<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ 1
<b>Bài 1:</b> (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số khi chia cho 37 dư 2 và chia cho 11 dư 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x<i>y</i> 4x <i>y</i> 9 0

<b>Bài 2:</b> (4,0 điểm)

a) Cho 3a 2 <i>b</i>0_và9a24<i>b</i>2 13a<i>b</i>_{. Tính giá trị biểu thức} 9a2 4 2
<i>ab</i>
<i>A</i>

<i>b</i>


 _.

b) Giải phương trình:

2 2

3
2015 2013 2011

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

<b>Bài 3:</b> (4,0 điểm)
a) Cho biểu thức

3 2 2 2

3 2 2 2

2x 2 ( 2) 3

2x 3x 4x 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>M</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

    

 _  _

  _   _

Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi M = 3.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: <i>N</i> <i>x</i>2 <i>y</i>24x 4 <i>y</i>2.
<b>Bài 4:</b> (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (H_{BC). Trên tia HC lấy điểm}

D sao cho HD = HA. Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng <i>BEC</i>_và<i>A C</i>D _{đồng dạng.}

b) Tính tỉ số

<i>BE</i>
<i>AB</i>
<b>Bài 5:</b> (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua G không song song với
BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tính

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>AM</i> <i>AN</i>

b) Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AH, BG sao cho <i>CAH CBG</i>  30 _.

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
ĐỀ 2

<b>Bài 1</b>: (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức M=

4 2 2

6 4 2 4 2

2 1 3

1 1 4 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

    

a/ Rút gọn M b/ Tìm giá trị lớn nhất của M
2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn

1 2 1 2
1
1 1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 
 
  _.

Chứng minh M=<i>x</i>2<i>y</i>2 <i>xy</i> là bình phương của một số hữu tỷ
<b>Bài 2</b>: (4,0 điểm)

1. Tìm số dư trong phép chia



<i>x</i>3

 

<i>x</i>5

 

<i>x</i>7

 

<i>x</i>9



2033 cho <i>x</i>212<i>x</i>30
2. Cho x, y, z thỏa mãn <i>x y z</i>  7 ; <i>x</i>2<i>y</i>2<i>z</i>2 23 ; <i>xyz</i>3

Tính giá trị biểu thức H=

1 1 1

6 6 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 3<i>x</i>23<i>xy</i>17 7 <i>x</i> 2<i>y</i>
2. Giải phương trình Giải phương trình:



 

 



2

3<i>x</i> 2 <i>x</i>1 3<i>x</i>8 16
<b>Bài 4</b>: (6 điểm)

Cho hình vng ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M
( 0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho <i>MON</i> 900_{. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K}
là giao điểm của ON với BE

1. Chứng minh <i>MON</i>_{vuông cân}
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Chứng minh CK vng góc với BE

4. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh 1

<i>KC</i> <i>KN</i> <i>CN</i>

<i>KB</i> <i>KH</i> <i>BH</i> 
<b>Bài 5</b>: (1,0 điểm)

Cho x, y 0 _{thỏa mãn}<i>x</i>2<i>y</i>5_{. Tìm giá trị nhỏ nhất của H=}

2 ₂ 2 1 24

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

  

ĐỀ 3

<b>Bài 1.</b>

(4,0 điểm) Cho biểu thức:

2 2

2 2 3 2

x 2x 2x 1 2

M 1

2x 8 8 4x 2x x x x

   

_  __   _

    _ _

 

a) Rút gọn M.

b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương.

c) Tìm x để

M3

_.

<b>Bài 2. </b>

(6,0 điểm)

a) Cho ,

<i>x y</i>

là hai số dương và

x2010 y2010 x2011y2011 x2012y2012.

_{Tính giá trị}

của biểu thức

S x 2020 y2020

.

b) Giải phương trình

x 2015 x 2007 x 2006 x 2018

2010 2012 2011 2013

   

  

.

c) Tìm x và y thỏa mãn:









2 2

y 2 x 1 =2y x 1 .

<b>Bài 3.</b>

(4,0 điểm)

a) Chứng minh

bc ac ab

a b c

a  b  c   

_{với mọi số dương a, b, c.}

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

L x 4 4x37x2 12x 20.

<b>Bài 4.</b>

(6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A



AC AB





. Vẽ đường cao AH



H BC





. Trên

tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với

AH, cắt đường thẳng AC tại P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: tam giác BHQ đồng dạng với tam

giác BPC.

c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh:

AH BC
=1
HB  IB
ĐỀ 4

<b>Câu 1 </b>

<i>(4,0 điểm)</i>

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

<i>x</i>26<i>xy</i>5<i>y</i>2 5<i>y x</i>

_.

2) Cho

a

3



3ab

2



5

_và

b3 3a b 102 

_{. Tính S =}

2016a22016b2

<b>Câu 2 </b>

<i>(5,0 điểm)</i>

1) Cho biểu thức A =

2

2 2

4 8 1 2

:

2 4 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

    

 

   

    

 

Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A < 0

2) Chứng minh rằng ( n

2

_{+ 3n + 1)}

2

_{- 1 chia hết cho 24 với n là số tự nhiên.}

<b>Câu 3 </b>

<i>(4,0 điểm)</i>

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x

3

_{+ 3x = x}

2

_{y + 2y + 5}

2) Một đa thức P(x) chia cho

<i>x</i>2 <i>x</i> 1

thì dư 1 - x và chia cho

<i>x</i>2 <i>x</i>1

thì dư

3x + 5. Tìm số dư của phép chia P(x) cho

<i>x</i>4<i>x</i>21

_.

<b>Câu 4 </b>

<i>(6,0 điểm) </i>

Gọi M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình

vng AMCD, BMEF.

1) Chứng minh AE vng góc với BC

2) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.

3) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên

đoạn thẳng AB cố định

ĐỀ 5

<b>Bài 1 </b><i>(4,0 điểm)</i>.

Cho biểu thức:

5 4 2

2 3

2x

x

2x 1 8x

4x 2

P

4x

1

8x

1



















a. Rút gọn P

b. Tìm các giá trị của x để P = 6
<b>Bài 2 </b><i>(4,0 điểm)</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2a + b 2b + c 2c + d 2d + a

+ + 6

+ c  + a 

 

<i>a b</i> <i>b</i> <i>c d</i> <i>d</i> _{. Chứng minh A = abcd là số chính phương.}

b. Tìm a ngun để a3_{– 2a}2_{+ 7a – 7 chia hết cho a}2_{+ 3.}
<b>Bài 3 </b><i>(3,0 điểm)</i>.

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2_{– 3x – 1) + 2017}

b. Giải phương trình:

2 2

x +1 x +1 2x - 4

+ - 3 0

x - 2 x - 4 x - 4

   



   

   

<b>Bài 4 </b><i>(3,0 điểm)</i>.

a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3_{+ b}3 _{+ c}3_{= 3abc. Chứng minh}

tam giác đều.

b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng : 2 2 2

1 1 1

9

2  2  2 

  

<i>x</i> <i>yz y</i> <i>xz z</i> <i>xy</i>

<b>Bài 5 </b><i>(5,0 điểm)</i>.

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ
tia Ax, By cùng vng góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng
vng góc với OC cắt tia By tại D.

a. Chứng minh AB2 _{= 4 AC.BD}

b. Kẻ OM vng góc CD tại M. Chứng minh AC = CM

c. Từ M kẻ MH vng góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

ĐỀ 6

<b>Bài 1.(5 điểm)</b>

Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức

<i>A</i>=<i>y</i>−<i>x</i>

<i>xy</i> :

[

<i>y</i>2

(

<i>x</i>−<i>y</i>

)

2−

2<i>x</i>2<i>y</i>

(

<i>x</i>2−<i>y</i>2

)

2
+ <i>x</i>

2

<i>y</i>2−<i>x</i>2

]

.
b) Chứng minh rằng: A < - 4.

<b>Bài 2. (2 điểm)</b>

Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x2_{+ 2y}2_{+ 2z}2_{– 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,}
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014_{+ (y – 4)}2014_{+ (z – 4)}2014_.
<b>Bài 3.(2 điểm)</b>

Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn
có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.

<b>Bài 4.( 8 điểm)</b>

Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia
Cx vng góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.

a) Chứng minh CE = CF;

b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình
vng ABCD.

<b>Bài 5. (3 điểm)</b>

a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x_{– y}3_{= 1}

b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2_{+ b}2_{+ c}2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

ĐỀ 8

<b>Bài 1.</b> (6,0 điểm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2_{+ 26.5}n_{+ 8}2n+1_₅₉

<b>Bài 2.</b> (4,0 điểm)

a. Chứng minh





2 2 2

a <i>b</i> <i>c</i> 2 <i>ab</i><i>bc</i><i>ca</i> _{với mọi số thực a, b, c.}

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.



x+5 x+7

 

 

9

 

11 + 16.



<i>P</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 3</b> (3.0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

3 2 5 6 7 12 9 20

<i>P</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

        

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.

<b>Bài 4.</b> (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A



AC AB





. Vẽ đường cao AH



H BC





. Trên tia đối của
tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC
tại P.

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
<b>Bài 5 </b>(2.0 điểm):<b> </b>

Cho tam giác ABC có <i>A B</i>ˆ  ˆ. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho <i>HAC</i>ˆ <i>ABC</i>ˆ _{. Đường phân}
giác của góc ˆ<i>BAH</i>cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng
minh rằng: CF // AE.

ĐỀ 9

<i><b>Câu 1:</b></i>

<i>a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x</i>3_{– 7x}2_{+ 17x – 5}

<i>b) Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức C = 2(a</i>3_{+ b}3_{) – 3(a}2_{+ b}2₎
<i><b>Câu 2:</b></i>

<i>a) Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: ab+bc+ca=1. </i>
Chứng minh rằng: A=



 

 



2 2 2

1 a



1 b



1 c



là số chính phương ;
<i>b) CMR với mọi số tự nhiên n ta có: 5</i>n+2_+26.5n₊₈2n+1 _₅₉

<i><b>Câu 3:</b></i>

<i>a) Tìm x biết : (x</i>2_{+ x)}2_{+ 4(x}2_{+ x) = 12 ;}

<i>b) Cho ba số a, b, c thoả mãn </i>

  




  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2012_{. Tính} _ 4 _ 4 _ 4

A a b c .

<i><b>Câu 4:</b></i> Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC. Kẻ đoạn thẳng
BK vng góc với BA sao cho BK=

1
2 AC
(K và C cùng phía đối với AB).

a) Gọi E là trung điểm của AH. Chứng minh rằng BE song song với IK.
b) Tính góc <i>AIK</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Câu 1</b> : Cho phân thức: A =

4 3 2

2

x

3x

5x

9x 6

4x 3 x









 

1) Tìm x để A = 0
2) Rút gọn A

<b>Câu 2</b> : Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : 2y2_{x – y}2_{+ x + y + 1 = x}2_{+xy +y}2
<b>Câu 3</b> :

1) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 ₁
2) Giải phương trình : x6_{+ 3x}5_{+ 6x}4_{+ 7x}3_{+ 3x + 1 = 0}

<b>Câu 4</b> : Cho tam giác ABC cân tại A với góc A nhọn, CD là đường phân giác của góc ACB (D thuộc
AB) ; qua D kẻ đường vng góc với CD cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD =

1
2 EC.

<b>Câu 5</b> : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm di động trên AB. Qua A, B vẽ các đường
thẳng song song với CM, chúng lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA tại P và Q. Tìm vị trí điểm M để
biểu thức

1

1

2011

</div>

<!--links-->