Chuyên đề Toán - Trường THCS Chấn Hưng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.5 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Mục lục 1

1.Tóm tắt đề tài 2

2. Giới thiệu 3

2.1. Lí do chọn đề tài 3

2.2. Giải pháp thay thế 3

2.3.Vấn đề nghiên cứu 3

2.4. Giả thuyết nghiên cứu 3

3. Phương pháp 3

3.1. Khách thể nghiên cứu 4

3.2. Thiết kế nghiên cứu 4

3.3. Quy trình nghiên cứu 4

3.3.1. Giai đoạn 1 4

3.3.2 .Giai đoạn 2 21

3.4. Đo lường 21

4. Kết quả 21

5. Bàn luận 22

6. Kết luận – Khuyến nghị 22

7. Tài liệu tham khảo 23

8. Kế hoạch dạy thực nghiệm. “

Sử dụng biệt thức Delta vào giải

một số dạng toán”

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chun đề

SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA VÀO GIẢI TỐN
1. Tóm tắt chuyên đề

“ Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu” chủ
trương đó đã thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và Nhà nước ta; khẳng
định tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước; bởi lẽ giáo dục đóng vai trị
quyết định đến sự thành cơng của cơng cuộc xây dựng đất nước, xây dựng
CNXH.

Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học cơng nghệ hiện nay, trình
độ tri thức của con người phát triển rõ rệt. Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của
mọi người dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền
thống hiếu học của nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triển
ở học sinh “ những năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn
nhận vấn đề ở từng góc độ khác nhau. Tìm tịi những cái cũ trong cái mới”.
Để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt học

sinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước
những vấn đề mới.

Sử dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai là nội dung cơ bản,
quan trọng của chương trình đại số 9.

Tuy nhiên sử dụng triệt để biệt thức Delta để giải một số dạng toán khác
như thế nào? Điều này cũng được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đề

cập. Song trong quá trình thực hiện cịn tùy thuộc vào trình độ học sinh và điều
kiện của giáo viên. Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều, việc thử
nghiệm các nội dung giảng dạy khơng chỉ nhằm rút kinh nghiệm cho bản thân
mà cịn làm cơ sở thực tiễn để cùng đồng nghiệp bàn luận nhằm xây dựng những
phương án giảng dạy thích hợp. Việc xây dựng các chuyên đề chuyên môn là cần
thiết nhằm hệ thống hóa bài tập và phương pháp giải giúp học sinh nắm kiến
thức sâu rộng và chắc chắn hơn. Trong các vấn đề trên “Sử dụng biệt thức

Delta vào giải tốn”

là chun đề mà bản thân tơi đang cố gắng lựa chọn và
phân loại bài tập để chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh của mình trực tiếp
giảng dạy. Trong chun đề này tơi xin phép chỉ giới thiệu một số dạng bài tập
quen thuộc thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi học
sinh giỏi cấp trường, cấp huyện…Trong q trình giảng dạy tiếp theo tơi tiếp tục
thu thập tài liệu và các dạng toán cũng như các bài tập phong phú hơn có thể giải
bằng sử dụng Delta để chuyên đề thêm phong phú và sâu rộng hơn

2. Giới thiệu.

2.1 Lý do chọn đề tài.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

thức bậc hai có dạng:

- Giải phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số
- Giải phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên.
- Chứng minh bất đẳng thưc.

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị hàm số…

Đây là một nội dung khó đối với chương trình tốn 9. Khi giải bài tập
dạng này học sinh gặp nhiều khó khăn, vướng mắc dẫn đến khơng hứng thú, bởi
vì các em chưa tìm ra được phương pháp thích hợp. Mặt khác cơng cụ giải các
bài tốn trên cịn nhiều hạn chế. Khơng vì thế mà giáo viên xem nhẹ các dạng
này mà giáo viên cần phải bắt đầu từ đâu, dẫn dắt như thế nào để các em khơng
ngại. Chính vì vậy, giáo viên cần đưa các em từ những bài toán đơn giản đến
phức tạp bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp.

Trong chương trình tốn THCS có nhiều dạng bài tập liên quan đến sử
dụng biệt thức delta , xong tôi chỉ đưa vào đây một số bài tập điển hình. Tơi nghĩ
trong q trình giảng dạy vận dụng biệt thức Delta thì chất lượng học sinh sẽ tốt
hơn rất nhiều.

2.2. Giải pháp thay thế:

Để Giáo viên cũng như học sinh nắm được các dạng toán và biết thêm
nhiều bài tập “Sử dụng biệt thức Delta vào giải tốn”.

Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản
nhất của các cách

“Sử dụng biệt thức Delta vào giải tốn”.

Tạo khơng khí thi đua học tập sơi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý
thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng
dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống.

Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau.

2.3.Vấn đề nghiên cứu.

Từ việc nghiên cứu vấn đề, giúp bản thân phát hiện ra những phương pháp
hay và có hiệu quả nhất để vận dụng vào quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi,
nhằm đạt kết quả cao hơn.

2.4. Giải thuyết nghiên cứu

Trong mơn tốn có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng cách sử dụng biệt
thức Delta. Tuy nhiên trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số bài tập thuộc
các dạng sau.

- Giải các phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số.
- Giải phương trình nghiệm nguyên.

- Chứng minh bất đẳng thức.

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị…

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3.1 Khách thể nghiên cứu

Giáo viên: Hà Minh Tâm – giáo viên trường THCS Chấn Hưng trực tiếp
nghiên cứu và áp dụng.

Nhóm học sinh của lớp 9A Trường THCS Chấn Hưng - Huyện Vĩnh
Tường -Tỉnh Vĩnh Phúc

3.2 Thiết kế nghiên cứu

-Thời gian nghiên cứu: Hai năm và một học kì của năm học thứ ba.
Bắt đầu từ năm học: 2015-2016

Kết thúc là học kì I của năm học: 2016-2017

- Đúc rút một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệp và bản thân tìm hiểu
và tham khảo nhiều tài liệu liên quan ở trên sách, trên mạng internet, và các đề
thi của các cấp .

3.3 Quy trình nghiên cứu

3.3.1 Nghiên cứu các dạng toán

Xuất phát từ bài tốn gốc:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 ( hoặc ∆’ = b’2 - ac ≥ 0 )

*/ Các dạng tốn:

Dạng 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN

Để giải bài tốn dạng này học sinh thường phân tích vế trái thành nhân tử hoặc
đưa vế trái thành tổng các bình phương cịn vế phải bằng 0, hay bằng phương
pháp loại trừ…Các phương pháp này học sinh biến đổi thường gặp nhiều khó
khăn dẫn đến bài toán bế tắc. Nhưng sử dụng biệt thức Delta thì việc giải bài
tốn trở nên dễ dàng hơn.

Bài tốn 1: Giải phương trình

5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (1)

Cách 1: Ta phân tích vế trái thành tổng các bình phương.
5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0

(x2 + y2 + 1 – 2xy + 2x – 2y ) + (x2 – 4xy + 4y2 )= 0
 (x – y + 1)2 + (x – 2y)2 = 0

 x – y + 1 = 0 và x – 2y = 0
 Tìm được (x, y)

+ Phương pháp này mất nhiều thời gian và rất tốn công để nhẩm, ghép các số
hạng sao cho trở thành bình phương của một tổng.

+ Nhằm khắc phục khó khăn giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hướng đi để giải
bài tốn tiết kiệm được nhiều cơng sức

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ẩn là y.

Cách 2: Sử dụng biệt thức Delta

Tìm điều kiện để phương trình đó có nghiệm
5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0

 5y2 – 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + 1 = 0 (2)

(2) là phương trình bậc hai ẩn y và có:

∆’ = (3x + 1)2 – 5(2x2 + 2x + 1)

= 9x2 + 6x + 1 – 10x2 – 10x – 5

= - x2 – 4x – 4

= -(x + 2)2 ≤ 0

(2) có nghiệm  x + 2 = 0  x = -2

Thay x = - 2 vào (1)  y = -1

Cách 3: Để giải bài tốn (1) ta cịn có thể biến đổi (1) về dạng phương trình bậc
hai một ẩn với ẩn là x, rồi sử dụng biệt thức Delta để giải.

* Như vậy ta đã sử dụng công cụ biệt thức Delta để giải phương trình trên
nhanh hơn, đồng thời học sinh dễ hiểu và áp dụng tốt hơn

Ta xét bài toán 2.

Bài toán 2: Giải hệ phương trình

x2+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1)
4x2+4 xy+y2−2x − y −56=0(2)

¿{

Hệ phương trình nhiều ẩn và không phải là hệ bậc nhất, không ít học sinh lúng
túng để tìm ra cách giải. Nhiều học sinh sẽ đi phân tích, hoặc nghĩ đến phương
pháp cộng và thế.Tuy nhiên việc làm đó sẽ mất nhiều thời gian, gây khó khăn và
rất khó nhớ. Nếu hướng dẫn học sinh sử dụng biệt thức Delta thì hầu hết các em
khá giỏi có thể đưa mỗi phương trình trong hệ về phương trình bậc hai ẩn x hoặc
ẩn y để áp dụng Delta

Giải:

x2+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1)
4x2+4 xy+y2−2x − y −56=0(2)

¿{

Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai với
ẩn là x.

x2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 x2 + (1- 4y)x + 4y2 – 2y -2 = 0

∆ = (1- 4y)2 – 4(4y2 – 2y - 2)

= 1 – 8y + 16y2 – 16y2 + 8y + 8

= 9



x1=2y −2

x2=2y+1

¿
¿
¿
¿

Tương tự ta đưa PT (2) về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x.
4x2

+4 xy+y2−2x − y −56=0

 4x2 + 2(2y - 1)x + y2 – y -56 = 0

∆’ = (2y - 1)2 – 4(y2 – y - 56)

= 4y2 – 4y + 1 – 4y2 + 4y + 224 = 225 = 152



x3=8− y
2

x4=−7− y
2

¿
¿
¿
¿

Để (x;y) là nghiệm của hệ thì

x1=x3

x1=x4

x2=x3

x2=x4

¿
¿
¿
¿

Giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình trên là :
(2,8; 2,4) ; (-3,2; -0,6)

(3,4; 1,2) ; (-2,6; -1,8)

Một số bài tập tương tự:

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2) x2 – 4xy + 5y2 – 2y + 1 = 0

x2−4 xy+y2=1
y2−3 xy=4

¿{

x+y+z=√3
x2

+y2+z2=1

¿{

Xuất phát từ bài toán (2) ta đặt ra bài tốn mới.

Bài tốn 3:Tìm nghiệm ngun của hệ phương trình

x2

+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1)

x2

+y2+2 xy−2x −2y+1=0(2)

¿{

HS sẽ rất lúng túng khi gặp phải dạng tốn giải hệ phương trình nghiệm ngun.
Tuy nhiên với việc sử dụng biệt thức Delta và giải bài tốn 2 thì học sinh sẽ rất
dễ dàng nhớ phương pháp và giải bài toán 3 này nhanh gọn hơn

Giải:

x2

+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1)
x2

+y2+2 xy−2x −2y+1=0(2)

¿{

Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc 2 với ẩn
là x.

x2+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1)
 x2 + (1- 4y)x + 4y2 – 2y -2 = 0

∆ = (1- 4y)2 – 4(4y2 – 2y - 2)

= 1 – 8y + 16y2 – 16y2 + 8y + 8

= 9



x1=2y −2

x2=2y+1

¿
¿
¿
¿

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tương tự đưa phương trình 2 về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x.

x2+y2+2 xy−2x −2y+1=0(2)
 x2 + 2(y - 1)x + y2 – 2y + 1 = 0

∆’ = (y - 1)2 – y2 + 2y – 1 = 0

 x3 = x4 = 1 – y

Để hệ phương trình có nghiệm thì x1 = x3 = x4 và x2 = x3 = x4

Ta được: (x; y) = (1; 0) hoặc (x; y) = (0; 1) là nghiệm nguyên của hệ phương
trình đã cho

+ Tiếp tục khám phá ta thấy biệt thức Delta cịn có ứng dụng để giải phương

trình nghiệm ngun.

Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP:

Ta viết phương trình f(x,y,z,…) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai với một
ẩn nào đó(ẩn x) khi đó các ẩn cịn lại coi là tham số (y,z,…là tham số).

Để phương trình bậc hai có nghiệm ngun thì ta cần điều kiện:

a ≠0
Δ≥0
Δ=k2
k∈N

¿{ { {

Bài tốn 4:Tìm nghiệm ngun của phương trình
 2x2 + xy + y2 – 4 = 0 (1)

HS giải bài toán này giống như bài tốn 1

Giải:

Để phương trình (1) có nghiệm thì:
∆ = y2 – 8(y2 - 4)

= - 7y2 + 32 ≥ 0

 7y2 ≤ 32  y2 ≤ 4

Vì y  Z  y = 0; ± 1; ± 2

Với y = -2 thay vào (1) ta được 2x2 – 2x = 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



x=0

x=1

¿
¿
¿
¿

Với y = -1  x = -1 hoặc x = 3/2 (loại)

Với y = 0  x = ± √2 (Loại)

Với y = 1  x = 1 hoặc x = 3/2 (loại)

Với y = 2  x= 0 hoặcx = -1

Đáp số: (0; -2) ; (1; -2) ; (-1; -1); (1; 1); (0;2); (-1;2) là các nghiệm nguyên của
phương trình (1)

Bài tốn 5:Tìm các nghiệm ngun của phương trình:
x2 + 2x – 4y2 + 9 = 0 (1)

Giải:

Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆’= 1 + 4y2 – 9

= 4(y2 - 2) ≥0

 y2 ≥ 2  |y|≥√2

Đến đây học sinh thấy bế tắc không đưa ra được kết quả.

GV hướng dẫn học sinh: để phương trình có nghiệm ngun ngồi điều kiện ∆’ ≥
0 ta cần thêm điều kiện ∆’ là số chính phương.

 4(y2 – 2) phải là một số chính phương

∆’ = 4y2 – 8 = k2 ( k N)

 4y2 – k2 = 8

 ( 2y – k )(2y + k) = 8

Vì 2y – k + 2y + k = 4y là số chẵn nên 2y – k và 2y + k cùng tính chẵn, lẻ
Và ( 2y – k )(2y + k) = 8 ( 8 chẵn ) nên 2y – k và 2y + k cùng chẵn



2y − k=2
2y+k=4

⇒
¿y=3

2
k=1

¿{

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Hoặc

2y − k=−2
2y+k=−4

⇒

¿y=−3

2
k=−1

¿{

(loại)

Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun

Từ các bài tốn trên ta thấy được vai trị của biệt thức Delta vơ cùng quan trọng.
Khi giải các em phải xem xét mọi tình huống xảy ra, cần vận dụng kiến thức một
cách linh hoạt.

Một số bài tập tương tự:

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau

1) 4xy – y + 4x – 2 = 9x2

2) x2y2 – y2 – 2y + 1 = 0

3) y2 – 2xy + 5x2 = x +1

4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)

* Trở lại với bài toán 1

5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (1)

Bây giờ ta thay hạng tử tự do ở PT (1) bởi số 2 thì được bài tốn mới

Bài tốn 6:Giải phương trình

5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 = 0 (2)

HS giải tương tự bài tốn 1

Giải:

Biến đổi PT (2) về dạng phương trình bậc hai ẩn y
5y2 – 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + 2 = 0 (2’)

∆’ = (3x + 1)2 – 5(2x2 + 2x + 2) = 9x2 + 6x + 1 – 10x2 – 10x – 10

= - x2 – 4x – 9 = - (x + 2)2 – 5 < 0

Vì ∆’< 0 nên PT (2’) vơ nghiệm
Vậy PT (2) vơ nghiệm

Khơng chỉ dừng lại ở đó, sử dụng biệt thức Delta còn giúp ta giải quyết được một
số bài tốn cịn khó hơn và thường xun xuất hiện trong các câu khó của đề thi
tuyển sinh vào lớp 10, các đề thi khảo sát đội tuyển và các đề thi học sinh giỏi
các cấp, thi vào trường chuyên, lớp chọn đó là chứng minh bất đẳng thức

Dạng 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1)Cho tam thức bậc hai

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 f(ax)=x+b
a x+

c
a=

(

x+

b
2a

)

2
−b

2
−4 ac
4a2 =

(

x+

b
2a

)

2
− Δ

4a2 ì 
Nếu ∆ < 0 thì f(ax) > 0  f(x) luôn cùng dấu với a

Nếu ∆ = 0 thì f(ax) =

(

x+ b
2a

)

≥ 0  f(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

− b
2a )

Nếu ∆ > 0 thì f(ax) = (x – x1)(x – x2). Giả sử x1 < x2 
  f(x) trái dấu với a nếu x1 < x < x2

hoặc f(x) cùng dấu a nếu x < x1 hoặc x > x2
2) Cho tam thức bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c (a >0)

+ f(x) ≥ 0 với x  R  ∆ = b2 – 4ac ≤ 0

+ f(x) ≥ 0 với x ≥ 0 

¿xct≤0(b ≥0)
f(0)≥0(c ≥0)

¿
¿
¿

xct≥0(b ≤0)

f(xct)≥0(Δ≤0)

¿
¿
¿
¿
¿

Vận dụng kiến thức đó ta giải các bài toán sau:
Ta xét bài toán mới.

Bài toán 7:

Chứng minh bất đẳng thức:

5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 > 0 với mọi (x,y)

Vận dụng kết quả bài toán 6 học sinh dễ dàng giải bài toán 7:

Giải:

Đặt f(y) = 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2

Ta có ∆’ = - (x+2)2 – 5 < 0 với mọi x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Qua bài toán 7 ta thấy biệt thức Delta lại có vai trị quan trọng trong việc chứng
minh bất đẳng thức

Bài toán 8:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi nào? Khi đó tam giác ABC có đặc điểm gì?

Bài tốn này ở lớp 8 các em học sinh khá giỏi cũng đã được chứng minh, ngồi
ra ta có thể chứng minh bằng công cụ biệt thức Delta.

Nếu chọn a làm ẩn ta có bất phương trình bậc 2 dạng
2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0

Đặt f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2

Ta có ∆’ = b2 + 2bc + c2 – 2(b2 + c2 ) = - (b - c)2 ≤ 0

Nếu ∆’ = 0  - (b - c)2 = 0  b = c thì tam thức bậc 2 f(a) có nghiệm

Trong tam thức f(a) có hệ số a = 2 > 0  f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0 với

mọi a, b, c

Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Bài tốn 9:

Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện:
p2 + q2 > a2 + b2 + c2 + d2

Chứng minh rằng:

(p2 – a2 – b2)(q2 – c2 – d2) ≤ (pq – ac - bd)2

Giải:

Từ giả thiết suy ra : (p2 – a2 – b2) + (q2 – c2 – d2) >0

 p2 – a2 – b2 > 0 hoặc q2 – c2 – d2 > 0

+ Nếu p2 – a2 – b2 > 0, suy ra p ≠ 0 , xét tam thức bậc hai

f(x) = (p2 – a2 – b2 )x2 – 2(pq – ac - bd)x + q2 – c2 – d2

= p2x2 – 2pqx + q2 -

[

(a2

+b2)x2−2(ac+bd)x+c2+d2

]

= (px –q)2 – (ax - c)2 – (bx - d)2

Tại x = qp ta có f( qp ) = −

(

aq
p − c

)

2
−

(

p −d

)

≤0

Do: p2 – a2 – b2 > 0 và theo định lý đảo của tam thức bậc hai, tam thức f(x) có

nghiệm, do đó:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ta được điều phải chứng minh

+ Nếu q2 – c2 – d2 > 0, suy ra q ≠ 0, xét tam thức bậc hai

f(x) = (q2 – c2 – d2 )x2 – 2(pq – ac - bd)x + p2 – a2 – b2

= (qx - p)2 – (cx - a)2 – (dx - b)2

Và có f(p

q)≤0⇒Δ

'≥0

ta cũng được điều phải chứng minh

Bài toán 10:

Cho a, b, c dương :

Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc +1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Đây là bài toán khá tiêu biểu cho các bất đẳng thức khơng thuần nhất và khơng
có điều kiện. HS sẽ lúng túng và khó có PP giải

GV hướng dẫn đưa về tam thức bậc hai ẩn a

Giải:

Đặt f(a) = a2 + 2(bc – b - c)a + (b – c)2 +1

∆’ = (bc – b - c)2 – (b - c)2 – 1

= bc(b – 2)(c – 2) – 1
+ Nếu bc – b – c ≥ 0  đpcm

+ Nếu bc – b – c ≤ 0  (b - 1)(c - 1) ≤ 1

- Có đúng một trong hai số b, c lớn hơn 2, số còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 2. Ta
thấy ∆’≤ 0

- Cả hai số b, c đều nhỏ hơn 2. Theo AM-GM ta có
b(2 - b) ≤ 1; c(2 – c) ≤ 1 => ∆’≤ 0

Vậy BĐT đã được chứng minh

Bài toán 11: Chứng minh bất đẳng thức:

x2 + 5y2 + 2z2 – 4xy - 2yz - 2z +1 ≥ 0 với mọi x, y, z

Với kiến thức đã có sẵn học sinh khơng bất ngờ trước bài tốn 11, và học sinh
giải bài toán này một cách đơn giản.

Giải:

Đưa vế trái về dạng tam thức bậc hai với ẩn là x.
f(x) = x2 – 4xy + 5y2 + 2z2 – 2yz -2z + 1

∆’ = 4y2 – 5y2 – 2z2 + 2yz + 2z – 1

= - (y - z)2 – (z - 1)2 ≤ 0 với mọi y, z

 f(x) ≥ 0 với mọi x, y, z ( điều phải chứng minh)

Ta có thể giải bài tốn này bằng nhiều cách khác nhau.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

nhu cầu giải các bài tốn với mức độ khó hơn. Ta xét bài toán sau:

Bài toán 12: Cho đẳng thức:

x2 – x + y2 – y = xy (1)
Chứng minh rằng: (y - 1)2 ≤ 4

3 ; (x - 1)2 ≤ 
4
3

( Có thể học sinh cho rằng đây là bài toán rất lạ chắc khi giải sẽ gặp nhiều khó
khăn lắm đây )

GV hướng dẫn học sinh biến đổi bài toán 12 về dạng quen thuộc

Giải:

Đưa đẳng thức (1) về dạng phương trình bậc 2 đối với ẩn x
x2 – x + y2 – y = xy (1)

 x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0

∆ = (y +1)2 – 4(y2 – y)

= - 3y2 + 6y + 1

Để PT bậc hai có nghiệm ta phải có ∆ ≥ 0 tức là
3y2 – 6y – 1 ≤ 0

 3y2 – 6y + 3 ≤ 4
 3(y - 1)2 ≤ 4

Do vai trò của x và y trong đẳng thức (1) như nhau
Vậy ta có: (x - 1)2 ≤ 4

3
Bài 13:

Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = xy – x + 2y . Chứng minh rằng;
 −2√3

3 ≤ x ≤
2√3

Giải: Ta có x2 + y2 = xy – x +2y  y2 – (x + 2)y + x2 + x = 0 (*)

Ta xem (*) là phương trình bậc hai ẩn số y. Phương trình (*) có nghiệm khi và
chỉ khi:

∆ = (x + 2) 2 – 4(x2 + x) ≥ 0

 3x2 ≤ 4  x2 ≤ 43  −23√3≤ x ≤23√3

Bài 14:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ỹx3≤125
64
Giải:

+ Nếu x = 1 thì y = 0, ta có: x3 = 1 < 125

64 (đúng)

+ Nếu x > 1, ta có: y2

√x −1+√x −1=y  √x −1 .y2− y+√x −1=0 (*)

Xem (*) là phương trình bậc hai với ẩn số y. Phương trình (*) có nghiệm khi và
chỉ khi:

∆ ≥ 0  1 – 4(x -1) ≥ 0  1 – 4x + 4 ≥ 0  x ≤ 54

Với 1 ≤ x ≤ 54  x3 ≤ 12564

Bài 15: Cho các số thực x, y, z ≠ 0 thỏa mãn điều kiện:

x+y+z=xyz

x2=yz

¿{

Chứng minh rằng: x2 ≥ 3.
Giải:

Ta có:

x+y+z=xyz
x2=yz

¿{



y+z=xyz− x=x3− x
yz=x2

¿{

Vậy các số y, z là nghiệm của phương trình:
t2 - (x3 - x)t + x2 = 0 (*)

Do tồn tại x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài tốn nên phương trình (*) có
nghiệm

∆ = (x3 - x)2 – 4x2 ≥ 0  (1 – x2)2 ≥ 4 (do x ≠ 0) 

1− x2≤ −2

1− x2≥2

¿
⇔x2≥3

¿
¿

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

biểu thức |x − y|
Giải:

Đặt A = x – y  y = x – A. Ta có:

9x2 + y2 = 1

 9x2 + (x - A)2 = 1  10x2 – 2Ax + A2 – 1 = 0 (*)

Do tồn tại x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán nên phương trình (*) có
nghiệm

∆’= -9A2 + 10 ≥ 0  9A2 ≤ 10  A2 10

9 ⇔|A|≤

√10
3

Dấu “=” xảy ra 

9x2+y2=1
1

10(x − y)=x

⇔
¿9x2+y2=1

y=−9x

⇔
¿
¿

x= 1
3√10
y= −3

√10

¿
¿
¿

x= −1
3√10

y= 3

√10

¿
¿

Vậy: max |x − y|=√10
3
Bài 17:

Cho a, b là hai số thỏa mãn a2 + 4b2 = 1. Chứng minh rằng

|a − b|≤√5
2
Giải:

Đặt a – b = x => a = x + b. Thay a = x + b vào a2 + 4b2 = 1 ta được:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Xem (*) là phương trình bậc hai ẩn b. Phương trình (*) có nghiệm  ∆’ ≥ 0
 - 4x2 + 5 ≥ 0  x2 ≤ 5

4⇔|x|≤

√5
2

Vậy |a − b|≤√5
2

Các bài tập tương tự

1) Chứng minh với mọi a, b, c ta có

a. a4+b2+c2≥ab−ac+2 bc

b. a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c

2) Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [−1;2] thỏa mãn a + b + c = 0

Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ 6

3) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác.
 Chứng minh rằng:

a. a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca)

b. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

* Nhận xét : từ bài toán 11ta khai thác và đặt ra bài toán mới

Bài tốn 18: Tìm GTNN của biểu thức

A = x2 + 5y2 + 2z2 – 4xy - 2yz - 2z + 1(1)

Giải:

(1)  A = x2 – 4xy + 5y2 + 2z2 – 2yz - 2z + 1

∆’ = 4y2 – 5y2 – 2z2 + 2yz + 2z – 1

= -(y - z)2 – (z - 1)2 ≤ 0 với mọi y, z

 A ≥ 0 với mọi x, y, z

 min A = 0  x = 2, y = z =1

Từ bài toán 13 ta đặt ra bài toán mới khá thú vị như sau:

Bài tốn 19: Tìm giá trị lớn nhất của

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài toán này sử dụng kiến thức lớp 8 nhiều em khá giỏi cũng có thể biến đổi
phân thức và tìm được GTLN của B. Tuy nhiên nếu giải bằng biệt thức Delta thì
bài tốn trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn nhiều, nhiều em HS trung bình
cũng có thể làm

Giải:

Biến đổi biểu thức về dạng phương trình bậc hai ẩn x, xem B như một

tham số

B= x
x2

 (x2 + 1)B = x

 Bx2 – x + B = 0 (1)

- Nếu B = 0  x = 0

- Nếu B ≠ 0 ta có : ∆ = 1 – 4B2

Để B có GTLN thì phương trình (1) phải có nghiệm x

 ∆ ≥ 0  1 – 4B2 ≥ 0  B2 ≤ 14  −12≤ B ≤12

Vậy maxB = 12  x = 1

* Như vậy càng khám phá ta lại thấy được biệt thức Delta còn ứng dụng để giải
các bài tốn tìm GTLN, GTNN, tìm miền giá trị của hàm số

Dạng 4: TÌM GTLN, GTNN, TÌM MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ

PP chung để giải:

- Giả sử cho trước hàm số: y = f(x) ta xét phương trình f(x) = a. Phương trình này
có nghiệm khi a thuộc miền giá trị của hàm số. Như vậy ta đã chuyển bài tốn về

dạng tam thức bậc hai, và cơng cụ để giải chính là biệt thức Delta.

Bài tốn 20: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
 A=x

2− x
+1
x2+x+1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

đặt a=x
2

− x+1
x2

+x+1 (1)

Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình ẩn x có nghiệm.
Do x2 + x + 1 ≠ 0 nên (1)  ax2 + ax +a = x2 – x +1

 (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trương hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là ∆
≥ 0

 (a + 1)2 – 4 (a - 1)2 ≥ 0

 (a + 1 + 2a - 2)(a + 1 – 2a + 2) ≥ 0

 (3a – 1 )(a + 3) ≥ 0

 1/3 ≤ a ≤ 3 (a ≠ 1)

Với a = 1/3 thì x = 1 hoặc a = 3 thì x = - 1
Kết luận: gộp cả hai trường hợp (1) và (2) ta có

min A = 1/3  x = 1

max A = 3  x = -1

Phương pháp giải như trên gọi là PP miền giá trị của hàm số.
Đoạn

[

13;3

]

là miền giá trị của hàm số A

Qua bài toán 20: Giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải.

Muốn sử dụng biệt thức Delta làm công cụ ta cần chuyển bài toán về dạng liên
quan đến tam thức bậc hai.

Xét tiếp bài tốn sau:

Bài tốn 21: Tìm miền giá trị của hàm số

A= x
x2+1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

phương trình f(x) = a, bài tốn được phát triển dưới dạng sau:
Với giá trị nào của a thì phương trình:

x

x2+1=a (*) có nghiệm.

Tiếp theo GV hướng dẫn học sinh chuyển phương trình (*) về dạng phương trình
bậc hai ẩn x tham số a: ax2 – x + a = 0 (1)

Đến đây thì cơng việc trở nên q đơn giản
+ Nếu a = 0 thì (1) có nghiệm x = 0

+ Nếu a ≠ 0 ta xét phương trình bậc hai với ẩn là x
∆ = 1 – 4a2 = (1 – 2a)(1 + 2a)

Để (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0  (1 – 2a)(1 + 2a)  −12≤ a ≤12

Vậy miền giá trị của A là: −1
2≤ A ≤

1
2

* Qua bài toán này GV dẫn dắt học sinh đưa đến bài tốn mới

Bài tốn 22: Tìm GTLN, GTNN của
A= x

x2+1

Từ bài tốn 21 HS dễ dàng tìm ra kết quả bài toán 22 là
maxA = 1/2 khi x = 1

minA = -1/2 khi x = -1

Từ bài tập 17 ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng

Bài toán 23: Chứng minh rằng :
−1

2≤
x
x2+1≤

1
2

Nếu chưa được làm bài 21 thì gặp bài tốn này HS sẽ rất lúng túng, xong với
việc sử dụng biệt thức Delta và phương pháp miền giá trị của hàm số học sinh có
thể dễ dàng giải quyết được kiểu bài trên

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

1) Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

A=2x
2

−4x+5
x2

+1 B=

x2−2x+2
x2

+2x+2
C=x

−xy+y2
x2

+xy+y2

2) Tìm GTNN của biểu thức:

A = (x + 2)(x + 3)(x + 4 )(x + 5) - 7

Bài tập bổ sung:
I) Dạng 1

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1) x2 + 2y2 - 2xy + 2y – 4x + 5 = 0

2) x2 – 4xy + 5y2 – 2y + 1 = 0

x2−4 xy

+y2=1
y2−3 xy=4

¿{

II) Dạng 2

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau

1) 4xy – y + 4x – 2 = 9x2

2) x2y2 – y2 – 2y + 1 = 0

3) y2 – 2xy + 5x2 = x +1

4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)
¿

x+y+z=√3
x2+y2+z2=1

¿{

Dạng 3:

1) Chứng minh với mọi a, b, c ta có

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b. a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c

2) Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [−1;2] thỏa mãn a + b + c = 0

Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ 6

3) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác.
 Chứng minh rằng:

a. a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca)

b. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

3.3.2Giai đoạn 2

-Tiến hành thực nghiệm dạy học trên lớp với nhóm học sinh giỏi lớp 9A

-Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoach dạy học của nhà trường
và theo thời khóa biểu nhà trường phân cơng.

3.4 Đo lường

Kết quả bài kiểm tra qua các lần khảo sát đội tuyển do nhà trường tổ chức.

4.Phân tích dữ liệu kết quả

* Khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn ngay cả
bài tập số 1 là bài tập tương đối dễ mà hầu hết các em học sinh khá cũng không
định hướng được cách giải quyết; các bài tập còn lại các em hồn tồn bế tắc. có

những bài, câu hỏi tưởng chừng như không đúng với phần lý thuyết được học
như bài 3, bài 9, bài 10, bài13 học sinh không thể làm được. và khi giáo viên
chữa bài thì cũng rất khó khăn bởi phải diễn giải rất nhiều mới có được kiến thức
sử dụng biệt thức Delta dẫn tới học sinh khó tiếp thu, sợ những bài tập như vậy.

* Sau đó tơi nghiên cứu sắp xếp hệ thống các bài tập như đã trình bày trên
đây, áp dụng cho học sinh thì thấy học sinh hiểu bài hơn, say mê học hơn với các
bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, phương trình và hệ
phương trình nghiệm ngun…Và do đó, các em tự mình giải quyết được các bài
tập. Đồng thời phần trình bày của các em ngắn gọn, dễ hiểu, dễ ghi.

* Ngoài các bài tập tơi đã đưa ra ở trên cịn nhiều bài tập nữa, thấy các em
áp dụng tốt đặc biệt có em trình bày lời giải ngắn gọn, xúc tích, dễ theo dõi,.. góp
phần rèn KN giải tốn, năng lực hoạt động trí tuệ cho học sinh. Học sinh khơng
cịn hiểu vấn đề theo kiểu máy móc, dập khn. Vì khơng có điều kiện trình bày
hết tất cả các bài tập, chuyên đề chỉ đưa ra các VD tiêu biểu để minh họa.

5. Bàn luận.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

việc tư duy, khả năng khái quát hóa của các em cịn rất hạn chế.

Do đó để giải các bài tập khó là cả một cơng việc nặng nề đối với các em
nhất là các bài tập về bất đẳng thức. vì vậy địi hỏi ở người giáo viên một sự đầu
tư lớn trong việc nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, hệ thống bài tập áp
dụng và bài tập nâng cao. Từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp
học sinh có năng lực độc lập tư duy, khái qt hóa những kiến thức. Từ đó mà
năng lực trí tuệ của các em được rèn luyện và nâng cao. Trong chương trình học
khơng phải nội dung kiến thức nào cũng có lý thuyết bổ sung nằm tiềm ẩn bên
trong như bài biệt thức Delta. Điều quan trọng hơn cả là ở tâm huyết của người
giáo viên đối với nghề nghiệp.

Chỉ qua một ví dụ về sử dụng biệt thức Delta ta thấy đã rút ra nhiều điều
bổ ích cho việc giải bài tập về bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ
phương trình, giải phương trình hệ phương trình có nghiệm ngun…

Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thì
chắc chắn kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao, đào tạo được nhiều nhân
tài cho đất nước. Đó chính là đích cuối cùng của nghề dạy học.

6.Kết luận và kiến nghị
 * Kết luận

Qua phần trình bày trên đây, ở nhiều bài tập: giải phương trình, hệ phương
trình nhiều ẩn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhiều hàm số, giải bất đẳng
thức…chúng ta thấy được việc sử dụng sáng tạo biệt thức Delta để giải quyết
nhanh gọn các dạng toán trên một cách dễ dàng và đặc biệt là giúp cho học sinh
có thể hiểu sâu hơn về kiến thức cụ thể là dấu của tam thức bậc hai. Những bài
tập này giúp cho học sinh rèn tư duy và kỹ năng biến đổi, áp dụng các kiến thức
đã biết.

* Kiến nghị

Qua một số bài tập và dạng toán trong chuyên đề tôi nhận thấy : nếu mỗi
giáo viên tâm huyết với nghề, tận tâm vì học sinh của mình thì sẽ có những
chun đề sát thực và bổ ích nhằm thúc đẩy khả năng tư duy khả năng tự học và
phát triển tư duy tốt hơn ở mỗi học sinh.

Qua chun đề tơi nhận thấy mỗi giáo viên có thể xây dựng cho mình một
số chuyên đề thiết thực, cụ thể, phù hợp để giảng dạy được hiệu quả hơn. Phòng
giáo dục thường xuyên tổ chức các chuyên đề chuyên môn, phù hợp, hiệu quả,

thúc đẩy sự cố gắng trong giáo viên về giảng dạy theo chuyên đề. Nên có các đợt
tập huấn về giảng dạy theo chuyên đề kiến thức, theo dạng bài để giáo viên giảng
dạy có hiệu quả hơn.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

kiến thức về biệt thức Delta để giải quyết nhanh gọn.

Tuy chuyên đề đã được xem xét và ứng dụng xong cũng không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót, rất mong được sự góp ý của các cấp chỉ đạo chuyên
môn, các bạn đồng nghiệp giàu kinh nghiệm, bạn đọc chuyên đề bổ sung góp ý
chân thành để chun đề được hồn thiện và ứng dụng nhiều hơn!

7.Tài liệu tham khảo

- 23 Chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Hồng )
- Nâng cao và phát triển Toán 9 ( Vũ Hữu Bình )

- Sách giáo khoa,sách giáo viên, sách bài tập Toán 9 – tập 2 ( NXBGD)
- Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu – Trần Luận )

- Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thượng )
- Tuyển chọn 5 năm tạp chí tốn học và tuổi trẻ.

8.Phụ lục

Tiết dạy thực nghiệm.

</div>