TOÁN 12 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.48 MB, 234 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GD</b>&<b>ĐT AN GIANG</b> <b>ĐÀI PT - TH AN GIANG</b>
<b>HƯỚNG DẪN HỌC TẬP QUA TRUYỀN HÌNH</b>
<b>CHƯƠNG TRÌNH HỌC KỲ 2</b> − <b>MƠN TỐN KHỐI 12</b>
<b>MƠN HÌNH HỌC - LỚP 12</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC
Hình thành kiến thức về véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng, tích có hướng
của hai véc-tơ, phương trình tổng qt của mặt phẳng và các trường hợp
đặc biệt của nó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC
Hình thành kiến thức về véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng, tích có hướng
của hai véc-tơ, phương trình tổng quát của mặt phẳng và các trường hợp
đặc biệt của nó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
MỤC TIÊU CỦA TIẾT HỌC
Hình thành kiến thức về véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng, tích có hướng
của hai véc-tơ, phương trình tổng quát của mặt phẳng và các trường hợp
đặc biệt của nó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
I. VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Cho mặt phẳng(<i><sub>α</sub></i>).
Nếu véc-tơ #»<i>n</i> khác
#»
0 và có giá vng góc với mặt phẳng
(<i><sub>α</sub></i>)thì #»<i>n</i> được gọi là véc-tơ pháp tuyến
của(<i>α</i>).
<b>Chú ý:</b>Nếu #»<i>n</i> là véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng(<i>α</i>)thì<i>k</i>#»<i>n</i> với<i>k</i>6=0
cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt
phẳng(<i>α</i>).
<i>α</i>
#»<i><sub>n</sub></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
I. VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Cho mặt phẳng(<i><sub>α</sub></i>). Nếu véc-tơ #»<i>n</i> khác
#»
0 và có giá vng góc với mặt phẳng
(<i><sub>α</sub></i>)thì #»<i>n</i> được gọi là véc-tơ pháp tuyến
của(<i>α</i>).
<b>Chú ý:</b>Nếu #»<i>n</i> là véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng(<i>α</i>)thì<i>k</i>#»<i>n</i> với<i>k</i>6=0
cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt
phẳng(<i>α</i>).
<i>α</i>
#»<i><sub>n</sub></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
I. VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Cho mặt phẳng(<i><sub>α</sub></i>). Nếu véc-tơ #»<i>n</i> khác
#»
0 và có giá vng góc với mặt phẳng
(<i><sub>α</sub></i>)thì #»<i>n</i> được gọi là véc-tơ pháp tuyến
của(<i>α</i>).
<b>Chú ý:</b>Nếu #»<i>n</i> là véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng(<i>α</i>)thì<i>k</i>#»<i>n</i> với<i>k</i>6=0
cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt
phẳng(<i>α</i>).
<i>α</i>
#»<i><sub>n</sub></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
<b>2. Tích có hướng của hai véc-tơ</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai véc-tơ #»<i>a</i> =(a1;a2;a3),
#»
<i>b</i>=¡
<i>b</i>1;b2;<i>b</i>3
¢
.Tích có
hướng của hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> là một véc-tơ được kí hiệu và xác định nh sau
h#ằ
<i>a</i>,#ằ<i>b</i>i=#ằ<i>a</i>#ằ<i>b</i>=
à
<i>a</i>2 <i>a</i>3
<i>b</i>2 <i>b</i>3
;
<i>a</i>3 <i>a</i>1
<i>b</i>3 <i>b</i>1
;
<i>a</i>1 <i>a</i>2
<i>b</i>1 <i>b</i>2
ả
=Ă<i>a</i>2<i>b</i>3<i>a</i>3<i>b</i>2;a3<i>b</i>1<i>a</i>1<i>b</i>3;a1<i>b</i>2<i>a</i>2<i>b</i>1
Â
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
<b>2. Tích có hướng của hai véc-tơ</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai véc-tơ #»<i>a</i> =(a1;a2;<i>a</i>3),
#»
<i>b</i> =¡
<i>b</i>1;b2;<i>b</i>3
¢
.
Tích có
hướng của hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> là một véc-tơ được kí hiệu và xác định nh sau
h#ằ
<i>a</i>,#ằ<i>b</i>i=#ằ<i>a</i>#ằ<i>b</i>=
à
<i>a</i>2 <i>a</i>3
<i>b</i>2 <i>b</i>3
;
<i>a</i>3 <i>a</i>1
<i>b</i>3 <i>b</i>1
;
<i>a</i>1 <i>a</i>2
<i>b</i>1 <i>b</i>2
ả
=Ă<i>a</i>2<i>b</i>3<i>a</i>3<i>b</i>2;a3<i>b</i>1<i>a</i>1<i>b</i>3;a1<i>b</i>2<i>a</i>2<i>b</i>1
Â
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
<b>2. Tích có hướng của hai véc-tơ</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai véc-tơ #»<i>a</i> =(a1;a2;<i>a</i>3),
#»
<i>b</i> =¡
<i>b</i>1;b2;<i>b</i>3
¢
.Tích có
hướng của hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> là một véc-tơ được kí hiệu và xác định nh sau
h#ằ
<i>a</i>,#ằ<i>b</i>i=#ằ<i>a</i>#ằ<i>b</i>=
à
<i>a</i>2 <i>a</i>3
<i>b</i>2 <i>b</i>3
;
<i>a</i>3 <i>a</i>1
<i>b</i>3 <i>b</i>1
;
<i>a</i>1 <i>a</i>2
<i>b</i>1 <i>b</i>2
ả
=Ă<i>a</i>2<i>b</i>3<i>a</i>3<i>b</i>2;a3<i>b</i>1<i>a</i>1<i>b</i>3;a1<i>b</i>2<i>a</i>2<i>b</i>1
Â
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
<b>2. Tích có hướng của hai véc-tơ</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai véc-tơ #»<i>a</i> =(a1;a2;<i>a</i>3),
#»
<i>b</i> =¡
<i>b</i>1;b2;<i>b</i>3
¢
.Tích có
hướng của hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> là một véc-tơ được kí hiệu và xác định nh sau
h#ằ
<i>a</i>,#ằ<i>b</i>i=#ằ<i>a</i>#ằ<i>b</i>=
à
<i>a</i>2 <i>a</i>3
<i>b</i>2 <i>b</i>3
;
<i>a</i>3 <i>a</i>1
<i>b</i>3 <i>b</i>1
;
<i>a</i>1 <i>a</i>2
<i>b</i>1 <i>b</i>2
ả
=Ă<i>a</i>2<i>b</i>3<i>a</i>3<i>b</i>2;a3<i>b</i>1<i>a</i>1<i>b</i>3;a1<i>b</i>2<i>a</i>2<i>b</i>1
Â
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
<b>2. Tích có hướng của hai véc-tơ</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai véc-tơ #»<i>a</i> =(a1;a2;<i>a</i>3),
#»
<i>b</i> =¡
<i>b</i>1;b2;<i>b</i>3
¢
.Tích có
hướng của hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> là một véc-tơ được kí hiệu và xác định nh sau
h#ằ
<i>a</i>,#ằ<i>b</i>i=#ằ<i>a</i>#ằ<i>b</i>=
à
<i>a</i>2 <i>a</i>3
<i>b</i>2 <i>b</i>3
;
<i>a</i>3 <i>a</i>1
<i>b</i>3 <i>b</i>1
;
<i>a</i>1 <i>a</i>2
<i>b</i>1 <i>b</i>2
ả
=Ă<i>a</i>2<i>b</i>3<i>a</i>3<i>b</i>2;a3<i>b</i>1<i>a</i>1<i>b</i>3;a1<i>b</i>2<i>a</i>2<i>b</i>1
Â
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
<b>2. Tích có hướng của hai véc-tơ</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai véc-tơ #»<i>a</i> =(a1;a2;<i>a</i>3),
#»
<i>b</i> =¡
<i>b</i>1;b2;<i>b</i>3
¢
.Tích có
hướng của hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> là một véc-tơ được kí hiệu và xác định nh sau
h#ằ
<i>a</i>,#ằ<i>b</i>i=#ằ<i>a</i>#ằ<i>b</i>=
à
<i>a</i>2 <i>a</i>3
<i>b</i>2 <i>b</i>3
;
<i>a</i>3 <i>a</i>1
<i>b</i>3 <i>b</i>1
;
<i>a</i>1 <i>a</i>2
<i>b</i>1 <i>b</i>2
ả
=Ă<i>a</i>2<i>b</i>3<i>a</i>3<i>b</i>2;a3<i>b</i>1<i>a</i>1<i>b</i>3;a1<i>b</i>2<i>a</i>2<i>b</i>1
Â
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
<b>Chú ý</b>
h#»
<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>a</i>,h#»<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>b</i>.
Cho hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> không cùng phương và có giá song song với(<i>α</i>)hoặc
nằm trên(<i>α</i>)thìh#»<i>a</i>,#»<i>b</i>ilà một véc-tơ pháp tuyến của(<i>α</i>).
Cho¡
<i>ABC</i>¢
, ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà một véc-tơ pháp tuyến của¡
<i>ABC</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
<b>Chú ý</b>
h#»
<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>a</i>
,h#»<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>b</i>.
Cho hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> khơng cùng phương và có giá song song với(<i>α</i>)hoặc
nằm trên(<i>α</i>)thìh#»<i>a</i>,#»<i>b</i>ilà một véc-tơ pháp tuyến của(<i>α</i>).
Cho¡
<i>ABC</i>¢
, ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà một véc-tơ pháp tuyến của¡
<i>ABC</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
<b>Chú ý</b>
h#»
<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>a</i>,h#»<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>b</i>.
Cho hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> khơng cùng phương và có giá song song với(<i>α</i>)hoặc
nằm trên(<i>α</i>)thìh#»<i>a</i>,#»<i>b</i>ilà một véc-tơ pháp tuyến của(<i>α</i>).
Cho¡
<i>ABC</i>¢
, ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà một véc-tơ pháp tuyến của¡
<i>ABC</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
<b>Chú ý</b>
h#»
<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>a</i>,h#»<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>b</i>.
Cho hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> khơng cùng phương và có giá song song với(<i>α</i>)hoặc
nằm trên(<i>α</i>)thìh#»<i>a</i>,#»<i>b</i>ilà một véc-tơ pháp tuyến của(<i>α</i>).
Cho¡
<i>ABC</i>¢
, ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà một véc-tơ pháp tuyến của¡
<i>ABC</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
<b>Chú ý</b>
h#»
<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>a</i>,h#»<i>a</i>,#»<i>b</i>i⊥#»<i>b</i>.
Cho hai véc-tơ #»<i>a</i> và #»<i>b</i> không cùng phương và có giá song song với(<i>α</i>)hoặc
nằm trên(<i>α</i>)thìh#»<i>a</i>,#»<i>b</i>ilà một véc-tơ pháp tuyến của(<i>α</i>).
Cho¡
<i>ABC</i>¢
, ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà một véc-tơ pháp tuyến của¡
<i>ABC</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà véc-tơ phỏp tuyn
caĂ
<i>ABC</i>Â
.
h# ằ
<i>AB,AC</i># ằi=
à
0 3
2 2
;
3 3
2 5
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
3 0
5 −2
¯
¯
¯
¯
¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến của
(ABC). Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà véc-tơ pháp tuyến
của¡
<i>ABC</i>¢
.
h# »
<i>AB,AC</i># ằi=
à
0 3
2 2
;
3 3
2 5
;
3 0
5 2
ả
=(6;21;6)l vộc-t phỏp tuyến của
(ABC). Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà véc-tơ pháp tuyến
của¡
<i>ABC</i>¢
.
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
0 −3
−2 2
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
−3 3
2 5
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
3 0
5 −2
¯
¯
¯
¯
¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến của
(ABC). Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># ằil vộc-t phỏp tuyn
caĂ
<i>ABC</i>Â
.
h# ằ
<i>AB,AC</i># ằi=
à
0 −3
−2 2
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
−3 3
2 5
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
3 0
5 −2
¯
¯
¯
¯
¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến của
(ABC). Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà véc-tơ pháp tuyến
của¡
<i>ABC</i>¢
.
h# ằ
<i>AB,AC</i># ằi=
à
0 3
2 2
;
3 3
2 5
;
3 0
5 2
ả
=(6;21;6)l véc-tơ pháp tuyến của
(ABC). Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà véc-tơ phỏp tuyn
caĂ
<i>ABC</i>Â
.
h# ằ
<i>AB,AC</i># ằi=
à
0 3
2 2
;
3 3
2 5
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
3 0
5 −2
¯
¯
¯
¯
¶
=(−6;−21;−6)là véc-tơ pháp tuyến của
(ABC).
Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>
<b>Ví dụ 1.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, choA(</i>−1;1;3),<i>B(2;1;0),C(4;</i>−1;5). Tìm một véc-tơ pháp
tuyến của mặt phẳng¡
<i>ABC</i>¢
.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy<i>AB</i># »=(3;0;−3),
# »
<i>AC</i>=(5;−2;2).
Ta cóh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilà véc-tơ pháp tuyến
của¡
<i>ABC</i>¢
.
h# »
<i>AB,AC</i># ằi=
à
0 3
2 2
;
3 3
2 5
;
3 0
5 2
ả
=(6;21;6)l vộc-t phỏp tuyn của
(ABC). Ngồi ra ta cũng có véc-tơ pháp
tuyến khác của(ABC)là #»<i>n</i>=(2;7;2).
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)
⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)
⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>
⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)
⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>Bài tốn</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (<i>α</i>)đi qua điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
và nhận
#»
<i>n</i>=¡<i>A;B;C</i>¢
làm véc-tơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
điểm<i>M(x;y;z)</i>thuộc mặt phẳng (<i>α</i>)là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(z−<i>z</i>0)=0.
<b>Lời giải</b>
Ta có<i>M</i># »0<i>M</i>=
¡
<i>x</i>−<i>x</i>0;y−<i>y</i>0;z−<i>z</i>0
¢
.
<i>M</i>∈(<i>α</i>)⇔<i>M</i>0<i>M</i>⊂(<i>α</i>)⇔#»<i>n</i>⊥<i>M</i># »0<i>M</i>⇔ #»<i>n</i>.<i>M</i># »0<i>M</i>=0
⇔<i>A</i>(<i>x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
+<i>C</i>(<i>z</i>−<i>z</i>0)=0(1)(đpcm).
Từ(1)⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>−<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0=0.
Đặt<i>D</i>= −<i>Ax</i>0−<i>By</i>0−<i>Cz</i>0.
Ta được<i>Ax+By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0(2).
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Phương trình có dạng<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0, trong đó<i>A,B,C</i>khơng đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
<b>Nhận xét</b>
Nếu mặt phẳng(<i>α</i>)có phương trình tổng qt là<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 thì nó
có một véc-tơ pháp tuyến là #»<i>n</i>=(A;B;<i>C).</i>
Phương trình mặt phẳng đi qua<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;<i>y</i>0;z0
¢
nhận véc-tơ #»<i>n</i>=(A;<i>B;C)</i>khác
#»
0 làm véc-tơ pháp tuyến là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Phương trình có dạng<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0, trong đó<i>A,B,C</i>khơng đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
<b>Nhận xét</b>
Nếu mặt phẳng(<i>α</i>)có phương trình tổng qt là<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 thì nó
có một véc-tơ pháp tuyến là #»<i>n</i>=(A;B;<i>C).</i>
Phương trình mặt phẳng đi qua<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;<i>y</i>0;z0
¢
nhận véc-tơ #»<i>n</i>=(A;<i>B;C)</i>khác
#»
0 làm véc-tơ pháp tuyến là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Phương trình có dạng<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0, trong đó<i>A,B,C</i>khơng đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
<b>Nhận xét</b>
Nếu mặt phẳng(<i>α</i>)có phương trình tổng qt là<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 thì nó
có một véc-tơ pháp tuyến là #»<i>n</i>=(A;B;<i>C).</i>
Phương trình mặt phẳng đi qua<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;<i>y</i>0;z0
¢
nhận véc-tơ #»<i>n</i>=(A;<i>B;C)</i>khác
#»
0 làm véc-tơ pháp tuyến là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Phương trình có dạng<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0, trong đó<i>A,B,C</i>khơng đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng qt của mặt phẳng.
<b>Nhận xét</b>
Nếu mặt phẳng(<i>α</i>)có phương trình tổng qt là<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 thì nó
có một véc-tơ pháp tuyến là #»<i>n</i>=(A;B;<i>C).</i>
Phương trình mặt phẳng đi qua<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;<i>y</i>0;z0
¢
nhận véc-tơ #»<i>n</i>=(A;<i>B;C)</i>khác
#»
0 làm véc-tơ pháp tuyến là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
<b>1. Định nghĩa</b>
Phương trình có dạng<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0, trong đó<i>A,B,C</i>khơng đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng qt của mặt phẳng.
<b>Nhận xét</b>
Nếu mặt phẳng(<i>α</i>)có phương trình tổng qt là<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 thì nó
có một véc-tơ pháp tuyến là #»<i>n</i>=(A;B;<i>C).</i>
Phương trình mặt phẳng đi qua<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;<i>y</i>0;z0
¢
nhận véc-tơ #»<i>n</i>=(A;B;<i>C)</i>khác
#»
0 làm véc-tơ pháp tuyến là<i>A(x</i>−<i>x</i>0)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>−<i>y</i>0
¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>
<b>Ví dụ 2.</b>
(Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) : 2x−3y+<i>z</i>−2=0. Véc-tơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của(P).
<b>A.</b> #»<i>n</i>3=(−3;1;−2). <b>B.</b> #»<i>n</i>2=(2;−3;−2). <b>C.</b> #»<i>n</i>1=(2;−3;1). <b>D.</b> #»<i>n</i>4=(2;1;−2).
<b>Lời giải</b>
Ta có véc-tơ #»<i>n</i>1=(2;−3;1)là một véc-tơ pháp tuyến của(P).
</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>
<b>Ví dụ 2.</b>
(Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) : 2x−3y+<i>z</i>−2=0. Véc-tơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của(P).
<b>A.</b> #»<i>n</i>3=(−3;1;−2). <b>B.</b> #»<i>n</i>2=(2;−3;−2). <b>C.</b> #»<i>n</i>1=(2;−3;1). <b>D.</b> #»<i>n</i>4=(2;1;−2).
<b>Lời giải</b>
Ta có véc-tơ #»<i>n</i>1=(2;−3;1)là một véc-tơ pháp tuyến của(P).
</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>
<b>Ví dụ 3.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, phương trình nào dưới</i>
đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm<i>M(1;</i>2;−3)và có một véc-tơ pháp
tuyến là #»<i>n</i>=(1;−2;3)?
<b>A.</b><i>x</i>−2y+3z−12=0. <b>B.</b><i>x</i>−2y−3z+6=0.
<b>C.</b><i>x</i>−2y+3z+12=0. <b>D.</b><i>x</i>−2y−3z−6=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi(<i>α</i>)là mặt phẳng đi qua<i>M(1;2;</i>−3)và có vtpt là
#»
<i>n</i>=(1;−2;3). Phương trình mặt phẳng(<i>α</i>):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔<i>x</i>−2y+3z+12=0.
Vậy phương trình tổng quát của(<i>α</i>) :<i>x</i>−2y+3z+12=0. <i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>
<b>Ví dụ 3.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, phương trình nào dưới</i>
đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm<i>M(1;</i>2;−3)và có một véc-tơ pháp
tuyến là #»<i>n</i>=(1;−2;3)?
<b>A.</b><i>x</i>−2y+3z−12=0. <b>B.</b><i>x</i>−2y−3z+6=0.
<b>C.</b><i>x</i>−2y+3z+12=0. <b>D.</b><i>x</i>−2y−3z−6=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi(<i>α</i>)là mặt phẳng đi qua<i>M(1;2;</i>−3)và có vtpt là
#»
<i>n</i>=(1;−2;3).
Phương trình mặt phẳng(<i>α</i>):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔<i>x</i>−2y+3z+12=0.
Vậy phương trình tổng qt của(<i>α</i>) :<i>x</i>−2y+3z+12=0.
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>
<b>Ví dụ 3.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, phương trình nào dưới</i>
đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm<i>M(1;</i>2;−3)và có một véc-tơ pháp
tuyến là #»<i>n</i>=(1;−2;3)?
<b>A.</b><i>x</i>−2y+3z−12=0. <b>B.</b><i>x</i>−2y−3z+6=0.
<b>C.</b><i>x</i>−2y+3z+12=0. <b>D.</b><i>x</i>−2y−3z−6=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi(<i>α</i>)là mặt phẳng đi qua<i>M(1;2;</i>−3)và có vtpt là
#»
<i>n</i>=(1;−2;3). Phương trình mặt phẳng(<i>α</i>):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0
⇔<i>x</i>−2y+3z+12=0.
Vậy phương trình tổng quát của(<i>α</i>) :<i>x</i>−2y+3z+12=0.
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>
<b>Ví dụ 3.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, phương trình nào dưới</i>
đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm<i>M(1;</i>2;−3)và có một véc-tơ pháp
tuyến là #»<i>n</i>=(1;−2;3)?
<b>A.</b><i>x</i>−2y+3z−12=0. <b>B.</b><i>x</i>−2y−3z+6=0.
<b>C.</b><i>x</i>−2y+3z+12=0. <b>D.</b><i>x</i>−2y−3z−6=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi(<i>α</i>)là mặt phẳng đi qua<i>M(1;2;</i>−3)và có vtpt là
#»
<i>n</i>=(1;−2;3). Phương trình mặt phẳng(<i>α</i>):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔<i>x</i>−2y+3z+12=0.
Vậy phương trình tổng quát của(<i>α</i>) :<i>x</i>−2y+3z+12=0.
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>
<b>Ví dụ 3.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, phương trình nào dưới</i>
đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm<i>M(1;</i>2;−3)và có một véc-tơ pháp
tuyến là #»<i>n</i>=(1;−2;3)?
<b>A.</b><i>x</i>−2y+3z−12=0. <b>B.</b><i>x</i>−2y−3z+6=0.
<b>C.</b><i>x</i>−2y+3z+12=0. <b>D.</b><i>x</i>−2y−3z−6=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi(<i>α</i>)là mặt phẳng đi qua<i>M(1;2;</i>−3)và có vtpt là
#»
<i>n</i>=(1;−2;3). Phương trình mặt phẳng(<i>α</i>):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔<i>x</i>−2y+3z+12=0.
Vậy phương trình tổng quát của(<i>α</i>) :<i>x</i>−2y+3z+12=0. <i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>
<b>Ví dụ 3.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, phương trình nào dưới</i>
đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm<i>M(1;</i>2;−3)và có một véc-tơ pháp
tuyến là #»<i>n</i>=(1;−2;3)?
<b>A.</b><i>x</i>−2y+3z−12=0. <b>B.</b><i>x</i>−2y−3z+6=0.
<b>C.</b><i>x</i>−2y+3z+12=0. <b>D.</b><i>x</i>−2y−3z−6=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi(<i>α</i>)là mặt phẳng đi qua<i>M(1;2;</i>−3)và có vtpt là
#»
<i>n</i>=(1;−2;3). Phương trình mặt phẳng(<i>α</i>):
1(x−1)−2(y−2)+3(z+3)=0⇔<i>x</i>−2y+3z+12=0.
Vậy phương trình tổng quát của(<i>α</i>) :<i>x</i>−2y+3z+12=0. <i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>
<b>Ví dụ 4.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểm</i>
<i>A(5;</i>−4;2)và<i>B</i>(1;2;4). Mặt phẳng đi qua<i>A</i>và vng góc với đường thẳng<i>AB</i>có
phương trình là
<b>A.</b>2x−3y−<i>z</i>+8=0. <b>B.</b>3x−<i>y</i>+3z−13=0.
<b>C.</b>2x−3y−<i>z</i>−20=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>+3z−25=0.
<b>Lời giải</b>
Vì mặt phẳng qua<i>A</i>vng góc với<i>AB</i>nên nhận
# »
<i>AB</i>=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−<i>z</i>−20=0. <i>A</i>
<i>B</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>
<b>Ví dụ 4.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểm</i>
<i>A(5;</i>−4;2)và<i>B</i>(1;2;4). Mặt phẳng đi qua<i>A</i>và vng góc với đường thẳng<i>AB</i>có
phương trình là
<b>A.</b>2x−3y−<i>z</i>+8=0. <b>B.</b>3x−<i>y</i>+3z−13=0.
<b>C.</b>2x−3y−<i>z</i>−20=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>+3z−25=0.
<b>Lời giải</b>
Vì mặt phẳng qua<i>A</i>vng góc với<i>AB</i>nên nhận
# »
<i>AB</i>=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−<i>z</i>−20=0.
<i>A</i>
<i>B</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>
<b>Ví dụ 4.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểm</i>
<i>A(5;</i>−4;2)và<i>B</i>(1;2;4). Mặt phẳng đi qua<i>A</i>và vng góc với đường thẳng<i>AB</i>có
phương trình là
<b>A.</b>2x−3y−<i>z</i>+8=0. <b>B.</b>3x−<i>y</i>+3z−13=0.
<b>C.</b>2x−3y−<i>z</i>−20=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>+3z−25=0.
<b>Lời giải</b>
Vì mặt phẳng qua<i>A</i>vng góc với<i>AB</i>nên nhận
# »
<i>AB</i>=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−<i>z</i>−20=0.
<i>A</i>
<i>B</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>
<b>Ví dụ 4.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểm</i>
<i>A(5;</i>−4;2)và<i>B</i>(1;2;4). Mặt phẳng đi qua<i>A</i>và vng góc với đường thẳng<i>AB</i>có
phương trình là
<b>A.</b>2x−3y−<i>z</i>+8=0. <b>B.</b>3x−<i>y</i>+3z−13=0.
<b>C.</b>2x−3y−<i>z</i>−20=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>+3z−25=0.
<b>Lời giải</b>
Vì mặt phẳng qua<i>A</i>vng góc với<i>AB</i>nên nhận
# »
<i>AB</i>=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0
⇔2x−3y−<i>z</i>−20=0.
<i>A</i>
<i>B</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>
<b>Ví dụ 4.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểm</i>
<i>A(5;</i>−4;2)và<i>B</i>(1;2;4). Mặt phẳng đi qua<i>A</i>và vng góc với đường thẳng<i>AB</i>có
phương trình là
<b>A.</b>2x−3y−<i>z</i>+8=0. <b>B.</b>3x−<i>y</i>+3z−13=0.
<b>C.</b>2x−3y−<i>z</i>−20=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>+3z−25=0.
<b>Lời giải</b>
Vì mặt phẳng qua<i>A</i>vng góc với<i>AB</i>nên nhận
# »
<i>AB</i>=(−4;6;2)làm véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
−4(x−5)+6(y+4)+2(z−2)=0⇔2x−3y−<i>z</i>−20=0. <i>A</i>
<i>B</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB.</i>
Khi đó (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB.</i>
Ta
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2).
Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0
⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0
⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>
<b>Ví dụ 5.</b>
(Đề thi THPTQG năm 2019) Trong không gian<i>Oxyz, cho hai điểmA(4;</i>0;1)và
<i>B(</i>−2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<i>AB</i>có phương trình là
<b>A.</b>6x−2y−2z−1=0. <b>B.</b>3x+<i>y</i>+<i>z</i>−6=0.
<b>C.</b><i>x</i>+<i>y</i>+2z−6=0. <b>D.</b>3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn <i>AB. Khi đó</i> (P) đi
qua trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i>và vng góc với<i>AB. Ta</i>
có<i>AB</i># »=(−6;2;2)là vtpt của(P)và <i>I(1;</i>1;2). Phương trình mặt
phẳng(P)là
−6(x−1)+2(y−1)+2(z−2)=0⇔ −6x+2y+2z=0⇔3x−<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>I</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># ằi=
à
1 0
0 1
;
0 2
1 1
;
2 1
1 0
ả
=(1;2;1).
Phng trỡnh(ABC) : 1(x+1)2(y0)1(z1)=0<i>x</i>2y<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng quát<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># ằi=
à
1 0
0 1
;
0 2
1 1
;
2 1
1 0
ả
=(1;2;1).
Phng trỡnh(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0
⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2.
Vậy <i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>
<b>Ví dụ 6.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểmA(</i>−1;0;1),<i>B(1;1;1)</i>và
<i>C(0;</i>0;2)có phương trình tổng qt<i>x</i>+<i>by</i>+<i>cz</i>+<i>d</i>=0. Tính<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d.</i>
<b>A.</b><i>S</i>= −1 . <b>B.</b> <i>S</i>=0 . <b>C.</b><i>S</i>=1 . <b>D.</b><i>S</i>= −5.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(ABC)nhậnh<i>AB,</i># » <i>AC</i># »ilàm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có,<i>AB</i># »=(2;1;0),<i>AC</i># »=(1;0;1).
⇒
h# »
<i>AB,AC</i># »i=
µ¯
¯
¯
¯
1 0
0 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
0 2
1 1
¯
¯
¯
¯
;
¯
¯
¯
¯
2 1
1 0
¯
¯
¯
¯
¶
=(1;−2;−1).
Phương trình(ABC) : 1(x+1)−2(y−0)−1(z−1)=0⇔<i>x</i>−2y−<i>z</i>+2=0.
Suy ra<i>b</i>= −2,<i>c</i>= −1,<i>d</i>=2. Vậy<i>S</i>=<i>b</i>+<i>c</i>+<i>d</i>= −2−1+2= −1.
<i>A</i> <i>B</i>
<i>C</i>
h# »
<i>AB</i>,<i>AC</i># »i
</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>
<b>2. Các trường hợp riêng</b>
<b>Trường hợp 1 : Hệ số</b><i>D</i><b>bằng</b>0
Cho(<i>α</i>)có phương trình
<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0.
<i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>=0 là mặt
phẳng đi qua gốc tọa độ.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>
<b>Ví dụ 7.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độO?</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+2y−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :<i>y</i>+<i>z</i>−2=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>−<i>z</i>+1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>
<b>Ví dụ 7.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độO?</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+2y−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :<i>y</i>+<i>z</i>−2=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>−<i>z</i>+1=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>
<b>Ví dụ 7.</b>
Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độO?</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+2y−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :<i>y</i>+<i>z</i>−2=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>−<i>z</i>+1=0.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(Q) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>=0 đi qua gốc tọa độ<i>O.</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>
<b>Ví dụ 7.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độO?</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+2y−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :<i>y</i>+<i>z</i>−2=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>−<i>z</i>+1=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>A</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
(Xét vtpt của(<i>α</i>)là #»<i>n</i>=(0;B;<i>C)</i>và véc-tơ đơn vị #»<i>i</i> =(1;0;0)của trục<i>Ox, ta thấy</i>
#»
</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>A</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
(Xét vtpt của(<i>α</i>)là #»<i>n</i>=(0;B;<i>C)</i>và véc-tơ đơn vị #»<i>i</i> =(1;0;0)của trục<i>Ox,</i>
ta thấy
#»
</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>A</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
(Xét vtpt của(<i>α</i>)là #»<i>n</i>=(0;B;<i>C)</i>và véc-tơ đơn vị #»<i>i</i> =(1;0;0)của trục<i>Ox, ta thấy</i>
#»
<i>n</i>.#»<i>i</i> =0·1+<i>B</i>·0+<i>C</i>·0=0
</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>A</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
(Xét vtpt của(<i>α</i>)là #»<i>n</i>=(0;B;<i>C)</i>và véc-tơ đơn vị #»<i>i</i> =(1;0;0)của trục<i>Ox, ta thấy</i>
#»
<i>n</i>.#»<i>i</i> =0·1+<i>B</i>·0+<i>C</i>·0=0⇒#»<i>n</i>⊥#»<i>i</i>.
</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>A</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
(Xét vtpt của(<i>α</i>)là #»<i>n</i>=(0;B;<i>C)</i>và véc-tơ đơn vị #»<i>i</i> =(1;0;0)của trục<i>Ox, ta thấy</i>
#»
</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>A</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
Xét vtpt của(<i>α</i>)là #»<i>n</i>=(0;B;<i>C)</i>và véc-tơ đơn vị #»<i>i</i> =(1;0;0)của trục<i>Ox,ta thấy</i>
#»
<i>n</i>.#»<i>i</i> =0·1+<i>B</i>·0+<i>C</i>·0=0⇒#»<i>n</i>⊥#»<i>i</i>. Suy ra(<i>α</i>)song song hoặc chứa<i>Ox.</i>
FVới<i>D</i>6=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+Cz+<i>D</i>=0 song
song với<i>Ox</i>.
FVới<i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>Cz</i>=0 chứa
trục <i>Ox</i>.
#»
<i>i</i>
<i>O</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>O</i>
#»
<i>i</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>
<b>Ví dụ 8.</b>
Trong không gian với hệ trục tọa độ<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với</i>
trục<i>Ox.</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+<i>y</i>−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>y</i>+<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :2y+<i>z</i>−1=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>+<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>
<b>Ví dụ 8.</b>
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với</i>
trục<i>Ox.</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+<i>y</i>−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>y</i>+<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :2y+<i>z</i>−1=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>+<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>
<b>Ví dụ 8.</b>
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với</i>
trục<i>Ox.</i>
<b>A.</b>(P) :<i>x</i>+<i>y</i>−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>y</i>+<i>z</i>=0.
<b>C.</b>(R) :2y+<i>z</i>−1=0. <b>D.</b>(T) :<i>x</i>+<i>y</i>−<i>z</i>=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>B</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa<i>Oy.</i>
FVới<i>D</i>6=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song
song với<i>Oy</i>.
FVới<i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>=0 chứa
trục <i>Oy</i>.
#»
<i>j</i>
<i>O</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;</i>0) nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0).
Do (P) đi qua <i>M(1;0;</i>0) nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i>
nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0
⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>
và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0
⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0
⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0).
Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P).
Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0
⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, viết phương trình mặt phẳng</i>(P)đi qua<i>M(1;0;</i>0),
<i>N(0;0;</i>1)và song song với trục<i>Oy.</i>
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)song song với trục<i>Oy</i>nên(P) :<i>Ax</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0,
(A, <i>C</i> không đồng thời bằng 0). Do (P) đi qua <i>M(1;0;0)</i> nên
<i>A</i>+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>A</i>và(P)đi qua<i>N(0;0;1)</i>
nên<i>C</i>+<i>D</i>=0⇒<i>C</i>= −<i>D</i>=<i>A.</i>
Từ đó ta suy ra(P) :<i>Ax</i>+<i>Az</i>−<i>A</i>=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0.
<b>Cách khác:</b>Ta có<i>MN</i># »=(−1;0;1)và #»<i>j</i> =(0,1,0). Vì<i>MN</i>⊂(P)
và <i>Oy</i><sub>∥</sub>(P) nên h<i>MN,</i># » #»<i>j</i>i=(1,0,1) là véc-tơ pháp tuyến của
(P). Mặt phẳng(P)có phương trình
1(x−1)+1(z−0)=0⇔<i>x</i>+<i>z</i>−1=0. <i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>M</i>
<i>N</i>
<i>O</i>
#»
<i>j</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>
<b>Trường hợp 2 Một trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0
Nếu<i>C</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>D</i>=0 là mặt phẳng song song hoặc chứa <i>Oz.</i>
FVới<i>D</i>6=0 thì(<i>α</i>) : <i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>D</i>=0
song song với<i>Oz</i>.
FVới <i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>=0 chứa
trục<i>Oz</i>.
#»
<i>k</i>
<i>O</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>O</i>
#»
<i>k</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>
<b>Ví dụ 10.</b>
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục</i>
trục<i>Oz.</i>
<b>A.</b>(P) :2x+<i>y</i>−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>y</i>+<i>z</i>=0.
<b>C.</b> (R) :<i>x</i>+2z=0. <b>D.</b>(T) : −<i>x</i>+3y=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>
<b>Ví dụ 10.</b>
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục</i>
trục<i>Oz.</i>
<b>A.</b>(P) :2x+<i>y</i>−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>y</i>+<i>z</i>=0.
<b>C.</b> (R) :<i>x</i>+2z=0. <b>D.</b>(T) : −<i>x</i>+3y=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>
<b>Ví dụ 10.</b>
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ<i>Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục</i>
trục<i>Oz.</i>
<b>A.</b>(P) :2x+<i>y</i>−1=0. <b>B.</b>(Q) :<i>y</i>+<i>z</i>=0.
<b>C.</b> (R) :<i>x</i>+2z=0. <b>D.</b>(T) : −<i>x</i>+3y=0.
<b>Lời giải</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>
<b>Trường hợp 3 : Hai trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0<b>.</b>
Nếu<i>A</i>=<i>B</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc trùng với(Oxy).
</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>
<b>Trường hợp 3 : Hai trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0<b>.</b>
Nếu<i>A</i>=<i>B</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc trùng với(Oxy).
Vì mặt phẳng<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc chứa<i>Ox</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>
<b>Trường hợp 3 : Hai trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0<b>.</b>
Nếu<i>A</i>=<i>B</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc trùng với(Oxy).
</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>
<b>Trường hợp 3 : Hai trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0<b>.</b>
Nếu<i>A</i>=<i>B</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc trùng với(Oxy).
Vì mặt phẳng<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc chứa <i>Ox</i>và song song hoặc chứa<i>Oy</i>nên
nó song song hoặc trùng với(Oxy).
FVới<i>D</i>6=0 thì(<i>α</i>) :<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 song
song với(<i>Oxy</i>).
FVới<i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>z</i>=0 trùng với
(<i>Oxy</i>).
<i>O</i>
−<i>D</i>
<i>C</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>O</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>
<b>Trường hợp 3 : Hai trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0<b>.</b>
Nếu<i>A</i>=<i>C</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc trùng với(Oxz).
FVới<i>D</i>6=0 thì(<i>α</i>) :<i>By</i>+<i>D</i>=0 song
song với(<i>Oxz</i>).
FVới<i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>y</i>=0 trùng với
(<i>Oxz</i>).
<i>O</i>
−<i>D</i>
<i>B</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>O</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>
<b>Trường hợp 3 : Hai trong ba hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b><i>C</i><b>bằng</b>0<b>.</b>
Nếu<i>B</i>=<i>C</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>D</i>=0 song song hoặc trùng với(Oyz).
FVới<i>D</i>6=0 thì(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>D</i>=0 song
song với(<i>Oyz</i>).
FVới<i>D</i>=0 thì(<i>α</i>) :<i>x</i>=0 trùng với
(<i>Oyz</i>).
<i>O</i>
−<i>D</i>
<i>A</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>O</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>
⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
<i>c</i>=1. (*)
</div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117>
<b>Nhận xét: Cả bốn hệ số</b><i>A</i><b>,</b><i>B</i><b>,</b> <i>C</i><b>,</b> <i>D</i><b>đều khác</b>0
Ta thấy<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0⇔<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>= −<i>D</i>⇔ <i>A</i>
−<i>Dx</i>+
<i>B</i>
−<i>Dy</i>+
<i>C</i>
−<i>Dz</i>=1.
Bằng cách đặt<i>a</i>= −<i>D</i>
<i>A</i>,<i>b</i>= −
<i>D</i>
<i>B</i>,<i>c</i>= −
<i>D</i>
<i>C</i> ta được phương trình
<i>x</i>
<i>a</i>+
<i>y</i>
<i>b</i>+
<i>z</i>
<i>c</i>=1. (*)
Phương trình (*) gọi phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, cắt các trục
<i>Ox,Oy,Oz</i>lần lượt tại các điểm(<i>a</i>;0;0),(0;<i>b</i>;0),(0;0;<i>c</i>).
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118>
<b>Ví dụ 11.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho điểm</i> <i>M</i>(3;2;4). Gọi<i>A,B,C</i>lần lượt là hình chiếu
của<i>M</i>trên trục<i>Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng</i> (ABC).
<b>Lời giải</b>
Hình chiếu của <i>M(3;2;</i>4) lần lượt lên các
trục <i>Ox,</i> <i>Oy,</i> <i>Oz</i> là <i>A</i>(3;0;0), <i>B</i>(0;2;0),
<i>C</i>(0;0;4). Mặt phẳng(ABC)có phương trình
<i>x</i>
3+
<i>y</i>
2+
<i>z</i>
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0.
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
3
2
4
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119>
<b>Ví dụ 11.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho điểm</i> <i>M</i>(3;2;4). Gọi<i>A,B,C</i>lần lượt là hình chiếu
của<i>M</i>trên trục<i>Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng</i> (ABC).
<b>Lời giải</b>
Hình chiếu của <i>M(3;2;</i>4) lần lượt lên các
trục <i>Ox,</i> <i>Oy,</i> <i>Oz</i>
là <i>A</i>(3;0;0), <i>B</i>(0;2;0),
<i>C</i>(0;0;4). Mặt phẳng(ABC)có phương trình
<i>x</i>
3+
<i>y</i>
2+
<i>z</i>
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0.
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
3
2
4
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120>
<b>Ví dụ 11.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho điểm</i> <i>M</i>(3;2;4). Gọi<i>A,B,C</i>lần lượt là hình chiếu
của<i>M</i>trên trục<i>Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng</i> (ABC).
<b>Lời giải</b>
Hình chiếu của <i>M(3;2;</i>4) lần lượt lên các
trục <i>Ox,</i> <i>Oy,</i> <i>Oz</i> là <i>A</i>(3;0;0), <i>B</i>(0;2;0),
<i>C</i>(0;0;4).
Mặt phẳng(ABC)có phương trình
<i>x</i>
3+
<i>y</i>
2+
<i>z</i>
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0.
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
3
2
4
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121>
<b>Ví dụ 11.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho điểm</i> <i>M</i>(3;2;4). Gọi<i>A,B,C</i>lần lượt là hình chiếu
của<i>M</i>trên trục<i>Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng</i> (ABC).
<b>Lời giải</b>
Hình chiếu của <i>M(3;2;</i>4) lần lượt lên các
trục <i>Ox,</i> <i>Oy,</i> <i>Oz</i> là <i>A</i>(3;0;0), <i>B</i>(0;2;0),
<i>C</i>(0;0;4). Mặt phẳng(ABC)có phương trình
<i>x</i>
3+
<i>y</i>
2+
<i>z</i>
4=1
⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0.
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
3
2
4
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122>
<b>Ví dụ 11.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho điểm</i> <i>M</i>(3;2;4). Gọi<i>A,B,C</i>lần lượt là hình chiếu
của<i>M</i>trên trục<i>Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng</i> (ABC).
<b>Lời giải</b>
Hình chiếu của <i>M(3;2;</i>4) lần lượt lên các
trục <i>Ox,</i> <i>Oy,</i> <i>Oz</i> là <i>A</i>(3;0;0), <i>B</i>(0;2;0),
<i>C</i>(0;0;4). Mặt phẳng(ABC)có phương trình
<i>x</i>
3+
<i>y</i>
2+
<i>z</i>
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0.
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
3
2
4
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123>
<b>Ví dụ 11.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho điểm</i> <i>M</i>(3;2;4). Gọi<i>A,B,C</i>lần lượt là hình chiếu
của<i>M</i>trên trục<i>Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng</i> (ABC).
<b>Lời giải</b>
Hình chiếu của <i>M(3;2;</i>4) lần lượt lên các
trục <i>Ox,</i> <i>Oy,</i> <i>Oz</i> là <i>A</i>(3;0;0), <i>B</i>(0;2;0),
<i>C</i>(0;0;4). Mặt phẳng(ABC)có phương trình
<i>x</i>
3+
<i>y</i>
2+
<i>z</i>
4=1⇔8x+12y+6z−24=0
⇔4x+6y+3z−12=0.
<i>O</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
3
2
4
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124></div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># ằ2
Ă
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
Â
=Ă
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
Â
.
Nhõn<i>k</i>vo hai v ca phng trỡnh (<i>2</i>)ta c
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i></i>1
# ằ
<i>n</i>1
# ằ
<i>n2</i>
<i></i>2
(<i>1</i>)<sub></sub>(<i>2</i>)
ẵ<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(127)</span><div class='page_container' data-page=127>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong không gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2
⇒¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(128)</span><div class='page_container' data-page=128>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong không gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(129)</span><div class='page_container' data-page=129>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong không gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(130)</span><div class='page_container' data-page=130>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># ằ2
Ă
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
Â
=Ă
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
Â
.
Nhõn<i>k</i>vo hai v ca phng trỡnh (<i>2</i>)ta c
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i></i>1
# ằ
<i>n</i>1
# ằ
<i>n2</i>
<i></i>2
(<i>1</i>)<sub></sub>(<i>2</i>)
ẵ<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(131)</span><div class='page_container' data-page=131>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)
⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(132)</span><div class='page_container' data-page=132>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong không gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(133)</span><div class='page_container' data-page=133>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong không gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
,
qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(134)</span><div class='page_container' data-page=134>
<b>1. Hai mặt phẳng song song</b>
Trong không gian<i>Oxyz</i>cho hai mặt phẳng
(<i>α1</i>) :<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>D</i>1=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »1=
¡
<i>A</i>1;B1;<i>C</i>1
¢
(<i>α2</i>) :<i>A</i>2<i>x</i>+<i>B</i>2<i>y</i>+<i>C</i>2<i>z</i>+<i>D</i>2=0
có véc-tơ pháp tuyến<i>n</i># »2=
¡
<i>A</i>2;B2;<i>C</i>2
¢
.
(<i>α1</i>)và(<i>α2</i>)song song hoặc trùng nhau khi
và chỉ khi<i>n</i># »1 và<i>n</i># »2 cùng phương hay
# »
<i>n</i>1=<i>kn</i># »2⇒
¡
<i>A</i>1;<i>B</i>1;C1
¢
=¡
<i>kA</i>2;kB2;<i>kC</i>2
¢
.
Nhân<i>k</i>vào hai vế của phương trình (<i>α2</i>)ta được
<i>kA</i>2<i>x</i>+<i>kB</i>2<i>y</i>+<i>kC</i>2<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
⇔<i>A</i>1<i>x</i>+<i>B</i>1<i>y</i>+<i>C</i>1<i>z</i>+<i>kD</i>2=0
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n2</i>
<i>α</i>2
(<i>α1</i>)<sub>∥</sub>(<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>16=<i>kD</i>2
⇔ <i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
6=<i>D</i>1
<i>D</i>2
, qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
</div>
<span class='text_page_counter'>(135)</span><div class='page_container' data-page=135>
<b>2. Hai mặt trùng nhau</b>
(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>)
⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>1=<i>kD</i>2
⇔<i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
=<i>D</i>1
<i>D</i>2
,
qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0
<i>D</i>2=0⇔<i>D</i>1=0.
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1 # »
<i>n2</i>
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n</i>2
<i>α</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(136)</span><div class='page_container' data-page=136>
<b>2. Hai mặt trùng nhau</b>
(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>1=<i>kD</i>2
⇔<i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
=<i>D</i>1
<i>D</i>2
,
qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0
<i>D</i>2=0⇔<i>D</i>1=0.
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1 # »
<i>n2</i>
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n</i>2
<i>α</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(137)</span><div class='page_container' data-page=137>
<b>2. Hai mặt trùng nhau</b>
(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>1=<i>kD</i>2
⇔<i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
=<i>D</i>1
<i>D</i>2
,
qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0
<i>D</i>2=0⇔<i>D</i>1=0.
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1 # »
<i>n2</i>
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n</i>2
<i>α</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(138)</span><div class='page_container' data-page=138>
<b>2. Hai mặt trùng nhau</b>
(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>)⇔
½<i><sub>n</sub></i># »
1=<i>kn</i># »2
<i>D</i>1=<i>kD</i>2
⇔<i>A</i>1
<i>A</i>2
=<i>B</i>1
<i>B</i>2
=<i>C</i>1
<i>C</i>2
=<i>D</i>1
<i>D</i>2
,
qui ước
<i>A</i>2=0⇔<i>A</i>1=0
<i>B</i>2=0⇔<i>B</i>1=0
<i>C</i>2=0⇔<i>C</i>1=0
<i>D</i>2=0⇔<i>D</i>1=0.
<i>α</i>1
# »
<i>n</i>1 # »
<i>n2</i>
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n</i>2
<i>α</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(139)</span><div class='page_container' data-page=139>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(140)</span><div class='page_container' data-page=140>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng qt của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(141)</span><div class='page_container' data-page=141>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q).
Ta có
#»
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng qt của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(142)</span><div class='page_container' data-page=142>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3).
Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng qt của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(143)</span><div class='page_container' data-page=143>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0
⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(144)</span><div class='page_container' data-page=144>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng qt của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(145)</span><div class='page_container' data-page=145>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng qt của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(146)</span><div class='page_container' data-page=146>
<b>Ví dụ 12.</b>
(Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Trong không gian<i>Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm</i>
<i>A(2;</i>−1;2)và song song với mặt phẳng (P) :2x−<i>y</i>+3z+2=0 có phương trình là
<b>A.</b>2x−<i>y</i>+3z−9=0. <b>B.</b>2x−<i>y</i>+3z+11=0.
<b>C.</b>2x−<i>y</i>−3z+11=0. <b>D.</b>2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<b>Lời giải</b>
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua <i>A</i> song song với mặt phẳng (P).
Vì<sub>#»</sub> (P)∥(Q) nên vtpt #»<i>nP</i> của (P) cũng là vtpt của (Q). Ta có
<i>nP</i>=(2;−1;3). Mặt phẳng(Q)có phương trình:
2(x−2)−1(y+1)+3(z−2)=0⇔2x−<i>y</i>+3z−11=0.
Vậy phương trình tổng quát của(Q)là 2x−<i>y</i>+3z−11=0.
<i>P</i>
<i>A</i>
#»
<i>nP</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(147)</span><div class='page_container' data-page=147>
<b>3. Hai mặt phẳng cắt nhau</b>
(<i>α1</i>)cắt(<i>α2</i>)
⇔<i>n</i># »16=<i>kn</i># »2
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n</i>2
<i>α</i>2 <i>α</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(148)</span><div class='page_container' data-page=148>
<b>3. Hai mặt phẳng cắt nhau</b>
(<i>α1</i>)cắt(<i>α2</i>)⇔<i>n</i># »16=<i>kn</i># »2
# »
<i>n</i>1
# »
<i>n</i>2
<i>α</i>2 <i>α</i>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(149)</span><div class='page_container' data-page=149>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(150)</span><div class='page_container' data-page=150>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(151)</span><div class='page_container' data-page=151>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4
=−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(152)</span><div class='page_container' data-page=152>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2
=4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(153)</span><div class='page_container' data-page=153>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8
suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(154)</span><div class='page_container' data-page=154>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(155)</span><div class='page_container' data-page=155>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3
= 1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(156)</span><div class='page_container' data-page=156>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−3
6=−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(157)</span><div class='page_container' data-page=157>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6
suy ra¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(158)</span><div class='page_container' data-page=158>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(159)</span><div class='page_container' data-page=159>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
4
6= 1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(160)</span><div class='page_container' data-page=160>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1
suy ra¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(161)</span><div class='page_container' data-page=161>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
, nên mệnh đề<i>R</i> đúng.
</div>
<span class='text_page_counter'>(162)</span><div class='page_container' data-page=162>
<b>Ví dụ 13.</b>
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề<i>P</i>:“(<i>α1</i>) :<i>x</i>+2y−<i>z</i>+4=0 song song với(<i>α2</i>) :2x+4y−2z+8=0”.
Mệnh đề<i>Q</i>:“¡
<i>β1</i>¢
:3x−<i>y</i>+<i>z</i>−2=0 trùng với¡
<i>β2</i>¢
: −9x+3y−3z−6=0”.
Mệnh đề<i>R</i>:“¡
<i>γ1</i>¢
:2x+<i>y</i>−1=0 cắt¡
<i>γ2</i>¢
:4x−<i>y</i>+<i>z</i>−3=0”.
<b>Lời giải</b>
Xét mệnh đề<i>P:</i> 1
2=
2
4=
−1
−2=
4
8 suy ra(<i>α1</i>)≡ (<i>α2</i>), nên mệnh đề<i>P</i>sai.
Xét mệnh đề<i>Q:</i> 3
−9=
−1
3 =
1
−36=
−2
−6 suy ra
¡
<i>β1</i>¢
∥ ¡<i>β2</i>¢, nên mệnh đề<i>Q</i>sai.
Xét mệnh đề<i>R:</i> 2
46=
1
−1 suy ra
¡
<i>γ1</i>¢
cắt¡
<i>γ2</i>¢
</div>
<span class='text_page_counter'>(163)</span><div class='page_container' data-page=163>
<b>Hai mặt phẳng vng góc</b>
(<i>α1</i>)⊥(<i>α2</i>)
⇔<i>n</i># »1⊥<i>n</i># »2⇔<i>n</i># »1·<i>n</i># »2=0.
# »
<i>n</i>1
# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(164)</span><div class='page_container' data-page=164>
<b>Hai mặt phẳng vng góc</b>
(<i>α1</i>)⊥(<i>α2</i>)⇔<i>n</i># »1⊥<i>n</i># »2
⇔<i>n</i># »1·<i>n</i># »2=0.
# »
<i>n</i>1
# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(165)</span><div class='page_container' data-page=165>
<b>Hai mặt phẳng vuông góc</b>
(<i>α1</i>)⊥(<i>α2</i>)⇔<i>n</i># »1⊥<i>n</i># »2⇔<i>n</i># »1·<i>n</i># »2=0.
# »
<i>n</i>1
# »
</div>
<span class='text_page_counter'>(166)</span><div class='page_container' data-page=166>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;m+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(167)</span><div class='page_container' data-page=167>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;m+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(168)</span><div class='page_container' data-page=168>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(169)</span><div class='page_container' data-page=169>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(170)</span><div class='page_container' data-page=170>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2
⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(171)</span><div class='page_container' data-page=171>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0
</div>
<span class='text_page_counter'>(172)</span><div class='page_container' data-page=172>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0
⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(173)</span><div class='page_container' data-page=173>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0
⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(174)</span><div class='page_container' data-page=174>
<b>Ví dụ 14.</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i> (P) :<i>x</i>+(m+1)y−2z+<i>m</i>=0 và
(Q) : 2x−<i>y</i>+3=0, với<i>m</i>là tham số thực. Tìm<i>m</i>để(P)và (Q)vng góc với
nhau.
<b>A.</b><i>m</i>= −5. <b>B.</b><i>m</i>=1. <b>C.</b><i>m</i>=3. <b>D.</b><i>m</i>= −1.
<b>Lời giải</b>
Mặt phẳng(P)có vtpt là #»<i>n</i>1=(1;<i>m</i>+1;−2).
Mặt phẳng(Q)có vtpt là #»<i>n</i>2=(2;−1;0).
(P)⊥(Q)⇔#»<i>n</i>1⊥#»<i>n</i>2⇔ #»<i>n</i>1·#»<i>n</i>2=0⇔1·2+(m+1)·(−1)+(−2)·0=0⇔1−<i>m</i>=0⇔<i>m</i>=1.
</div>
<span class='text_page_counter'>(175)</span><div class='page_container' data-page=175></div>
<span class='text_page_counter'>(176)</span><div class='page_container' data-page=176>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;<i>C)</i>cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(177)</span><div class='page_container' data-page=177>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;<i>C)</i>cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(178)</span><div class='page_container' data-page=178>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;<i>C)</i>cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(179)</span><div class='page_container' data-page=179>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>).
Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;<i>C)</i>cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(180)</span><div class='page_container' data-page=180>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương
nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(181)</span><div class='page_container' data-page=181>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯
=¯¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(182)</span><div class='page_container' data-page=182>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(183)</span><div class='page_container' data-page=183>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(184)</span><div class='page_container' data-page=184>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0
⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(185)</span><div class='page_container' data-page=185>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(186)</span><div class='page_container' data-page=186>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(187)</span><div class='page_container' data-page=187>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(188)</span><div class='page_container' data-page=188>
<b>Định lí</b>
Trong khơng gian<i>Oxyz, cho</i>(<i>α</i>) :<i>Ax</i>+<i>By</i>+<i>Cz</i>+<i>D</i>=0 và điểm<i>M</i>0
¡
<i>x</i>0;y0;<i>z</i>0
¢
.
Khoảng cách từ<i>M</i>0 đến(<i>α</i>), kí hiệu d(M0,<i>α</i>)được tính theo cơng thức
d(M0,<i>α</i>)=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 . <b>Chứng minh</b>
Gọi<i>M</i>1
¡
<i>x</i>1;y1;z1
¢
là hình chiếu của<i>M</i>0 lên(<i>α</i>). Ta thấy
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0=
¡
<i>x</i>0−<i>x</i>1;<i>y</i>0−<i>y</i>1;<i>z</i>0−<i>z</i>1
¢
, #»<i>n</i>=(A;B;C)cùng phương nên
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0.#»<i>n</i>
¯
¯
¯=
¯
¯<i>A(x</i><sub>0</sub>−<i>x</i><sub>1</sub>)+<i>B</i>
¡
<i>y</i>0−<i>y</i>1
¢
+<i>C</i>(z0−<i>z</i>1)
¯
¯
=¯¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+
¡
−<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1
¢¯
¯.
Vì<i>M</i>1∈(<i>α</i>)nên<i>Ax</i>1+<i>By</i>1+<i>Cz</i>1+<i>D</i>=0⇒<i>D</i>= −<i>Ax</i>1−<i>By</i>1−<i>Cz</i>1.
Từ đó ta được¯¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯·
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
⇒
¯
¯
¯
# »
<i>M</i>1<i>M</i>0
¯
¯
¯=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
¯
¯#»<i>n</i>
¯
¯
⇒d(M0, (<i>α</i>))=
¯
¯<i>Ax</i><sub>0</sub>+<i>By</i><sub>0</sub>+<i>Cz</i><sub>0</sub>+<i>D</i>
¯
¯
p
<i>A</i>2<sub>+</sub><i><sub>B</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>C</sub></i>2 .
<i>α</i>
#»
<i>n</i>
<i>M</i>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(189)</span><div class='page_container' data-page=189>
<b>Ví dụ 15.</b>
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) :3x+4y+2z+4=0 và điểm<i>A(1;</i>−2;3). Tính khoảng cách d từ<i>A</i>đến (P).
<b>A.</b><i>d</i>=5
9. <b>B.</b><i>d</i>=
5
29. <b>C.</b><i>d</i>=
5
p
29. <b>D.</b><i>d</i>=
p
5
3 .
<b>Lời giải</b>
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
5
p
</div>
<span class='text_page_counter'>(190)</span><div class='page_container' data-page=190>
<b>Ví dụ 15.</b>
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) :3x+4y+2z+4=0 và điểm<i>A(1;</i>−2;3). Tính khoảng cách d từ<i>A</i>đến (P).
<b>A.</b><i>d</i>=5
9. <b>B.</b><i>d</i>=
5
29. <b>C.</b><i>d</i>=
5
p
29. <b>D.</b><i>d</i>=
p
5
3 .
<b>Lời giải</b>
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
5
p
</div>
<span class='text_page_counter'>(191)</span><div class='page_container' data-page=191>
<b>Ví dụ 15.</b>
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) :3x+4y+2z+4=0 và điểm<i>A(1;</i>−2;3). Tính khoảng cách d từ<i>A</i>đến (P).
<b>A.</b><i>d</i>=5
9. <b>B.</b><i>d</i>=
5
29. <b>C.</b><i>d</i>=
5
p
29. <b>D.</b><i>d</i>=
p
5
3 .
<b>Lời giải</b>
Ta có d(A; (P))
=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
5
p
</div>
<span class='text_page_counter'>(192)</span><div class='page_container' data-page=192>
<b>Ví dụ 15.</b>
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong khơng gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) :3x+4y+2z+4=0 và điểm<i>A(1;</i>−2;3). Tính khoảng cách d từ<i>A</i>đến (P).
<b>A.</b><i>d</i>=5
9. <b>B.</b><i>d</i>=
5
29. <b>C.</b><i>d</i>=
5
p
29. <b>D.</b><i>d</i>=
p
5
3 .
<b>Lời giải</b>
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2
=p5
</div>
<span class='text_page_counter'>(193)</span><div class='page_container' data-page=193>
<b>Ví dụ 15.</b>
(Đề minh họa - THPT.QG 2017) Trong không gian<i>Oxyz, cho mặt phẳng</i>
(P) :3x+4y+2z+4=0 và điểm<i>A(1;</i>−2;3). Tính khoảng cách d từ<i>A</i>đến (P).
<b>A.</b><i>d</i>=5
9. <b>B.</b><i>d</i>=
5
29. <b>C.</b><i>d</i>=
5
p
29. <b>D.</b><i>d</i>=
p
5
3 .
<b>Lời giải</b>
Ta có d(A; (P))=|3.1p+4.(−2)+2.3+4|
32<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
5
p
</div>
<span class='text_page_counter'>(194)</span><div class='page_container' data-page=194>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q). Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(195)</span><div class='page_container' data-page=195>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong khơng gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q).
Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(196)</span><div class='page_container' data-page=196>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong khơng gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q). Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(197)</span><div class='page_container' data-page=197>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong khơng gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q). Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(198)</span><div class='page_container' data-page=198>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q). Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(199)</span><div class='page_container' data-page=199>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q). Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2
=7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
<i>Q</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(200)</span><div class='page_container' data-page=200>
<b>Ví dụ 16.</b>
(Đề minh họa THPTQG 2018) Trong không gian<i>Oxyz</i>khoảng cách giữa hai
mặt phẳng(P) :<i>x</i>+2y+2z−10=0 và(Q) :<i>x</i>+2y+2z−3=0 bằng
<b>A.</b> 8
3. <b>B.</b>
7
3. <b>C.</b>3. <b>D.</b>
4
3.
<b>Lời giải</b>
Ta thấy (P)<sub>∥</sub>(Q). Trên (P) lấy <i>M(0;0;5). Khi đó, khoảng</i>
cách giữa hai mặt phẳng(P)và(Q)là:
d¡
(P), (Q)¢
=d¡
<i>M, (Q)</i>¢
=|0p+2·0+2·5−3|
12<sub>+</sub><sub>2</sub>2<sub>+</sub><sub>2</sub>2 =
7
3.
<i>P</i>
<i>M</i>
<i>Q</i>
</div>
<!--links-->
