<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỂ TOÁN LŨY THỪA</b>

<b>I.</b> <b>NỘI DUNG CHÍNH</b>

<b>1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản</b>
<b>2. Kiến thức mở rộng, nâng cao</b>

<b>3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải</b>
<b> 3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết</b>

3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa
3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa
3.1.3. Một số trường hợp khác

<b> 3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa</b>

3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng
3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng
3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên

<b> 3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa</b>

<b> 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa</b>
<b> 3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừ</b>

<b>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ</b>
<b>1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản</b>

Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, các em học sinh cần phải hiểu, nhớ các
công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến
nâng cao.

<b>a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên:</b>
an₌    

<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>. ...

(n  N*₎
n thừa số

<b>b) Một số tính chất:</b>

<b>Với a, b, m, n </b><b> N</b>

 am. an = am+n,

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

 (a.b)m = am. bm (m ≠ 0)
 (am)n = am.n (m,n ≠ 0)
 am. an . ap = am+n+p (p  N)

<b>Quy ước: </b>

 a1 = a

 a0 = 1 (a ≠ 0)

<b>Với : x, y </b><b> Q; m, n </b><b> N; a, b </b><b> Z</b>
 xn =


 
<i>x</i>.<i>x</i>...<i>x</i>

(x  N*₎
n thừa số

 <i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>









(b ≠ 0, n ≠ 0)
 xo = 1

 xm . xn = xm+n



m

m n
n

x
x
x





(x ≠ 0)
 x-n = <i>xn</i>

1

(x ≠ 0)
 (xm)n = xm.n
 (x.y)m = xm. ym



n _n

n

x x

y y

 

 

  _(y_{≠ 0)}
<b>2. Kiến thức mở rộng, nâng cao</b>

Đây là các kiến thức không được giới thiệu trong sách giáo khoa toán 7 nhưng
khi giải các bài tập nâng cao thì cần phải có những kiến thức này.

<b>Với mọi x, y, z </b><b> Q:</b>

 x < y <=> x + z < y + z

 Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z
 z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z

<b>Với x </b><b> Q, n </b><b> N: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Với a, b </b><b> Q: </b>

 a > b > 0 => an > bn
 a > b <=> a2n +1 > b2n + 1
 a > 1, m > n > 0 => am > an
 0 < a < 1, m > n > 0 => am < an
<b>3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải</b>

<b>3.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết</b>

<b>3.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa</b>
Phương pháp chung: Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ.

<b> Bài 1. Tìm x biết rằng:</b>

a) x3_{= -27} _{b) (2x – 1)}3_{= 8}
c) (x – 2)2_{= 16} _{d) (2x – 3)}2_{= 9}

<b>Phương pháp giải</b>

Đối với những bài toán dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản
là có thể dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) và câu b), biểu thức có số mũ lẻ thì ta áp
dụng cơng thức tổng qt: A2n + 1_{= B}2n + 1

 A = B

a) x3_{= -27}  _{b) (2x – 1)}3_{= 8}
_ x3 _{= (-3)}3 

 (2x – 1)3_{= 2}3
_ x = -3 _ 2x – 1 = 2

Vậy x = - 3 _ 2x = 2 + 1
_ 2x = 3

_ x =
3
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Còn đối với câu c) và câu d) thì biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công
thức tổng quát: A2n_{= B}2n

 A = B hoặc A = -B
c) (2x – 3)2_{= 9 => (2x – 3)}2_{= (-3)}2_{= 3}2

<b>2</b> <b>3 3</b> <b>3</b>

<b>2</b> <b>3</b> <b>3</b> <b>0</b>

<i><b>x</b></i> <i><b>x</b></i>
<i><b>x</b></i> <i><b>x</b></i>
  
 
 _  _
  

  _{. Vậy x = 3 hoặc x = 0.}

d) (x - 2)2_{= 16 => (x - 2)}2_{= (-4)}2_{= 4}2

x 2 4 x 2

x 2 4 x 6

  

 

 _  _

  

  _{. Vậy x = -2 hoặc x = 6}

<b> Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết: x2_{= x}5</b>

<b>Phương pháp giải</b>

Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này khơng tránh khỏi
băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác
nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ “tìm mò” được x = 0 hoặc x = 1,
nhưng cách này sẽ khơng thuyết phục lắm bởi biết đâu cịn số x thỏa mãn đề bài thì
sao ?

<b>Giáo viên có thể gợi ý:</b>

x2_{= x}5

 x5_{– x}2_{= 0}

 x2_.(x3_{- 1) = 0 =>}_




0
1
0

3
2
<i>x</i>
<i>x</i>

=> 



1
0
3
<i>x</i>
<i>x</i>

=> 



1
0
<i>x</i>
<i>x</i>

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau:

<b> Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10_{= (3y - 1)}20_(*)</b>
<b>Phương pháp giải </b>

<b>Hướng dẫn:</b> Đặt 3y – 1 = x. Khi đó (*) trở thành: x10_{= x}20

Giải tương tự bài 2 ở trên ta được: _




0
1
0
10
10
<i>x</i>
<i>x</i>

=>



1
0
10
<i>x</i>
<i>x</i>

=> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm
y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y.

 Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0  3y = 1  y = 3

1

 Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1  3y = 2  y = 3
2

 Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1  3y = 0  y = 0
Vậy y = 3

1
; 3

2
; 0

<b> Bài 3. Tìm x biết: (x - 5)2_{= (1 – 3x)}2</b>

<b>Phương pháp giải</b>

Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đã có số mũ đã biết giống nhau nhưng
cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình phương của hai
lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau.

Ta có: (x - 5)2_{= (1 – 3x)}2

3
x 5 1 3x x

2

x 5 3x 1 _x ₂



   

 _

 _ 


  

 _



<b> Bài 4. Tìm x và y biết: (3x - 5)100_{+ (2y + 1)}200</b> _<b>_{0 (*)}</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa khơng giống nhau, lại phải
tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “ ”, thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của

giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5)100_{và (2y +1)}200
với 0.

Ta thấy: (3x - 5)100 __0,__x__Q
(2y +1)200 __0,__x__Q

=> Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, khơng thể nhỏ hơn 0.
Vậy: (3x - 5)100_{+ (2y + 1)}200_{= 0 khi}

(3x - 5)100_{= (2y + 1)}200_{= 0}
=> 3x – 5 = 2y + 1 = 0

 x = 3
5

và y = 2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b> Bài 5. Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2_{+ 2(y – 3)}2_{< 3}</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2 __0,__x__Z(1)
2(y – 3)2 __0,__x__Z(2)

Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 3 ”, học sinh khơng biết làm thế nào. Giáo viên có thể
gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2)2_{+ 2(y – 3)}2_{< 3 thì chỉ có thể xảy ra những}
trường hợp sau:

 Trường hợp 1: (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 0

x 2

y 3


 





 Trường hợp 2: (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 1

x 2

y 4
y 2



  



 _



 

 Trường hợp 3: (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 0

x 1

x 3

y 3
 


 _ 

 _


 Trường hợp 4: (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1

x 1

x 3

y 4
y 2
 




 






 _



 

Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là :

x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3

y 3 4 2 3 3 4 2

Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ
sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau:

<b>1) Tìm x biết:</b>

a) (2x – 1)4_{= 81} _{b) (x -2)}2_{= 1}
c) (x - 1)5_{= - 32} _{d) (4x - 3)}3_{= -125}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) y200_{= y} _{b) y}2008_{= y}2010
c) (2y - 1)50_{= 2y – 1} _{d) (}₃

<i>y</i>

-5 )2000_{= (}₃
<i>y</i>

-5 )2008

<b>3) Tìm a, b, c biết :</b>

a) (2a + 1)2_{+ (b + 3)}4_{+ (5c - 6)}2 _₀
b) (a - 7)2_{+ (3b + 2)}2_{+ (4c - 5)}6 _₀
c) (12a - 9)2_{+ (8b + 1)}4_{+ (c +19)}6 _₀

d) (7b -3)4_{+ (21a - 6)}4_{+ (18c +5)}6 _₀

<b> 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.</b>
Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số

<b> Bài 1. Tìm n </b><b> N, biết: </b>

a) 2008n_{= 1} _{c) 32}-n_{. 16}n_{= 1024}
b) 5n_{+ 5}n+2_{= 650} _{d) 3}-1_.3n_{+ 5.3}n-1_{= 162}

<b>Phương pháp giải</b>
Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a.
a) 2008n_{= 1}

 2008n_{= 2008}0

 n = 0

Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có
cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên:

b) 5n_{+ 5}n+2_{= 650}
 5n_{+ 5}n_.52_{= 650}
 5n_{.(1 + 25) = 650}

 5n_{= 650 : 26}
 5n_{= 25 = 5}2
 n = 2

Theo hướng làm câu b) học sinh biết ngay cách làm câu c) và d).
c) 32-n_{. 16}n_{= 1024}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

d) 3-1_.3n_{+ 5.3}n-1_{= 162}
 3n-1_{+ 5 . 3}n-1_{= 162}
 6 . 3n - 1_{= 162}
 3n-1_{= 27 = 3}3
 n – 1 = 3
 n = 4

<b> Bài 2. Tìm hai số tự nhiên m, n biết: </b>2m_{+ 2}n_{= 2}m+n

<b>Phương pháp giải</b>

Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, khơng biết phải làm như thế nào để
tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý :

2m_{+ 2}n_{= 2}m+n
 2m+n_{– 2}m_{– 2}n_{= 0}
 2m_.2n_{- 2}m_{- 2}n_{+ 1 = 1}
 2m₍₂n_{- 1) – (2}n_{- 1) = 1}
 (2m_{- 1)(2}n_{- 1) = 1 (*)}
Vì 2m __{1, 2}n __1,__{m, n}__N

Nên từ (*) => 











1
1
2

1
1
2

<i>n</i>
<i>m</i>

=> 







2
2

2
2

<i>n</i>
<i>m</i>

=> 





1
1

<i>n</i>
<i>m</i>

. Vậy: m = n = 1

<b> Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho: </b>a) 3 < 3n _₂₃₄
b) 8.16  2n  4
<b>Phương pháp giải</b>

Đây là dạng tốn tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng
dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số.

a) 3 < 3n _₂₃₄

 31_{< 3}n _₃5_{=> n}_



2;3;4;5



b) 8.16  2n  4  23.24  2n  22 27  2n  22 => n 



2;3;4;5;6;7



<b> Bài 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng: </b>415_{. 9}15_{< 2}n_{. 3}n_{< 18}16_{. 2}16

<b>Phương pháp giải</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

415_{. 9}15_{< 2}n_{. 3}n_{< 18}16_{. 2}16
 (4. 9)15_{< (2.3)}n_{< (18.2)}16
 3615_{< 6}n_{< 36}16

_ 630_{< 6}n_{< 6}32_{=> n = 31}

Bây giờ, học sinh khơng những biết làm các bài tốn tương tự mà cịn có thể tự
ra các bài tốn dạng tương tự.

<b>1) Tìm các số nguyên n sao cho:</b>

a) 9 . 27n_{= 3}5 _{b) (2}3 _{: 4) . 2}n_{= 4}
c) 3-2_{. 3}4_{. 3}n_{= 3}7 _{d) 2}-1_{. 2}n_{+ 4. 2}n_{= 9. 2}5

<b>2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:</b>

a) 125.5  5n  5.25 b) (n54)2 = n

c) 243  3n  9.27 d) 2n+3. 2n =144

<b>3) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:</b>

a) 2x+1_{. 3}y_{= 12}x _{b) 10}x _{: 5}y_{= 20}y

<b>4) Tìm số tự nhiên n biết rằng :</b>

a) 411_{. 25}11 _₂n_{. 5}n _₂₀12_.512
b)

<i>n</i>

2
2

2

6
6
6
6
6
6
.
3
3
3

4
4
4
4

5
5

5
5
5
5
5
5
5
5
5

5
5
5
5

















<b>Phương pháp giải</b>
3) a) 2x+1_{. 3}y_{= 12}x

2x+1_{. 3}y_{= 2}2x_.3x

 1

2

2
2
3
3



 <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

3y-x_{= 2}x-1

 y - x = x - 1 = 0 _ y = x = 1
b) 10x _{: 5}y_{= 20}y

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

4) b)
<i>n</i>
2
2
2
6
6
6
6
6
6
.
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5

5
5
5
5
5













<i>n</i>
2
2
.
2
6
.
6
.
3
.
3

4
.
4
5
5
5
5


<i>n</i>
2
2
6
.
3
4
6
6
6
6


 46_{= 2}n

 212_{= 2}n

 n = 12
<b>3.1.3. Một số trường hợp khác</b>

<b>Bài 1. Tìm x biết:</b> (x - 1) x+2_{= (x - 1)}x+4 ₍₁₎

<b>Phương pháp giải</b>

Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả
trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải. Nhưng chúng ta có
thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau:

Đặt x - 1 = y ta có: x + 2 = y + 3
_ x + 4 = y + 5
Khi đó (1) trở thành: yy+3_{= y}y+5

_ yy+5_{- y}y+3_{= 0}
_ yy+3_(y2_{– 1) = 0}

_

y 3
2

y 0

y 1 0



 



 



* Nếu: yy+3_{= 0 => y = 0 Khi đó: x – 1 = 0}

 x = 1.
* Nếu: y2_{– 1 = 0}

 y2_{= (±1)}2

y 1
y 1


 


Với y = 1 ta có: x – 1 = 1 _ x = 2
Với y = -1 ta có: x – 1 = -1 _ x = 0
Vậy: x 



0;1;2



<b>Bài 2. Tìm x biết: </b>x(6 - x)2003_{= (6 - x)}2003

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngồi (khơng phải ở trong số
mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo
viên hướng dẫn.

x. (6 - x)2003_{= (6 - x)}2003
 x. (6 - x)2003_{- (6 - x)}2003_{= 0}
 (6 - x)2003_{(x - 1) = 0}











2003

6 x 0

x 1 0

 _ _



 


Nếu (6 - x)2003 _{= 0}

 (6 - x) = 0 _ x = 6
Nếu (x - 1) = 0 _ x = 1

Vậy: x 

 

1;6

<b> Bài 3. Tìm các số tự nhiên a, b biết: </b> a) 2a_{+ 124 = 5}b
b) 10a_{+ 168 = b}2

<b>Phương pháp giải</b>

Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con
đường bế tắc khơng có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào ? Ta
cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải
bài toán này:

a) 2a_{+ 124 = 5}b₍₁₎

Xét a = 0, khi đó (1) trở thành:
20_{+ 124 = 5}b

 5b_{= 125}
 5b _{= 5}3

Do đó a = 0 và b = 3

Xét a  1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số

lẻ với mọi a  1, a, b  N, điều này vô lí.

Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3.
b) 10a_{+ 168 = b}2₍₂₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Xét a = 0: khi đó (2) trở thành:
100_{+ 168 = b}2

169 = b2

 (±13)2 _{= b}2_{=> b = 13 (vì b}__N)
Do đó a = 0 và b = 13.

Xét a  1:

Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a  1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên

suy ra 10a_{+ 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b}2_{có chữ số tận cùng là 8. Điều}
này vô lý.

Vậy: a = 0 và b = 13.

Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:

<b> Tìm các số tự nhiên a, b để:</b>

a) 3a_{+ 9b = 183}
b) 5a_{+ 323 = b}2
c) 2a_{+ 342 = 7}b
d) 2a_{+ 80 = 3}b

<b>3.2. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa</b>
<b>3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng</b>

Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau:

 Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.

 Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận
cùng là một trong các chữ số đó.

 <b>Lưu ý:</b> những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ

số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những
số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là
1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.

 <b>Chú ý:</b> 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b> Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: </b>

<b>20002008_{; 1111}2008_{; 98765}4321_{; 2046}81012</b>

Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án:
 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0

 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.

<b> Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:</b>

20072008_{; 1358}2008_{; 2}3456_{; 52}35_{; 204}208_{; 2003}2005_;
999; 4567

; 996_{; 8}1975_{; 2007}2007_{; 1023}1024_.

<b>Phương pháp giải </b>

Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1;
5; 6.

 20072008 = (20074)502 = (...1)502 = ...1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1.

 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ...1. 1357 = ...7 =>13 5725 có chữ số
tận cùng là 7.

 20072007 = 20072004. 20073 = (20074)501. ...3 = (...1)501. ...3
= ...1_....3 _{=> 2007}2007_{có chữ số tận cùng là 3.}
 23456 = (24)864 = 16864 = ...6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 .

 5235 = 5232. 523 = (524)8. ...8 = (...6)8 . ...8 = ...6. ...8 = ...8 => 5235 có
chữ số tận cùng là 8.

 10231024 = (10234)256 = (...1)256 = ...1 =>10231024 có chữ số tận cùng là 1.
 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ...1)501. 2003 = ...1 . 2003 =>

20032005_{có chữ số tận cùng là 3.}

 204208 = (2042)104 = (...6)104 = ...6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6.
Ta thấy 567là một số lẻ nên ₄567

có chữ số tận cùng là 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 996 = (94)24 =(...1)24 = ...1 => 996 có chữ số tận cùng là 1.
Ta thấy 99_{là một số lẻ nên}999_{có chữ số tận cùng là 9.}

<b> Bài 3. Cho A = 172008_{– 11}2008_{– 3}2008_{. Tìm chữ số hàng đơn vị của A.}</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Đây là dạng tốn tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng
của tong số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.

Tìm chữ số tận cùng của 172008_{; 11}2008_{; 3}2008_{ta có:}

A = 172008_{– 11}2008_{– 3}2008₌_...₁_-_...₁_-_...₁₌_...₀_-_...₁₌_...₉
Vậy A có chữ số tận cùng là 9.

<b> Bài 4 : Cho M = 1725_{+ 24}4_{– 13}21_{. Chứng tỏ rằng: M}</b>_<b>₁₀</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M

_{10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0.}

1725_{= 17}24_{.17 = (17}4₎6_{. 17 = (}_...₁₎6_{.17 =}_...₁_{.17 =}_...₇
244_{= (24}2₎2_{= 576}2₌_...₆

1321_{= (13}4₎5_{.13 = (}_...₁₎5_{.13 =}_...₁_{. 13 =}_...₃
Vậy M = ...7₊...6_-...3₌...0_{=> M}₁₀

Đến đây, sau khi làm bài 2) bài 3) giáo viên có thể cho học sinh làm các bài
tốn tổng qt sau:

<b> Bài 5. Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:</b>

a) A = 24n_{– 5 (n}

 N, n ≥ 1)

b) B = 24n + 2_{+ 1 (n}
 N)

c) C = 74n _{– 1 (n}__N)

<b>Hướng dẫn:</b>

a) Ta có: 24n_{= (2}4₎n_{= 16}n_{có chữ số tận cùng bằng 6.}
=> 24n_{– 5 có chữ số tận cùng bằng 1.}

b) B = 24n + 2 _{+ 1 (n}__N)

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

=> B = 24n + 2 _{+ 1 có chữ số tận cùng là 5.}
c) C = 74n _{– 1}

Ta có 74n _{= (7}4₎n _{= (2401)}n_{có chữ số tận cùng là 1.}
Vậy 74n _{– 1 có chữ số tận cùng bằng 0.}

<b> Bài 6. Chứng tỏ rằng, các số có dạng:</b>

a) A = 22 1



<i>n</i>

chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2)

b) B = 24 4



<i>n</i>

chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1)

c) H = 92<i>n</i> 3_{chia hết cho 2 (n} N, n ≥ 1)

<b>Phương pháp giải</b>

Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả
2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5,
nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa ₂2<i>n</i>_,₂4<i>n</i>_,₉2<i>n</i> _học

sinh khơng biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: <b>22</b><i><b>n</b></i> <b>22</b><i><b>n</b></i>_;24<i>n</i> 24<i>n</i>

; 92<i>n</i> 92<i>n</i>_…

Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau:
a) Với n  N, n ≥ 2, ta có :

<i>n</i>

2

2 ₌

 

2

2
2

2_.₂ ₄ 2 ₂

2 ₂ ₁₆

2   



 <i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

có chữ số tận cùng là 6.
=> A = 22 1



<i>n</i>

có chữ số tận cùng là 5. Vậy A ₅

b) Với n  N, n ≥ 1, ta có :

<i>n</i>

4

2 ₌

 

1

1

1 ₄ 4 ₄

4
.

4 ₂ ₁₆

2   



 <i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

có chữ số tận cùng là 6.
=> B =24 4



<i>n</i>

có chữ số tận cùng là 0. Vậy B ₁₀

c) Với n  N, n ≥ 1, ta có :

<i>n</i>

2

9 ₌₉2.21

 

₉2 21 ₈₁21



 <i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

có chữ số tận cùng là 1
=> H = 92<i>n</i> 3_{có tận cùng là 4. Vậy H}₂

<b>Bài tập luyện tập :</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

22222003_; ₂₀₀₈2004_; ₂₀₀₅2005_; ₂₀₀₆2006 _{; 999}2003_; 
20042004_; ₇₇₇₇2005_; ₁₁₁2006_; ₂₀₀₀2000_; ₂₀₀₃2005_.

<b>2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n</b>

a) 34n + 1_{+ 2 chia hết cho 5}
b) 24n + 1_{+ 3 chia hết cho 5}
c) 92n + 1_{+ 1 chia hết cho 10}

<b>3) Chứng tỏ rằng các số có dạng:</b>

a)₂2<i>n</i>_{+ 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n}

 N, n ≥ 2)

b) 24 1



<i>n</i>

có chữ số tận cùng bằng 7 (n  N, n ≥ 1)

c) 32<i>n</i>+ 4 chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2)

d) 34<i>n</i>- 1 chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1)

<b>4) Tìm chữ số hàng đơn vị của:</b>

a) A = 66661111_{+ 1111}1111_{- 66}5555
b) B = 10n_{+ 555}n_{+ 666}n

c) H = 99992n_{+ 999}2n+1_{+ 10}n_(n
 N*)

d) E = 20084n_{+ 2009}4n_{+ 2007}4n_(n
 N*)

<b>5) Trong các số sau số nào chia hết cho 2, cho 5, cho 10?</b>

a) 34n+1_{+ 1 (n}
 N)

b) 24n+1_{- 2 (n}__N)

c) ₂2<i>n</i>

+ 4 (n  N, n ≥ 2)

d) 94<i>n</i> - 6 (n  N, n ≥ 1)

<b>6) Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2_{+ 1}</b>_<b>₅</b>

<b>7) Tìm số tự nhiên n để n10_{+ 1}</b>_<b>₁₀</b>

<b>8) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n thì:</b>

a) 3n+2_{– 2}n+2_{+ 3}n_{– 2}n __{10 (n > 1)}
b) 3n+3_{+ 2}n+3_{+ 3}n+1_{+ 2}n+2 _₆

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

6) a2_{+ 1}__{5 => a}2_{+ 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.}
=> a2_{phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4.}

=> a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8.
7) n10_{+ 1}__{10 => n}10_{+ 1 phải có chữ số tận cùng là 0.}

=> n10_{= (n}2₎5_{phải có chữ số tận cùng là 9.}
=> n2_{phải có chữ số tận cùng là 9.}

=> n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7.
8) a) 3n+2_{– 2}n+2_{+ 3}n_{– 2}n_{= 3}n_{. (3}2 _{+ 1) – 2}n-1_{.( 2}3_{+ 2)}
= 3n_{. 10 – 2}n-1_{. 10}

= 10 . (3n_{– 2}n-1₎__10,__n__N
b) 3n+3_{+ 2}n+3_{+ 3}n+1_{+ 2}n+2_{= 3}n_{. (3}3 _{+ 3) + 2}n+1_{.( 2}2_{+ 2)}

= 3n_{. 30 + 2}n+1_{. 6}

= 6. (5.3n_{+ 2}n+1₎__6,__n__N

<b>3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa.</b>

Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số
đặc biệt sau:

 Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng
bằng chính nó.

 Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có
hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.

 Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
 Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01.

 Số 26n (n  N, n >1).

<b> Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100_{; 3}100</b>

Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này :
2100_{= (2}20₎5_{= (}_...₇₆₎5₌_...₇₆

3100_{= (3}20₎5_{= (}_...₀₁₎5₌_...₀₁

<b> Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của:</b>

a) 5151 _{b) 99}99 _{c) 6}666 _{d) 14}101_.16101

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Đưa vềdạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
a) 5151_{= (51}2₎25_{.51 = (}_...₀₁₎25_{.51 =}_...₀₁_{.51 =}_...₅₁

=> 5151_{có 2 chữ số tận cùng là 51.}
Tương tự:

b) 9999_{= (99}2₎49_{.99 = (}_...₀₁₎49_{.99 =}_...₀₁_{.99 =}_...₉₉
c) 6666_{= (6}5₎133_{.6 = (}_...₇₆₎133_{.6 =}_...₇₆_{.6 =}_...₅₆
d) 14101_.16101_{= (14.16)}101_{= 224}101_{= (224}2₎50_.224

= (...76₎50_{.224 =}_...₇₆_{.224 =}_...₂₄
Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát:

<b> Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:</b>

a) 512k_{; 51}2k+1_(k__N*₎
b) 992n_{; 99}2n+1_;999999_(n__N*₎
c) 65n_{; 6}5n+1_;66666_(n__N*₎

<i><b> </b></i><b>Phương pháp giải</b>
a) 512k_{= (51}2₎k_{= (}_...₀₁₎k

=> 512k+1_{= 51. (51}2₎k_{= 51.(}_...₀₁₎k
b) 992n _{= (99}2₎n_{= (}_...₀₁₎n

=> 992n+1_{= 99. (99}2₎n_{= 99.(}_...₀₁₎n

=> 999999, ta có 9999_{là một số lẻ =>}₉₉9999_{có dạng 99}2n+1 _{(Với n}

 N, n > 1)

=> 999999 = 99.(992₎n_{= 99 . (}_...₀₁₎n_{(Với n}

 N, n > 1)

c) 65n_{= ( 6}5₎n_{= (}_...₇₆₎n

=> 65n+1_{= 6 . ( 6}5₎n_{= 6. (}_...₇₆₎n

Xét 66666, ta có 6666_{là một số có tận cùng là 6, =>}66666_{có dạng 6}5n+1_(n__{N, n > 1)}
=> 66666= 6.(...76₎n

<b>Bài tập luyện tập:</b>

<b>1) Tìm hai chữ số tận cùng của: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

d) 182004 _{e) 68}2005 _{f) 74}2004

<b>2) Tìm hai chữ số tận cùng của:</b>

a) 492n_{; 49}2n+1_(n__N)
b) 24n_{. 3}8n_(n

 N)

c) 23n_{. 3}n_{; 2}3n+3_{. 3}n+1_(n__N)
d) 742n_{; 74}2n+1_(n__N)

<b>3) Chứng tỏ rằng:</b>

a) A = 262n_{- 26}__{5 và}__{10 (n}

 N, n > 1)

b) B = 242n+1_{+ 76}__{100 (Với n}__N)

c) M = 512000_.742000_.992000_{có 2 chữ số tận cùng là 76.}

<b>3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.</b>

Phương pháp: Chú ý một số điểm sau:

 Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng
bằng chính số đó.

 Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625.

<b> Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000_.</b>

Học sinh có thể làm phần này khơng mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các
phần trước.

52000_{= (5}4₎500_{= 625}500_{= (0625)}500

Vậy: 52000_{có ba chữ số tận cùng là 625 có bốn chữ số tận cùng là 0625.}

<b> Bài 2. Tìm ba chữ số tận cùng của:</b>

a) 23n_{. 47}n_(n__N*₎

b) 23n+3_{. 47}n+2_(n__N)

<b>Phương pháp giải</b>

Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này
lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối
với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên.

a) 23n_{. 47}n_{= (2}3₎n_{. 47}n_{= (8 . 47)}n_{= 376}n

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

b) 23n+3_{. 47}n+2_.

Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng khơng tránh khỏi lúng túng ở
số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn:

23n+3_{. 47}n+2_{= 2}3(n+1)_{. 47}n+1_{. 47}
= (23₎(n+1)_{. 47}n+1_{. 47}

= (8.47)n+1_{. 47}
= 47. 376n+1

Ta có: 376n+1_{có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376}n+1_{có chữ số tận cùng}
là 672.

<b> Bài 3. Chứng tỏ rằng:</b>

a) 54<i>n</i> + 375 _{1000 (n} N, n ≥ 1)

b) 52<i>n</i> - 25 _{100 (n} N, n ≥ 2)

c) 2001n_{+ 2}3n_{. 47}n_{+ 25}2n_{có tận cùng bằng 002.}

<b>Phương pháp giải</b>

Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ khơng gặp nhiều
khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ
năng biến đổi.

a) Ta có: 54<i>n</i> = 54.4<i>n</i>1= 6254<i>n</i>1 tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1)

=> 54<i>n</i> + 375 có tận cùng 000. Vậy: 54<i>n</i> + 375 ₁₀₀₀

b) Ta có 52<i>n</i> = 522.2<i>n</i>2=

 

2

2
4

5 <i>n</i> ₌₆₂₅2<i>n</i>2

(n N, n ≥ 2)

Vậy 52<i>n</i> - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. Do đó : 52<i>n</i>- 25 ₁₀₀

c) 2001n_{+ 2}3n_{. 47}n_{+ 25}2n

Ta thấy: 2001n_{có tận cùng là 001.}

23n_{. 47}n_{= (8 . 47 )}n _{= 376}n _{có tận cùng là 376}
252n_{= (25}2₎n_{= 625}n _{có tận cùng là 625}

Vậy: 2001n_{+ 2}3n_{. 47}n_{+ 25}2n _{có tận cùng là 002.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy
thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so
sánh).

<b>Lưu ý một số tính chất sau:</b>

 Với a, b, m, n N, ta có:

a > b _ an_{> b}n_,__n__N*
m > n _ am_{> a}n_{, (a > 1)}

a = 0 hoặc a = 1 thì am_{= a}n_(m.n_₀₎
 Với A, B là các biểu thức ta có:

An_{> B}n

 A > B > 0
Am_{> A}n

 m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1

<b> Bài 1. So sánh</b>

a) 33317_{và 333}23
b) 200710_{và 2008}10

c) (2008 - 2007)2009_{và (1998 - 1997)}1999

<b>Phương pháp giải</b>

Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng
cơ số hoặc có cùng số mũ.

a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317_{< 333}23
b) Vì 2007 < 2008 nên 200710_{< 2008}10

c) Ta có: (2008 - 2007)2009_{= 1}2009_{= 1 và (1998 - 1997)}1999_{= 1}1999_{= 1}
Vậy (2008 - 2007)2009_{= (1998 - 1997)}1999

<b> </b>

<b> Bài 2. So sánh </b>

a) 2300_{và 3}200 _{e) 99}20_{và 9999}10
b) 3500_{và 7}300 _{f) 11}1979_{và 37}1320
c) 85_{và 3.4}7 _{g) 10}10_{và 48.50}5

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Phương pháp giải</b>

Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy
thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

<b> Hướng dẫn:</b>

a) Ta có: 2300_{= (2}3₎100_{= 8}100
3200_{= (3}2₎100_{= 9}100

Vì 8100_{< 9}100_{nên 2}300_{< 3}200

b) Tương tự câu a, ta có: 3500 _{= (3}5₎100 _{= 243}100
7300_{= (7}3₎100_{= 343}100

Vì 243100_{< 343}100_{nên 3}500_{< 7}300
c) Ta có: 85_{= 2}15_{= 2.2}14_{< 3.2}14_{= 3.4}7_{=> 8}5_{< 3.4}7

d) Ta có: 202303_{= (2.101)}3.101_{= (2}3_.1013₎101

= (8.101.1012₎101_{= (808.101)}101
303202_{= (3.101)}2.101_{= (3}2_.1012₎101_{= (9.101}2₎101
Vì 808.1012_{> 9.101}2_{nên 202}303_{> 303}202

e) Ta thấy: 992_{< 99.101 = 9999 => (99}2₎10_{< 9999}10_{hay 99}20_{< 9999}10
f) Ta có: 111979_{< 11}1980_{= (11}3₎660_{= 1331}660₍₁₎

371320_{= 37}2₎660_{= 1369}660₍₂₎
Từ (1) và (2) suy ra: 111979_{< 37}1320
g) Ta có: 1010_{= 2}10_{. 5}10_{= 2. 2}9_{. 5}10_(*)

48. 505_{= (3. 2}4_{). (2}5_{. 5}10_{) = 3. 2}9_{. 5}10_(**)
Từ (*) và (**) => 1010_{< 48. 50}5

h) Có: 199010_{+ 1990}9_{= 1990}9_{. (1990+1) = 1991. 1990}9
199110_{= 1991. 1991}9

Vì 19909_{< 1991}9_{nên 1990}10_{+ 1990} 9_{< 1991}10

<b> Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527_{< 2}63_{< 5}28</b>

<b>Phương pháp giải</b>

Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên
có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 _{> 5}27_{và 2}63_{< 5}28

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

=> 263_{> 5}27₍₁₎

Lại có: 263_{= (2}9₎7_{= 512}7_{và 5}28_{= (5}4₎7_{= 625}7
=> 263_{< 5}28₍₂₎

Từ (1) và (2) => 527_{< 2}63_{< 5}2

<b> Bài 4. So sánh: </b>a) 10750_{và 73}75 _{b) 2}91_{và 5}35

<b>Phương pháp giải</b>

Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử
dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời
giải cho bài tốn. Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:

a) Ta thấy: 10750_{< 108}50_{= (4. 27)}50_{= 2}100_{. 3}150₍₁₎
7375_{> 72}75_{= (8. 9)}75_{= 2}225_{. 3}150₍₂₎

Từ (1) và (2) => 10750_{< 2}100_{. 3}150_{< 2}225_{. 3}150_{< 73}75_{. Vậy 107}50_{< 73}75_.

b) 291_{> 2}90_{= (2}5₎18_{= 32}18_{và 5}35_{< 5}36_{= (5}2₎18_{= 25}18_{=> 2}91_{> 32}18_{> 25}18_{> 5}35_{. Vậy 2}91
> 535_.

<b> Bài 5. So sánh</b>

a) (-32)9_{và (-16)}13 _{b) (-5)}30_{và (-3)}50
c) (-32)9_{và (-18)}13 _{d) (}₁₆

1



)100_{và (} ₂
1



)500

<b>Phương pháp giải</b>
Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên.

a) (-32)9_{= - 32}9_{= - (2}5₎9_{= - 2}45
(-16)13_{= - 16}13_{= - (2}4₎13_{= - 2} 52

Vì 245_{< 2}52_{nên -2}45_{> - 2}52_{. Vậy (-32)}9_{> (-16)}13_.
b) (-5)30_{= 5}30_{= (5}3₎10_{= 125}10

(-3)50_{= 3}50_{= (3}5₎10_{= 243} 10_{. Vì 125}10_{< 243}10_{nên (-5)}30_{< (-3)}50_.
c) (-32)9_{= - 32}9_{= - (2}5₎9_{= - 2}45

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

d) Ta có: (16
1



)100₌ 100

100

16
1



= ₁₆100

1

=₂400

1

và ( 2
1



)500₌ 500

500

2
)

1
(

= ₂500

1

Vì 2400_{< 2}500_nên₂400

1

> ₂500

1

Vậy (16
1



)100_{> (} ₂
1



)500_.

<b> Bài 6. So sánh A và B biết:</b> <b>A = </b>2008 1

1

2008
2009
2008



; B = 2008 1
1
2008
2008
2007



<b>Phương pháp giải</b>

Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính
chất sau: Với mọi số tự nhiên a, b, c khác 0, ta chứng minh được:

 Nếu
a

1
b _thì

a a c
b b c




 Nếu
a
1
b  _thì

a a c
b b c



 

Áp dụng tính chất trên vào bài 6, ta có:
Vì A = 2008 1

1
2008
2009
2008



< 1 nên:
A = 2008 1

1
2008
2009
2008




< 2008 1 2007
2007
1
2008
2009
2008




=
2008
2009
2008 2008
2008 2008


 ₌2008.(2008 1)

)
1
2008
.(
2008
2009
2007



=2008 1
1
2008
2007
2007


=B
Vậy A < B.

Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau:

<b>Cách 1:</b> Ta có: 2008.A =  


1
2008
2008
).
1
2008
(
2009
2008
1
2008
2007
1
2008

2009
2009




=1+2008 1
2007
2009

2008.B =
2007
2008
(2008 1).2008
2008 1



 2008 1

2007
1
2008
2008
2008




=1+2008 1

2007

2008



Vì 20082009_{+1 > 2008}2008_{+1 nên}₂₀₀₈ ₁
2007

2009

 _<2008 1

2007

2008



</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<i>A</i>
1

= 2008 1
1
2008
2008
2009



= 2008 1
2007
2008
2008
2008
2009




= 2008 1

2007
)
1
2008
.(
2008
2008
2008




= 2008 - 2008 1
2007

2008



<i>B</i>
1

= 2008 1
1
2008
2007
2008



= 2008 1
2007
2008
2008
2007
2008




= 2008 1

2007
)
1
2008
.(
2008

2007
2007




= 2008 - 2008 1
2007

2007



Vì 20082008_{+1 > 2008}2007_{+1 nên}₂₀₀₈ ₁
2007

2008

 < 2008 1

2007

2007



=> 2008 - 2008 1
2007

2008

 > 2008 - 2008 1

2007

2007



Vậy <i>A</i>
1

> <i>B</i>
1

=> A < B (vì A,B > 0)

<b> Bài 7. So sánh M và N biết: M = </b>100 1

1
100
99
100



<b>; N = </b>100 1

1
100

100
101



<b> Phương pháp giải</b>

<b>Cách 1:</b> N = 100 1

1
100
100
101


> 1
=> N =100 1

1
100
100
101



>100 1 99
99
1
100
100

101





=100 100
100
100
100
101



= (100 1).100

100
).
1
100
(
99
100



= 100 1
1
100
99

100


= M
Vậy M < N.

<b>Cách 2:</b> M = 100 1

1
100
99
100



= 100 1
99
100
100
99
100




= 100 1
99
100
).
1

100
(
99
99




= 100 - 100 1
99

99



N = 100 1
1
100
100
101



= 100 1
99
100
100
100
101





= 100 1
99
100
).
1
100
(
100
100




= 100 - 100 1
99

100



Vì 10099_{+ 1 < 100}100_{+ 1 nên}₁₀₀ ₁
99

99

 > 100 1

99

100



=> 100 - 100 1
99

99

 < 100 - 100 1

99

100



Vậy M < N.

Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

a) 528_{và 26}14 _{b) 5}21_{và 124}10 _{c) 31}11_{và 17}14
d) 421_{và 64}7 _{e) 2}91_{và 5}35 _{g) 54}4_{và 21}12

<b>2. So sánh:</b>

a)

2

300
1

và

3

200
1

b)

5

199
1

và

3

300
1
c)
8
4
1







và
5
8
1







d)
15
10
1






và
20
10
3







<b>3. So sánh:</b>

a) A = 13 1
1
13
16
15



và B = 13 1
1
13
17
16



b) A = 1999 1

1
1999
1998
1999



và B = 1999 1
1
1999
1999
2000



c) A = 100 1
1
100
99

100



và B = 100 1
1
100
68
69


<b> </b>

<b>Phương pháp giải</b>
c) A = 100 1

1
100
99
100



và B = 100 1
1
100
68
69



Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm
bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A và B, ta có:

A = (100 1).(100 1)

)
1
100
).(
1
100
(
68
99
68
100





và B = (100 1).(100 1)

)
1
100
).(
1
100

(
99
68
99
69





Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B.
Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B:

(100100_{+ 1). (100}68_{+ 1) - (100}69_{+ 1). (100}99_{+ 1)}

= 100168_{+ 100}100_{+ 100}68_{+ 1 - 100}168_{– 100}99_{– 100}69_{– 1}
= 100100_{– 100}99_{– 100}69_{+ 100}68

= 100 . 10099_{– 100}99_{– 100.100}68_{+ 100}68
= 99.10099_{- 99.100}68

= 99 . (10099_{- 100}68_{) > 0 (vì 100}99_{> 100}68_{). Vậy A > B.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các cơng thức, phép tính về lũy thừa để tính
cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hịa một số phương pháp trong tính tốn khi
biến đổi.

<b> Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:</b>

a) A = 27 7 10 27

27
13
7
30
5
.
2
5
.
2
5
.
2
5
.
2



b) M =





)
5
(
)
6
(
)
6

(
)
5
(
4





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{, với x = 7}

<b> Phương pháp giải</b>

Với bài này, học sinh khơng nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện
các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có
thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và
đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết
quả của bài toán nhanh đến bất ngờ.

a) A = 27 7 10 27

27
13
7

30
5
.
2
5
.
2
5
.
2
5
.
2



= 2 .5 (2 5 )

)
5
.
2
(
5
.
2
20
17
7
10

20
17
7
13



= 23_{= 8}
b) M =





)
5
(
)
6
(
)
6
(
)
5
(
4





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần
mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách
dễ dàng.

M =





)
5
(
)
6
(
)
6
(
)
5
(
4





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> ₌





)
5
7
(
)
6
7
(
)
6
7
(
)
5
7
(
4
7





M =
12

13
1
2

3 ₌₃21

= 32_{= 9}

<b> Bài 2. Chứng tỏ rằng: </b>

a) A = 102008_{+ 125}_₄₅

b) B = 52008_{+ 5}2007_{+ 5}2006 _₃₁
c) M = 88_{+ 2}20_₁₇

d) H = 3135_{. 299 – 313}6_{. 36}_₇

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ
năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu a_{m, a}_{n, (m; n) = 1 thì a}_{m.n (a, m,}

n N*)

a) A = 102008_{+ 125}

Ta có: 102008_{+ 125 =}₁₀₀_...₀_{+ 125 =}₁₀₀_...₀₁₂₅
2008 số 0 2005 số 0
A có tận cùng là 5 => A₅

Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A_9.

Mà (5;9) = 1 => A_{5.9 hay A}₄₅

b) B = 52008_{+ 5}2007_{+ 5}2006

Ta khơng thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép cộng.
Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.

B = 52008_{+ 5}2007_{+ 5}2006
B = 52006_{. (5}2_{+ 5}1_{+ 1)}
B = 52006_{. 31}_₃₁
c) M = 88_{+ 2}20

Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có
cùng cơ số:

M = 88_{+ 2}20_{= (2}3₎8_{+ 2}20_{= 2}24_{+ 2}20

M = 220₍₂4 _{+ 1) = 2}20₍₁₆_{+ 1) = 2}20_.17_₁₇
d) H = 3135_{. 299 – 313}6_{. 36}

Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt
thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135_{làm thừa số chung thì buộc phải}
tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể
hướng dẫn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

H = 7. (3135_{. 2 – 5. 313}6₎_₇

<b> Bài 3. Cho A = 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}60_{. Chứng tỏ rằng: A}</b>_<b>_{3, A}</b>_<b>_{7, A}</b>_<b>₅</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành
từng nhóm 2; 3; 4... lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất
hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó.

<b>Ví dụ:</b> A = 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}60

= (2 + 22_{) + (2}3 _{+ 2}4_{) + (2}5 _{+ 2}6_{) + … + (2}57 _{+ 2}58_{) + (2}59 _{+ 2}60₎
= 2.(1 + 2) + 23_{.(1 + 2) + 2}5_{.(1 + 2) + … + 2}57_{.(1 + 2) + 2}59_{.(1 + 2)}
= (1 + 2).(2 + 23 _{+ 2}5 _{+ … + 2}57 _{+ 2}59₎

= 3.(2+23₊₂5_+…+257₊₂59_{) => A}_₃
Tương tự, ta có:

A = (2 + 22_{+ 2}3_{) + (2}4 _{+ 2}5 _{+ 2}6_{) + … + (2}58 _{+ 2}59 _{+ 2}60₎
= 2.(1 + 2 + 22_{) + 2}4_{.(1 + 2 + 2}2_{) + … + 2}58_{.(1 + 2 + 2}2₎
= (1 + 2 + 22_{).(2 + 2}4 _{+ 2}7 _{+ … + 2}58₎

= 7.(2 + 24 _{+ 2}7 _{+ … + 2}58_{) => A}_₇

A = (2 + 23_{) + (2}2 _{+ 2}4_{) + … + (2}57 _{+ 2}59_{) + (2}58 _{+ 2}60₎
A = 2(1 + 22_{) +2}2_{(1 + 2}2_{) + … + 2}57_{(1 + 2}2_{) + 2}58_{(1 + 2}2₎
= (1 + 22_{).(2 + 2}2 _{+ 2}5 _{+ 2}6 _{+ … + 2}57 _{+ 2}58₎

= 5. (2 + 22 _{+ 2}5 _{+ 2}6 _{+ … + 2}57 _{+ 2}58_{=> A}_₅

<b> Bài 4. Chứng tỏ rằng:</b>

a) D = 3 + 32_{+ 3}3_{+ 3}4_{+ … + 3}2007_₁₃

b) E = 71_{+ 7}2 _{+ 7}3_{+ 7}4_{+ … + 7}4n-1_{+ 7}4n _₄₀₀

<b> </b>

<b>Phương pháp giải</b>

a) Ta thấy: 13 = 1 + 3 + 32_{nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một}
nhóm như sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

= 3.13 + 34_{.13 + …+ 3}2005_.13
= (3 + 34_{+ …+ 3}2005_{). 13 => D}_₁₃
b) Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72_{+ 7}3_nên:

E = (71_{+ 7}2 _{+ 7}3_{+ 7}4_{) + 7}4_{. (7}1_{+ 7}2_{+ 7}3_{+ 7}4_{) + … + 7}4n-4_{. (7}1_{+ 7}2 _{+ 7}3_{+ 7}4₎
= (71_{+ 7}2 _{+ 7}3_{+ 7}4_).(1+74_{+ 7}8_{+ … + 7}4n-4₎

= 7.(1 + 71_{+ 7}2_{+ 7}3_).(1+74_{+ 7}8_{+ … + 7}4n-4₎
= 7.(1 + 7 + 49 + 343).(1+74_{+ 7}8_{+ … + 7}4n-4₎
= 7.400.(1+74_{+ 7}8_{+ … +7}4n-4₎__{400 => E}_₄₀₀

<b> Bài 5. a) Tính tổng: Sn = 1 + a + a2 + … + an</b>

<b> b) Áp dụng tính các tổng sau: </b>
<b> A = 1 + 3 + 32_{+ … + 3}2008</b>

<b> B = 1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}1982</b>

<b> C = 71_{+ 7}2 _{+ 7}3_{+ 7}4_{+ … + 7}n-1_{+ 7}n</b>
<b>Phương pháp giải</b>

a) Đây là một bài tốn tổng qt, giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách

làm để thu gọn các tổng lũy thừa này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của
các lũy thừa.

* Xét a = 1, ta có: Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =(n +1).1 = n +1
* Xét a ≠ 1, ta có:

Sn = 1 + a + a2 + ... + an
=> a. Sn = a + a2 + … + an+1
=> a. Sn - Sn = an+1 – 1
=> Sn = 1

1

1





<i>a</i>
<i>an</i>

b) Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B, C nhờ công thức Sn
A = 1 + 3 + 32 _{+ … + 3}2008₌ ₂

1
32009



B = 1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}1982_{= 2}1983_{- 1}
C = 71_{+ 7}2 _{+ 7}3_{+ 7}4_{+ … + 7}n-1_{+ 7}n₌ ₆

7
7 1





</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b> Bài 6. Thu gọn tổng sau: M = 1 - 2 + 22 _{- 2}3_{+ … + 2}2008</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Mặc dù đã có cơng thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng
khi tính tổng M thì học sinh khơng tránh khỏi sự lúng túng với những dấu ‘+’, ‘-‘ xen
kẽ.

Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ
khơng thu gọn được tổng M. Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b)
bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau; còn bài
5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét tổng của chúng:

M = 1 - 2 + 22_{- 2}3_{+ … + 2}2008

=> 2M = 2 - 22_{+ 2}3_{– 2}4_{+ … + 2}2009
=> 2M + M = 22009_{+ 1}

=> M = 3
1
22009



<b> Bài 7. Tính:</b>

a) A = 2 3 100

1 1 1 1

...
2 2 2  2
b) B = 1+ 2 3 500

1 1 1 1

...
5 5 5  5
<i> </i><b>Phương pháp giải</b>

Làm tương tự bài 4

a) A = 2 3 99 100

1 1 1 1 1

...

2 2 2   2 2
=> 2A = 1+ 2 3 99

1 1 1 1

...

2 2 2  2 
=> 2A – A = (1+ 2 3 99

1 1 1 1

...

2 2 2  2 _{) – (} 2 3 100

1 1 1 1

...

2 2 2  2 ₎
=> A = 1+ 2 2 3 3 99 99 100

1 1 1 1 1 1 1 1 1

...

2 2 2   2 2  2  2  2  2 _{=> A = 1 -}₂100

1

b) B = 1+ 2 3 500

1 1 1 1

...
5 5 5  5

=> 5B = 5+1+ 2 3 499

1 1 1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

=> 5B – B = (5+1+ 2 3 499

1 1 1 1

...

5 5 5  5 _{) – (1+} 2 3 499

1 1 1 1

...

5 5 5  5 ₎

 4B = 5+1-1+ 2 2 3 3 499 499 500

1 1 1 1 1 1 1 1 1

...

5 5 5   5 5  5  5  5  5

 4B = 5 - ₅500

1

 B = (5 - ₅500

1
): 4

<b> Bài 8. Tính: B = 1002_{- 99}2_{+ 98}2_{– 97}2_{+ … + 2}2_{- 1}</b>
<b>Phương pháp giải</b>

Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 1002_{, 98}2_{, … 2}2
thành một nhóm và các số cịn lại thành một nhóm. Nhưng nếu nhóm như vậy thì sẽ
khơng tính được nhanh. Để làm bài này giáo viên có thể cho học sinh chứng tỏ đẳng
thức sau:

<b>Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: (a - b).(a + b) = a2</b>_-<b>_b2</b>
Thật vậy, ta có:

(a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 _{– ab + ab - b}2_{= a}2_{- b}2
Vậy: (a - b).(a + b) = a2_{- b}2

Áp dụng đẳng thức trên vào bài 6 ta được:
B = 1002_{- 99}2_{+ 98}2_{– 97}2_{+ …+ 2}2_{– 1}

= (100 - 99).(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) +…+ (2 - 1).(2 + 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 100.(100 + 1) : 2
= 5050

<b> Bài 9. Chứng tỏ rằng.</b>

a) H = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

... 1

2 3  4  2007 2008 

b) K = 2

1
14

1
12

1
10

1
8

1
6

1
4

1
2

1

2
2
2
2
2
2

2       

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan. Những
bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được phụ thuộc
hoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên.

Lưu ý:

1 1 1

n.(n 1)  n n 1 _(n__N*₎
a) Ta có: 1.2

1
2

1

2 

; 2.3
1
3

1

2 

; 3.4
1
4

1

2 

; ... ; 2007.2008
1
2008

1

2 

=> H = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

... ...

2 3 4  2007 2008 1.2 2.3  2007.2008 _(*)
Mà

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ... 1 1

1.2 2.3  2007.2008  2 2 3 3 4     2007 2008   2008  
Nên, từ (*) => H < 1

Qua bài toán trên, giáo viên có thể cho học sinh làm bài tốn tổng quát sau:
<b>Bài 10. Chứng tỏ: </b>

a) H = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

... ... 1

2 3 4  2003  n  _(n<i>N</i>*,<i>n</i>1)

b) K = 2 2 2 2 2 2 ₁₄2

1
12

1
10
1
8
1
6
1
4
1
2
1







< 2
1

<b>Phương pháp giải</b>
a) H <

1 1 1

...

1.2 2.3  (n 1).n ₌

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 1 1

2 2 3 3 4 n 1 n n

          


Nên H < 1

b) K = ₂2

1

( 2 2 2 2 2 ₇2

1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1

1     

) < ₂2

1

(1+1) = ₂2

1

.2 = 2
1

(Vì theo câu a, 7 1
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
2
2
2
2
2

2      

)
Vậy K < 2

1
.

Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau:

<b>1) Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

P = 13₊₂3₊₃3₊₄3 _{K = 1}3₊₂3₊₃3₊₄3₊₅3₊₆3₊₇3

<b>2) Tính A và B bằng hai cách trở lên:</b>

A = 1 + 2 + 22 _{+ 2}3 _{+ 2}4 _{+ … + 2}n_(n__N*₎
B = 70 _{+ 7}1 _{+ 7}2 _{+ 7}3 _{+ 7}4 _{+ … + 7}n+1_(n__N)

<b>3) Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2</b>

T = 22_{+ 2}2_{+ 2}3₊₂4₊₂5_{+…+ 2}2008

<b>4) So sánh: </b>

a) A = 1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ 2}4 _{+ 2}5 _{+…+ 2}2008_{và B = 2}2009_{– 1}
b) P = 1 + 3 + 32 _{+ … + 3}200_{và Q = 3}201

c) E = 1 + x + x2_{+ … + x}2008_{và F = x}2009_(x__N*₎

<b>5) Chứng tỏ rằng:</b>

a) 13 _{+ 3}3 _{+ 5}3 _{+ 7}3 _₂3

b) 3 + 33 _{+ 3}5 _{+ 3}7 _{+ … + 3}2n+1 __{30 (n}__N*₎
c) 1 + 5 + 52_{+ 5}3_{+ … + 5}403 _{+ 5}404 _₃₁
d) 1 + 4 + 42_{+ 4}3_{+ 4}4 _{+ … + 4}99_{và B = 4}100

<b>6) Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng</b>

A = 1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}2008_{+ 2}2002

<b>7) Tính:</b>

a) 3S – 22003_{biết S = 1 – 2 + 2}2_{- 2}3_{+ … + 2}2002
b) E = 2100_{– 2}99_{– 2}98_{– 2}97_{- … - 2}2 _{- 2 – 1}
c) H – K biết: H = 1 + 3 + 32_{+ 3}3_{+…+ 3}20

K = 321_{: 2}

<b>8) Tìm:</b>

a) Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n_{. Với A = 3 + 3}2_{+ 3}3_{+ … + 3}100
b) Chữ số tận cùng của M biết: M = 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}20

<b>9) Chứng tỏ rằng: </b>

a) 87_{– 2}18 _₁₄ _{h) 12}2n+1_{+ 11}n+2 _₁₃₃
c) 817_{– 27}9_{- 9}13 __{405 i) 70 + 7}1 _{+ 7}2 _{+ 7}3 _+…+7101 _₈

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

d) 1099 _{+ 2}3 _₉ _{l) 4}39 _{+ 4}40 _{+ 4}41 _₂₈

e) 1028_{+ 8}_₇₂ _{m) 3 + 3}5_{+ 3}7_{+ … + 3}1991 __{13 và}_₄₁

<b>10) Chứng tỏ rằng:</b>

a) 2 2 2 2

1 1 1 1 1

...

2 4 6  100  2

b) 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

...

6 5 6 7  100 4

c) A > B với: A =

2 9

2 8

1 5 5 ... 5

1 5 5 ... 5

   

    _{; B =}

2 9

2 8

1 3 3 ... 3

1 3 3 ... 3

   

   

<b>3.5. Dạng 5: Toán đố với lũy thừa</b>

Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phương.
(Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên).

Phương pháp: Cần hiểu một số kiến thức sau.

 Số chính phương chỉ có thể có số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 và khơng thể có
số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.

 Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Ngược lại một số có
số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương.

<b> Bài 1. Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn điền</b>

<b>các chữ số vào dòng chữ sau để được phép tính đúng.</b>
<b> MÙI . MÙI = TÂN MÙI (*)</b>
<b> Bạn hãy trả lời giúp.</b>

<b>Phương pháp giải</b>

Đề bài rất hay, nhưng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu trả lời
thích hợp thay cho dịng chữ (*)

MÙI là số có 3 chữ số

Theo (*) thì (MÙI)2_{có tận cùng là mùi và có 6 chữ số.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Gọi MÙI = a. Ta có:

a2_{= 1000. TÂN + a hay a}2_{– a = 1000. TÂN}
=> a.(a - 1) ₁₀₀₀

Ta thấy a - 1 và a là hai số liên tiếp
1000 = 125. 8 với (125 ; 8) = 1
Vậy có thể xảy ra:

 a 125 và a – 1 8 => a = 625
 a 8 và a - 1 125 => a = 376

Do đó: 625. 625 = 390625 (thỏa mãn)

376. 376 = 141376 (không thỏa mãn, vì chữ T khác chữ N)
Vậy MÙI. MÙI = TÂN MÙI chính là 625. 625 = 390625.

<b>Bài 2. Đố bạn số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ số: 3; 6; 8;</b>
<b>8. </b>

<b>Phương pháp giải</b>

Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án:
Gọi số chính phương phải tìm là n2

Số chính phương khơng tận cùng bằng 3, 8 nên n2_{có tận cùng là 6.}

</div>

<!--links-->