<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Dạng tổng qt

aij gọi là các hệ số
bj: hệ số tự do

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n
n n

m m mn n m

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b





 





_

_{ }

_







_

_{ }

_



HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Dạng ma trận

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...

...

...

...

n
n

m m mn n m

a

a

a

x

b

a

a

a

x

b

a a

a

x

b



    

_

_

_



_



_



_



_



_



_



_



_



_



_



_



_





_





_



















    

_

_

_



_



_



_



_



_



_



_



_



_





















    

A X





B

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Dạng ma trận

Ma trận A gọi là ma trận hệ số.
X: ma trận cột các ẩn số

B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do
Nghiệm của phương trình là một bộ số:

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn.

A X





B



x x

1

, ,...,

2

x

n

 



c c

1

, ,...,

2

c

n



MỘT SỐ KHÁI NIỆM

Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0 Hệ

Crammer

Nếu hệ số tự do triệt tiêu Hệ thuần nhất

Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu
chúng có cùng tập nghiệm.

Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

 

 

 

 _  _{ }



 

 

 




    


n
n

m m mn m

a a a b

a a a b

A A B

a a a b

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM

Ví dụ 1. Các hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng?

2 3 1 2 3 4

1 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 4

1 2 3
1 2 3
1 2 3

2 1 2 4 2

) 2 ) 2 1

2 2 2 1 7 4 11 5

2 2

2 4 1

) 3 4 0

x x x x x x

a x x b x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x

c _x _x _x

 

       

 

 

 _ _{ }  _ _ _ _

 

 

 _ _ _{ }  _ _ _ _

 

 

 

   

    


   

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

VÍ DỤ 2

PP GIẢI HỆ CRAMER

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Phương pháp định thức

1

.

.

AX B

_{  }

X A B



Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và
nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và
Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột
thứ i bởi cột hệ số tự do.

det

det

i i

i

A

D

x

A

D





PP ĐỊNH THỨC

11 12 1 1 12 1

21 22 2 2 22 2

1

1

2

2

1 2

... ...

... _; ...

... ... ...

... ...

n n

n n

n n nn n n n nn

b
b
b

a a a b a a

a a a b a a

A B A

a a a b a a

 _  _ 

 _  _ 

 _  _ 

    

    

    

__ __ _{ }_ _ __

 

 _  _ 

   

   

 

    






 

 

 _

1
2

12 1

22 2

1 1

2

...
...
det _...

...
n
n

n n nn

b
b
b

a a

a a

D A

a a

 

PP ĐỊNH THỨC

Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1_{. Do đó:}
Ta có:

1

.

.

AX B

_{  }

X A B



VÍ DỤ 3

Giải hệ phương trình sau:
Giải.

Cách 1.Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

Nghiệm của hệ (1,1,-2)

VÍ DỤ 3

Cách 2. Ta có:
Ta tính được:

Vậy nghiệm của hệ là:
1

3 3 0 5 18 1

1 1

12 18 12 1 18 1

18 18

12 6 6 5 36 2

X A B

      

      

  _  _{ } _ _{ } _
_ _   _  _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

VÍ DỤ 4

Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm
của hệ trong trường hợp này.

VÍ DỤ 4

ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HPT TỔNG QUÁT
Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn.

Trong trường hợp ii) hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào
n-r(A) tham số.

 

 

 

 

 

 

 

 

i) Hệ pt có nghiệm duy nhất
ii) Hệ pt có vô số nghiệm
iii) Hệ pt vô nghiệm
iv) Hệ pt có nghiệm

r A r A n

r A r A n

r A r A

r A r A

  

  

 

 

PP KHỬ GAUSS - JORDAN

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma
trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.

- Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay
khơng và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng?

-PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN

 

bdsc hang





r r

A A B    A  A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

VÍ DỤ 6

Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải.

Ma trận hệ số bổ sung:

VÍ DỤ 6

Biện luận.

BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER

 

 

 

Đặt:

Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất:
Nếu và tồn tại thì hệ vơ nghiệm.
Nếu thì hệ vơ nghiệm
hoặc vơ số nghiệm.

Ta giải tiếp

1 1

1

det ; det ; ...; det

) 0

) 0 0

) ... 0

n n

i
i

i
n

D A D A D A

i D

D
x

D

ii D D

ii D D D

  





 

   

baèng phương pháp Gauss.

Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma
trận vng.

VÍ DỤ 6

Ta có:

Sinh viên tự làm tiếp

1 1

2 1 3 3

1 1 1 1 1

det 1 1 detA 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

detA 1 1 1 det 1 1

1 1 1 1 1

m

D A m D m

m m

m m

D D A m

m

   

   

VÍ DỤ 7

Giải và biện luận hệ phương trình sau

1 2 3
1 2 3

2
1 2 3

1

4

)

)

8

2

4

mx

x

x

ax y z

a x

mx

x

m

b x by z

x

by z

x

x

mx

m







  



  











_

_{ }



_{  }











_{ }

_

_{   }











HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

Hệ thuần nhất có dạng:

Hoặc dạng ma trận:
Ma trận mở rộng:

Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A.

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0
0

0

n n
n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

   



 _ _ _ _





    





      



. 0

A X



| 0



 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

TÍNH CHẤT

1. Hệ phương trình thuần nhất ln ln có nghiệm.
2. (0,0,…,0) ln là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm

thường.

3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất
cũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có
nghiệm tầm thường hoặc có vơ số nghiệm.

Hỏi. Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vơ số nghiệm?

VÍ DỤ 8

Giải hệ phương trình

Giải.

Xét ma trận hệ số của phương trình.

VÍ DỤ 8

Hệ đã cho tương đương với hệ:

Tập nghiệm của hệ là:

BÀI 1

Cho hai ma trận:

Tìm ma trận nghịch đảo của A.
Tìm X biết: X.A=3B

1 2 3 1 2 1
3 2 4 3 1 0
2 1 0 2 1 1

A B

 

   

   

_  _ _  _

 _   

   

BÀI 2

Giải các phương trình sau

1 2 3 4
1 2 3

1 2 3 4
1 2 3

1 2 3
1 2 3

1 2 3 4

0

2 2 1 ₃ ₂ ₅

) 2 3 6 1 _{) 5} ₄

7 ₇ ₃ ₁₀

x x x x
x x x _x _x _x _x
a x x x _{b x x x}

x x x m _x _x _x _x

    


    

 

     

 _ _ _ 

 

    

 _{ } _ 

 

 

 _    

BÀI 3

Giải các hệ phương trình sau

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4

2 3 9 6

) 3 5 4 ) 2 3 4 21

4 7 5 7 3 6

2 2 4

4 3 2 6
) 8 5 3 4 12

3 3 11 5 6

x y z x y z
a x y z b x y z

x y z x y z
x x x x

x x x x
c x x x x

x x x x

 

       

 

 

 _{   }  _{  }

 

 

 _{  }  _{  }

 

 

 

    

    



    

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

BÀI 4

Tìm m để ma trận sau khả nghịch

1

1

1

1

1

1

1

m

A

m

m

m









 





_

_







BÀI 5

Cho hệ phương trình tuyến tính.

A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất
B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m

1

(

1) (

1)

x y mz

x my z a

x m

y m

z b

   



_

_{ }



_{    }



BÀI 6

Giải và biện luận theo m





1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

) 2 2 2 4
3 3 3

) 2 ( 1) ( 1) 1
1

x x mx m

a mx x m x

x x x m m

mx y z m

b x m y m z m

x y mz

   



   



 _ _ _{  } _



  



      


   

</div>

<!--links-->