _{Tìm vi phân}

• _{Cơng thức:}

 





2





 

1. _{d x e}. x 2. ln 1_d _ _x 3._{d x} x

 

dy  y x dx

 n

_{ }

n n

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 7

• _{Tìm vi phân hàm ẩn:}

 

 

5 2

1. 1

2. cos

3. ln

y y x

xy x

y xy

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 8

• _{Tìm điều kiện để hàm số liên tục, khả vi trên R.}

• _{Dùng tính chất về liên tục, khả vi trên khoảng}
của hàm sơ cấp.

• _{Xét liên tục, khả vi tại điểm}
• _{Giới hạn trái, phải…}

 

x 2 2x ,_, x 0₀

f x _{  } _{ax b} _x _

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 9

• _{Cho hàm số:}

• _Tính:

  

1



2 ...

 

100



f x  x x  x  x 

 

0 ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 10

• _{Tính đạo hàm cấp 2 dạng tham số}

 

 

3

. .

x _t _t _t _t _t

x x _x

t _t

y _{x y} _{y x}

y y
x _x

 _{ }_ _{ }


 _  _ _
 _{ }
 
 



2



2

cos
1.

sin
ln 1

2. khi 0

t
t

x e t

y e t

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 11

• _{Tính đạo hàm cấp 2 hàm ẩn}

 





tại

4 4

0
1.

2. 1 0,1

3. sin

x y

e xy

x xy y M

x x y

 _

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 12

• _{Tính đạo hàm cấp cao dạng tích}





 

 
10
2

10

1. 1 sin , .

2. x , .

y x x tính y

e

y tính y

x

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 13

Tính đạo hàm cấp n









2
2

1
1.

1
1
2.

3 2

3. x sin 3 1

y

x x
y

x x

y e x






 

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 14

• _{Sử dụng cơng thức L’Hospitale (Lơ – pi – tan)}





2
2
0 0
2
0 0
2
0 ₀
0 0
2 arcsin

1. lim 2.lim

cos sin

sin

1 1 2

3. lim 4.lim

sin sin

sin

5. lim 6. lim ln

arcsin . ln 1

1 1 1 1

7. lim 8. lim

arcsin
1
x x
x x
x x
x x
x _x
x
x x

e e x x x

x x x

x x

e e x

x x x x x

x x _{x x}

x x

x e x x



 

 
 _
 
 

 _ _ _
 _ _
 _
 _
 _
 


 _  _
 _ _  _
 _ 
 _ 
 _ 
   
2

0
1 1
9. lim
arctan

x x x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 15

• _{Tìm giá trị cận biên}

2

3 2

2 3

) 0,1 3 2 3

) 0, 04 0, 5 4, 4 7500 5

) 250 45 5

a C Q Q khi Q

b C Q Q Q khi Q

c C Q Q Q khi Q

   

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 16

• _{Cho hàm cầu:}

• _{A) Xác định hệ số co dãn khi P=4.}

• B) Nếu giá giảm 2% (từ 4 giảm cịn 3,92) thì
lượng bán ra thay đổi bao nhiêu phần trăm.



3



60 ln 65

Q P

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 17

• _{Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi:}

• _{Tìm Q để doanh thu đạt tối đa}

2 3

240 57

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 18

• _{Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là:}

• _{Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa}

5

30

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 19

• _{Hàm cầu và hàm tổng chi phí của một loại sản}

phẩm độc quyền là:

• A) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm

mức giá P và lợi nhuận lúc đó.

• B) Chính quyền đặt tiền thuế là 22 đơn vị tiền cho

một đơn vị sản phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi
nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và lợi nhuận trong

trường hợp này.

2

600 2

0, 2

28

200

P

Q

C

Q

Q





</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 20

• _{Một loại sản phẩm có hàm cầu và hàm chi phí}
trung bình là:

• _{Tìm mức giá để lợi nhuận tối đa}

80

42 4

2

P

Q

C

Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 21

• _{Hàm tiêu dùng của một quốc gia cho bởi:}

• Tìm xu hướng tiết kiệm cận biên khi thu nhập là
25.

3

10

I

0, 7

I

0, 2

I

C

I





</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 22

• _{Hàm chi phí trung bình sản xuất một sản phẩm}
cho bởi:

• _{A) Tìm mức sản xuất Q (từ 2 đến 10) để có chi}
phí tối thiểu

• B) Tìm mức sản xuất Q (từ 5 đến 10) để có chi
phí tối thiểu.

2

200

2

36

210

C

Q

Q

Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 1

• _{Tìm các đạo hàm riêng của hàm số sau}





2

4 4 3 3 2 2

) ) ln tan

) 2 ) ln

) arctan ) 1 y

y

a z x y b z

x

c z x y x y d z x x y

y

e z f z xy

x

 _

 _

 _{ }_ __

 

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 2

• _{Tìm các đạo hàm riêng tại (} _{của hàm số sau}

 

, sin

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 3

• _{Tính vi phân tồn phần của hàm số:}

• _{Tính vi phân cấp 2 của hàm số:}





) tan 3 6x y ) arcsin x

a z x y b z

y

   

    _{ }_{ }

 





3 2 2

2

) 4 5 ) ln

) 2 ) x ln sin . ln

a z x x y y b z x y

c z xy y d z e y y x

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 4

• _{Tìm cực trị các hàm số sau}











 









 



3 2

4 4 2 2

2 2
3 2
3
3
2 ₂

3

) 3 15 12

) 2

) 1

) 1

) 2 6 6 3 2 1

) 2 3 2 6 3

) 1 2

) 2 6 1 3 10 2

a z x xy x y

b z x y x xy y

b z x xy y x y

c z x y x y

d z x x y y x y

e z y x x y x y

f z x y

g z x x y y

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 1 Tích phân đổi biến số

3
2 2
3 2
4
4
4 2

2 3 3

sin

. .

1

. .

2

1 sin 2

. .

2 9 3 cos

. .

3 sin 4 cos 5

2 5

sin
2

. .

4 7 sin cos

x

a dx b a x dx

x
x

c x dx d dx

a x _x _x

x

e dx f dx

x x x

x dx

g dx h

x x

x x

x dx
x

i dx j

x x x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 2. Tích phân từng phần

2

2
2

2 2

. arccos
. arctan

ln 1

.

1
.

a x xdx

b xdx

x x x

c dx

x
d a x dx

 




</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 3. Tính tích phân









 

2
1
2
1
1
2
0 0
1
0 1
3
2
0

. , 0

2 cos 1

arcsin
sin

. .

1 2 cos ₁

. . cos ln

sin

.
cos
x _e
x x
dx
a a

x x a

x dx

x xdx

b c

x _x _x

e dx

d e x dx

e e

x x dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 4. Tính tích phân























2 2 ₀ 3

3
2
2
0 2
2
3 2
5 3
1 1
2
2
0 0
1. 2.
1
1
arctan .
3. 4.
1 ₁
1
5. 6.

1 2 1 2 3

1 ln

7. 8.

1
1

9. 10. .

4 5
a
x
dx dx
x
x x

dx x dx

x x _x

dx
dx

x x x x x

x

dx dx

x
x

dx x e dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 5





1
2
3
0 0
1 2
2 ₂
1 0
3 3
2 2
3 1
1
2
2
0 0
1. 2.
3 2
3. 4.
4
5. 6.

9 4 3

ln

7. ln sin 8.

1
dx dx
x x
x
dx dx
x _x
dx dx

x x x

x

x dx dx

x




 

  


















</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 6

• _{Xét sự hội tụ của tích phân:}



2



2

1 0
1
3
3
1 0
1 1
4
0 0
ln
1. 2.
1 1

1 4 sin 2

3. 4.
cos
5. 6.
1 ₁
x
x
x
xdx xdx

x x e

x dx _dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài 7

• _{Xét sự hội tụ của tích phân:}

1 ₂ 1

4 2
0 0
1 1
sin sin
0 0
1
2
0
sin
6
1. 2.
1 1
3. 4.
1 cos
5.
x x
x

x dx _dx

x x

xdx dx

e e x

</div>

<!--links-->